Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010
Metody vícekriteriální hodnocení variant (VHV) Jak jsme již zmiňovali, VHV obecně neposkytuje jedno jediné řešení a výsledné řešení je ovlivněno volbou vah a použitou metodou. V této části se budeme podrobněji zabývat jednotlivými metodami VHV a metodami volby vah.
Ordinální a kardinální informace Metody vícekriteriální optimalizace (resp. metody volby vah) se liší mj. tím, zda nám dávají ordinální či kardinální informace o pořadí jednotlivých variant (resp. důležitosti jednotlivých kritérií) a zda pro své použití potřebují ordinální či kardinální informace o jednotlivých variantách vůči jednotlivým kritériím (resp. o preferenci jednotlivých kritérií zadavatelem).
Ordinální a kardinální informace Ordinální a kardinální informace Ordinální informace nám pouze udává pořadí. Je-li výsledkem vícekriteriální optimalizace ordinální uspořádání jednotlivých variant, dozvíme se, jaká varianta se jeví jako nejlepší, která jako druhá nejlepší. Ale ordinální informace neudává, o kolik je první varianta lepší než druhá. Abychom mohli říci, o kolik je první varianta lepší než druhá, k tomu potřebujeme právě kardinální informaci. Právě tak, pokud máme pouze ordinální informaci o jednotlivých variantách z hlediska nějakého kritéria, známe pořadí variant z hlediska tohoto kritéria, ale už nevíme, o kolik je první varianta lepší než druhá (k tomu bychom opět potřebovali kardinální informaci). A tedy máme-li pouze ordinální informaci, nemají smysl aritmetické operace.
Metody volby vah Co jsou to váhy? Váhy číselně odlišují jednotlivá kritéria z hlediska jejich významnosti, čím je kritérium pro zadavatele důležitější, tím větší váhu má přidělenu. Požaduje se, aby váhy byly nezáporná čísla a často navíc, aby byly tzv. normované, tzn. aby jejich součet byl 1.
Metody volby vah Stanovení vah Volba vah je subjektivní. Vzhledem k tomu, že analýzu provádíme pro nějakého zadavatele, je zapotřebí volbu vah především konzultovat se zadavatelem. Mnohdy je vhodné provést volbu vah ve více krocích nejprve prodiskutovat se zadavatelem jeho postoj k jednotlivým kritériím, poté na tomto základě navrhnout váhy. Dále tyto váhy znovu prokonzultovat se zadavatelem a popř. je upravit.
Základní metody stanovení vah Metoda stejné důležitosti V případě, že nemůžeme od zadavatele získat žádnou informaci o preferenci jednotlivých kritérií, nebo zadavatel se sám nedokáže rozhodnout, které ze zadaných kritérií je pro něho důležitější než jiné, nezbude nám, než všem kritériím přiřadit stejnou váhu. A protože součet vah má být roven 1, bude váha každého kritéria 1 n, kde n udává počet kritérií.
Základní metody stanovení vah Metoda pořadí Jedná se o metodu, která je založena na ordinální informaci o preferenci jednotlivých kritérií. Pro využití této metody potřebujeme znát od zadavatele pořadí, v němž preferuje jednotlivá kritéria. Potom už stačí přiřadit jednotlivým kritériím body, a to sestupně dle pořadí, přičemž nejdůležitější kritérium má tolik bodů, kolik máme kritérií, druhé nejdůležitější o bod méně, atd. Tudíž, nejméně preferované kritérium má jeden bod. Na závěr sečteme přidělené body a tímto součtem všechny přidělené body vydělíme, čímž získáme váhy jednotlivých kritérií. Touto normalizací dosáhneme toho, že součet vah bude 1.
Základní metody stanovení vah Metoda bodovací Metoda bodovací je obdobná jako metoda pořadí, ale na rozdíl od metody pořadí vyžaduje (a tedy ve výsledku i udává) kardinální informaci o preferencích jednotlivých kritérií. Tato metoda požaduje od zadavatele, aby každému kritériu přiřadil nějaký počet bodů, podle toho, jak moc toto kritérium preferuje (čím více bodů, tím silnější preference). Potom se opět sečte počet přidělených bodů a váhy získáme podělením přidělených bodů jejich součtem. Při této metodě se někdy udává horní hranice udělených bodů (např. 10 či 100), jindy se to nechává na zadavateli. Alternativou, která se ale jeví jako dosti těžko použitelná, je alokace 100 bodů mezi všechna kritéria.
