Statika. fn,n+1 F = N n,n+1

Transkript

1 Statika Zkoumá síly a momenty působící na robota v klidu. Uvažuje tíhu jednotlivých ramen a břemene. Uvažuje sílu a moment, kterou působí robot na okolí. Uvažuje konečné tuhosti ramen a kloubů. V našem rozboru budeme uvažovat jen jednoduchý model tuhosti kloubů, ramena považujeme za nekonečně tuhá. Uvažujeme jen otevřený kinematický řetězec. Na i-té rameno (viz Obr. 26) působí síly f i 1,i, f i,i+1 a tíha ramene m i g a momenty N i 1,i, N i,i+1. Označme dále vektory r i 1,i = O i 1 O i, r i,ci = O i C i. Pak můžeme psát podmínky pro statickou rovnováhu sil: f i 1,i f i,i+1 + m i g = 0, i = 1,..., n. (16) Statická rovnováha momentů vyjádřená vzhledem k těžišti: N i 1,i N i,i+1 (r i 1,i + r i,ci ) f i 1,i + ( r i,ci ) ( f i,i+1 ) = 0, i = 1,..., n. (17) Jako cvičení je možné ukázat, že i při volbě jiného bodu, ke kterému vyjádříme rovnováhu momentů, dospějeme k ekvivalentní soustavě rovnic. Pro manipulátor s n rameny dostáváme 2n vektorových rovnic o 2n + 2 vektorových neznámých. Jednoznačné řešení dostáváme například tehdy, když volíme sílu a moment, kterým působí okolí na chapadlo. Například při manipulaci břemenem je f n,n+1 rovna tíze břemene a moment je nulový N n,n+1 = 0. Nazvěme vektorem sil v chapadle vektor: [ ] fn,n+1 F =. N n,n+1 (18) Síla a moment, kterými působí jedno rameno na druhé, jsou částečně absorbovány strukturou manipulátoru a částečně musí být kompenzovány silou vyvozovanou v kloubu. Pro posuvný kloub (viz Obr. 28) tedy struktura absorbuje všechny složky momentu a dvě ze složek síly. Pouze složka síly ve směru kloubu musí být kompenzována pohonem kloubu: Pro otočný kloub pohonem vyvozovaný moment určíme z: τ i = b T i 1 f i 1,i. (19) τ i = b T i 1 N i 1,i. (20) Složky, které jsou kompenzovány strukturou, nekonají práci, protože nepůsobí po dráze. Vektor všech sil a momentů vyvozovaných klouby nazvěme kloubovými momenty a označme: τ 1 τ 2 τ =. τ n. (21) Lze ukázat, že kloubové momenty bez složky podpírající robot vypočteme z vektoru sil v chapadle vztahem: τ = J T F, (22) kde J je Jakobián manipulátoru. Jako cvičení dokažte výše uvedený vztah (například použitím zákona zachovaní energie). Vypočtěte τ pro manipulátor z Obr. 30. Diskutujme schema na Obr. 31. V horní části je naznačeno zobrazení Jakobiánem manipulátoru z rychlosti kloubových souřadnic do rychlostí kartézských souřadnic chapadla tedy diferenciální kinematika. V dolní části pak vidíme transformaci transponovaným jakobiánem z vektoru sil v chapadle do kloubových momentů tedy statika. Oblast N(J) tedy jádro zobrazení jakobiánem obsahuje rychlosti/infinitesimální 23-1

