Metody operačního výzkumu cvičení

Transkript

1 Opakování vektorové algebry domácí úkol ) Pojem vektorového prostoru praktická aplikace - je tvořen všemi vektory dané dimenze - operace s vektory (součin, sčítání, násobení vektoru skalární hodnotou) ) Vektor význam, aplikace 3) Lineární kombinace vektorů záměna vektorů - a = (, 3) c a = 5,4 - lineární konvexní kombinace - součet = a musí b = (5, 6) c b = -,6 být mezi a c = (5, 9) 4) Báze vektorového prostoru - množina vektorů - vektory jsou lineárně nezávislé Soustavy lineárních rovnic všechny lineární konvexní kombinace vektorů Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák však lze využít nejvýše 8 arů. Předpokládá, že se mu podaří dosáhnout z jednoho aru květáku tržby ve výši 5 Kč a z jednoho aru kedluben Kč. Požaduje celkovou výši tržeb alespoň ve výši 5 Kč. Výměry jednotlivých plodin musí být takové, aby minimalizovali celkové náklady, přitom na jeden ar květáku budou náklady asi Kč a na jeden ar kedluben Kč. ) Sestavte vhodný model definujte proměnné, omezující podmínky a účelovou - kriteriální funkci - proměnné: x... květák (ar) x... kedlubna (ar) - omezující podmínky: x 8 x + x 35 5x + x 5 - kriteriální funkce: z = x + x -> min ) Upravte model do rovnicového tvaru x + d = 8 d... doplňková proměnná x + x + d = 35 5x + x - d 3 = 5 3) Frobeniova věta - - Christy

2 4) Určete bázické řešení a bázické vektory x x d d d3 b úplná jednotková submatice 5 5 x + x d 3 = ~ x x d d d 3 b x = d = 8 d 8 x = 5 d = d 3 d3 = x hodnoty nebázických proměnných vždy pokládáme = - hodnoty bázických proměnných dáváme rovno b 5) Určete parametrické řešení a možnou hodnotu některé proměnné x = 5 d = 3 d 3 = x = /5 d = 35/ 6) Vypočítejte sousední řešení pomocí Jordanovy eliminační metody (5 nad 3) = bázických proměnných d 8 d 35 d ) Vypočítejte sousední řešení pomocí matice transformace B - vektorový prostor, vektor, skalár, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru, Jordanova eliminační metoda, řídící řádek, řídící prvek pivot, matice transformace, kanonický tvar soustavy, bázické řešení, parametrické řešení, hodnoty proměnných Jordanova eliminační metoda skalární součin násobení maticí, inverzní matici - - Christy

3 MOV 3 Metody operačního výzkumu Konstrukce a vlastnosti lineárního modelu, grafické řešení Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák však lze využít nejvýše 8 arů. Předpokládá, že se mu podaří dosáhnout z jednoho aru květáku tržby ve výši 5 Kč a z jednoho aru kedluben Kč. Požaduje celkovou výši tržeb alespoň ve výši 5 Kč. Výměry jednotlivých plodin musí být takové, aby minimalizovali celkové náklady, přitom na jeden ar květáku budou náklady asi Kč a na jeden ar kedluben Kč. ) Sestavte vhodný model definujte proměnné, omezující podmínky a účelovou - kriteriální funkci x... květák (ar) x... kedlubna (ar) x 8 x + x 35 5x + x 5 x, ) Vyřešte jej graficky v prostoru řešení nebo prostoru požadavků. prostor řešení: dvourozměrný zobrazujeme množinu přípustných řešení prostor požadavků: třírozměrný požadavkový vektor - požadavky (vlastnosti) proměnné řeší se skládáním vektorů v tomto případě: požadavkové vektory - 3 složky -> 3 podmínky složky -> proměnné graf: tím, že namalujeme I. kvadrant vyřešíme podmínky nezápornosti dosazuji za x a x, abych dostala dvojici bodů kriteriální funkce z = x + x -> min gradient vektor -> parciální derivace - nad 3) Ilustrujte na grafickém znázornění tohoto modelu vlastnosti lineární úlohy. slovní vysvětlení řešení: květák 8 arů kedlubny 5 arů tržby jsou právě požadované, protože řešení leží na?omezující podmínce Krmná dávka pro skot Předpokládejte, že krmná dávka bude složena ze dvou základních složek tak, aby při splnění požadovaného obsahu živin byla co nejlevnější. Potřebné údaje jsou v následujících tabulkách (jednotky pro obsah ŠJ jsou kg/kg a pro obsah SNL g/kg) Christy

4 Živiny v krmivu Obsah ŠJ Obsah SNL Cena Krmný ječmen,75 74,9 Zelená píce,3,37 Seno víceletých,363 73,85 Seno jednoletých,35 68,8 Kukuřičná siláž,34,45 Senáž víceletých,97 44,67 Kukuřičné úsušky,499 3,73 Živiny v KD ŠJ SNL Dojnice 5 kg, l 5,4 84 Telata 8 kg,3 7 Jalovice 3 kg,8 47 Skot ve výkrmu 4 kg 4, 65 ) Sestavte vhodný model definujte proměnné, omezující podmínky a účelovou funkci x... krmný ječmen kg x... zelená píce kg x 3... seno víceletých kg x 4... seno jednoletých kg x 5... kukuřičná siláž kg x 6... senáž víceletých kg x 7... kukuřičné úsušky kg omezující podmínky,75x +,3x +,636x 3 +,35x 4 +,34x 5 +,97x 6 +,499x 7 =,8 74x + x + 73x x 4 + x x 6 + 3x 7 = 47 kriteriální funkce,9x +,37x +,85x 3 +,8x 4 +,45x 5 +,67x 6 +,73x 7 -> MIN x... x 7 ) Vyřešte jej graficky v prostoru řešení nebo prostoru požadavků. 7 požadavkových vektorů o složkách bude se řešit v prostoru požadavků (7 rozměrný prostor) skládáme vektory tak, abychom dostali vektor pravých stran musíme zjistit kolik které krmivo obsahuje živin za Kč Živiny v krmivu Obsah ŠJ Obsah Cena SNL Krmný ječmen,75 74,9,433 5,574 Zelená píce,3,37, ,545 Seno víceletých,363 73,85, ,8835 Seno jednoletých,35 68,8, Kukuřičná siláž,34,45, ,66667 Senáž víceletých,97 44,67,943 65,6764 Kukuřičné úsušky,499 3,73,8784,76 Živiny v KD ŠJ SNL Dojnice 5 kg, l 5,4 84 Telata 8 kg,3 7 Jalovice 3 kg,8 47 ->,56 94 Skot ve výkrmu 4 kg 4, Christy

5 ,,,3,4,5,6 Řada Řada 3) Ilustrujte na grafickém znázornění tohoto modelu vlastnosti lineární úlohy. lineární optimalizační model, omezující podmínky, účelová kriteriální funkce, prostor řešení, množina přípustných řešení,množina optimálních řešení, konvexní polyedr, polyedrický kužel, prostor požadavků, aktivita, lineární kombinace vektorů MOV 4 3 Simplexový algoritmus Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák však lze využít nejvýše 8 arů. Předpokládá, že se mu podaří dosáhnout z jednoho aru květáku tržby ve výši 5 Kč a z jednoho aru kedluben Kč. Požaduje celkovou výši tržeb alespoň ve výši 5 Kč. Výměry jednotlivých plodin musí být takové, aby minimalizovali celkové náklady, přitom na jeden ar květáku budou náklady asi Kč a na jeden ar kedluben Kč. ) Sestavte vhodný model definujte proměnné, omezující podmínky a účelovou - kriteriální funkci (viz ) x... květák (ar) x... kedlubna (ar) x 8 x + x 35 5x + x 5 z = x + x -> min x, ) Upravte omezující podmínky do rovnicového kanonického tvaru. x + d = 8 x + x + d = 35 5x + x - d 3 + p 3 = 5 z = x + x + d + d + d 3 + p 3 -> min - v účelové funkci má doplňková proměnná vždy hodnotu, p 3 je vymyšlené a má být o řád vyšší (v případě min) Christy

6 x x d d d 3 p 3 b d, d, p 3... bázické proměnné 3) Vypište výchozí řešení omezujících podmínek a určete hodnotu kriteriální funkce. x = x = d = 8 d = 35 d 3 = p 3 = 5 z = 5 4) Vypište alespoň jedno parametrické řešení omezujících podmínek a určete jak se změní hodnota kriteriální funkce. x = - x zvolím a dosazuji do matice x = d = 6 d = 33 d 3 = p 3 = 4 z = 44 5) Jsou splněny předpoklady simplexového algoritmu? předpoklady: - kanonický tvar soustavy - na pravé straně nezáporné hodnoty x + x + x5 = 5 - = d d p3 - z j -c j když budou v posledním řádku samá záporná čísla a nuly nelze už řešení zlepšit - účelový sloupec - x protože 48 zlepší hodnotu kriteriální funkce o 48 jednotek - test přípustnosti: 8/, 35/, 5/5 - klíčový řádek (je nejnižší číslo) - klíčový prvek - průsečík účelového sloupce s klíčovým řádkem x d test optimality, test přípustnosti až do opt. řešení p3 5 z j -c j toto řešení také není optimální kvůli 9 - klíčový řádek p 3 9, klíčový sloupec /, klíčový prvek x 8 d 3/ / -/ x -5/ -/ / 5 z j -c j -/ -/ -9,5 - toto řešení je optimální květák pěstuji na 8 ar, kedlubny na 5 ar, je nevyužitá orná půda Christy

7 6) Vyřešte tento model pomocí simplexové metody s penalizací pomocných proměnných. 7) Na kolika arech má být pěstován květák a kedlubny má v následujícím období, aby bylo dosaženo minimálních nákladů? simplexový algoritmus, test optimality, test přípustnosti, bázické a nebázické proměnné, strukturní, doplňkové a pomocné proměnné, kanonický tvar soustavy lineárních rovnic, bázické řešení, přípustné a nepřípustné řešení, optimální řešení MOV 4 4 Rozbor a analýza výsledků lineárního modelu Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák však lze využít nejvýše 8 arů. Předpokládá, že se mu podaří dosáhnout z jednoho aru květáku tržby ve výši 5 Kč a z jednoho aru kedluben Kč. Požaduje celkovou výši tržeb alespoň ve výši 5 Kč. Výměry jednotlivých plodin musí být takové, aby minimalizovali celkové náklady, přitom na jeden ar květáku budou náklady asi Kč a na jeden ar kedluben Kč. 8) Sestavte a vyřešte vhodný model (viz a 3) x x d d d3 p3 b d 8 d 35 p3 5 5 x 8 d 3/ / -/ x -5/ -/ / 5 zj - cj -/ -/ -9/ 9) Analyzujte optimální řešení - na kolika arech má být pěstován květák a kedlubny v následujícím období, aby bylo dosaženo minimálních nákladů? ) Popište informace v simplexové tabulce. Najděte a popište matice B a B -. - cena výrobního programu by byla Kč B = B = 3/ / 5 5/ / ) Existuje alternativní řešení? - ne - kdyby bylo na výsledném řádku víc nul než optimálních řešení, tak by existovalo Christy

8 ) Navrhněte vhodné suboptimální řešení. d = - zvolili jsme si x = 7 d =,5 x = 7,5 z j - c j =,5 Metody operačního výzkumu 3) Jak bude vypadat optimální řešení, uvolníme-li omezení pro výměru květáku? 35 B b = 6,5 (b = 35, 35, 5) 6,5 8 + μ (b = 8 + μ, 35, 5) 3/(8 + μ ) /(8 + μ ) + 5 μ є <-8; > -5/(8 + μ ) + 5 b є <; > - -,5 μ + 5,5 μ 5 μ 4) Jak bude vypadat řešení, jestliže očekáváme změnu nákladů kedluben? +α x x d d d3 p3 b d 8 d 35 p3 5 5 x 8 d 3/ / -/ +α x -5/ -/ / 5 zj - cj -/ -/ -9/. + ( + α ). -5/ -/. ( + α ) α є <-,; > c є <,8; > optimální řešení, alternativní řešení, suboptimální řešení, vektor bázického řešení, vektor obecného řešení, interval stability hodnot proměnných, interval stability změn pravých stran, interval stability změn koeficientů účelové funkce, interval stability hodnot proměnných, analýza stability, parametrizace Christy

9 MOV 4 5 Duální simplexový algoritmus Výroba Mozzarelly Carlo Pontini z Piacenze je výrobce sýrů Mozzarella. Každý den ráno se rozhoduje kolik z připravené sýrové hmoty má zpracovat na trvanlivou Mozzarellu zapečetěnou ve vosku. Sýrová hmota zraje v nádobách o kapacitě 3 kg. Může vyrábět ve tří formách.. Mozzarella Spaghetti Na jeden kus spotřebuje,5 kg sýrové hmoty. Denně prodá vždy alespoň ks.. Mozzarella Boccia Na jeden kus spotřebuje kg sýrové hmoty. Denně prodá vždy alespoň 5 ks. 3. Mozzarella Rullo Na jeden kus spotřebuje,5 kg sýrové hmoty. Denně prodá vždy alespoň ks. Z technologických důvodů může hmotu obsaženou v jedné nádobě použít:. Z jedné třetiny na výrobu Mozzarella Spaghetti, další třetinu na Mozzarella Boccia a zbytek na Mozzarella Rullo. Při tomto technologickém postupu jsou náklady na zpracování jedné nádoby 5 EUR.. Třetinu na Mozzarella Spaghetti a současně zbytek na výrobu Mozzarella Boccia Při tomto technologickém postupu jsou náklady na zpracování jedné nádoby EUR. 3. Polovinu na Mozzarella Boccia a současně zbytek na výrobu Mozzarella Rullo Při tomto technologickém postupu jsou náklady na zpracování jedné nádoby 5 EUR. Kolik nádob se sýrovou hmotou má použít na denní produkci, jestliže chce minimalizovat své náklady. Úkoly: 5) Sestavte vhodný primární model definujte proměnné, omezující podmínky a účelovou - kriteriální funkci x... postup (počet nádob) ks P P P3 x... postup (počet nádob) x3... postup 3 (počet nádob) x + x x + x + 5x3 5 4x + 6x3 z - 5x + x + 5x3 -> MIN x,,3 š b 5 r Christy

10 5 5 x x x3 d d d3 b d d největší nejzápornější d zj-cj x -/ d -5-5 d zj-cj výsledný řádek/vybraný řádek x -,5 -/ /4 5 d -3 -,5 5 x,5 -,3 5 zj-cj -7,5 - -,5 5 6) Sestavte duální model 7) Přesvědčete se o splnění podmínek pro duální simplexový algoritmus 8) Vyřešte pomocí duálního simplexového algoritmu 9) Interpretujte výsledné řešení Dualita, duálně sdružené modely, primární a duální přípustnost řešení, duální simplexová metoda, test optimality, test přípustnosti MOV 4 6 Kvadratické programování Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák však lze využít nejvýše 8 arů. Je zde však problém s náklady. Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí: z nákladů fixních, a to ve výši Kč na jeden ar, které musí vynaložit, ať už na té půdě pěstuje jednu z těchto plodin nebo ne. K tomu se ještě přidává variabilní složka nákladů, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N =,5 x -3x, u kedluben zhruba podle funkce N = x -4x, kde x, jsou výměry plodin. Úkoly: ) Sestavte vhodný model definujte proměnné, omezující podmínky a účelovou - kriteriální funkci x... květák (ar) x... kedlubny (ar) x + x 35 x Christy

11 35. +,5x - 3x + x - 4x -> MIN X,,3 Metody operačního výzkumu ) Sestavte Lagrangeovu funkci L(x,u) = f(x) + u T.q(x) f(x) - kriteriální funkce u - lagrangeovy multiplikátory q(x) - omezující podmínky L(x,x,u,u) = 35. +,5x - 3x + x - 4x + u.(x + x - 35) + u (x - 8) ) Určete Kuhn-Tuckerovy podmínky. ) x, > u, > L ) u = x + x 35 x + x + y = 35 L u = x 8 x + y = 8 L 3) =,5x 3 + u + u x,5x + u + u - v = 3 L x = x 4 + u x + u - v = 4 4) u (x + x - 35) = u.y = u (x - 8) = u.y = 5) x (,5x u + u ) = x.v = x (x u ) = x.v = 3) Určete Wolfeho podmínky 4) Jaké je omezení vstupu proměnných do báze? 5) Vyřešte model pomocí Wolfeho algoritmu 6) Interpretujte výsledné řešení Konvexní kvadratický model, Lagrangeova funkce, sedlový bod, Kuhn-Tuckerovy podmínky, Wolfeho podmínky, Wolfeho algoritmus, řízení vstupu proměnných do báze. MOV 4 8 II. Optimalizace jednostupňového dopravního systému Seníky Ze tří velkokapacitních seníků je třeba zásobovat 4 objektů živočišné výroby. Vzdálenosti mezi seníky a objekty živočišné výroby jsou zadány v následující tabulce (tři trasy není možné pro zásobování využívat). Jsou známy i kapacity seníků a předpokládané požadavky živočišné výroby. Najděte optimální způsob zásobování senem a proveďte rozbor výsledků. - - Christy

12 Kapacity seníků Požadavky objektů ŽV Svojšovice 53 t Novín 6 t Liblice 38 t Nevelice 6 t Litovel 49 t Řepín 4 t Líbeznice 98 t Čejč 8 t Nová ves 4 t Kůty 7 t Okoř 75 t Tabulka vzdáleností ) Jestliže není možné některé trasy použít, jak se to projeví v modelu? - dáme tam vysoké číslo jako penalizaci a tím optimalizační model tuto trasu vyřadí ) Sestavte matematický model pro řešení tohoto problému. - 7 omezujících podmínek x ij... (t) x + x + x 3 + x 4 53 u x + x + x 3 + x 4 6 u x 3 + x 3 + x 33 + x u 3 x + x + x 3 6 v x + x + x 3 49 v x 3 + x 3 + x 33 8 v 3 x 4 + x 4 + x 34 7 v 4 z = 6x + x x x34 -> MIN x ij 3) Sestavte příslušný duální model. u + v 6 - u max bude vždy menší nebo rovno, u min to bude naopak u + v.. u3 + v4 4 z = 53u + 6u v 4 ->MAX u,,3 - protože u podmínek je také menší nebo rovno v,,3,4 - protože u podmínek je také větší nebo rovno 4) Najděte výchozí řešení modelu. - model není vyvážený proto vytvoříme fiktivního odběratele, kterému přiřadíme zbývající množství Metoda severozápadního rohu O O O3 O4 Ofikt S S S bj ai Christy

13 - bázické proměnné - x, x, x 3, x 4, x 5, x 5, x 35 - omezujících podmínek je 8 (všechny sloupečky i řádky) - bázických proměnných je jiný počet než omezujících podmínek -> degenerativní řešení Vogelova aproximační metoda O O O3 O4 Ofikt ai S S S bj diference diference - rozdíl mezi nejmenší a druhou nejmenší hodnotou - vybereme nejmenší diferenci - diference musíme přepočítávat - když jsme udělali řádek s 4 tak to musíme přepočítat (tady to náhodou vyšlo stejně) - oba způsoby řešení nemusí vyjít stejně - opět je to jen náhoda Dopravní model, vyváženost, degenerace, dualita, výchozí řešení, test optimality, test přípustnosti, uzavřené okruhy, lineární závislost tras MOV 4 9 Optimalizace jednostupňového dopravního systému a analýza výsledků řešení Seníky Ze tří velkokapacitních seníků je třeba zásobovat objektů živočišné výroby. Vzdálenosti mezi seníky a objekty živočišné výroby jsou zadány v následující tabulce (tři trasy není možné pro zásobování využívat). Jsou známy i kapacity seníků a předpokládané požadavky živočišné výroby. Najděte optimální způsob zásobování senem a proveďte rozbor výsledků. Kapacity seníků Požadavky objektů ŽV Svojšovice 53 t Novín 6 t Liblice 38 t Nevelice 6 t Litovel 49 t Řepín 4 t Líbeznice 98 t Čejč 8 t Nová ves 4 t Kůty 7 t Okoř 75 t Tabulka vzdáleností ) Sestavte matematický model pro řešení tohoto problému a vyřešte jej (viz 7) Christy

14 Indexová metoda S S S3 bj vj O O O3 O4 Ofikt ai ui Test optima. bude se týkat obsazených polí xij > c'ij cij xij ui+vj Qij - někde zvolím - je jedno kde c = 6 u + v = 6 u = + v = 6 v = 6. bude se týkat neobsazených polí xij = c ij = ui + vj - cij c ij < => řešení je optimální c ij = => existuje alternativní řešení c ij > => řešení není optimální a je třeba pokračovat změnou báze k optimálnímu t = min (x ij - ) = min (43; 8) = 8 O O O3 O4 Ofikt S S S bj vj ai ui t = Christy

15 O O O3 O4 Ofikt 6 S S S bj vj ai ui ) Kolik tunokilometrů bude vynaloženo na zásobování senem? Jak bude zásobování probíhat? 3) Existuje alternativní řešení? 4) Proveďte analýzu perspektivity tras. Perspektivita c ij - určuje zhoršení účelové funkce při přepravě jedné jednotky po suboptimální trase (zhoršení či zlepšení - při MIN zhoršení) xij >, c ij = xij =, c ij = ui + vj - cij - když je tam vysoké číslo tak je trasa málo perspektivní ÚF = = 47 - hodnota účelové funkce - když pojedeme po trase s -4 tak se o tolik zhorší 5) Proveďte analýzu propustnosti tras. Propustnost Qij - maximální množství, které je možné po trase dopravit aniž by došlo ke změně stability báze xij >, Qij = xij xij =, Qij = t O O O3 O4 Ofikt S S ε S bj vj m + n - m... počet dodavatelů (řádků) n... počet odběratelů (sloupců) = 7 máme jen 6 proto je tam degenerace ai ui Christy

16 O O O3 O4 Ofikt 6-4 S S ε S bj vj ai ui = 4 - sloupeček s epsilon a číslo v tom sloupci dole Dopravní model, vyváženost, degenerace, perspektivita, propustnost, substituce tras MOV 4 Model vícekriteriální optimalizace Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Předpokládá, že se mu podaří dosáhnout z jednoho aru květáku tržby ve výši 5 Kč a z jednoho aru kedluben Kč. Požaduje celkovou výši tržeb alespoň ve výši 5 Kč. Výměry jednotlivých plodin musí být takové, aby minimalizovali celkové náklady, přitom na jeden ar květáku budou náklady asi 4 Kč a na jeden ar kedluben Kč a zároveň maximalizovali výměru květáku. Řešení. Sestavte vhodný model x + x 35 5x + x 5 z = 4x + x -> MIN z = x -> MAX x,. Určete dílčí (parciální) optimální řešení a určete ideální a bazální variantu. obr x x z z par. z 5 5 par. z Nmax = 55 3, ,75 I = (5; 35) - nejlepší varianta ze sloupců z B = (4; ) - bazální řešení - nejhorší varianty 3. Nalezněte řešení s využitím nákladů jako omezující podmínky s požadavkem nepřekročení hranice 55 tis. Kč resp. 35 tis. Kč Christy

17 4x + x Použijte metodu cílového váženého programování s požadavkem Min n + p z = 5 z = 4x + x + d - - d + = 5 - mínus pro nedosažení, plus pro překročení x - d - - d + = z c = d - + d + + d - + d + -> MIN x x z z par. z 5 5 par. z Nmax = 55 3, ,75 Zc 8 z c = d + + d - -> MIN 5. Nalezněte řešení pomocí součtové agregace kritérií s váhami : a :. z = 4x + x -> MIN - náklady z = x -> MAX - tržby z A = -3x - x -> MAX - zisk = 3x + x -> MIN - přebere to MIN, MAX podle funkce od které se odečítá 6. Sestavte kriteriální tabulku. Varianty řešení Kritéria Květák Kedlubny Náklady Výměra květáku Vícekriteriální rozhodování, vícekriteriální optimalizace, protichůdnost kritérií, dílčí parciální optimální řešení, agregace účelových funkcí, převod kritérií na omezení, minimalizace odchylek od optimálních hodnot kritérií, cílové programování MOV 4 Vícekriteriální analýza variant Nejvhodnější nabídka Máme zvolit jednu ze čtyř nabídek služeb pro naší firmu. Jednotlivé nabídky se liší cenou, dobou realizace a dodatečnými službami. Model je možno zformulovat následujícím způsobem: cena (Kč) doba realizace (měsíce) dodatečné služby (porovnání nabídek) Nabídka 75 špatné = 4 Nabídka 3 nejlepší = Nabídka dobré = 3 Nabídka lepší = Christy

18 ) Určete bazální a ideální variantu. H = (65 ; ; nejlepší) D = ( ; 5; špatné) ) Jak by dopadl výběr nabídek pro následující aspirační úrovně? - nejhorší přípustná hodnota daného kritéria a) (8, 4, 4) - vybrali bychom 4 nebo b) (75, 4, 4) - vyhovuje nabídka c) (75, 4, ) - nevíme kterou vybrat 3) Kterou nabídku vyberete metodou pořadí? (návod ohodnoťte pořadí jednotlivých nabídek podle jednotlivých kritérií) K K K3 N 4 7 N 4 7 N N vybrali bychom tu s nejmenším součtem 4) Pomocí párového porovnávání určete váhy kritérií. K K K3 vi K /3 K 3 / K3 /6 6 5) Jsou-li váhy kritérií postupně,6,,, můžete metodu pořadí rozšířit o důležitost preferenci kritérií. K K K3 N 4, N 4 3 N3 4 3 N4 3 3,8 vj,6,, 6) Porovnejte bodovací metodu pro určení preference alternativ a funkci užitku. N 4 N N3 3 3 N4 7 - budujeme od do s tím, že je nejlepší 7) Vyřešte problém metodou váženého součtu. K K K3 K K K3 Ui N /7,63 N 4 3 /3,33 N /9,64 N /7 /3 /3,54 vj,6,,,6,, 3/5 /5 /5 H 65 D 5 obr y rij = H ij j D j D j Vícekriteriální rozhodování, vícekriteriální analýza variant, protichůdnost kritérií, kompromisní řešení, dominance alternativ, ordinální a kardinální uspořádání, uspořádání alternativ, aspirační úrovně, grafické znázornění Christy

19 - 9 - Christy