ZÁKLADNÍ POJMY, VÝPOČTY A APLIKACE VE SPOLEHLIVOSTI

Transkript

1 ZÁKLADNÍ OJMY, VÝOČTY A ALIKACE VE SOLEHLIVOSTI Zdeěk Kapíšek, avel Dosál, avel Jelíek Odo sochasckých a opalzačích eod, Úsav aeaky Fakula sojího žeýsví, Vysoké učeí echcké v Bě Techcká, Bo E-al: kapsek@u.fe.vu.cz, Tel.: , Fax: Asak: Refeá á přehledový chaake a je oeová a základí eody sochasckého odelováí, aalýzu a výpočy spolehlvos sledovaých ojeků. Jsou popsáy ejčasěj používaé fukčí a číselé chaakesky spolehlvos, ozděleí pavděpodoos po spolehlvos, ěkeé eody učeí spolehlvos syséu poocí eoe gafů, základí odel oovy, ypy zkušeích pláů a sascké eody po vyhodoceí povozí spolehlvos. Výpočy jsou ealzováy poocí pofesoálího a ově vyvořeého sofwae po spolehlvos.. Někeé oecé pojy Oecé pojy a ázvosloví ve spolehlvos jsou v současé doě dáy předevší oa ČSN IEC, případě dosud ješě eahazeý oa ČSN []. V aplkacích jsou yo pojy odfkováy aeacko-sasckou eologí a kovece v olasech uží spolehlvosích eod. Z ozsáhlého spolehlvosího ázvosloví pezeujee pouze základí pojy, keé se ejčasěj používají. Ojek je čás zařízeí, sysé, fukčí jedoka, přísoj eo sysé, se keý je ožo se dvduálě zaýva. Ojeky se dělí a opavovaé a eopavovaé. Opavovaý ojek se po pouše opavuje. Neopavovaý ojek se po pouše eopavuje a ůže ý opavelý eo eopavelý. Spolehlvos je souhý eí používaý po pops pohoovos a čelů, keé j ovlvňují: ezpouchovos, udžovaelos a zajšěos údžy. Spolehlvos se používá pouze po oecý ekvaaví pops. ohoovos je schopos ojeku ý ve savu schopé pl požadovaou fukc v daých podíkách, v daé časové evalu za předpokladu zajšěí požadovaých vějších posředků. Tao schopos závsí a koac hledsek ezpouchovos, udžovaelos a zajšěos údžy. oucha je jev, předsavující ukočeí schopos ojeku pl požadovaou fukc. ouchy se dle povahy a příč dále specfkují. Oova ojeku je uď opava po pouše (opeaví ahodlá údža) aeo pláovaá oova (pláovaá peveví údža). Doa opavy je čás doy údžy po pouše, ěhe íž se a ojeku povádějí opaváeské opeace. Doa opavy se ovykle eshoduje s doou důsledků pouchy. Doa do pví pouchy je celková doa povozu ojeku od okažku pvího uvedeí do použelého savu až do pouchy. Doa ez poucha je doa váí ez dvěa po soě ásledující poucha opavovaého ojeku.. Sochascký odel spolehlvos Sochascký odel spolehlvos ojeku spočívá v předpokladu [,,3,4], že doa ezpouchového povozu je spojá áhodá velča (poěá) T, keá aývá hodo, ). Tao áhodá velča je plě popsáa fukčí chaakeska: dsučí fukcí, husoou pavděpodoos, fukcí spolehlvos a ezou pouch.

2 Dsučí fukce áhodé velčy T je fukce F () = T ( < ), defovaá po všecha (, ). Vyjadřuje pavděpodoos oho, že doa ezpouchového povozu ojeku je eší ež, akže F ( ) = po všecha (,). Husoa pavděpodoos áhodé velčy T je aková ezápoá fukce f(), že po všecha (, ) f ( τ)d τ = F ( ). Fukce spolehlvos áhodé velčy T je fukce po všecha (, ) R() = F() = ( T ). Vyjadřuje spolehlvos ojeku, edy pavděpodoos, že doa ezpouchového povozu ojeku je aspoň. Ieza áhodé velčy T je fukce f () λ () =, R() azývaá aké eza pouch. Vyjadřuje elaví zěu spolehlvos ojeku, přčež výaz λ()d předsavuje fesálí podíěou pavděpodoos oho, že poucha ojeku asae v evalu ; + d vzhlede k ou, že doa ezpouchového povozu ojeku ude aspoň. Ieza pouch 4 3 lada O.. Na o.. je ypcký gaf ezy λ (), zv. vaová křvka, eálého eopavovaého ojeku, keá á ř úseky. ví klesající úsek odpovídá zv. odoí počáečího povozu, duhý zhua kosaí úsek je odoí oálího povozu a řeí osoucí úsek vyjadřuje odoí doží ojeku. Vyšší elaví pouchovos ojeku v pví úseku je ovykle způsoea poucha zavěý kosukcí a výoou, a ojek y ěl ý ve zkušeí

3 povozu ("zahořováí"). Rosoucí elaví pouchovos ojeku ve řeí úseku pověšou odpovídá pouchá způsoeý úavou aeálu, sáuí apod. Z lovolé fukčí chaakesky spolehlvos ůžee uč osaí, eoť ez plaí vzahy uvedeé v aulce.. Taulka. Fukčí chaakesky Někdy se ješě používá další fukčí chaakeska, zv. kuulovaá eza pouch f() = F() R() λ() f() F() R() λ() d F ( ) d d R( ) d f ( τ )dτ = R() f ( τ )dτ F() = f() f ( τ )dτ d F ( ) d F ( ) d R( ) d R() λ()exp λτ ( )dτ exp λ( τ)dτ exp λ( τ)dτ Λ() = λτ ( )dτ. Koceovaé foace o spolehlvos ojeku poskyují číselé chaakesky áhodé velčy T [5,6]. Jsou o zejéa: sředí hodoa, ozpyl, sěodaá odchylka, vaačí koefce a kvaly doy do pouchy (doy ezpouchového savu) ojeku. Sředí hodoa áhodé velčy T ET ( ) = f( )d = R ( )d je sředí doa ezpouchového savu ojeku. Rozpyl áhodé velčy T ( ) = [ ( )] = [ ( )] ( )d = ( )d [ ( )], ( ) DT E T ET ET f RT ET sěodaá odchylka σ ( T) = D( T ) a vaačí koefce σ ( T ) VT ( ) =, ET ( ) keý se aké uvádí ve vau V(T) %. kval ( % kval) áhodé velčy T je dá ovcí F (, kde ) = (; ). Kval,5 se azývá edá áhodé velčy T. Kvalu se aké říká ezí hodoa ( % - ezí hodoa) doy ezpouchového povozu ojeku. ř sledováí velkého souou sejých ojeků za sejých podíek povozu lze očekáva, že cca % ěcho ojeků ude í pouchu do doy. =