Základní metody stanovení vah Fullerova metoda Fullerova metoda je ve své podstatě bodovací metoda a užívá se především v situacích, kdy pro velký počet kritérií je pro zadavatele obtížné obodovat jednotlivá kritéria. Pro použití této metody postačí zadavateli, když dokáže rozhodnout o důležitosti kritérií vždy pouze mezi dvěma (přičemž může říci, že dvě kritéria jsou pro něho stejně důležitá). Princip této metody spočívá v tom, že zadavateli jsou postupně předkládány dvojice jednotlivých kritérií (tak, aby mu každá možná dvojice byla předložena právě jednou), zadavatel z této dvojice určí to kritérium, které je pro něho důležitější (v případě, že jsou obě stejně důležitá, může přiřadit například půl body) a tomu přidělí bod. Na závěr se sečte počet bodů přidělený jednotlivým kritériím a normalizací získáme váhy.
Základní metody stanovení vah Fullerova metoda modifikace Jedna z možných modifikací této metody je, každému kritériu navýšit počet získaných bodů o jeden bod a teprve potom provést normalizaci. Je to proto, aby kritérium, které nezískalo žádný bod mělo nenulovou váhu. Poznámka V případě, že zadavatel má jasno v pořadí kritérií a použije se modifikace Fullerovy metody, získáme stejné výsledky jako při metodě pořadí.
Metody úprav zadaných dat Jak uvidíme nadále, většina metod požaduje, aby kriteriální matice obsahovala číselné hodnoty (které mohou mít buď ordinální nebo kardinální charakter). Ovšem v praktických úlohách leckdy zadané hodnoty nejsou číselné. Číselné hodnoty bývají typicky kardinální informace o variantě požadovaný plat, vzdálenost, doba trvání, počet zákazníků atd. a někdy ordinální varianty jsou z hlediska některého kritéria seřazeny podle preference apod. Ovšem někdy se vyskytuje hodnocení varianty podle kritéria, které nemá ani ordinální ani kardinální charakter, viz úvod do statistiky. Jedním z příkladů je bivalentní kritérium např. možnost připojení na internet ano-ne, další možností je slovní ohodnocení varianty podle kritéria, apod.
Metody úprav zadaných dat chybějící hodnoty Dalším problémem, se kterým se setkáváme při vícekriteriální optimalizaci, jsou chybějící hodnoty. Například nemáme informace o nějaké variantě podle nějakého kritéria. Zde je zapotřebí rozlišit dva základní případy, a to situaci, kdy nám informace chybí omylem, tj. informace nebyla nalezena pravděpodobně z důvodu, že dodavatel dat nepokládal tuto informaci za nutnou (například rozměr nějakého zařízení). A situaci, kdy informace chybí záměrně dodavatel dat se rozhodl tuto informaci zatajit (například vodní sloupec u stanů prodávaných v supermarketech).
Metody úprav zadaných dat stejný typ účelové funkce Někdy máme v zadání kritéria minimalizační i maximalizační a zvolená metoda vyžaduje všechna kritéria stejného druhu, resp. všechna kritéria maximalizační. Stojíme tedy před problémem, jak převést minimalizační kritérium na maximalizační, popř. naopak. Možností je několik, ovšem vždy je zapotřebí vzít v potaz charakter kritéria a metodu, kterou chceme použít.
Metody úprav zadaných dat stejný typ účelové funkce Pravděpodobně nejsnazší možností je použít převrácenou hodnotu kritéria. Máme-li funkci f (x) maximalizovat, potom je to totéž (pokud funkce nenabývá nulové hodnoty) jako minimalizovat 1 funkci f (x). Ovšem převrácená hodnota často mívá problematickou ekonomickou interpretaci a pro některé metody je naprosto nevhodná. Podobnou možností je použít transformaci min j r ij r ij (min j r ij rozumíme minimální dosaženou hodnotu v daném kritériu (tedy optimum)). Výhodou této transformace je, že máme zaručeno, je takto transformované hodnoty jsou menší nebo rovné jedné, přičemž hodnota jedna je optimální. (Všimněme si, že tuto metodu nelze použít, pokud některá varianta nabývá v daném kritériu hodnoty 0.)
Metody úprav zadaných dat stejný typ účelové funkce Jinou možností, jak převést minimalizační kritérium na maximalizační, je transformace pomocí operátoru, tedy použití opačné hodnoty. Opět je zřejmé, že pokud máme funkci f (x) minimalizovat, pak je to totéž jako maximalizovat funkci f (x). Možností tedy je, každé hodnotě přiřadit její opačnou hodnotu. Tato operace má však několik nevýhod. Jednak velmi často máme všechna čísla v kriteriální matici nezáporná, a touto operací vyrobíme v kriteriální matici sloupec nekladných hodnot. Druhou nepříjemností je, že v mnoha využívaných metodách se normuje optimem, jímž po této transformaci nezřídka bývá nulová hodnota.
Metody úprav zadaných dat stejný typ účelové funkce Proto se velmi často využívá modifikace této transformace, a to, že se kriteriální hodnota odečítá od nějaké před stanovené konstanty. Typicky touto konstantou bývá bazální (tedy maximální) varianta v tomto kritériu. Transformace je tedy max r ij r ij. j Tato volba má obecně velmi dobrou ekonomickou interpretaci. (Představme si, že máme jako kritérium dobu strávenou na cestě do práce a toto kritérium je pro nás minimalizační. Najdeme-li maximální hodnotu tohoto kritéria a přepočteme-li všechny hodnoty tak, že od této maximální hodnoty odečteme dobu strávenou na cestě do práce při dané variantě, potom nám výsledná čísla udávají úsporu času oproti nejhorší alternativě.)
Metody úprav zadaných dat stejný typ účelové funkce Avšak právě volba této transformace může následně u mnohých metod vést k porušení požadavku na invarianci vůči přidané dominované variantě. Tento problém odstraníme, pokud před transformací použijeme konjuktivní metodu. Tj. stanovíme si maximální (nejhorší přípustnou) hodnotu transformovaného kritéria, pokud některá varianta tuto podmínku nesplňuje, vyřadíme ji z hodnocení, a poté transformujeme kritérium vůči takto zvolené hodnotě. Tedy nové hodnoty stanovíme jako d j r ij, kde d j je právě zvolená maximální hodnota tohoto kritéria. (Například si řekneme, že nechceme do práce cestovat déle než 40 minut. Pokud se v hodnocení objeví varianta, v níž cesta do práce trvá déle, potom tuto variantu vyřadíme. A dobu cesty do práce transformuje tak, že vždy spočteme, jaká je úspora času při cestě do práce v dané variantě oproti 40 minutám (40 r ij ).)
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Úprava kriteriální matice Podobně jako si před použitím metod vícekriteriální optimalizace upravujeme kriteriální matici do požadovaného tvaru, stejně si můžeme před použitím těchto metod upravit i počet zvažovaných variant. (Tj. redukovat počet řádků kriteriální matice.) Jako první možnost se nabízí vyřazení dominovaných variant (dominované varianty nemohou být zvoleny jako optimální a redukce matice nám usnadní práci a učiní naši práci přehlednější).
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Úprava kriteriální matice disjunktivní a konjuktivní metody K další redukci kriteriální matice můžeme přistoupit využitím tzv. disjunktivních a konjuktivních metod. Obě tyto metody spočívají v tom, že si nastavíme u všech kritérií (popř. u některých zvolených) tzv. aspirační úrovně, podle nichž následně rozdělíme varianty na akceptovatelné a neakcepovatelné. V případě maximalizačního kritéria je jeho asipační úroveň minimální hodnota, jaké bychom chtěli, aby kritérium dosahovalo, ale v případě minimalizačního kritéria je aspirační úrovní maximální hodnota, které může kritérium ještě dosahovat. Jedná se tedy o takové hodnoty, které pokládáme v nejhorším případě za přípustné (tedy o horších hodnotách již nechceme uvažovat).
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Konjunktivní metoda Konjunktivní metoda spočívá v tom, že si zvolíme jen ty varianty, které splňují všechny nastavené podmínky (aspirační úrovně), tj. ve všech (popř. ve všech vybraných) kritériích jsou tyto varianty lepší nebo stejné než je zvolená aspirační úroveň. Ostatní varianty vyřadíme. Disjunktivní metoda Disjunktivní metoda uvažuje akceptovatelné všechny varianty, které alespoň v jednom (popř. alespoň v jednom z vybraných) kritériu je lepší nebo stejná než aspirační úroveň.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Příklad Uvažujme mladý pár, který si vybírá, do kterého města se má nastěhovat. Města chce posuzovat podle následujích kritérií: KULTURA, SPORT, DOPRAVA, VZDĚLÁVÁNÍ, SOCIÁLNÍ PÉČE, ZDRAVOTNICTVÍ, MOŽNOST ZAMĚSTNÁNÍ, NÁJEM. Požadují, aby ve městě, do kterého se budou stěhovat, byl alespoň kulturní dům, mateřská škola, základní škola a poliklinika. Provedou první předvýběr ze všech měst metodou konjunktivní požadují, aby v zadaných třech kritériích byli splněny minimálně tyto požadavky. Obce, jež některý z těchto požadavků nesplňují rovnou vyřadí z analýzy. Dále tato rodina požaduje, aby v obci byla pro oba možnost zaměstnání nebo byla dopravní dostupnost do okresního města do 30 minut. Tedy metodou disjunktivní vyřadí ty obce, kde nemají ani možnost práce ani dostupnosti do okresního města do 30 minut.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Lexikografická metoda princip Lexikografická metoda vystačí pouze s ordinálními informacemi o hodnocení jednotlivých variant dle jednotlivých kritérií a ordinálními váhami. Jejím výstupem je také pouze ordinální informace o preferenci jednotlivých variant. Postup je takový, že najdeme nejdůležitější kritérium a podle tohoto seřadíme jednotlivé varianty. V případě stejného ohodnocení dvou variant (či více) podle tohoto kritéria, seřadím tyto varianty podle druhého nejdůležitějšího kritéria, atd.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Lexikografická metoda výhody a nevýhody Tato metoda splňuje všechny požadavky kladené na metody vícekriteriálního hodnocení variant a je velmi jednoduchá pro použití. Ovšem, tato metoda pro určení pořadí zohledňuje (až na případy shody) pouze hodnoty v nejdůležitějším kritériu a vůbec nezohledňuje hodnoty v ostatních kritériích. Může se tedy stát, že zvolíme jako optimální variantu, která bude v nejdůležitějším kritériu nepatrně lepší, ale ve všech ostatních kritériích mnohem horší než jiná.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Metoda pořadí úvod K metodě pořadí postačuje znalost pouze ordinálních informacích o hodnocení jednotlivých variant podle jednotlivých kritérií. Tato metoda již obecně zohledňuje hodnoty všech variant podle všech kritérií. Využívá tedy již celou kriteriální matici (lexikografická často využívá pouze jeden sloupec z kriteriální matice). Zároveň také splňuje všechny požadavky kladené na metody VHV. Její nevýhodou je, že poskytuje (a také využívá) pouze ordinální informace. Máme-li tedy k dispozici kardinální hodnocení, ztrácíme informaci.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Metoda pořadí výpočet Tato metoda vyžaduje od zadavatele, aby pro každé kritérium sestavil pořadí variant. Na základě tohoto pořadí se stejných způsobem jako se určovali váhy metodou pořadí najdou prvky kriteriální matice. Dále se vyrobí vážená kriteriální matice Z, jejímiž prvky budou prvky původní matice vynásobené odpovídajícími vahami, tj. z ij = v i r ij. Pro každou variantu se sečtou prvky na odpovídajícím řádku vážené kriteriální matice (p i = j z ij) a pořadí jednotlivých variant je určeno hodnotami těchto součtů, přičemž, čím větší součet, tím lepší varianta. Za optimální variantu se tedy volí ta, jejíž hodnota p i je maximální.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Bodovací metoda úvod Bodovací metoda je obdobná metodě pořadí (viz metody stanovení vah), jen využívá kardinální informace o preferencích jednotlivých variant dle jednotlivých kritérií a výsledkem je také kardinální informace o preferenci jednotlivých kritérií. Také tato metoda splňuje všechny požadavky kladené na metody vícekriteriálního hodnocení variant (za předpokladu, že zadavatel rozděluje body ve všech kritériích stejným způsobem). Nevýhodou ovšem je poměrně velké a často zbytečné zatížení zadavatele (Pokud například zadal dobu dojezdnosti do zaměstnání, znovu po něm požadujeme, aby tuto dojezdnost obodoval.) Na druhou stranu, výhodou přebodování je, že ve finále budeme pracovat s jeho užitkovou funkcí.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Bodovací metoda postup Postup bodovací metody je velmi obdobný postupu při metodě pořadí. Nejprve vyzveme zadavatele, aby každou variantu obodoval z hlediska každé varianty body např. 0 10. Tím získáme novou kriteriální matici. Tu můžeme znormovat tak, že body přidělené dané variantě podle daného kritéria podělíme součtem všech bodů přidělených všem variantám podle tohoto kritéria. S touto maticí již zacházíme stejně, jako s kriteriální maticí v metodě pořadí. To znamená, pronásobíme tuto matici váhami, a poté sečteme vážené body udělené jednotlivým variantám.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant Metoda váženého součtu (WSA) Tato metoda je v principu bodovací metodu, kde právě z výše uvedených důvodů (zbytečné zatížení zadavatele), provedeme převedení na body sami. Tj. zadané hodnoty z normalizujeme podle zadaného vzorce: s i j = r i j max j r ij min j r ij. Výhodou této metody je její relativní jednoduchost a získání ordinální informace. Nevýhodou je, že tato metoda není invariantní vůči přidaným neoptimálním hodnotám. Tento nedostatek můžeme odstranit použitím konjuktivních a disjunktivních metod před samotnou optimalizací.
Metody vícekriteriálního hodnocení variant TOPSIS, ELECTRE aj. Existuje mnoho metod vícekriteriálního hodnocení variant, některé jsou výpočetně jednoduché, některé složitější. Několik nejvyuživanějších metod je implementováno např. v SANNě. SANNA je excelovské makro, které slouží právě k vícekriteriálnímu hodnocení variant a bylo vyvinuto na katedře Ekonometrie Fakulty informatiky a statistiky Vysoké školy ekonomické v Praze. Ke stažení je například na nb.vse.cz jablon.