Počet differenciální Obsah In: Karel Petr (author): Počet differenciální Část analytická (Czech) Praha: Jednota československých mathematiků a fysiků, 1923 pp [IX] XVI Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/402688 Terms of use: Jednota československých mathematiků a fysiků Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use Each copy of any part of this document must contain these Terms of use This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://dmlcz
O B S A H Část prvá Základní pojmy a pomůcky I Úvod Čísla irracionálná 1 3 Některé připomínky o číslech racionálných 4 5 Definice řezu v souhrnu čísel racionálných G Definice čísel irracionálných 7 O rozšíření základních operaci arithm pro čísla irracionálná 8 Sčítání jčísel reálných 9 Násobení čísel reálných I 10 Opětované provádění sčítání a násobení čísel reálných 11 Odčítání čísel reálných 12 Dělení čísel reálných ]3 Odčítání a dělení čísel reálných jsou výkony jednoznačné 14 Porovnání čísel reálných dle velikosti 15 Mezi dvěma různými reálnými čísly jest nekonečné množství čísel racionálných 16 Souhrn čísel irracionálných jest všude hustý 17 Definice řezu v souhrnu čísel reálných všude hustém, 18,Absolutní hodnota čísel reálných a příslušné věty 19 n-tá odmocnina z reálného čísla 20 Mocnina s reálným exponentem 21 'Definice lognrithmu 1 2 o 6 7 7 9 9 10 11 12 12 12 13 16 16 18 19 II O limitách 22 Množství číselná 23 Veličina proměnná a některá jiná často používaná pojmenování a zkratky, 24 Horní a dolní hranice množství číselného 25 Body zhuštění, 26 Definice, limity 27 O existenci limit v řadách čísel stále rostoucích (klesajících) 28 Věta Bolzano-Cauchyova 29 Nej větší a nejmenší z limit 30 Pravidla pro počítání s limitami 20 21 22 23 25 25 27 29 3u
X 31 Některé další věty o limitách -32 Příklady pro počítání limit 33 35 Užití pojmu limity a příslušných vet k definici funkce e x a čísla e " 36 Přirozený logarithmus 37 Několik limit 38 Eulerova konstanta jako limita 34 37 39 43 46 47 III Součty nekonečných řad, nekonečné součiny 39 Definice součtu a konvergence nekonečné řady - 40 Nutná a postačující podmínka pro konvergencprady nekonečné^ 41 Některé z definice pí-ímo vyplývající věty o konvergenci rad Konvergence absolutní a relativní 42 Nekonečné řady s kladnými členy 43- Některá specielní kriteria pro konvergenci řad s kladnými členy 44 Kriteria limitní pro konvergenci řad s klad cleny 45 ifady s kladnými, fe rostoucím indexem ubývajícími členy 46 fíady absolutně konvergentní,, 17 Hady relativně konvergentní 48 fiady alternující 49 Kada Vj - V2 + Va U + -50 Věta Eiemannova pro řady relativně konvergentní 51 Dirichletovo a Ábelovo kriterium konvergence 52 Skládání a rozkládání nekonečných řad 53 Řady dvojné : 54 Transformace Olausenova 55 Sady množné (o členech s několika indexy) 56 Násobení íad ' 57 O numerickém výpočtu součtu nekonečných řad 58 Eulerova transformace nekonečné rady 59 Kummerova methoda pro výpočet součtu nekonečných řad 60 Nekonečné součiny Definice konvergence 61 Součiny, v nichž čísla Ut jsou vesměs téhož znaménka 62 Součiny absolutně konvergentní 63 Jiné odvození vět o součinech absol konvergentních 64 Dvojné součiny 65 Součiny relativně konvergentní i IV Funkce jedné proměnné; zvláště funkce spojité ( 6 67 68 69 70 71 72 73 Pojem funkce Některé jednoduché funkce Funkce konečná Konečný obor Oscilace funkce Věta o horní hranici hodnot funkce konečné Intervaly zavřené a otevřené O limitách funkcí Jiné limitní pojmy při funkcích o jedné proměnné Funkce inonotonni, ryze monotonní Horní a dolní limita funkční 48 50 52 54 _56 57 61 63 64 65 66 66 68 70 71 72 73 75 78 80 82 87 89 91 92 93 94 96 97 99 100 100 102 103 104
