Speiální teorie relativity IF Speiální teorie relativity Newtonovy pohybové zákony umožňují popis hování těles pohybujííh se nízkými ryhlostmi. Při ryhlosteh, kterýh dosahují částie v uryhlovačíh, však tyto zákony přestávají platit. Pohyb těhto části umožňuje popsat Einsteinova speiální teorie relativity. Přesněji řečeno, tato teorie formuluje správné zákony pohybu pro libovolné těleso. Newtonovy zákony jsou zjednodušenou formou zákonů STR pro případ velmi malýh ryhlostí (v «). Pro částie pohybujíí se malými ryhlostmi je rozdíl mezi Einsteinovými a Newtonovými pohybovými zákony nepatrný. Tím lze vysvětlit, proč relativita nehraje v běžném životě významnou roli. Einsteinova teorie přesahuje Newtonovu, ale pro tělesa pohybujíí se běžnými ryhlostmi postačuje přesnost Newtonovy teorie. Dnes je již spolehlivě ověřeno, že Einsteinova teorie skutečně platí a poskytuje možnost popsat pohyb relativistikýh části, tj. těles, které se pohybují ryhlostmi srovnatelnými s ryhlostí světla. Vzhledem k tomu, že takové ryhlosti se vymykají každodenním zkušenostem většiny z nás, mohou se některé Einsteinovy předpovědi zdát podivné nebo nepohopitelné. To však nijak nezpohybňuje jejih platnost. Teoretiký základ speiální teorie relativity Einsteinova speiální teorie relativity vyplývá ze dvou základníh postulátů: 1. Ryhlost světla je stejná pro všehny pozorovatele nezávisle na jejih vzájemnýh ryhlosteh.. Fyzikální zákony mají ve všeh ineriálníh soustaváh (soustavy bez zryhlení) stejný tvar, hypotetiký pozorovatel na relativistiké částii musí pozorovat stejné fyzikální zákony jako ten, který zůstává v klidu v laboratorní soustavě.
Speiální teorie relativity IF Splnění těhto podmínek není možné, pokud nepřiřadíme každé vztažné soustavě nejen vlastní prostorové souřadnie, ale i čas. Veličiny jako délka a čas se musí pro jednotlivé pozorovatele měnit, aby bylo možno konzistentně vyjádřit neměnné fyzikální skutečnosti jako např. poločas rozpadu částie. Platnost obou základníh předpokladů byla ověřována řadou fyzikálníh experimentů a ve všeh byla potvrzena. Ryhlost světla je stejná pro všehny pozorovatele. Znamená to, že existuje základní přírodní konstanta - ryhlost světla. Všimněme si, jak podstatně se tato skutečnost liší od běžné zkušenosti. Jedu-li po dálnii ryhlostí 10 km/h vzhledem k silnii, auto jedouí stejným směrem ryhlostí 130 km/h má vzhledem ke mně relativní ryhlost 10 km/h, zatímo protijedouí auto se stejnou ryhlostí se vzhledem ke mně pohybuje ryhlostí 50 km/h. Ryhlost aut vůči mně závisí na mém i na jejih pohybu. Fyzika je stejná pro všehny ineriální pozorovatele. Druhý postulát je základním, byť nevysloveným výhodiskem veškerého vědekého bádání očekáváme, že v přírodě existují obená pravidla, která platí nezávisle na okolnosteh pozorování, tzv. invariantní zákonitosti. To neznamená, že se vše hová stejně na Zemi i v elém vesmíru, např. pozorovatel na povrhu Země je ovlivněn zemskou tíží, očekáváme však, že působení síly na těleso je stejné nezávisle na tom, o sílu vyvolalo, kde se těleso nahází nebo jakou ryhlostí se pohybuje. Einsteinova speiální teorie relativity (zabývá se relativním pohybem těles) v sobě zahrnuje jak konstantní ryhlost světla pro všehny pozorovatele, tak všeobeně známé skládání malýh ryhlostí. Připomeňme si, že Einsteinova obená teorie relativity je zela odlišná teorie o zela jiném problému působení gravitae. Postuláty OTR: 1. Fyzikální zákony mají ve všeh soustaváh stejný tvar.. Gravitační a setrvačné síly mají stejnou fyzikální podstatu a platí pro ně stejné fyzikální zákony.