4 Kval γ = γ, keý lze aké získa z ovce R ( γ ) = γ, je γ zaučeá doa ezpouchového povozu (γ % zaučeá doa ezpouchového povozu) ojeku [3]. ř sledováí věšího souou sejých ojeků za sejých podíek jejch povozu lze očekáva, že cca γ % ěcho ojeků ude í pouchu až po doě γ. Dle pořey se používají další číselé chaakesky áhodé velčy T, apř. koefce asyee 3 E( [ T E( T)] ) α3( T ) = 3 [ σ ( T )] a koefce excesu 4 E( [ T E( T)] ) α4( T ) = 3. 4 σ ( T ) [ ] 3. Rozděleí pavděpodoos o odelováí doy ezpouchového povozu a aké doy oovy ojeku (vz odsavec 6) se ejčasěj používají ásledující ozděleí pavděpodoos [3,5,6]. Expoecálí ozděleí E(λ), λ >,, ) : = λ ( λ), F () = exp( -λ), R() exp( -λ) f () exp - =, λ() = λ, l( ) ET ( ) = σ ( T) =, DT ( ) =, =. λ λ λ Někdy se oo ozděleí uvádí s paaee λ = /δ, kde δ >. Expoecálí ozděleí je kladě asyecké a doře popsuje spolehlvos ojeků, u chž dochází k pouše ze zcela áhodých (vějších) příč a kolv zákoě v důsledku jejch opořeeí. apř. u elekockých pvků. Jde o ozděleí "ez paě", eoť po áhodou velču T s ío ozděleí je T ( + at a) = T ( ) po lovolé kladé eálé a. Dle pořey se aké používá dvoupaaecké expoecálí ozděleí E(λ, c), keé dosaee posuuí ozděleí E(λ) o s zv. pahovou hodoou c, akže E(λ) E(λ, ). Jde o odel spolehlvos ojeku, jehož čos začala v doě = c. Expoecálí ozděleí je specálí případe ásledujícího ozděleí. Třípaaecké Weullovo ozděleí W(, c, δ), >, c eálé, δ >,, ) : c c c f() = exp, F () = exp, δ δ δ δ c R () = exp, δ c λ() = δ δ ET ( ) = c+ δγ +, DT ( ) = δ Γ + Γ +,,

5 .5 f (,, ) (,, ) f f.7 (,, ).5 (a) husoa pavděpodoos 3 4 F (,, ).75 (,, ) F F.7 (,, ).5.5 () dsučí fukce 3 4 R (,, ).75 (,, ) R R.7 (,, ).5.5 (c) fukce spolehlvos λ (,, ) λ (,, ) λ.7 (,, ) 3 (d) eza pouch 3 4 O. 3.

6 3 3 Γ + 3Γ + Γ + + Γ + α ( T ) =, 3 3 [ l( )] = c+ δ, Γ + Γ + kde je paae vau, c je paae polohy (pahový paae), δ je paae ěříka a Γ z ( z) = y exp( y)d je zv. gaa fukce. Někdy se uvádí Weullovo ozděleí s jý paaee ěříka a = δ. o < < je λ() klesající fukce a ozděleí doře vyshuje dou do pouchy ojeku, u ěhož se vyskyují skyé vady a v půěhu času éěř esáe. o = je eza kosaí, kokéě λ() = /δ, a jde o ozděleí expoecálí. o > je λ() osoucí fukcí a ozděleí doře vyshuje dou do pouchy sáoucího ojeku. o 3,6 je Weullovo ozděleí lízké oálíu ozděleí. V pax se ejčasěj užívá dvoupaaecké Weullovo ozděleí W(, δ) W(,, δ), edy po pahovou hodou c =. Na o. 3. jsou gafy fukčích chaakesk dvoupaaeckého ozděleí W(, δ) s paaey = ; ;,7 a δ =. Náhodá velča T = l X + l δ á ozděleí W(, δ), jeslže X á expoecálí ozděleí E(/δ). Mez výzaé vlasos Weullova ozděleí W(, c, δ) paří skuečos, že áhodá velča T = ( T,..., T ), kde T,..., T jsou vzájeě ezávslé áhodé velčy se sejý ozděleí W(, c, δ), á Weullovo ozděleí / W(, c, δ ). Logacko-oálí ozděleí LN(µ,σ ), µ eálé, σ >, (, ): (l µ ) f() = exp σ π σ ET ( ) = exp µ + σ y l µ, F () = Φ σ, l µ R () = Φ σ, DT ( ) = exp µ + σ exp( σ ), exp( ) = µ + σu,, ( ) kde Φ(u) je dsučí fukce a u je -kval oovaého oálího ozděleí N(;). Rozděleí LN(µ,σ ) je kladě asyecké a azývá se aké logoálí. Náhodá velča T = exp( X) á ozděleí LN(µ,σ ), jeslže X á oálí ozděleí N(µ,σ ). řo Gaa ozděleí Γ(, δ), >, δ >, (, ): f = δ Γ( ) δ, F ( ) = Γ (, / δ ), R ( ) = Γ(, / δ), () exp ET ( ) = δ, DT ( ) = δ. x z (, ) = exp( )d Γ zx y y y Γ ( z)

