Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe kolmé. : 1 V : Číslo 8 je liché. V : 0 1 N V : Paříž je hl. město Španělska. V : + 3 = 5 3 Příklady tvrzení které nejsou výroky: Kolik je hodin? Jdi domů! x = 4 V je výrok Není pravda že V ; negaci označíme Je li V pravdivý je výrok V nepravdivý. Je li V nepravdivý je výrok V pravdivý. V odpovídá V. Poznámka: ( ) V a b R : ( a + b) = a + ab + b 4 5 6 V. Zřejmě platí: Řekneme li že nějaká množina má aspoň k prvků znamená to že počet jejich prvků je větší nebo roven číslu k. Řekneme li že nějaká množina má nejvýše k prvků znamená to že počet jejich prvků je menší nebo roven číslu k. Kvantifikované výroky a jejich negace Obecný kvantifikátor ( ) vyjadřuje že daná vlastnost platí pro každý prvek. Existenční kvantifikátor ( ) vyjadřuje že existuje aspoň jeden prvek pro který daná vlastnost platí. Příklady kvantifikovaných výroků: V : a b R : a + b > 0 V : n N : n > 0 : 1 Jak negovat kvantifikované výroky názorně ukazuje následující tabulka: Každý prvek množiny M má danou vlastnost je výrok Aspoň jeden prvek množiny M nemá danou vlastnost. A jak se tyto výroky negují? výrok Množina M má aspoň k prvků Množina M má nejvýše k prvků. 3 V x Z ( x) Z : x + ( x) = 0 Aspoň jeden prvek množiny M má danou vlastnost je výrok Žádný prvek množiny M nemá danou vlastnost. Množina M má nejvýše k-1 prvků Množina M má aspoň k+1 prvků. Složené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. Konjunkce A B. Je pravdi- Konjunkce výroků A B je výrok který vznikne jejich spojením spojkou a. Zapisujeme: vá pouze tehdy když jsou pravdivé oba výroky A B. 1/5
Disjunkce Disjunkce výroků A B je výrok který vznikne jejich spojením spojkou nebo. Zapisujeme: pravdivá pouze tehdy je li pravdivý alespoň jeden z výroků A B. Otázka: Jakou analogii splňují konjunkce a disjunkce s množinovými operacemi? Impl i kace A B. Je Implikace výroků A B je výrok který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže pak. Zapisujeme: A B. Je pravdivá pouze tehdy když jsou pravdivé oba výroky A B nebo když je výrok A nepravdivý a výrok B jakýkoli. Poznámka: Matematické věty mají obvykle tvar implikace nebo ekvivalence. Pak je výrok A chápan jako předpoklad výrok B jako závěr (tvrzení). A B. Platí přitom že z pravdivosti im- Implikace B Ase nazývá obrácená implikace k implikaci plikace A B nevyplývá pravdivost její obrácené implikace. Příklad: Je li trojúhelník rovnostranný pak je rovnoramenný. Implikace B Ase nazývá obměněná implikace k implikaci a obměněná implikace jsou ekvivalentní. A B. Platí přitom že implikace Poznámka: Obměněná implikace je využívána při nepřímých důkazech matematických vět. Ekvi val ence A B Ekvivalence výroků A B je výrok který vznikne jejich spojením slovním obratem právě když. Zapisujeme: A B. Je pravdivá pouze tehdy když výroky A B jsou oba pravdivé nebo oba nepravdivé. Platí: ( A B) (( A B) ( B A) ) Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků: A B A A B A B A B A B 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Negace složených výroků Nechť A B jsou výroky. Pak platí: 1. ( A B) ( A B) de Morganova pravidla. ( A B) ( A B) de Morganova pravidla 3. ( A B) ( A B) 4. ( A B) (( A B) ( B A) ) ( A B) ( B A) ( A B) ( B A) Příklad: Napište negace následujících výroků: a) Nepřijde Ondřej nebo Tereza. b) Číslo 50 je dělitelné 15 a 5. c) Je li ciferný součet N-čísla dělitelný 3 pak je toto číslo dělitelné 3. d) Jan přijde právě tehdy když přijde Iva. e) n N : ( n 3n) 6 n f) Nebude li pršet nezmokneme. /5