XI StrRn 74 O podmínkách pro existenci limity funkce 75 Věta Bolzano-Cauchyova o limitách funkcí 76 Funkce spojité 77 81 Základní věty o funkcích spojitých 82 Funkce inversní 83 NTěkteré příklady diskontinuit» 105 106 10,í 107 Hp 113 V Přehled o funkcích elementárních Funkcionální rovnice 84 Elementární funkce 85 Řešeni funkcionální rovnice f (x) + / (x'j =f 86 Kešení dalších rovnic funkcionálních 87 Věta binomická 88 Rozvoj logarithmický 89 90 Funkce goniometrické 91 Rozvoj funkce sin x v nekonečný součin 92 Formule Wallisova 93 Rozvoj cos x v nekonečný součin 94 Funkce cyklometrické (x + x') 115 116 H 119 120 12 129 130 130- Část druhá Počet diferenciální pro fankci o jedaé proměnné VI Derivace funkce jedné proměnné 1 Základní definice 95 96 97 98 99 100 Definice derivace V bodě, ve kterém má funkce derivaci, jest funkcí spojitou Geometrický význam derivace Pravidla pro počítání derivací : Derivace elementárních funkcí Některá rozšíření pojmu derivace Derivace zprava a derivace z leva ]01 Derivace funkce v intervalu Primitivní funkce 2 Včti/ obecné o derivaci 102 103 104 105 106 107 108 109 Funkce rostoucí (klesající) v bodě Věta Rolleova Věta o střední hodnotě Geometrické znázornění věty o střední hodnotě Zobecnění věty o střední hodnotě Některé jednoduché důsledky věty o střední hodnotě Funkce rostoucí (klesající) v intervalu Derivace v okolí bodu, ve kterém má funkce diskontinuitu 134 135 135 136 140 142 144-146 147 148 148 149 150 151 152
XÍI 110 112 O funkcích, jež mají derivaci ve všech bodech intervalu (a, b) ' 113 O funkcích graficky zobrazitelných (o čarách názoru přístupných) 114 O funkcích spojitých nemajících derivace 115 Čtyři čísla derivovaná 3 Příklady pro vžití věty o střední 116 117 118 119 153 150 161 168 hodnotě Vyjádření funkcí arctg x a log ( l + z ) polynomy Definice cos x, sin x rovnicemi differenciálními Kriterium konvergence Cauchvovo Stanovení zbytku řady 4 O nekonečných radiích, jichž členové jsou funkce proměnné 171 172 171 175 veličiny 120 Stejnoměrná konvergence nekonečných rad 121 Stanovení primitivní funkce ku funkci dané řadou stejnoměrně konvergentní v (a, b) 122 Výpočet lim («! (x) + Ma (x) + v3 (x) - ( - ), je-li neko1=10 nečná rada v okolí bodu x0 stejnoměrně konvergentní Derivace nekonečné řady 123 Konvergence zpola stejnoměrná nekonečných řad 124 124* Rozšíření vět odst 122 124** Podmínky pro platnost rovnice lim [lim«,,,] = lim [lim«id ] ZJ=CG D H M=0» 176 179 180 182 183 186 VE Derivace vyšších řádů; řada Taylorova a řady mocninné vůbec, příslušná použití 1 Definice derivaci vyšších, řádil 125 126 127 128 129 Definice derivací vyšších řádů Některé jednoduché příklady Leibnicova formule Funkce liché a funkce sudé Derivace vyšších řádů jakožto limity Označení differenc-iální, 2 Formule 130 131 132 133 Taylorova Úkol formule Taylorovy Odvození formule Taylorovy Zbytek (člen doplňující) ve formuli Taylorově Sada Taylorova (Maclaurinova) 3 Použití řady Taylorovy na elementární funkce počtu těchto funkci 134 Exponenciální funkce 1-35 Funkce cos x sin x 189 190 191 191 194 a o numerickém, 196 197 198 199 vý- 201 202