7 je zv. eúplá gaa fukce. Rozděleí Γ(, δ) je kladě asyecké a po = jde o expoecálí ozděleí E(/δ). Jeslže T,..., T jsou vzájeě ezávslé áhodé velčy s ozděleí Γ(, δ),, Γ(, δ), pak áhodá velča T = a T á po a > ozděleí Γ j, aδ. Specálě po vzájeě ezávslé áhodé velčy T,..., T s expoecálí j= ozděleí E(/δ) á áhodá velča T = Tj ozděleí Γ(, δ), azývaé aké Elagovo ozděleí. Rayleghovo ozděleí j= Ra ( σ ), σ >,, ) : j= j f () = exp σ σ, F() = exp σ, R() = exp σ Rozděleí Rozděleí π ET ( ) = σ, DT ( ) 4 π σ =, ( ) l = σ. Ra ( σ ) je kladě asyecké a užívá se aké v odelováí zv. adálí chyy. Maxwellovo ozděleí f () Ma ( σ ) σ >,, ) : = exp 3, π σ σ 8 ET ( ) = σ, π DT ( ) 3π 8 π = σ. Ma ( σ ) je kladě asyecké a alezee je v odelováí ychlos olekul. Dále se používají ozděleí exéálí, usekué oálí ozděleí. Někdy aké ůžee aplkova sěs ozděleí (kovexí koace, supepozce) huso pavděpodoos eo ez ozděleí. Např. po sěs dvou huso expoecálího ozděleí je f ( ) = cλexp ( λ) + c λ exp ( λ ), F () = cexp( λ) cexp ( λ ), R = c ( λ) + c ( λ ) () exp exp, = c c λ + λ, kde c, c a c + c =. ET ( ) λ ( ) + c ( ) ( λ ) + exp( λ ) λexp λ λ exp λ () =, cexp c 4. Spolehlvos syséů Souo ějakých ojeků sloužících k vykoáváí učých požadovaých čosí zpavdla ozačujee ázve sysé (sousava). Složé syséy se z hledska sledovaé čos př aalýze ovykle ozkládají a jedodušší fukčí celky (susyséy), popřípadě až a dále edělelé čás, keé azýváe pvky syséu. Sukuu syséu př jeho ozkladu a pvky popsujee ejčasěj poocí zv. lokového schéau. Blokové schéa vyjadřuje logckou sukuu syséu a spolehlvos syséu počíáe poocí spolehlvosí jedolvých pvků. ředpokládáe přo zv. dvousavový odel, kdy sysé (pvek) je uď v ezpouchové savu (logcká hodoa ) aeo

8 v pouchové savu (logcká hodoa ). o jedoduchos zoožíe ozačeí syséu s logckou poěou S, keá vyjadřuje jeho sav a jedolvé pvky aalogcky ozačíe A, K, A. Sukuu syséu lze aké vyjádř poocí oeovaého gafu, kdy oeovaé hay gafu odpovídají pvků syséu a uzly gafu vyjadřují spojeí pvků. Jeslže sav pvku A eovlvňuje sav pvku a aopak k l, pak říkáe, že k A ( ) pvky Ak, Al jsou ezávslé. V případě, že sav lovolé ožy pvků eovlvňuje sav lovolé jé ožy pvků éhož syséu a oě ožy jsou dsjukí, pak říkáe, že pvky syséu jsou vzájeě ezávslé. Sav pvku (syséu) je oecě závslý a čase, akže jeho sav je fukce A ( ) aývající hodo a, kde ) l, a A () =. ředpokládáe, že sav A ( ) ůže přejí pouze z hodoy do hodoy (kol aopak), akže jde o pvek (sysé) ez oovy. Dále předpokládáe, že doa ezpouchového savu (doa do pouchy) je ezápoá áhodá velča T, akže jeho fukce spolehlvos (spolehlvos) je R () = T = A() =. Nejčasější spojeí pvků A, =, K, A = A K A a paalelí, kdy = K S ( ) ( ), v lokové schéau je spojeí séové, kdy A A. řo začí logckou kojukc a logckou dsjukc a ěo logcký opeací odpovídají opeace půku a sjedoceí s áhodý jevy. Bezpouchový sav séového syséu asae pouze př ezpouchové savu všech jeho pvků, aopak ezpouchový sav paalelího syséu asae př ezpouchové savu alespoň jedoho jeho pvku. Další časo užívaý ype je koovaé spojeí, keé je vyvořeo opakovaý paalelí eo séový zapojeí paalelích a séových sousav. Blíže o spojeí pvků je v [,,4]. Blokové schéa séového syséu S je: A R () R () R () Jeslže RS () začí spolehlvos séového syséu a A jsou vzájeě ezávslé pvky se spolehlvos R () po =, K,, pak po ; ) je R S () = R () R ( ), = FS () = F () axf, ( ) () = λs () = λ () ax λ (). = To zaeá, že spolehlvos séového syséu je ejvýše ova spolehlvos jeho "ejhošího" pvku a apř. po vzájeě ezávslé pvky s expoecálí ozděleí E( λ ) doy ezpouchového povozu á séový sysé opě expoecálí ozděleí éo doy E( λ ). Vlv poču pvků a spolehlvos séového syséu (se sejě spolehlvý pvky) je zázoě a o. 4.. =

9 O. 4. Blokové schéa paalelího syséu je: R () R () R () Jeslže R () začí spolehlvos paalelího syséu a A jsou vzájeě ezávslé pvky se spolehlvos R () po =, K,, pak po ; ) je = axr () () R R = ( ) (). = () = () () F F F To zaeá, že spolehlvos paalelího syséu je věší eo ova spolehlvos jeho "ejlepšího" pvku. Vlv poču pvků a spolehlvos paalelího syséu (se sejě spolehlvý pvky) je zázoě a o. 4..,

10 O. 4. Jeslže RK () začí spolehlvos ějakého koovaého syséu A K z daých vzájeě ezávslých pvků A, pak po ; ) plaí, že RS() RK() R(). Spolehlvos koovaého syséu K lze uč v jedodušších případech přío poocí vlasosí pavděpodoos ezávslých áhodých jevů. Např. spolehlvos koovaého syséu A= A ( A A3) A4 z o. 4.3 posupou aplkací výše uvedeých vzoců po RS () a R () dosaee ( ) ( ) RK () = R() R() R3() R4(). () R R () R () 3 O. 4.3 R4 () Ve složějších případech se po vyjádřeí kofguace a výpoče spolehlvos syséu používají specálí eody z eoe gafů eo aeacké logky [,,4]: eoda sezau, eoda ozkladu, eoda ces a řezů, syséová fukce, so pouch aj. Základe eody sezau je sesaveí sezau všech ožých logckých událosí v syséu. Jde vlasě o seza všech vaací -é řídy s opakováí z hodo a. Získáe ak dsjukích áhodých jevů, jž odpovídá uď ezpouchový sav syséu (logcká hodoa ) aeo sav pouchový (logcká hodoa ). Spolehlvos syséu je poo ova souču pavděpodoosí uvedeých dsjukích áhodých jevů odpovídajících vše ožý ezpouchový savů syséu. Meodou sezau učíe spolehlvos koo-

11 vaého syséu a o Seza po eo sysé složeý ze 4 pvků sesává ze 6 vaací s opakováí. Výsledý sav syséu se učuje podle lokového schéau, kde se pvky s pouchou (logcká hodoa ) vyechají. Jeslže zůsae alespoň jedo epřeušeé spojeí ez vsupe a výsupe, je sysé v ezpouchové savu. Seza s výsledý save syséu A je aulce 4.. Taulka 4. A A A 3 A 4 A Spolehlvos syséu (po jedoduchos epíšee poěou ) pak je R = RRRR + R R RR + RR R R ( ) 3 4 ( 3) 4 + RRR 3( R4) + R( R)( R3) R4 = R( ( RR 3)( R4) ). Meoda ces vychází z gafu syséu. Teo gaf á ejéě olk ha, kolk á sousava pvků, ale ůže jch í více, jeslže se haa odpovídající jedou pvku opakuje ve více spojeích vsupu s výsupe [,,]. Sled v oeovaé gafu je posloupos ha, ke keé lze ají akovou posloupos uzlů, že po každou hau je odpovídající uzel uzle vsupí a ásledující uzel uzle výsupí, a ao posloupos vede od vsupího uzlu sledu k výsupíu uzlu sledu. Jeslže jsou v oo sledu všechy uzly ůzé, poo jsou aké všechy hay ůzé a sled se azývá cesa. Cesa edy pochází každý uzle gafu ejvýše jedou. o spolehlvos syséu uvažujee pouze cesy ze vsupího do výsupího uzlu celého gafu. Spolehlvos syséu je poo ova pavděpodoos oho, že alespoň jeda cesa sesává pouze z ha, keé odpovídají pvků ez pouchy. Sysé z o. 4.3 osahuje dvě cesy C a C, po jejchž ezpouchové savy plaí, že C = (( A = ) ( A = ) ( A3 = )), C = (( A = ) ( A4 = ) ). oo spolehlvos syséu je (po jedoduchos epíšee poěou ) R = ( C C) = ( C) + ( C) ( C C) = R RR 3 + RR 4 RRRR 3 4 = = R( ( RR 3)( R 4 )). Jeslže koovaý spolehlvosí sysé s pvky á epázdý posý acyklcký oeovaý gaf s zv. ací sousedos gafu A = ( a kl ) kl, =, ůžee uč všechy cesy ásledující způsoe [9]. vek c ace C = ( E A) - E, kde E je jedoková ace, kl vyjadřuje všechy cesy z uzlu k do uzlu l v daé gafu, když ahadíe aeckou opeac sečíáí + logcký sečíáí a aecké ásoeí logcký ásoeí v řeězcích c z pvků a, uv=,,...,. Navíc po k l je c = D, kde je algeacký kl doplěk pvku uv d ace D = E A. V ac A přo kladee a, pavě když z uzlu lk k do uzlu l evede haa, jak a kl = A. Jde vlasě o posé zoazeí ožy pvků A syséu S a ožu ha a kl. V případě, že daý gaf eí posý (osahuje víceásoé hay), lze jej převés a hoeoofí posý gaf apř. vhodý půleí ha [8]. To uožňuje výpoče všech ces ze vsupího uzlu k = do výsupího uzlu l = gafu po kl lk kl = D lk

12 sysé S poocí D kl po lovolou kokéí vaac savů pvků ze sezau a ásledě pak zjšěí savu syséu. Jeslže S ozačuje přío sav syséu a za ( ) sg ( ) A dosadíe sav daého pvku, pak sav syséu je S = sg c = D, kde v algeacké doplňku D kladee a =, esp., jeslže sav odpovídajícího pvku je podle sezau A =, esp.. uv c lk Hodoa ož vyjadřuje po daé savy poče epřeušeých ces a hodoa pávě když žádá cesa z uzlu k do uzlu l po daé savy A A evede. Sysé z výše uvedeého příkladu (o. 4.3) á posý acyklcký oeovaý gaf (o. 4.4) c lk =, 3 a3 a34 a a 4 4 O. 4.4 a jeho ace sousedos je výsupího uzlu 4 pak jsou A a a 3 4 = a 34 a 4+ 4 = 4 = ( ) 3 4 = a. Všechy cesy ze vsupího uzlu do c D a a a a a a a Z eody sezau, eody ces a vlasosí gafů [8] vychází JK-algous po výpoče spolehlvos koovaého syséu o ezávslých pvcích s posý acyklcký oeovaý gafe. Teo algous po pleeac a C á koky:. Vygeeujee seza všech ožých savů pvků daého syséu ve foě ace s poče řádků, keé voří všechy vaace ( A, K, A ) -é řídy z dvoupvkové ožy {;} s opakováí (jde vlasě o dvojková čísla od do ).. o každou vaac vypočee poocí algeackého doplňku D lk sav syséu Sj = sg ( c ) = sg ( D ), j =,...,, přčež za pvky akl ace sousedos dosadíe logckou hodou savu odpovídajícího pvku syséu z ace z koku. 3. Spolehlvos syséu R( ) v čase učíe poocí spolehlvosí jedolvých pvků R (), =,...,, ze vzahu A A R() = S j ( R( ) ) ( R( ) ) j= =. říé výpočy sředí hodoy a ozpylu doy ezpouchového povozu syséu ývají oížé po evelká ožsví pvků, keé avíc ohou í ůzá ozděleí pavděpo- a 34.