2 pohyby v kloubech, které nemění polohu chapadla. Oblast R(J) popisuje oblast infinitesimálních pohybů chapadla, které lze získat infinitesimálními pohyby v kloubech. Doplněk této oblasti S 2 označuje infinitesimální pohyby chapadla, které manipulátor nemůže provést. Oblast N(J T ), jádro zobrazení transponovaným jakobiánem, je množina všech sil v chapadle, které jsou kompenzovány strukturou manipulátoru. Oblast R(J T ) reprezentuje kloubové momenty, které mohou kompenzovat síly v chapadle. Oblast S 3 znázorňuje kloubové momenty, které nemohou být kompenzovány silami v chapadle. Ve směru, ve kterém infinitesimální pohyby v kloubech nezpůsobují pohyby chapadla(n(j)), nelze sílu/moment v kloubu (S 3 ) kompenzovat žádnou silou/momentem v chapadle. Jako cvičení zvolte θ 2 = 0 v Obr. 30, sestavte Jakobián, určete jeho hodnost a porovnejte, které směry odpovídají, kterým oblastem ve schematu 31. Zdůrazněme, že Jakobián manipulátoru a tedy i konkrétní obsah schematu (dimenze jednotlivých oblastí) závisí na poloze manipulátoru q. Transformace souřadnic a sil Máme-li dány dvě souřadné soustavy, můžeme vyjádřit přenos infinitesimálních pohybů, sil a momentů mezi nimi. Označme q a p souřadnice v jedné a druhé soustavě. Vztah mezi infinitesimálními pohyby pak opět můžeme vyjádřit vztahem: δp = Jδq, (23) kde J je Jakobián příslušné transformace souřadnic. Pak pro transformaci zobecněných sil P a Q platí: Q = J T P. (24) Použití lze dokumentovat na příkladu z Obr. 32. Známe sílu, kterou je třeba působit na šroub a chceme spočítat, jakou silou máme působit chapadlem v bodě O. V bodě O bychom pak třeba umístili snímač síly a momentu a vypočtená hodnota sil by nám pak sloužila jako požadovaná veličina do zpětnovazebního regulátoru. Zvolíme popis klíče dq = [dx, dy, dz, dφ x, dφ y, dφ z ] T v souřadné soustavě O xyz a dp = [du, dv, dw, dφ u, dφ v, dφ w ] T v souřadné soustavě O uvw. Snadno ukážeme, že: dp = du dv dw dφ u dφ v dφ w = r z r y r z 0 r x r y r x dx dy dz dφ x dφ y dφ z = Jdq. (25) Pokud zvolíme zobecněné síly v souladu s volbou souřadnic, tj. Q = [F x, F y, F z, M x, M y, M z ] T v soustavě O xyz a P = [F u, F v, F w, M u, M v, M w ] T, pak F x F u F y F v dq = F z M x = F w 0 r z r y M u (26) M y r z 0 r x M v M z r y r x M w Vyřeěte samostatně pro případ, že osa v prochází osou z pro jakoukoliv polohu při utahování šroubu. Modelování tuhosti Tuhost manipulátoru je ovlivněna několika složkami: tuhostí ramen, tuhostí kloubů a podobně. Ramena bývají zpravidla relativně tuhá (výjimkou je např. manipulálator na raketoplánu). Tuhost kloubů můžeme modelovat například pružnou vazbou mezi pohonem a pohybujícím se ramenem. To je dobry predpoklad, protože vyznamná část chyb skutečně takto vzniká, další část (tuhost ramene) lze v malých mezích takto aproximovat (jde vlastně o lineární člen Taylorova rozvoje). Tento model nemodeluje jevy blízké hysterezi. Síla nebo moment τ i je pak úměrný odchylce polohy kloubu od nezatížené polohy q i konstantou k i : 23-2

3 Maticově: kde K = τ i = k i q i. τ = K q, k k n Poddajnost v kloubech se projeví na poddajnosti chapadla (viz Obr. 33). Síla F působící na chapadla musí být kompenzována silami v kloubech τ : τ = J T F. (27) S použitím modelu pružnosti kloubů se projeví odchylka v kloubech q. Odchylka v kloubech způsobí odchylku chapadla p: τ = K q. (28) p = J q. (29) Pokud jsou tuhosti nenulové je matice K invertovatelná a můžeme psát p = JK 1 J T F = CF. (30) Matici C nazýváme maticí poddajnosti chapadla. Pokud je jakobián manipulátoru čtvercový a regulární pak matici C můžeme invertovat a její inverzi nazýváme maticí tuhosti: F = C 1 p. (31) Pokud je jakobián manipulátoru singulární, existuje neprázdná oblast S 2 (viz Obr. 31) a tedy i neprázdná oblast N(J T ). Působíme-li silou v oblasti N(J T ) nevznikají žádné síly v kloubech a tedy manipulátor se jeví jako nekonečně tuhý. Připomeňme, že jakobián a tedy i matice poddajnosti a tuhosti zavisí na poloze manipulátoru. Protože odchylka polohy chapadla manipulátoru závisí na poloze manipulátoru, velikosti a směru působení sil na chapadlo, můžeme zkoumat největší a nejmenší odchylku při dané síle. Velikost odchylky pro jednotkovou velikost síly dostaneme: za podmínky p 2 = p T p = F T C T CF, (32) F 2 = F T F = 1. (33) Optimalizací zjistíme, že extrémních hodnot p = λ dosahuje odchylka polohy chapadla ve směrech daných vektory e, kde λ je minimální, resp. maximální vlastní číslo matice C 2 a vektor e je příslušný vlastní vektor. Transformaci souřadnic generovanou maticí vlastních vektorů pak nazýváme hlavní transformací. Působíme-li silami jen ve směru vlastních vektorů, i odchylka polohy chapadla je pak ve směru hlavních vektorů souhlasně orientovaná s působící silou. Zdůrazněme, že síla F v sobě zahrnuje i momenty sil a odchylka chapadla p i otočení. Příklad: Analyzujte manipulátor z Obr

4 Obrázek 26: Síly a momenty působící na rameno. Obrázek 27: Síly působící na rám a chapadlo.

5 Obrázek 28: Síly v posuvném kloubu. Obrázek 29: Posun a otočení vyvolané silou.

6 Obrázek 30: Síla působící na chapadlo. Obrázek 31: Mapování pro kinematiku a statiku.

7 Obrázek 32: Příklad.

8 Obrázek 33: Tuhost a poddajnost manipulátoru. Obrázek 34: Příklad analýzy tuhosti manipulátoru.