Speiální teorie relativity - kinematika IF Galileova transformae používá se v Newtonovské fyzie (i v běžném životě): Máme-li souřadniový systém spojený se Zemí (laboratorní soustava), a jinou soustavu, která se vzhledem k Zemi pohybuje konstantní ryhlostí v například podél osy x, platí mezi oběma systémy transformae t t x x v t y y z z t t x x v t y y z z. Souřadnie bodu v pohybujíí se soustavě jsou označeny čárkou. Pro obě soustavy platí jeden a týž čas, teoretiky se připouští jakákoliv ryhlost posunu v ose x. Pohybuje-li se však soustava vysokou ryhlostí (blízkou ryhlosti světla), je zřejmé, že tato transformae neumožňuje splnit 1. Einsteinův postulát. Lorentzova transformae První relativistiký postulát vyplynul z Maxwellovýh rovni elektrodynamiky. Právě požadavek na invariantnost této soustavy rovni popisujííh elektromagnetiké záření, vedl nizozemského fyzika H. A. Lorentze k formulai speiální transformae souřadni. Mějme dvě vztažné soustavy S a S', které se vůči sobě pohybují ve směru osy x ryhlostí v blízkou ryhlosti světla. Souřadnie v příčném směru se nemění, x-ová souřadnie a čas v obou soustaváh jsou svázány těmito vztahy: v 1 t t x x x vt v 1 v t t x x x vt
Speiální teorie relativity - kinematika IF Odkud se vzal koefiient? Kupodivu lze k němu dospět poměrně jednoduhou úvahou na základě příkladu z klasiké mehaniky. Uvažujme loďku plovouí ryhlostí na řee plynouí stálou ryhlostí v. Nejdříve popluje z jednoho břehu na druhý a zpět tou nejkratší možnou estou. Je zřejmé, že aby se loďka dostala kolmo na protější břeh, musí plout šikmo proti proudu, takže její ryhlost ve směru kolmo na břeh řeky bude odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka (viz pravidlo o grafikém sčítání vektorů) a čas potřebný k překonání dvojnásobku šířky řeky bude dán vztahem d d v t 1 v Ve druhém případě vypočítáme čas potřebný k tomu, aby loďka překonala stejnou vzdálenost v podélném směru. Pluje-li proti proudu, potřebuje k překonání vzdálenosti d čas t d 1 t 1 v, pluje-li po proudu, stačí jí čas t d t v 1 d v d v d d v.celkový čas plavby je t t1 t 1 v v. 1 t v Poměr časů plavby je 1, t pluje-li loďka tam a zpět ve směru ryhlosti v, potřebuje na uplavání stejné dráhy jako v kolmém směru -krát delší čas. 1 Nahraďme loďku světelným signálem, vodu v řee éterem (hypotetiká látka umožňujíí šíření elektromagnetikého vlnění), soustavu spojenou s břehem řeky označme S, soustavu spojenou s vodou v řee S'. Náš hypotetiký pokus se pak stane popisem tzv. Mihelsonova pokusu, který měl na koni 19. stol experimentálně potvrdit, či vyvrátit existeni éteru. Negativní výsledky tohoto měření vedly k definitivnímu opuštění teorie éteru. http://galileoandeinstein.physis.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm
Speiální teorie relativity - kinematika IF Nyní se pokusíme výsledky tohoto mehanikého pokusu využít na světlo. Představme si světelné hodiny - dvě rovnoběžná zradla (Z 1, Z ), od nihž se periodiky odráží světelný signál. Nejedná se o skutečný přístroj, který by šel použít v praxi nebo experimentální fyzie - je to jen myšlený model hodin, který je pro svoji jednoduhost výhodný v úvaháh o měření času. Uvažujeme dvě ineriální soustavy S a S. Soustava S se pohybuje ve směru osy x ryhlostí v. V čase t 0 = 0 jsou počátky obou ineriálníh vztažnýh soustav v počátku, do kterého umístíme stejné světelné hodiny H a H tak, aby jejih osy byly kolmé k vektoru ryhlosti v. V obou ineriálníh vztažnýh soustaváh jsou pozorovatelé P a P, kteří uvedou hodiny současně do hodu ve hvíli, kdy osy hodin splývají (jedná se o současnou a soumístnou událost). V soustavě S se světelný paprsek pohybuje ve směru osy světelnýh hodin, ale ve vztažné ineriální soustavě se pohybuje po úseče PM. Z postulátu ryhlosti světla vyplývá, že světelný paprsek urazí za dobu t dráhu PM = t. Tato dráha musí být stejná, jako dráha světla v hodináh H za dobu t. Pozorovatel v soustavě S musí na tik hodin H v soustavě S čekat déle, pozoruje, že hodiny tikají pomaleji. Vztah mezi t a t zjistíme z pravoúhlého trojúhelníka PP M: t vt t t t 1 v Odtud získáváme známý vztah pro dilatai času t t 1 v t t pozn.: Podle teorie relativity je čas relativní - Když se vzhledem k nám někdo pohybuje relativistikou ryhlostí, pozorujeme na něm zpomalení, i když on na sobě ni takového nepozoruje. A protože je pohyb relativní (my se pohybujeme vzhledem k němu), pozoruje i on totéž na nás. Pro pozorovatele v soustavě S platí opačný vztah.
Speiální teorie relativity - kinematika IF Při předhozí úvaze jsme vlastně použili jen první polovinu experimentu s loďkou, pohyb kolmo k toku řeky. Nyní doplníme i druhou část výsledků myšleného mehanikého experimentu Když měříme délku určitého předmětu, předpokládáme, že je umístěn v soustavě, která je vzhledem k naší vztažné soustavě v klidu. Předpokládejme však, že je tyč umístěna v klidu v soustavě S, která se vzhledem k soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře ryhlostí v (osa x je rovnoběžné s osou x). Pozorovatel v soustavě S může vypočítat délku tyče M N tak, že na ose x vyznačí polohy konovýh bodů M a N a délku tyče v soustavě S pak vypočítá jako vzdálenost l = MN okamžitýh poloh obou jejih konů. Poloha bodů M a N v soustavě S musí být vyznačena současně. Pozorovatel v soustavě S však nepokládá úsečku MN za délku tyče M N, protože z jeho pohledu bylo měření v bodeh MN provedeno postupně a ne současně. Předpokládáme, že z levého kone tyče O vyšleme ve směru jejího pohybu světelný signál. Světlo se po odrazu od zrátka Z umístěného na druhém koni tyče vrátí zpět do bodu O. V klidové soustavě S je doba t, za níž světlo urazí dráhu O ZO, daná l. 0 vztahem t V soustavě S se světlo šíří od levého kone tyče k zrátku po dobu t 1 a urazí dráhu t1 vt1 l, kde l je délka tyče v soustavě S. Při návratu paprsku k levému koni tyče urazí světlo vzhledem k soustavě S dráhu t l vt
Speiální teorie relativity - kinematika IF Z posledníh dvou vztahů dostáváme pro dobu t, za niž se světelný paprsek v soustavě S dostane od levého kone tyče k zrátku a nazpět, (podobně jako v příkladu s loďkou) výraz: 1 l l l v l v l l v l 1 t t t 1 v v v v Mezi časem t ineriální soustavy S a časem t ineriální vztažné soustavy S platí vztah pro dilatai času, l l0 takže po dosazení právě odvozenýh vztahů za t a t dostáváme rovnii která vyjadřuje známý relativistiký vztah pro kontraki délek 1 l l0 l0 l 0 