13 doos. o výpoče fukčích a číselých chaakesk se osvědčly ásledující eadčí uecké posupy. (a) Nuecký řešeí ovce F ( ) = učíe -kvaly výsledého ozděleí pavděpodoos syséu ak, že položíe =, kde j =,,...,. V případě, že j ovce F ( ) = eučuje kval jedozačě, položíe apř. = { ; F( ) }. oče dělících odů (kvalů ) po děleí evalu ; ) volíe ak, ay yla splěa podíka < ax < ax, kde ax je vhodá velká pavděpodoos (apř.,9999), akže. Tí získáe + kvaovaých hodo spolehlvos syséu R( ) = F( ) s dfeecí přlžě / a evlasí egál po výpoče číselé chaakesky pak apoxujee apř. poocí Spsoovy složeé egálí foule s eekvdsaí uzlový ody = < / < L < ( )/ < a evalu ; ax. Jde vlasě ax o ueckou podou Leesgueova egálu - vz o F O. 4.5 () Jeslže je příý výpoče spolehlvos syséu R() oížý, ůžee j uč podoý způsoe jako v (a). Míso kvalu po celý sysé učíe ejpve veko kvalů (,..., j ), kde je -kval -ého pvku daého syséu, =,, a =, j =,,...,, esp. ax. ak po séový sysé je = (,..., ), po paalelí ) sysé je = ax (,...,, a po koovaé syséy fukce a ax skládáe []. Tío způsoe opě získáe + kvaovaých hodo spolehlvos syséu s dfeecí přlžě /. Z ch poo aalogcky jako v (a) učíe ueckou egací sředí hodou a ozpyl doy ezpouchového povozu syséu. (c) Nuecky je aké ožo vypočía dskéí hodoy husoy pavděpodoos f (), apř. poocí foule duhého řádu F ( + δ ) F ( f( ) = + δ δ δ ), = /,, ( )/,

14 kde δ = / a F ( ) = R ( ), přčež v kocových odech po = a = ax použjee foule pvího řádu. odoě uecky vypočee dskéí hodoy ezy pouch sousavy poocí foule duhého řádu l R ( δ ) l R ( δ ) ( ) =, = /,, ( )/, λ + + δ δ kde ověž δ = / a v kocových odech po = a = ax opě použjee foule pvího řádu. Vycházíe přo z oho, že λ () =, a odud odvozeé uecké d( l R( ) ) d f () foule dávají lepší výsledky ež ovykle používaé vzoce získaé ze vzahu λ () =. R() Vypočeé dskéí hodoy fukčích chaakesk spolehlvos je pak ožo vhodý způsoe dále apoxova, apř. poocí splajů. Spolehlvos syséu ůžee aké sascky odhadou sulací eodou Moe Calo, kdy íso vypočeých kvalů jedolvých pvků syséu geeujee jejch hodoy poocí geeáoů ozděleí pavděpodoos jedolvých pvků a R() učíe opě poocí fukcí, ax a jejch koací. Ovykle přo asfoujee hodoy získaé geeáoe ovoěě ozděleých áhodých čísel x ; ) poocí kvalové fukce = F x po -ý pvek. Výsledky poo zpacováváe sascky podoě jako u údajů o ( ) povozí spolehlvos (vz odsavec 7). 6. Opavelos a pohoovos Opavelos je dílčí spolehlvosí vlasos ojeku, vzahující se k jeho opavá po pouchách. ř její vyhodocováí vycházíe z doy váí pouchy, esp. doy opavy. Doa pouchy ývá zpavdla věší (defkace pouchy, přípava opavy, vlasí opava, koola povedeí opavy, zahájeí povozu). ředpokládeje základí povozí poces ojeku, sesávající z do povozu a do pouch zařízeí. Jde přo o časovou posloupos sřídajících se do povozu a do opav po pouše. Hovoříe o zv. pocesu oovy (zahuje apř. pláovaou údžu), kde doa opavy T * je áhodá velča s dsučí fukcí G () = T ( < ), keá vyjadřuje pavděpodoos oho, že doa opavy ude eší ež. Doa opavy á husou pavděpodoos d G ( ) g () = d a ezu opav g () µ () =. G ( ) Jde o aalog ezy pouch, přčež výaz µ()d vyjadřuje fezálí podíěou pavděpodoos oho, že opava ude ukočea v evalu ; + d za podíky, že doa opavy ojeku ude aspoň. Mez fukčí chaakeska doy opavy plaí sejé vzahy jako ez chaakeska doy ezpouchového povozu. ohoovos je dílčí spolehlvosí vlasos oovovaého ojeku, vyjadřující íu jeho ezpouchovos. Základí odel pohoovos [4] vychází z předpokladu, že celková doa povozu ojeku do -é pouchy je áhodá velča

15 U T T = + + T + T + L + T, a že celková doa povozu ojeku do ukočeí -é oovy je áhodá velča V = T + T + T + T + L + T + T = U + T, kde doy ezpouchových povozů T ají sejou dsučí fukc F( ), ásledující doy opav T ají sejou dsučí fukc G ( ), =,,, přčež dsučí fukce F( ) a G ( ) jsou oecě ůzé, a všechy áhodé velčy T, T jsou vzájeě ezávslé. ohoovos K() je pavděpodoos, že ojek je v čase v ezpouchové povozu, edy +, = K () = V ( < U ) kde kladee V =. o Laplaceovy oazy pohoovos a husoy do ezpouchového povozu a opav plaí [4] L [ f( ) ] L [ K ( )] =, s L f ()L g() ( [ ] [ ]) kde s je koplexí poěá Laplaceova oazu. ohoovos je vzhlede k času sacoáí a její asypocká hodoa je zv. koefce pohoovos ojeku ET ( ) kp = K( ) =, ET ( ) + ET ( ) keý se dle zvyklosí ěkdy aké uvádí v %. Např. po expoecálí ozděleí doy ezpouchového povozu s paaee λ a expoecálí ozděleí doy opavy s paaee µ je koefce pohoovos k p µ =. λ + µ 6. Sofwae po výpoče spolehlvos syséu o příý výpoče spolehlvos RK () koovaého syséu ezávslých pvků ze zadaých ces eo ace sousedos a zadaých spolehlvosí R ( ) jedolvých pvků v lovolé čase yl pleeací JK-algou vyvu původí poga po C []. oga, keý yl vyvoře v pogaovací jazyce Bolad Delph 5 jako ásupce dřívějšího pogau, povádí výpoče ěkeých fukčích a číselých chaakesk spolehlvos syséu poocí algou a posupů z předcházejícího oddílu. Vsupí údaj, keé zadává užvael, jsou poče pvků syséu, sukua syséu, keou popsuje užvael uď poocí ace sousedos gafu syséu aeo poocí syséové fukce a fukce spolehlvos jedolvých pvků syséu R (), =,,...,, popř. čas, ve keé chce uč spolehlvos daého syséu. Sysé lze aké ačís z exového souou. Výsupí údaj, edy vlasě výsledky celého pogau, jsou ásledující fukčí chaakesky doy do pouchy syséu učeé po =, j. poocí odů, keé jsou v gafu spojey loeou čaou: fukce spolehlvos R(), dsučí fukce F(), husoa pavděpodoos f() a eza λ(). evě daý poče odů odpovídá výpoču celů doy do pouchy syséu. Další výsupí údaj jsou yo číselé chaakesky syséu vypočíaé uží výše popsaých eadčích ueckých posupů: sředí hodoa E(T), ozpyl D(T), sěodaá odchylka σ(t), vaačí koefce V(T) a spolehlvos syséu v přede zadaé čase. Výsledky včeě syséu lze ulož do exového souou. Na o. 6. až 6.5 jsou ukázky jedolvých oke pogau.

16 O. 6. O. 6. O. 6.3 O. 6.4

17 7. Sascké eody a aplkace O. 6.5 ř sledováí do ezpouchového povozu a do ůzých duhů údžy eálých ojeků učujee chaakesky jejch povozí spolehlvos sascký eoda. Jedá se o vyhodoceí sasckých souoů do do pouch a do opav, a o s ohlede a vlv dalších fakoů: duhy pouch, duhy údžy, povozí a opaváeské podíky aj. Z hledska eodky získáváí sasckých údajů lze hovoř o zkušeích pláech [] a specfckých posupech espekující požadavky užvaele daého ojeku a využívající jeho foačí syséy o povozí spolehlvos ohoo ojeku. Zkušeí plá (plá zkoušek) předepsuje kokéí posup povedeí zkoušky spolehlvos. Jeho ozačeí je koace ří píse v haaé závoce [,.,.], kde píseo a. ísě začí ozsah výěu (poče zkoušeých ojeků). Na. ísě je jedo z píse: U, jeslže eoovovaé ojeky ejsou po pouše ahazováy (jde o výě ez vaceí), R, jeslže eoovovaé ojeky jsou po pouše ahazováy ový (jde o výě s vaceí), M, jeslže se ojeky po pouše oovují. ísea a 3. ísě vyjadřují způso ukočeí zkoušky:, jeslže zkouška kočí po uplyuí saoveé doy,, jeslže zkouška kočí po saoveé poču pouch, s, jeslže zkouška kočí podle pavdel zv. eody posupé zkoušky, (, ), jeslže zkouška kočí po pouchách eo po doě. Např. [, U, ], edy =, je zkušeí plá, kdy pozoujee eoovovaých ojeků až do pouchy posledího ojeku. odle zkušeího pláu [, U, ] sledujee eoovovaých ojeků do oezeého poču pouch < a podoě podle zkušeího pláu [, U, ] sledujee eoovovaých ojeků po oezeou dou. Zkušeí pláy [, U, ] a [, U, ] se časo koují a základě skupové safkace. V ěcho případech jde o zv. cezoovaé áhodé výěy a jejch koace, keé vyžadují př zpacováí specfcké

18 sascké eody [3]. Jako příklad uveďe odový odhad sředí doy ezpouchového povozu expoecálího ozděleí, kdy po zkušeí plá [, U, ] íso ovyklého aeckého půěu je uo uží vzoec = ( ) +, = kde je poče poouchaých (eoovovaých) ojeků do doy ukočeí zkoušky. o zkušeí plá [, U, ] v uvedeé vzoc kladee = a =. Odhady paaeů dvoupaaeckého Weullova ozděleí pavděpodoos Bodové odhady paaeů a δ ovykle učujee eodou axálí věohodos. o zkušeí plá [, U, ] jde o učeí axa logau věohodosí fukce L(, δ ;,..., ) = exp = δ δ δ, po zkušeí plá [, U, ] pak o učeí axa logau věohodosí fukce L(, δ ;,...,, ) = exp exp = δ δ δ δ apod. Bodový odhad paaeu vau učíe dle ypu zkušeího pláu řešeí eleáí ovce z aulky 7., keá odpovídá axu věohodosí fukce. o eačí eodu řešeí éo ovce se časo volí saovací hodoa poocí vaačího koefceu získaého sasckého souou do do pouchy []. Tuo saovací hodou je aké ožo uč poocí sěce β egesí příky y = β + βx jedí ze dvou ásledujících posupů. Ze vzahu po dsučí fukc Weullova ozděleí odžíe po opakovaé logaováí vzah, keý se používá ke gafckéu esováí Weullova ozděleí, l l ( F ( )) = lδ + l, kde po výpoče egesí příky kladee y = l l ( F( ) ) = l l +, x l =. odoě ze vzahu po ezu pouch Weullova ozděleí získáe po logaováí vzah, keý se aké používá ke gafckéu esováí Weullova ozděleí, l λ( ) = l lδ + l, ( ) kde po výpoče egesí příky kladee y = l λ ( ) = l ( + ) +, x l =. o další výpočy pak volíe vzahy z aulek 7., 7.3 a 7.5.

19 Taulka 7. Zkušeí plá [, U, ] Rovce po odový odhad paaeu + l l = = = = + l l l + + = = = = [, U, ] ( ) ( ) + l l l + + = = = = [, U, ] ( ) ( ) [, M, ] + l l l + + = = = = = = = [, M, ] + l l = = = = oocí odhadu paaeu vau vypočee po daý zkušeí plá odový odhad paaeu ěříka δ ze vzahu z aulky 7..

20 Taulka 7. Zkušeí plá [, U, ] [, U, ] [, U, ] [, M, ] [, M, ] Bodový odhad paaeu δ = δ = = δ + ( ) = + ( ) = = δ + = = δ = = = δ o výpoče evalových odhadů δ ; δ, ; paaeů δ a se spolehlvosí α D H vypočee ejpve ozpyly D(.) podle vzahů z aulky 7.3, kde je a = δ. ozaeeje, že odhady z aulek 7. a 7. jsou koelovaé, akže po suláí evalový odhad vekou paaeů ( δ, ) je uo espekova jejch kovaac. D H

21 Taulka 7.3 Zkuše. D (.) Vzah plá a + (l ) [, U, ] [, U, ] [, U, ] [, M, ] [, M, ] D( a ) D ( ) Da ( ) D ( ) Da ( ) D ( ) Da ( ) D ( ) Da ( ) D ( ) 4 a = a + (l ) l a = = a a + (l ) l a = = 4 (l ) ( ) a + (l ) a + = a + (l ) ( ) (l ) l ( ) l a + + = = a a + (l ) ( ) (l ) l ( ) l a + + = = 4 ( ) ( ) a + l ( ) l a + = a + (l ) ( ) (l ) l ( ) l a + + = = a a + (l ) ( ) (l ) l ( ) l a + + = = 4 a + (l ) l + a = = = a + a (l ) l l l + + = = = = = = a + a (l ) l l l + + = = = = = = a a a a 4 + (l ) a = + a (l ) l = = a + a (l ) l = =

22 Kofdečí eze po evalové odhady δ ; δ, ; paaeů δ a se spolehlvosí α učíe z aulky 7.4, kde je u α / D H ( α /) D H - kval oovaého oálího ozděleí pavděpodoos N(;), specálě po α =,95, esp.,99, je u =,96, esp. u,995 =,576. Do kofdečích ezí pak dosazujee po daé zkušeí pláy hodoy z aulek 7., 7. a 7.3. Uvedeé odhady jsou dvousaé, avšak jedoduchou úpavou z ch ůžee získa odhady jedosaé. Taulka 7.4 aae Dolí kofdečí ez δ D a D δ u D( a) δ α / Hoí kofdečí ez δ H a H δ + u α / ( ) D a u D( ) + u D( ) α / α / Sascké eody po výpočy spolehlvosích chaakesk jsou v ůzých ozsazích pleeováy v ěkeých pofesoálích sasckých sofwaových podukech po C (jde apř. o sofwae STATISTICA, S LUS, QCExpe, STATGRAHICS). Nejčasěj se po vyhodoceí spolehlvos používají yo sascké eody [5,6]: a) opsá saska všech zvoleých zaků poocí oeových a kvalových číselých chaakesk polohy, vaaly, škos a špčaos souoů a jejch gafckého vyjádřeí poocí hsogaů, kacových a sloupcových gafů a gafů závslosí, příp. aké poocí aeovy aalýzy. ) Nalezeí a esováí ozděleí pavděpodoos doy ezpouchového povozu a doy údžy (pouchového posoje, peveví údžy apod.) po elac heeogey sasckého souou (odsaěí exéích hodo a vlvu dalších fakoů) a případé asfoac. c) Bodové odhady a evalové odhady číselých chaakesk spolehlvos a paaeů ozděleí pavděpodoos uvedeých áhodých velč, přčež u paaeů převládají axálě věohodé odhady (vz apř. výše uvedeé odhady paaeů Weullova ozděleí). d) aaecké a epaaecké esy hypoéz o číselých chaakeskách a paaeech ozděleí pavděpodoos doy ezpouchového povozu a doy údžy, případě jejch poováí po safkac souou vzhlede ke duhů pouch a údžy. e) Aalýza ozpylu a epaaecké esy po posouzeí vlvu duhů pouch a údžy a dou ezpouchového povozu a dou oovy. f) Víceozěé eody a egesí aalýza po posouzeí a vyjádřeí závslos sledovaých áhodých velč a jejch dyaky. Jako příklady použí ěkeých z uvedeých sasckých eod po vyhodoceí povozí spolehlvos lze uvés ásledující výsledky zpacováí sasckých souoů a C.,975

23 říklad 7. Dlouhodoý sledováí yly získáy údaje o doách ezpouchového povozu a doách údžy oovovaého eegeckého zařízeí. Zpacovaý sascký souo o ozsahu = 76 yl sulová a základě eálých da důvěého chaakeu jako ealzace ecezoovaého výěu. Na ukázku uvádíe čás získaých výsledků:. Bodové a evalové odhady číselých chaakesk ozděleí pavděpodoos doy ezpouchového povozu: Cou = 76 Aveage = Meda = Vaace = 843. Sadad devao = Sadad eo = Mu =. Maxu = 49.8 Rage = 49.7 Lowe quale = Uppe quale = Iequale age = 99.4 Skewess =.7493 Sd. skewess =.875 Kuoss = 3.8 Sd. kuoss =.9 Coeff. of vaao =.8% Su = % cofdece eval fo ea: / [7.4; 95.93] 95.% cofdece eval fo sadad devao: [67.5; 36.65]. Jako ejlepší ozděleí pavděpodoos doy ezpouchového povozu ylo alezeo ozděleí Weullovo. Too ozděleí ylo esováo poocí esu chí-kvadá. Byly ověž učey odové a evalové odhady paaeů a kvalů ozděleí (Shape =, Scale = δ ): Ch-Squae = 6.36 wh 8 d.f. -Value =.6754 Maxu log-lkelhood = Shape = Scale = 3.96 Cofdece eval fo shape: [.75;.87733] Cofdece eval fo scale: [99.473; 7.68] ecele Lowe Esae Uppe Bodový a evalový odhad koefceu povozí pohoovos k p : Esae Sd. Eo Lowe L Uppe L

