VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ TVOŘENÝCH HYPERGRUPOU LINEÁRNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH OPERÁTORŮ V JACOBIHO TVARU

South Bohemia Mathematical Letters Volume 21, (2013), No. 1, 38 46. VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ TVOŘENÝCH HYPERGRUPOU LINEÁRNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH OPERÁTORŮ V JACOBIHO TVARU Abstract. V práci jsou studovány hyperstruktury lineárních diferenciálních operátorů druhého řádu v Jacobiho tvaru pro konkrétní diferenciální rovnice. Tyto struktury jsou vstupní abecedou konstruovaných kvazi multiautomatů, jakožto aplikabilních struktur tvořících součást současné mezinárodní rozvíjené teorie multistruktur (nazývaných také hyperstrukturami). Dále jsou popsány specifické vlastnosti takovýchto konkrétních kvazi multiautomatů, které mohou sloužit jako prostředky pro modelování různých procesů, nebo být využity pro transfer jistého typu. V algebraické teorii jsou zkoumány různé koncepty automatů. V minulosti se automaty považovali za systémy, které mohou být použity pro přenos informací specifického typu. Automaty patří k systémům zahrnujícím modelování různých procesů. Tyto pojmy souvisejí s pojmy jako akce pologrup nebo grup na množině. V těchto případech jsou užívané termíny jako kvazi automaty nebo poloautomaty nebo jen jednoduché automaty bez výstupu, které jsou určitým zobecněním automatu Mealy typu. Připomeňme si, že automat Mealy typu je systém A = (A, X, Y, δ, λ), kde A, X, Y jsou neprázdné množiny a δ : A X A a λ : A X Y jsou funkce definované na A X. Množiny A, X, Y jsou množiny stavů, vstupů, výstupů,v daném pořadí. Funkce δ je tranzitní funkce, nebo také přechodová funkce a funkce λ je funkcí výstupní. Funkci automatu můžeme popsat následovně. Na vstup x X je aplikován stav a A automatu A. Jako následek toho přechází automat A do stavu δ(a, s) A a během této translace automat A odešle na výstup hodnotu λ(a, y) Y. Tedy tento koncept automatu je matematická interpretace reálného systému, který pracuje v diskrétním čase. Dále, když definice automatu zahrnuje rozšíření funkcí δ a λ (kartézský součin stavové množiny A a volné pologrupy slov nad vstupní abecedou X nebo výstupní abecedou Y, v daném pořadí) pak s přirozeným zobecněním, přejdeme k pojmu kvazi automat. Pro upřesnění; kvazi automat je systém A = (A, S, δ), který se skládá z neprázdné množiny A, libovolné pologrupy S a zobrazení δ: A S A takového, že δ(δ(a, r), s) = δ(a, rs) pro libovolné a A a r, s S. Toto je zřejmé zobecnění automatu bez výstupu; zejména každý automat bez výstupu A = (A, S, δ) je kvazi automat takový, že jeho vstupní pologrupa je volná. Jestliže vstupní pologrupa S kvazi automatu A = (A, S, δ) je kancelativní ( zkratitelná ) pologrupa, tj. pro libovolné r, s, t S, Key words and phrases. kvazi multiautomat, hypergrupa, diferenciální operátor, časová funkce. 38

VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ 39 rt = st s = r, pak A = (A, S, δ) nazýváme poloautomat. Poznamenejme, že pojem kvazi automat byl zaveden S.Ginsburgem toho času pod termínem kvazi stroj, jako zobecnění automatu Mealyho typu. Zkoumání algebraických struktur zejména v nekomutativní algebře přirozeně vedlo k hyperstrukturám - také často nazývaným multistruktury. Jedna z hlavních motivací pro tento výzkum přišla z geometrie. Analýza geometrických struktur vedla k rozličným binárním hyperstukturám a to hlavně k pojmu spojnicového prostoru, který byl zkoumán Waltrem Prenowitzem, jenž společně s Jamesem Jantosciakem rozvinul některé části geometrie. Další motivace pro zkoumání hyperstruktur můžeme najít v chemii nebo nukleární fyzice. Připomeňme, že multistruktury nazývané také hyperstruktury patří k významné části moderní algebry. Zejména, hypergrupy (dříve nazývané také multigrupy) jsou vhodné zobecnění grup. Pojem hypergrupy zavedl v roce 1934, Fréderic Marty [16, 22] na 8. mezinárodním kongresu skandinávských matematiků. Teorie hyperstruktur a zejména teorie hypergrup, zasahuje několik oblastí matematiky. Zmíníme některé z nich: geometrie (deskriptivní, sférická, projektivní) uvedené v [14],grafy a hypergrafy, binární relace, uspořádané množiny a zejména svazy, uspořádané algebraické struktury, automaty, kryptografie, kódy, obecné systémy, umělá inteligence, polygroupy (aplikované v kombinatorice), pravděpodobnost, fuzzy množiny, některé další aplikace a speciální konstrukce. Uvedeme zde jen základní pojmy z této matematické teorie. Definice 1. Hypergrupoid je dvojice (H, ), kde H je neprázdná množina, binární hyperoperace je zobrazení kartézského součinu H H do systému všech neprázdných podmnožin množiny H (běžně označované P (H)). Hypergrupoid splňující axiom asociativity se nazývá polohypergrupa. Axiom asociativity: a (b c) = (a b) c pro každou trojici prvků a, b, c H (zde a M = m M a m pro každé a H, M, M H); Polohypergupa splňující axiom reprodukce se nazývá hypergrupa. Axiom reprodukce: a H = H = H a pro každé a H. Pro libovolné dvě neprázdné podmnožiny A, B množiny H definujeme jejich hypersoučin jako A B = {a b; a A, b B}. Podhypergrupoid hypergrupy (H, ) je dvojice (S, ), kde S S S H. Poznamenejme, že relace incidence neprázdných množin A, B, tedy A B, se v literatuře o hyperstrukturách obvykle označuje A B. Hypergrupa (H, ) se nazývá transpoziční hypergrupa nebo také spojnicový (nekomutativní) prostor, jestliže splňuje axiom transpozice: Pro každou čtveřici a, b, c, d H ze vztahu b \ a c/d plyne a d b c, kde množiny b \ a = {x H; a b x}, c/d = {x H; c x d} se nazývají levá a pravá extenze (někdy též levý a pravý zlomek).

40 V teorii o hypergrupách je prezentována jistá konstrukce kde na uspořádané komutativní grupě definujeme binární hyperoperaci pak z této grupy získáme komutativní hypergrupu. Uspořádanou grupou rozumíme trojici (G,, ), kde (G, ) je grupa a binární relace je uspořádání na G takové, že pro libovolnou trojici x, y, z G plyne z vlastnosti x y také x z y z, z x z y. V uspořádané grupě budeme symbolem [a) označovat hlavní konec generovaný prvkem a G, definovaný takto: [a) = {x G; a x}. Nyní uvedeme důležitý příklad hypergrupy determinované uspořádanou grupou (G,, ) (viz např. [1, 2, 4]). Pro každou dvojici prvků a, b G definujeme hyperoperaci na množině G takto: a b = [a b). Potom (G, ) je hypergrupa, která je komutativní, právě když grupa (G, ) je komutativní. Toto tvrzení bývá označováno v teorii hyperstruktur jako koncové lemma (např. [4, 28, 29], důkaz viz např. [2]). V jisté implicitní podobě je toto tvrzení již obsaženo v práci [34]. Ve spojení s binárními hyperstrukturami je uveden pojem multiautomatu, který je studován např. v práci [17]. Tyto speciální konstrukce tvořené vstupní hypergrupou, která je formována různými operátory (transformacemi operátorů reálných nebo komplexních funkcí, diferenciálními nebo integrálními operátory) představují předmět určitého zájmu. Použijeme jistý transfer od kvazi automatu se vstupní pologrupou do třídy kvazi multiautomatů (bez výstupu) tvořenými vstupní hypergrupou. Uvědomme si, že multiautomaty jsou akce polohypergrup nebo hypergrup na daném fázovém prostoru. Definice 2. [21] Kvazi multiautomat bez výstupu je trojice M = (H, S, δ) kde (H, ) je polohypergrupa, S je neprázdná množina a δ : H S S je tranzitní (přechodová) funkce splňující podmínku: 1) δ(b, δ(a, s)) δ(a b, s) pro všechna a, b H, s S ( podmínka obecné smíšené asociativity - GMAC (the Generalized Mixed Associativity Condition)). Množina S se nazývá stavová množina kvazi multiautomatu M, struktura (H, ) se nazývá vstupní (polo) hypergrupa kvazi multiautomatu M a δ je tranzitní funkce. Prvky množiny S se nazývají stavy, prvky množiny A se nazývají vstupní symboly (nebo také slova). Poznamenejme, že první, kdo začal v padesátých letech systematické studium vlastností globálních rovnic s odpovídající levou stranou, tj. y + p(x)y = 0, kde p C(I) byl profesor Otakar Borůvka.Pod označením C(I) (užívá se i označení C 0 (I)) budeme rozumět okruh všech spojitých funkcí na intervalu I R (kde R je interval reálných čísel) s obvyklým sčítáním a násobením funkcí. Analogicky okruh všech spojitých funkcí na intervalu I, které mají všechny derivace až do řádu k pro nějaké přirozené číslo k, budeme označovat C k (I). Symbolem C + (I) označíme podpolookruh okruhu C(I), tvořený všemi kladnými nenulovými spojitými funkcemi. V monografii [26], p. 229 je dokázáno, že pokud h je fáze a ϕ je rozptyl výše uvedené rovnice (srov. [26]), pak platí, že h a ϕ splňuje Abelovu funkcionální rovnici h(ϕ(x)) = h(x) + π sgn h. Rovnice v Jacobiho formě vedly ke zkoumání grup a hypergrup operátorů L(0, p), p C(I). Definujeme L(0, q)y = y + q(x)y. Otakar Borůvka našel kritérium globální ekvivalence pro diferenciální rovnice druhého řádu v Jacobiho tvaru, tj. y + q(x) y = 0, q C(I)

VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ 41 Existuje cenná literatura, která je věnována této problematice z hlediska přístupu využívajícího klasické algebraické a geometrické struktury [24, 25, 26, 27, 28]. Konkrétní motivací pro zkoumání hypergrup tvořených lineárními diferenciálními operátory můžou být časové funkce [10, 11]. Časové funkce jsou zde zastoupeny konkrétními modelovacími funkcemi tvaru ϕ(t) = t n exp( λt) pro n = 2, 3. Uveďme některé příklady. Platí a ϕ (t) = (n λt)t n 1 exp( λt) ϕ (t) = ( λ 2 t 2 λnt + n(n 1))t n 2 exp( λt). Získáme diferenciální rovnici druhého řádu z rovnic uvedených výše ϕ(t) = t n exp( λt), n {2, 3,...}, λ R, tj. ϕ (t) + p(t)ϕ = 0 kde p(t) = ( λ 2 t 2 + 2λnt + n(n 1))t n 2, t 1, ) se vstupními podmínkami ϕ(1) = exp( λ), ϕ (1) = (n λ) exp( λ). Také diferenciální rovnice Gaussova pulsního signálu v(t) = a exp( 2πt 2 ).t 0, ) (cf. [33], p. 421) může být vyjádřena v Jacobiho formě tedy v (t) = 4aπt exp( 2πt 2 ), v (t) = 16aπ 2 t 2 v(t), v (t) 16aπt 2 v(t) = 0, t 0, ), s počáteční podmínkou v(0) = a, v (0) = 0. Uvedeme konkrétní příklad hyperstruktury a kvazi multiautomatu, které jsou tvořeny lineárními diferenciálními operátory Jacobiho tvaru. Tedy z výše uvedené diferenciální rovnice v (t) 16aπt 2 v(t) = 0, t 0, ) získáme operátor L(0, Ψ(a, t)) = d2 dt + 16aπt 2 Id, kde a R +. Tento diferenciální operátor odpovídá 2 levé straně diferenciální rovnice jejichž prostorem řešení je systém časových funkcí v(t) = a exp( 2πt 2 ). Věta 3. Nechť T = 0, ) je interval reálných čísel a JA 2 (T ) = { L (0, Ψ(a, t)) ; L(0, Ψ(a, t)) = d2 dt 2 + 16aπt2 Id }, je množina všech lineárních diferenciálních operátorů v Jacobiho tvaru - tj. L (0, Ψ(a, t)) (y) = y(t) + 16aπt 2, kde a R +. Jestliže L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 2, t)) = L (0, Ψ(a 1 a 2, t)) pro všechna L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) pak (JA 2 (T ),, ) je komutativní kvazi uspořádaná grupa. Poznámka 4. Uvádíme T místo intervalu I R používaného například v pracech [9, 10, 20, 21], jelikož zde se jedná o časovou funkci, která je definovaná pro t 0, ) = T.

42 Důkaz. Asociativita: Předpokládejme, že L (0, Ψ(a 0, t)), L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ), pak L (0, Ψ(a 0, t)) (L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 2, t))) = L (0, Ψ(a 0, t)) L (0, Ψ(a 1 a 2, t)) = L (0, Ψ(a 0 a 1 a 2, t)) = (L (0, Ψ(a 0 a 1, t))) L (0, Ψ(a 2, t)) = (L (0, Ψ(a 0, t)) L (0, Ψ(a 1, t))) L (0, Ψ(a 2, t)). Neutrálním prvkem k prvku L (0, Ψ(a, t)) je prvek L (0, Ψ(1, t)) a inverzním prvkem je prvek L ( 0, Ψ( 1 a, t)). Uspořádání: Z definice relace plyne, že relace je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická. Tedy množina JA 2 (T ) je uspořádaná. Kvazi uspořádání množiny JA 2 (T ): Zbývá ověřit kvazi uspořádání množiny JA 2 (T ) s binární operací. Předpokládejme, že L (0, Ψ(a 0, t)), L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) a lineární diferenciální operátory splňují vlastnost L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 2, t)) a L (0, Ψ(a 0, t)) je libovolný operátor. Pak z tohoto plyne proto Ψ(a 1, t) Ψ(a 2, t), pro všechna t 0, ), Ψ(a 0, t) Ψ(a 1, t) Ψ(a 0, t) Ψ(a 2, t) pro všechna t 0, ), L (0, Ψ(a 0, t)) L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 0, t)) L (0, Ψ(a 2, t)). Protože operace je komutativní nemusíme provádět výpočet z druhé strany a tedy (JA 2 (T ),, ) je komutativní kvazi uspořádaná grupa. Věta 5. Nechť T = 0, ) je interval reálných čísel, (JA 2 (T ),, ) je komutativní kvazi uspořádaná grupa. Jestliže definujeme na JA 2 (T ) hyperoperaci: L (0, Ψ(a 1, t)) L (0, Ψ(a 2, t)) = {L (0, Ψ(b, t)) ; b R +, Ψ(a 1, t) Ψ(a 2, t) Ψ(b, t), t 0, )} pro všechna L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) pak (JA 2 (T ), )je komutativní hypergrupa (v souladu s [4] Větou 1) splňující transpoziční axiom, tedy je (JA 2 (T ), ) spojnicovým prostorem. Dále zkonstruujeme kvazi multiautomat se vstupní hypergrupou a množinou stavů, kterou tvoří lineární diferenciální operátory v Jacobiho tvaru pro konkrétní časovou funkci v(t) = a exp( 2πt 2 ). A následně popíšeme vlastnosti determinující tento konkrétní kvazi multiautomat. Věta 6. Nechť (R +, ) je hypergrupou, kde a R +. Hypergrupoid (R +, ) je hypergrupou splňující transpoziční axiom, struktura je tedy spojnicový prostor. Pak A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je kvazi multiautomat s množinou stavů JA 2 (T ) a zobrazením δ v : R + JA 2 (T ) JA 2 (T ) definovanou tímto způsobem δ v (a 1, L (0, Ψ(a 2, t))) = L (0, Ψ(a 1 a 2, t))

VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ 43 Důkaz. Z věty 3.2 [32] plyne, že hypergrupoid (R +, ) s binární hyperoperací a 1 a 2 = [αa 1 + βa 2 ) [α,β] R + R + splňuje transpoziční axiom. Pak hypergrupa (R +, ) je spojnicový prostor. Ukažme, že struktura A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) splňuje podmínku GMAC (the Generalized Mixed Associativity Condition). Předpokládejme, že L (0, Ψ(a, t)) JA 2 (T ) a a 1, a 2 (R +, ) Výpočet levé strany: δ v (a 1, δ v (a 2, L (0, Ψ(a, t)))) = δ v (a 1, L (0, Ψ(a a 2, t))) = L (0, Ψ(a a 2 a 1, t)) Výpočet pravé strany: δ v (a 1 a 2, L (0, Ψ(a, t))) = δ v ( [α,β] R + R + [αa 1 βa 2 ), L (0, Ψ(a, t))) = {L (0, Ψ(a b, t)) ; α, β R + : αa 1 βa 2 b}. Pro α = β = 1 a dále b = a 1 a 2 máme L (0, Ψ(a b, t)) δ v (a 1 a 2, L (0, Ψ(a, t))) Struktura A v splňuje GMAC a je tedy kvazi multiautomatem. Definice 7. [21] Každý kvazi multiautomat A = (H, S, δ) je: Abelovský (nebo komutativní) když δ(s, x y) = δ(s, y x) pro všechny trojice [s, x, y] S H H, Cyklický když existuje stav s S takový že pro všechny stavy t S existuje prvek a H s vlastností δ(s, a) = t. Navíc jestliže množina všech generátorů A je přesně množina S pak kvazi multiautomat je silně souvislý. Lemma 8. Nechť T = 0, ) je interval reálných čísel. Pak kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je abelovský, cyklický a následně silně souvislý. Důkaz. Předpokládejme, že L (0, Ψ(a 1, t)) JA 2 (T ) a dále b, c R +. Pak b c = α R [α b c) a δ v : R + JA 2 (T ) JA 2 (T ) definujeme δ v (a 1, L (0, Ψ(a 2, t))) = L (0, Ψ(a 1 a 2, t)) Je evidentní že hyperoperace na R + je komutativní, tedy platí že δ v (L (0, Ψ(a, t)), b c) = δ v (L (0, Ψ(a, t)), c b) Potom kvazi multiautomat je abelovský (nebo komutativní). Nyní ukážeme, že struktura A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je cyklická a následně i silně souvislá. Předpokládejme, L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) a dále b, R +. Zobrazení δ v : R + JA 2 (T ) JA 2 (T ) definovanou tímto způsobem δ v (a 1, L (0, Ψ(a 2, t))) = L (0, Ψ(a 1 a 2, t)). Pak δ v (L (0, Ψ(a 1, t)), b) = L (0, Ψ(a 1 b, t)); pro a 1 = a2 b, máme ( δ v (L (0, Ψ(a 1, t)), b) = L (0, Ψ(a 1 b, t)) = L 0, Ψ( a ) 2 b b, t) = L (0, Ψ(a 2, t)). Tedy kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je cyklický.

44 Z výše uvedeného vyplývá, že kvazi multiautomat A v je silně souvislý. Tedy pro každou dvojici stavů L (0, Ψ(a 1, t)), L (0, Ψ(a 2, t)) JA 2 (T ) existuje vstupní symbol (slovo) b R + s vlastností δ v (b, L (0, Ψ(a 1, t))) = L (0, Ψ(a 2, t)). Definice 9. Kvazi multiautomat A = (H, S, δ) se nazývá transitivní, když je splněna následující podmínka: Pro všechna (s, t) S S existuje automorfismus ρ kvazi multiautomatu A (tj. ρ : S S je bijekce taková, že ρ(δ(s, x)) = δ(ρ(s), x) pro každé s S a každé x H). Lemma 10. Kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je transitivní, tj. automorfismus grupy Aut(A v ) na stavové množině JA 2 (T ) působí transitivně. Důkaz. Pro všechna r R + definujeme Λ r : A v A v jako Λ r (L (0, Ψ(a, t))) = L (0, Ψ(a r, t)). Zobrazení Λ r je evidentně bijektivní a pro všechny operátory L (0, Ψ(a, t)) JA 2 (T ) a všechna reálná čísla r R + máme δ v (λ r (L (0, Ψ(a, t))), b) = δ v (L (0, Ψ(a r, t)), b) = L (0, Ψ((a r) b, t)) = L (0, Ψ(a r b, t)) = λ r (L (0, Ψ(a b, t))) = λ r (δ v (L (0, Ψ(a, t)), b)) tedy Λ r Aut(A v ). Nyní, když L (0, Ψ(a, t)) JA 2 (T ), L (0, Ψ(b, t)) JA 2 (T ) jsou libovolné operátory, pak a, b R + a definujeme r = b a získáme r R+ a λ r (L (0, Ψ(a, t))) = L (0, Ψ(a r, t)) = L (0, Ψ(b, t)) Kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je transitivní. Lemma 11. Nechť tranzitivní kvazi multiautomat A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je kvaziperfektní, právě tehdy když je silně souvislý. Poznámka 12. Výše bylo dokázáno, že A v = ((R +, ), JA 2 (T ), δ v ) je tranzitivní a silně spojitý kvazi multiautomat, a tedy kvazi multiautomat A v je kvaziperfektní. Pro úplnější informaci čtenáře je připojen poměrně rozsáhlý seznam literatury související se studovaným tématem. References [1] BERÁNEK, J., CHVALINA, J.: Invariantní podgrupy grup obyčejných lineárních diferenciálních operátorů druhého řádu, Acta Mathematica 13, Fac. Nat. Sci. Univ. Nitra (2010), p. 43-47. ISBN: 978-80-8094-781-1. [2] CHVALINA, J.: Funkcionální grafy, kvaziuspořádané množiny a komutativní hypergrupy, Masarykova Universita Brno 1995. ISBN 80-210-1148-3. [3] CHVALINA, J.: Infinite multiautomata with phase hypergroups of various operators. In 10th International Congress on Algebraic Hyperstructures and Applications, Brno (2008), p. 57-69. ISBN:978-80-7231-668-5. [4] CHVALINA, J., CHVALINOVÁ, L.: Join spaces of linear differential operators of the second order. Folia FSN Universitatis Masarykiane Brunensis, Mathematica 13, Colloquium on Differential and Difference Equations, Brno (2002), p. 77-86. ISBN: 80-21-3149-2. [5] CHVALINA, J., MOUČKA, J.: Actions of join spaces of continuous functions on hypergroups of second-order linear differential operators, In 6th Workshop, Fac. of Civil Engin. Brno University of Technology, Brno (2003), p. 9. ISBN: 80-214-2741-8. [6] CHVALINA, J., MOUČKA, J., VÉMOLOVÁ, R.: Funktoriální přechod od kvaziautomatů k multiautomatům, Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, on CD ROM, University of Defence, Brno (2006), p. 8. ISBN: 80-7231-139-5.

VLASTNOSTI KVAZI MULTIAUTOMATŮ 45 [7] CHVALINA, J., RAČKOVÁ, P.: Join spaces of smooth functions and their actions on transposition hypergroups of second order linear differential operators, In Aplimat Journal of Applied Math (2008), No. 1, p. 55-63. ISBN 978-80-89313-03-7. [8] CHVALINA, J., HOŠKOVÁ-MAYEROVÁ, Š.: General ω-hyperstructures and certain applications of those, Ratio Math. 23 (2012), p. 55-72. ISSN: 1592-7415. [9] CHVALINA, J., KŘEHLÍK, Š.: Normal subhypergroups of hypergroups of ordinary linear second-order differential operators, South Bohemia Math. Letters Vol. 20 (2012), No. 1, p. 1-9. ISSN: 1804-1450. [10] CHVALINA, J., KŘEHLÍK, Š.: Compactness of intervals of real numbers and the invertibility of certain hyperstructures, Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, University of Defence, Brno (2013). [11] CHVALINA, J., KŘEHLÍK, Š., NOVÁK, M.: Modelling of non-periodic impulses and the Mellin integral transformation. Internat. Colloq. On the Management of Educational Process, Proceedings, University of Defence, Brno (2012), p. 79 83. ISBN: 978-80-7231-865- 0. [12] CORSINI, P.: Prolegomena of Hypergroup Theory. Aviani Editore, Italy 1993. ISBN: 88-772- 025-5. [13] CORSINI, P., LEOREANU FOTEA, V.: Applications of Hyperstructures Theory. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht / Boston / London 2003. ISBN: 1-4020-1222-5. [14] DAVVAZ, B., LEOREANU FOTEA, V.: Hyperring theory and Applications. Hadronic Press, Palm Harbor, Fl. U.S.A 2008. ISBN: 978-80-7231-779. [15] DAVVAZ, B.: Polygroup Theory and Related Systems. World Scientific, New Jersey London Singapore Shanghai Hong Kong 2013. ISBN: 978-9814425308. [16] DRESHER, M., ORE, O.: Theory of multigroups. Amer. J. Math. 60 (1938), p. 705-733. [17] HOŠKOVÁ, Š., CHVALINA, J.: Discrete transformation hypergroups and transformation hypergroups with phase tolerance space. Discrete Math. 308 (2008), p. 4133-4143. ISSN: 0012-365X. [18] JANTOSCIAK, J.: Transposition hypergroups: Noncommutative join spaces. J. of Algebra. Vol.187 (1997), p. 97-119. ISSN: 0021-8693. [19] JANTOSCIAK, J.: Transposition in hypergroups. Sixt Internat. Congress on AHA, 1996. Democritus Univ. of Thrace Press, Greece, p. 77 84. ISBN: 9608568714. [20] KŘEHLÍK, Š.: Hypergroups of second-order differential operators in the Jacobi form and multi-quasiautomata. EEICT, Proc. 18th Conf. Vol. 3(2012), p. 268-272. ISBN: 978-80-214-4462- 1. [21] KŘEHLÍK, Š.: Quasi automata formed by continuous function and by second order linear differential operators in the Jacobi form. EEICT, