1 Souřadnice, body 1.1 Prostor prostor můžeme chápat jako nějaké prostředí, ve kterém můžeme mít různé věci na různých místech místo, poloha - tohle potřebujeme nějak popsat abychom mohli změřit nebo říci, kde co je, potřebujeme nějaký souřadný systém většina naší analytické geometrie bude v tzv. euklidovském prostoru euklidovský prostor používají i některé programy pro 3D animaci nebo modelování (např. 3D Studio Max) prostorů jinak existuje celá řada, může to být mapa, dokonce počítačová sít (IP adresy, webové stránky...) 1.2 Popis polohy v prostoru abychom mohli říci, kde přesně se nachází dané místo, potřebujeme nějaké údaje, které budou takové místo jednoznačně identifikovat takové údaje nazýváme souřadnicemi musíme si pro ně zavést nějaký systém - tedy souřadnicový systém (a) na šachovnici použiváme dvojice písmenočíslo (b) IP adresy různých přístrojů jsou de facto také souřadnicemi obrázek 1: příklady použití různých souřadnicových systémů 1.2.1 Souřadnicový systém s různými souřadnými systémy se setkáváme naprosto běžně může to být GPS poloha na mapě v navigaci(zeměpisná šířka, délka, nadmořská výška), poštovní adresa, šachovnicová souřadnice nebo i IP adresa počítače, popř. telefonu (192.168.1.1)... příklady vidíte na obrázku 1 pro naše potřeby budeme používat kartézskou soustavu souřadnic 1
1.2.2 Kartézská soustava souřadnic jedna z nejužitečnějších soustav, zejména pokud nás zajímají hranaté věci často se to s ní přehání, díky tomu je také známa jako tzv. kartézský mor nejjednodušší forma - číselná osa (viz obrázek 2) představit si ji lze jako tyčku, na které si vyznačíme 0, 1 a zbytek doznačíme podle jejich vzdálenosti kladná čísla jdou zpravidla doprava bez jednotek - nejsme ve fyzice obrázek 2: znázornění číselné osy co když vezmeme dvě osy na sebe kolmé? jako bychom svařili dvě k sobě - na obrázku 3 (a) standardní vyznačení os (b) i takto to lze, otočit si osy můžeme jakkoliv obrázek 3: kartézský kříž v rovině - červená označuje osu x, zelená osu y co třeba třetí? přivaříme ještě jednu - obrázek 4 tři osy, tak jak jsou na obrázku 4a, tvoří tzv. pravotočivou soustavu at takovou soustavu jakkoliv natočíme, pořád bude pravotočivá - můžeme s ní dělat cokoliv, co se svařenými tyčkami, jen prosím nerozbíjet pravotočivá ne proto, jak je natočená, ale protože osy takhle poskládané ( svařené ) mají některé pěkné vlastnosti levotočivé existují také (např. vyměníme osy x a y), ty ale nebudeme používat levotočivé se občas objevují v knížkách - POZOR! musíme mít na paměti, že jsou to matematické tyčky - nikde nepřekážejí, jsou nekonečně tenké a nekonečně dlouhé, naše svařování je přiblížení 2
(a) osy ve 3D - naše vyznačení (b) občas existuje i toto vyznačení, ale opět jde jen o otočení obrázek 4: kartézská soustava ve 3D - červená označuje osu x, zelená osu y, modrá osu z 1.3 Souřadnice už máme souřadnou soustavu, tak jak tedy s těmi souřadnicemi? když chceme určit polohu nějakého objektu, někam posadíme tyto svařené tyčky a označíme, jak daleko na každé z nich se daný objekt nachází bude to nějaké reálné číslo - jsou to přeci číselné osy těmto číslům budeme říkat souřadnice každá souřadnice patří ke své ose, takže si je zapíšeme nějak přehledně za sebou, nejlépe [x, y, z] na číselné ose máme jen jednu souřadnici - jednorozměrný prostor (1D) na papíře (v rovině) potřebujeme dvě osy - dvojrozměrný prostor (2D) v místnosti (v prostoru) potřebujeme dvě osy - trojrozměrný prostor (3D) zabývat se budeme hlavně 2D, občas sklouzneme do 3D základním objektem, jehož souřadnice budeme chtít znát, je bod 1.4 Bod bod označuje nějaké přesné místo, je nekonečně malý a nemá tvar - tedy naše značky na tyčkách budou také přesné každý bod je dán svými souřadnicemi dokonale body budeme značit velkými písmeny - např. A,B,X jejich souřadnice do hranatých závorek, oddělujeme čárkami (nebo středníkem) - např. [2,3] ve 2D nebo [1,2,8] ve 3D celý zápis nějakého bodu: A[1,2] můžeme psát i A=[1,2] nebo A=A[1,2] ve 3D samozřejmě např. A[2,3,1] obecně budu bod a jeho souřadnice značit A[A x, A y ], popř. A[A x, A y, A z ] poznámka - A označuje bod, tedy nějaký matematický objekt, zatímco A x, A y, A z jsou prostě čísla body už umíme popsat i zakreslit (viz obrázky 5 a 6) 3
obrázek 5: znázornění bodu A[2,3] v rovině - osa x je vodorovná a jde doprava, osa y jde svisle nahoru 1.4.1 Operace s body co s body vlastně můžeme dělat? v analogii s mapou: 1. jak se z jednoho bodu dostanu do druhého? 2. jaká je mezi dvěma body vzdálenost? abych se z bodu A dostal do bodu B, na mapě musím zvolit směr a vzdálenost - kartézská soustava mi tuto úlohu trochu ulehčí body od sebe prostě odečtu a odečítám je tzv. po složkách příklad: obecně: B A = B[3, 5] A[2, 3] = (3 2, 5 3) = (1, 2) B A = B[B x, B y ] A[A x, A y ] = (B x A x, B y A y ) obecně ve 3D: B A = B[B x, B y, B z ] A[A x, A y, A z ] = (B x A x, B y A y, B z A z ) proč najednou kulaté závorky? získali jsme totiž nový objekt - tzv. vektor viz další část textu grafické odvození vzdálenosti vidíme na obrázku 7 - úsečky s rozdíly příslušných souřadnic tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníka! podle Pythagorovy věty bude tedy vzdálenost dvou bodů (všimněte si označení): B A = (B x A x ) 2 + (B y A y ) 2 4
obrázek 6: znázornění bodu A[2,3,1] v prostoru - červená osa je x, zelená y a modrá opět z obrázek 7: grafické znázornění rozdílu dvou bodů příklad zmíněný výše: B A = (3 2) 2 + (5 3) 2 = 1 + 4 = 5 Ve 3D vzdálenost dvou bodů obecně počítáme podobně: B A = (B x A x ) 2 + (B y A y ) 2 + (B z A z ) 2 poznámka - vzdálenost bodů A a B také značíme AB 5