24 4. Gafy:

25 s p olehlvos S p olehlvos zařízeí (W eull Dsuo) doa ezp o. p ovozu (hod.) odhad dolí hoí lo of koefce povozí pohoovos vs doa povozu koefce povozí pohoovos (X ) doa povozu [hod.] říklad 7. Sulací a C Weullova ozděleí W(, δ) s paaey =,5 a δ = hod. yl získá uspořádaý sascký souo do do pouchy v hodách o ozsahu = 5: 7,9 4, 5,6 53,5 56, 75, 8,3 83, 83,3 87,7 9,9 97,8 97,9,7 7,8 9,8,6 3,9 33,6 37,4 4, 44, 44, 56,5 58, 6,6 7,5 75, 75,5 84,5 9,4 97,9 6,6 9,7 4,,5 5,4 35, 39,4 4, 5,8 56, 65,4 67,8 76,7 78, 8,3 83, 9,3 39,. o sascký souo se vše hodoa (ez cezoováí) yly vypočey odhady paaeů a kvalů:

26 Model fg esuls (oaly plo): SOL.oud aaee esaes: shape =.486 scale = 9.83 ecele Esae Dsuo: Weull Cesog: Coplee Model fg esuls (Hazad plo): SOL.oud shape =.838 scale = Dsuo: Weull Cesog: Coplee Model fg esuls (Maxu Lkelhood Esao): SOL.oud Maxu log-lkelhood = shape =.356 scale = 89.9 Cofdece eval fo shape = Cofdece eval fo scale = ecele Lowe Esae Uppe Dsuo: Weull Cesog: Coplee

27 Na ásledující oázku je zázoě gaf vypočeých evalových odhadů kvalů eodou axálí věohodos se spolehlvosí 95%. Kvalový gaf - evalový odhad %. o cezoováí sasckého souou doou 5 hod., keá ahazuje učě ozačeé hodoy v aulce (avšak odpovídá ezpouchové savu v daé doě), yly vypočey odhady paaeů: Model fg esuls (oaly plo): SOL.cez aaee esaes: shape =.98 scale = ecele Esae Dsuo: Weull Cesog: Type I Model fg esuls (Hazad plo): SOL.cez shape =.453 scale = 9.39 Dsuo: Weull Cesog: Type I

28 Model fg esuls (Maxu Lkelhood Esao): SOL.cez Maxu log-lkelhood = -4.5 shape =.4988 scale = Cofdece eval fo shape = Cofdece eval fo scale = ecele Lowe Esae Uppe Dsuo: Weull Cesog: Type I Na ásledující oázku je zázoě gaf vypočeých evalových odhadů kvalů eodou axálí věohodos se spolehlvosí 95%. Kvalový gaf - evalový odhad % oováí získaých výsledků po ecezoovaý a cezoovaý souo sado zjsíe, že cezoováí á ezaedaelý vlv a vaalu a přesos odhadů. Cezoováí je ale ovykle vyuceo oezeou ožou doou zkoušek. V případě zaedáí cezoovaých da př výpočech ycho získal espávé výsledky a závěy.

29 8. Závě oleaka sledováí a vyhodocováí povozí spolehlvos výoků a zařízeí je vel ozsáhlá a z hledska aplkace sasckých eod poěě složá. Získaé výsledky však ají ořádý výza jak po výoce, ak po užvaele. V současé doě ož asazeí odeích sasckých eod a využí foačích syséů uožňuje dosáhou dosaečě věý oaz o výzaých vlasosech sledovaých ojeků z hledska jejch pouchovos, žvoos a udžovaelos. Meody eoe spolehlvos poo ezasupelě paří do koplexu eod sasckého řízeí jakos a jejch opoíjeí á za ásledek ekoocké záy výoce a sížeou důvěu užvaele. Leaua. Něec, J. Sedláček, J. a kol. Spolehlvos sojích zařízeí. aha, SNTL/Alfa Bílý, M. Sedláček, J. Spoľahlvosť echackých košukcí. Baslava, Veda Ieso, W. G., Relaly Hadook Egeeg ad Maagee. New Yok, McGaw- Hll Scheewes, W. Teóa spoľahlvos. Baslava, Alfa Melou, M. Mlký, J. Sascké zpacováí expeeálích da. aha, lus Kupka, K. Sascké řízeí jakos. Tloye, aduce 997. ISBN X 7. Kapíšek, Z. Jelíek,. Sochascké eody aalýzy spolehlvos. I: Soík kofeece Aalýza da /II Modeí sascké eody. Lázě Bohdaeč 3...., s ISBN Kapíšek, Z. Jelíek,. Dosál,. Učeí spolehlvos syséu poocí jedé věy z eoe gafů. I: Soík z. seáře Modeí aeacké eody v žeýsví v Dolí Loé u Jalukova Osava, s. 9-95, ISBN Kapíšek, Z. Jelíek,. Dosál,. - Douavský, K. Algous a uecká ealzace výpoču chaakesk spolehlvos syséu. I: Soík z. seáře Modeí aeacké eody v žeýsví v Dolí Loé u Jalukova Osava, s ISBN Kapíšek, Z. Jelíek,. Fuzzy sochascké eody odelováí spolehlvos. I: Soík celosáího seáře Aalýza da /II. Lázě Bohdaeč , p. 9-3, ISBN Dosál,. Spolehlvos sousavy pvků 5.. oga po C. OSNM ÚM FSI VUT, Bo 3.. NORMY ČSN: 3, ISO 9-4/IEC 3-, 6, 6, 66, 6, 63, 64, 65, 65, 66, IEC 8, IEC 78, EN 63-, IEC 3-/ISO 9-4, IEC 3-3-, IEC 3-3-, IEC 3-3-3, IEC 3-3-4, IEC 3-3-9, IEC 63-3-, IEC , IEC , 8 3, EN 669-5, 6 74, 3 986, 34 67, EN , EN 675. Refeá je součásí řešeí výzkuého záěu CEZ: J/98: 69 Neadčí eody suda koplexích a eučých syséů.