XIII 136 V ě t a b i n o m i c k á 137 138 139-140 141 202 fiada logarithmická O počítání tabulek logarithmických Funkce are tg x a výpočet čísla JI Funkce are sin a; Příklad rozvoje složitější funkce ' Ji Základní věty o řadách 205 208 209 210 212 potenčních (mocniných) '-142 Poloměr konvergence mocninné řady 143 145 fiada mocninná jest uvnitř intervalu konvergentního funkcí spojitou, mající derivaci Výpočet této derivace Rozvoj rady potenční v řadu Taylorovu 146 Body nullové uvnitř intervalu konvergenčního jsou body isolované Věta o neurčitých součinitelích 147 Pokračování analytické u funkce dané řadou potenční 148 Potenční řady na hranici intervalu konvergenčního 149 150 Věta Ábelova 151 Césarovy arithmetické středy 152 Majorantní funkce (řada) 153 Dosazení řady potenční do jiné rady potenční 154 Dělení řadou potenční, 155 Funkce inversní ku funkci dané řadou potenční 5 Některé, příklady 156 157 158 159 160 161 162 k užití obecných vět o řadách 214 216 220 223 226 227 229 231 232 234 235 mocninných Rozvoje funkcí cos n (are sin x), sin n (are sin >:) 239 Rozvoj jistých nekonečných součinů v řady mocninné 2 4 1 Rozklad funkce ('-'x + e x ) v nekonečný součin 243 Čísla Bérnoulliská 244 Rozvoje funkcí tg x, cotg a;, sec x, cosec x 245 n-tá derivace funkce funkce 247 Řada Lagrangeova, Burmannova 251 6 Pravé hodnoty výrazů 163 Význam, rčení»pravá hodnota«164 Limita podílu spojitých funkcí 165-Další věty pro limitu podílu 166 Věta l'hospitalova 167 168 Rozšíření výsledků odst 165 169 Různé obraty vhodné pro výpočet limit 7 O maximech a minimech neurčitých funkce jedné ; 25S 259 261 263, 264 268 proměnné 170 Definice absolutního extrému 171-Relativní extrém (maximum, minimum) 112 Podmínky pro relativní extrém 73 Přiklad 174 Relativní extrém v bodech, ve kterých funkce nemá derivaci 270 271 272 278 218
XIV Č á s t třetí Počet differenciální pro funkce o několika proměnnách VIII Základní pojmy, u funkcí o několika proměnných 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 191 Dvě neodvisle proměnné; obor dvojice neodvisle proměnných Odchylka (vzdálenost) dvou bodů Okolí bodu Hranice oboru V každém oboru 2 (nehledě k oborům»celým«) jsou body hraniční Obory konečné Body zhuštění Funkce dvou proměnných Funkce konečná Věta o horní hranici funkce v konečném oboru Limita řady bodové Limita funkce o dvou proměnných Několik proměnných (základní pojmenování a věty) Funkce o «proměnných Obory pro neodvisle proměnnou nejčastěji používané Funkce spojitá n proměnných Základní vlastnosti funkcí spojitých a, b Rozšíření vět o funkcích spojitých 280 282 283 284 286 286 28? 288 289 289 290 291 292 294 294 295 296 298 IX Derivace a differenciály funkcí o několika proměnných 192 Derivace parcielní funkcí o dvou proměnných 193 Differenciály parcielní (částečné) 194 Differenciál totální funkce o dvou proměnných 195 Podmínky, aby funkce měla totální differenciál 196 197 Derivace a differenciály funkcí složených 198 Derivace parcielní druhého řádu 199 Druhá věta udávající podmínky pro záměnnost pořadu derivací 200 Derivace vyšších řádů 201 Totální differenciály vyšších řádů při funkcích o dvou prom 201«Jiná definice totálních differenciálů 202 O rovnicích mezi differenciály 203 Derivace parcielní funkcí o více proměnných 204 Totální differenciál funkce o několika proměnných 205 Částečný differenciál funkce o několika proměnných 205n Podmínky pro existenci totálního differenciálů v daném bodě 206 Derivace parcielní a totální diff vyšších řádu u funkcí o více proměnných 207 Derivace a differenciály funkce funkcí Věta Eulerova pro homogenní funkce 208 Formule Taylorova pro funkce o několika proměnných 301 302 302 304 306 309 312 312 313 315 316 318 319 320 321) 321 322 324 325