je délka předmětu v klidové soustavě S a l délka předmětu v soustavě S, vzhledem k níž se předmět pohybuje. Transformae ryhlosti Vraťme se ke vztažným soustavám S a S'. Vyšle-li pozorovatel v soustavě S' v kladném směru osy x foton, pak by se tato částie podle klasikého zákona skládání ryhlostí (podle Galileovy transformae) pohybovala vzhledem k soustavě S ryhlostí u = + v. Tento výsledek je ale v rozporu s druhým postulátem speiální teorie relativity. Je zřejmé, že v Lorentzově transformai bude pro skládání ryhlostí vypadat jinak. Tento obenější vztah, který platí při libovolnýh ryhlosteh, nyní odvodíme. 1 v
Speiální teorie relativity - kinematika IF Mějme dvě ineriální vztažné soustavy S a S (v každé je pozorovatel) s rovnoběžnými osami x a x. V soustavě S se pohybuje částie, která ve dvou různýh okamžiíh vyšle signál. Předpokládejme, že v čase t = t = 0, v němž souřadniové osy obou soustav splývají, je částie v jejih společném počátku a vyšle první signál. Za dobu dt se rovnoměrným pohybem dostane do nějakého bodu A a urazí při tom v soustavě S' dráhu dx a vzhledem k soustavě S dráhu dx. Průhod částie bodem A je událost, která má v soustavě S' souřadnie dx, dt a v soustavě S souřadnie dx, dt. Každý pozorovatel změří prostorový a časový interval mezi těmito dvěma událostmi. Provedená čtyři měření jsou spojena rovniemi: dt v dt dx dx vdt dx v v 1 1 Z definie ryhlosti rovnoměrného přímočarého pohybu vyplývá, že částie má vzhledem k soustavě S' dx dx ryhlost u, vzhledem k soustavě S ryhlost u. dt dt hledaný vzore pro relativistiké skládání ryhlostí získáme vydělením infinitezimálníh úseků dráhy a času a několika jednoduhými algebraikými úpravami dx dt v dx dx vdt dt u u dt v v dx dt dx dt 1 dt u v uv 1 pozn.: Když v rovnii formálně použijeme, redukuje se na klasikou rovnii skládání ryhlostí.
Speiální teorie relativity - kinematika IF Speiální relativistiké jevy Jeden z nejnepohopitelnějšíh důsledků STR je skutečnost, že dva pozorovatelé, kteří se vzájemně pohybují, dospějí k jiným výsledkům měření délky téhož tělesa nebo časového intervalu mezi dvěma událostmi. Uvažujme dva pozorovatele, každého ve své kosmiké lodi, s vlastními hodinami a vlastní metrovou tyčí. Obě lodi se vůči sobě pohybují ryhlostí blízkou ryhlosti světla. Pak platí: Každý pozorovatel vidí metrovou hůl druhého jako -krát kratší než svou vlastní - kontrake délek. Každému pozorovateli se hodiny ve druhé soustavě jeví jako tikajíí -krát pomaleji než jeho vlastní dilatae času. Pokusy v uryhlovačíh části jasně potvrzují, že k oběma jevům skutečně dohází. Dilatae času Částie mají své vlastní vnitřní hodiny, které určují poločas rozpadu. Niméně čas, který odpočítávají hodiny v pohybujíí se soustavě, pozorovaný statikým pozorovatelem, je pomalejší než čas měřený statikými hodinami. Proto se statikému pozorovateli jeví čas měřený pohyblivým pozorovatelem jako -krátvětší. Pozorujme například částii, která někdy v uryhlovači vzniká. Ve své klidové soustavě má dobu života přibližně 3.05 10-13 s. Vypočítáme, jak daleko doletí, než se rozpadne: d= v t = (3 10 8 m s -1 ) (3,05 10-13 s) = 9,15 10-5 m Změřením dráhy částie nás však překvapí naměříme, že částie doletěla dál!
Speiální teorie relativity - kinematika IF Co je příčinou? V naší soustavě se částie pohybuje. Dobu rozpadu můžeme vnímat jako pohybujíí se hodiny, podle STR tikají pohyblivé hodiny -krát pomaleji než statiké. Vynásobením času v pohybujíí se soustavě koefiientem získáme odpovídajíí čas v laboratorní soustavě. Tento čas násobený, ož je přibližná ryhlost částie, určuje vzdálenost, kterou částie urazí. Kolik je v tomto případě? To záleží na energii částie. Pro = 0 bylo naměřeno, že částie uběhne před rozpadem přibližně vzdálenost 0 (9,15 10-5 m) = 1,8 10-3 m neboli asi 1,8 mm. To je 0-krát víe, než byhom očekávali při výpočtu podle klasiké fyziky. Pozorování části různýh ryhlostí potvrdilo, že dilatae času skutečně nastává. Vysvětluje např., jak mohou mezony z kosmikého záření doletět až na zemský povrh. Kontrake délek Po rozboru pohybu částie v naší souřadné soustavě si položme opačnou otázku: Co uvidí ve své vztažné soustavě? Její doba života je 3.05 10-13 s, měla by zůstat zahována i v její vlastní vztažné soustavě. V této soustavě se nepohybuje. Nehť pozorovatel v klidové soustavě pozoruje po dobu života částie pozorovatele spojeného s laboratorní soustavou. Jak daleko se pozorovatel dostane? Spočítali jsme, že v laboratorní soustavě proletí částie dráhu 1,8 mm. Očekávali byhom, že pozorovatel v soustavě bude vidět nás, jak urazíme stejnou dráhu vůči němu, ale není tomu tak. Pozorovatel -soustavy hlásí: vůči mně jste se posunuli pouze o 1,8 mm = 0,09 mm. Tento jev nazýváme kontrake délek. Jaká je doba života částie pro pozorovatele v její soustavě? Můžeme přepsat d = v t do tvaru t = d/v. Protože ryhlost pozorovatele v laboratoři vůči -pozorovateli je, až na orientai, stejná jako ryhlost -pozorovatele vůči laboratoři, můžeme použít stejnou hodnotu ryhlosti. Potom poločas rozpadu bude 0,09 10-3 m/(3 10 8 )m/s = 3,0 10-13 s. To je doba života částie pozorovaná v jeho klidové soustavě, přesně tak, jak by měla vyjít!
Speiální teorie relativity - dynamika IF Relativistiké pojmy Částie, pro něž je v/ srovnatelné s 1 jsou "relativistiké" částie, částie s v/ mnohem menším než jedna v/«1 jsou "nerelativistiké". V dalším textu budou uvedeny základní odlišnosti pro obě skupiny části. 1 Relativistiký koefiient Měřitelné účinky relativity vyjadřujeme pomoí koefiientu kde je ryhlost světla, v je ryhlost uvažovaného tělesa. 1 v Tento koefiient je závislý výhradně na ryhlosti částie a je vždy větší než jedna. Například uletí-li elektron v uryhlovači dráhu kolem 3m, získá ryhlost asi 0,99, při níž má hodnotu 7,09. Když doletí na kone lineárního uryhlovače ve Stanfordu (délka asi míle) má ryhlost 0.99999999995 takže dosahuje 100000. (Při Newtonovskýh ryhlosteh je přibližně rovno jedné.). Hybnost a hmotnost Pro nerelativistiká tělesa definujeme hybnost p, jako součin hmotnosti a ryhlosti: p = m v. Při relativistikýh ryhlosteh definie platí ve stejné podobě za předpokladu, že dosazujeme relativistikou hmotnost místo klidové, tj.: p = m v = m 0 v. Tato rovnie nám říká, že pro jakoukoli částii s nenulovou klidovou hmotností narůstá relativistiká hmotnost a tedy i hybnost tím víe, čím víe se její ryhlost blíží ryhlosti světla. Dosáhne-li částie ryhlosti světla, vzroste její hybnost (hmotnost) nade všehny meze. Protože uryhlení částie na takovou hybnost vyžaduje buď působení nekonečné síly, nebo konečné síly po nekonečnou dobu, dospíváme k závěru, že hmotná částie se vždy musí pohybovat ryhlostí menší než ryhlost světla.
Speiální teorie relativity - dynamika IF Energie Snad nejznámější definie všeh dob je Einsteinův vztah E = m. Umožňuje nám například určit množství energie odpovídajíí klidové hmotnosti m 0. Pokud tato hmotnost zmizí, např. při nukleární fúzi, odpovídajíí množství energie se musí objevit v nějaké jiné podobě. Zároveň tento vztah umožňuje určit elkové množství energie částie hmotnosti m 0, která je v klidu. Relativistiký výraz pro určení elkové energie částie s klidovou hmotností m 0 a hybností p je dán vztahem E = m 0 4 + p. Energie E je elková energie volně se pohybujíí částie. Rozdělíme-li ji na klidovou a kinetikou, získáme relativistiký vztah pro kinetikou energii, neboť platí 1 E. Je zřejmé, že tento vztah se liší od Newtonovského E k = 1/mv. E k = E - m 0 0 Substituí rovnie pro p do rovnie pro E, získáme E = m, tj. elková energie relativistiké částie je násobkem energie klidové. Příklad: Klidová energie elektronu je 0,511 MeV. Po průhodu dráhy 3m uryhlovačem má ryhlost 0,99, koefiient = 7,09. Aplikaí předhozí rovnie zjišťujeme, že získal energii 7,09 0,511MeV = 3,6 MeV; na koni uryhlovače, při koefiientu =10 5, má pak energii 100000 0,511 MeV = 51,1 GeV. Rozvička pro počtáře: vypočítejte kinetikou energii E k = E m 0 pro ryhlost v «; ukažte, že jde o součet známého výrazu pro kinetikou energii 1/ mv a korekí, které jsou moninami druhého a vyššíh řádů výrazu (v/). Výpočet názorně ukazuje, nevhodnost oddělování kinetiké a klidové energie u relativistikýh části. Charakterizujeme-li relativistikou částii její energií, máme vždy na mysli její elkovou energii. Výraz pro výpočet elkové energie částie zřejmě platí i pro částie s nulovou klidovou hmotností m 0 = 0. Taková částie se vždy pohybuje ryhlostí, tj. ryhlostí světla. Fotony mají kinetikou energii a hybnost, nemají však žádnou klidovou hmotnost! Einsteinův vztah nám říká ještě víe: Energie a hmotnost jsou vzájemně zaměnitelné Lépe řečeno, klidová hmotnost je jen jednou z forem energie. U směsi není hmotnost elku jen součtem hmotností jednotlivýh složek, ale součtem jejih energií, ož zahrnuje kinetikou, poteniální a hmotnostní energii. Rovnie E=m 0 reprezentuje převodní vztah mezi jednotkami energie a hmotnosti. I malá hmotnost odpovídá značnému množství energie.
Speiální teorie relativity - dynamika IF V libovolném případě atomové exploze se hmotnostní energie uvolňuje v podobě kinetiké energie výsledného materiálu, jehož hmotnost bývá o něo menší než hmotnost původní. V libovolném proesu rozpadu částie se část původní klidové energie přeměňuje na kinetikou energii produktů. Dokone i při hemikýh reakíh dohází k nepatrným změnám hmotnosti, které odpovídají uvolněné nebo pohlené energii. Při experimenteh s částiemi můžeme být svědky i opačného jevu - energie vytváří novou látku. V přítomnosti nabitýh části se může foton (majíí jen kinetikou energii) změnit v hmotnou částii a jí odpovídajíí antičástii. Přítomnost původní částie je nezbytná pro absorpi přebytečné energie a hlavně zahování hybnosti. Tento jev je dalším potvrzením platnosti STR a zároveň možností jak vytvářet antihmotu. Jednotky hmotnosti, energie a hybnosti Místo používání kilogramu pro měření hmotnosti používají fyzikové v problematie teorie části jednotku energie elektronvolt (ev). Je to energie, kterou získá jeden elektron, projde-li poteniálovým rozdílem jednoho voltu. Odtud vyplývá, že 1 ev = 1.6 10-19 J. Ukažme si, jak tato jednotka funguje. Klidová hmotnost elektronu je 9,11 10-31 kg. Z E = m vyplývá: E = 9,11 10-31 kg (3 10 8 m/s) = 8,199 10-14 J To je energie ekvivalentní jednomu elektronu. Takže jak 9,11 10-31 kg, tak 8,199 10-14 J, označuje totéž - elektron. Převedení joulů na elektronvolty umožňuje postoupit ještě dále a vyjádřit hmotnost elektronu jako 0,511 MeV.