Výrokové formule a formy Výroková formule je výraz tvořen výrokovými proměnnými (elementárními výroky) logickými spojkami a závorkami. Ohodnotíme li tyto výrokové proměnné tzn. každé z nich přiřadíme jednu ze dvou logických konstant true nebo false (0 nebo 1) získáme pravdivý resp. nepravdivý výrok. Příklad výrokové formule: Označují li proměnné A B C elementární výroky pak např. výraz A B C je výrokovou formulí. ( ) Výroková forma (predikátová formule) je výraz obsahující mimo jiné jednu nebo více proměnných (x y..). Dosadíme li za tyto proměnné konstanty jež mohou nabývat získáme pravdivý resp. nepravdivý x V x y. výrok. Výrokové formy označujeme: V ( ) ( ) Příklady výrokových forem: V ( n) : n N : n 1 V x : x = 3 ( ) ( x y) V x + y 0 Tautologie a kontradikce Tautologie je výroková formule která je vždy pravdivá bez ohledu na pravdivostní hodnotu výroků v ní obsažených. Kontradikce je výroková formule která je vždy nepravdivá bez ohledu na pravdivostní hodnotu výroků v ní obsažených. Příklad: Rozhodněte zda složený výrok (výroková formule) A B C A C B (( ) ) (( ) ) 3/5
příklady: 1. Rozhodněte která z následujících tvrzení jsou výroky. Pokud je tvrzení výrokem negujte: a) Úhlopříčky čtverce jsou navzájem kolmé. b) Existuje rovnostranný trojúhelník. c) Pythagorova věta. d) Číslo x je kladné. e) Číslo 8 je liché. f) Jdi domů! g) 3 N. h) Součin dvou nezáporných reálných čísel je kladný. i) Přímka daná rov. y = x 1 prochází b. [ 1 ;1]. j) Daný trojúhelník ABC je ostroúhlý. k) Přímka t je tečnou k dané přímce. l) + 3 5.. Negujte výroky: a) Česká republika má více než 10 miliónů obyvatel. b) Praha má méně než 15 miliónů obyvatel. c) Tato učebnice má nejvýše 00 stránek. d) Číslo 30 je dělitelné aspoň třemi prvočísly. e) V této přihrádce je nejvýše n + 1předmětů. f) Daná množina má právě n + 1 prvků. g) Pravidelný dvanácti stěn má aspoň 0 vrcholů. h) Mezi všemi jednocifernými čísly jsou nejvýše tři prvočísla. 3. Neguje následující kvantifikované výroky: a) Úhlopříčky každého čtyřúhelníku jsou navzájem kolmé. b) Existuje trojúhelník ve kterém součet všech jeho vnitřních úhlů je 180. c) Nic nového pod sluncem. d) Pro všechna reálná čísla x > 1 platí x > x. e) Každé přirozené číslo které je dělitelné deseti je dělitelné pěti. f) Žádný učený z nebe nespadl. g) Pro každé přirozené číslo n je n + 1klad- né. h) Vzdálenost libovolných dvou bodů je číslo záporné. 4. K babičce mají přijet na prázdniny dvě vnučky Alena a Blanka. Zapište složenými výroky následující tvrzení: A: Přijede Alena B: Přijede Blanka. a) Alena přijede a Blanka nepřijede. b) Nepřijede Alena nebo nepřijede Blanka. c) Jestliže nepřijede Alena pak přijede Blanka. 4/5 d) Přijedou obě vnučky. e) Přijede nejvýše jedna vnučka. f) Přijede právě jedna vnučka. 5. Rozepište jako konjunkci nebo jako disjunkci dvou výroků zápisy a) 10 > 8 > 5 b) 3 π c) 100 = 5 = 4 5 d) KLM OPR ABC 6. K daným výrokům: A: Číslo 9 je dělitelné dvěma. B: Číslo 9 je dělitelné třemi. Vytvořte složené výroky A A B A B A B A B 7. Maminka řekla Petrovi: Jestliže budeš hodný dostaneš dort. Jsou čtyři možnosti: a) Petr byl hodný a dostal dort. b) Petr byl hodný a nedostal dort. c) Petr nebyl hodný a dostal dort. d) Petr nebyl hodný a nedostal dort. Ve kterých případech a) až d) maminka nelhala? 8. Víme že je pravdivá implikace: Jestliže je Jana nemocná potom nepřijde do školy. Dnes Jana nepřišla do školy. Rozhodněte zda je pravdivý výrok: Jana je nemocná. 9. Rozhodněte při kterých pravdivostních hodnotách výroků A B jsou uvedené výrokové formule pravdivé. A B A B b) ( A B) B a) ( ) ( ) 10. Jsou dány výroky: P: 4 Q: 3 < 5. Rozhodněte které z následujících složených výroků jsou pravdivé a které nepravdivé. a) P Q e) P b) P Q f) Q c) P Q g) P Q d) P Q h) P Q 11. Na večírek bylo pozváno 5 přátel které označíme K L M N P. Jejich odpovědi na pozvání lze vyjádřit následujícími výroky. a) Přijde K a přijde L. b) Přijde L nebo přijde M. c) Jestliže přijde M pak přijde také N. d) P přijde právě tehdy když přijde M. Pro nepříznivé počasí nepřišel nikdo z nich. Rozhodněte kteří z pozvaných přesto neporušili slib tj. které z výroků a) až d) platí.