XV Bady mocninné o dvou a několika proměnných 209 210 211 212 '213 214 215 216 Definice a základní věta Obor konvergence Druhá základní věta Příklady Derivace parcielní mocninných řad o dvou proměnných Derivace vyššího řádu Věta o neurčitých součinitelích Věta Taylorova pro mocninné řady o dvou proměnných Majorantní funkce, Dosazování řad mocninných do rad mocninných o dvou měnných 217 fiady mocninné o více proměnných, 327 328 330 332 332 335 336 pro33 Í 339 X Funkce implicitní Funkcionální determinanty 218 219 220 221 222 223 224 225 Definice implicitní funkce 340 Implicitní funkce o jedné neodvisle proměnné 340 Jiný důkaz a rozšíření věty o implicitní funkci 342 Další zobecnění věty o implicitních funkcích 346 Výpočet derivací vyšších řádů u funkcí implicitních 349 Funkcionální determinant 350 Věty o funkcionálních determinantech 352 Funkce závislé 355 Řešení m lineárních rovnic o n neznámých " 359 Kvadratická forma, jejíž diskriminant jest hodnosti n-té 369 XI Záměna proměnných 3>61 22G 227 228 229 230 231 232 1 Úkol Zavedení nové neodvisle proměnné 11 Úkol Zavedení nových neodvisle proměnných Zavedení polárních souřadnic do differenciálních parametrů Orthogonální substituce Transformace differenciálních parametrů orthog subst Doplněk k větě Eulerově o homogenních funkcích Transformace funkcionálního determinantu obecnou lineární substitucí '233 Polárn,, 234 Hessien; diskriminant kvadratické formv '235 Obecné substituce orthogonální '236 Souřadnice elliptické '237 111 Úkol Zavedení nové neodvisle i odvisle proměnné 238 239 IV Úkol Zavedení nových neodvisle a zároveň nové odvisle proměnné 240 Jiná methoda pro řešení IV úkolu 241 Invarianty differenciální pro orthogonální substituci 362 364 367 368 369 370 372 373 373 374 373 380 383 386 389 XIP O maximech a minimech funkcí o několika proměnných 242 Definice a nutné podmínky pro existenci extrému 243 244 Postačující podmínky 390 392
XVI Oditavec 245 Nutné a postačující podmínky, aby kvadratická forma byla formou kladnou 24C Vyslovení postačujících podmínek pro existenci extrémů na základe věty odst predch Příklady 247 Důkaz fundamentální věty algebry 248 Relativní extrémy implicitních funkcí 249 Extrémy vázané,,,,, 250 Methoda multiplikátorů (Lagrangeova) Příklady Věta Hadamardova o determinantech 251 Základní věta o dvou formách kvadratických 394 398 405 407 411 411 420 425 XIII O užití řád potečních ku vyšetřování funkcí implicitních 252 O funkcích implicitních v případě, že levé strany rovnic je definujících jsou dány potenčnúni řadami 253 Rozšířeni věty o implicitních funkcích pro libovolný počet rovnic (a odvisle proměnných) 254 Ííada Lagrangeova pro několik proměnných 255 Věta Weierstrassova 25(5 Definice rčení:»funkce y proměnné x jest v bodě x -0 řádu «v a:«polygon Newtonův 257 258 Užití věty Weierstrassovy k dalšímu rozkladu rovnice definující implicitní funkci y proměnné x ' 259 Vyšetřování faktorů tak vzniklých 260 Stanovení implicitních funkcí řadami v nejjednodušším případě, \ 261 Jlesení iiplné 262 Přehled vylíčeného postupu Příklad 263 Případ semidefinitní při vyšetřování extrému u funkcí o dvou proměnných Opravy 430 432 434 441 446 448 452 454 456 460 463 466