1. Stanovte zda jsou pravdivé tyto implikace: a) Je li 9 sudé číslo pak také 9 je sudé číslo. b) Je li 6 prvočíslo pak 6+5 je prvočíslo. c) Jestliže dané přirozené číslo je součinem dvou lichých čísel potom toto číslo je liché. 13. Negujte obměňte a obraťte danou implikaci P Q. 14. Vyslovte obměny a obrácení implikací. a) Jsem li unavený ihned usínám. b) Jestliže jede automobil v dešti řidič má zapnutá potkávací světla. c) Jestliže chce řidič změnit směr jízdy zapíná ukazatele změny směru. 15. Napište negace následujících slovních výroků. a) Přijde Alena a Barbora. b) Přijde Cyril nebo David. c) Jestliže přijde Eva potom přijde Hana. d) Jan přijde právě tehdy když přijde Iva. 16. Napište negace uvedených výroků. a) Číslo 50 je dělitelné 15 a 5. b) Číslo 50 není dělitelné 15 nebo není dělitelné 5. c) Jestliže je poslední dvojčíslí daného přirozeného čísla dělitelné 4 potom je i dané číslo dělitelné 4. d) Číslo je dělitelné 6 právě tehdy když je dělitelné a 3. 17. Negujte následující výroky. a) Je li číslo iracionální je iracionální i číslo + 1. b) Je li trojúhelník ABC rovnostranný je rovnoramenný. c) Není li číslo 5 přirozené není přirozené ani číslo 1. 18. Považujte následující rčení za výroky a negujte je: a) Přišel jsem viděl jsem zvítězil jsem. b) Nebude li pršet nezmoknem. c) Já to platit nebudu radši se dám na vojnu. d) Bude li každý z nás křemenem bude celý národ z kvádrů. 19. Utvořte negace výroků: a) A B b) A B c) A B d) A B e) ( A B) C f) ( A C) B. 0. Určete (tabulkou pravdivostních hodnot) které z následujících výroků jsou tautologie. a) ( A B) ( A B) b) ( A B) ( A B) c) ( B A) ( B A). d) (( A B) C) (( A C) B) e) A ( B C) ( A B) ( A C) f) (( A B) C) (( A C) B). 1. Kapitán Exner vyšetřuje případ vraždy. Vyšetřováním se okruh podezřelých zúžil na tři osoby A B C. Jeho podřízení vyslechli podezřelé a o jejich přítomnosti na místě činu v kritické době kapitánovi hlásí: Jestliže byl v kritické době na místě činu podezřelý C pak tam nebyl podezřelý A ale byl tam podezřelý B. Není pravda že na místě činu nebyl A a přitom tam nebyl C. Byl li na místě činu podezřelý A nebyl tam C a když tam nebyl C byl tam A. Kapitán Exner: Bohužel to nám k usvědčení vraha nestačí. Poručík Beránek: No ještě bezpečně víme že pachatel byl v kritické době na místě činu sám. Kapitán Exner: To je jiná věc. Mí důstojníci jdeme zatknout pachatele! Dovedete určit stejně jako kapitán Exner kdo je vrahem?. Pro provozní doby tří benzínových stanic A B C v určitém městě platí tyto podmínky: Vždy je v provozu benzínová stanice A nebo C. Stanice C je mimo provoz právě když je otevřeno ve stanici A. Má li prodejní dobu stanice C pak stanice A není v provozu a je v činnosti stanice B. Určete všechny možnosti provozu těchto tří benzínových stanic. 5/5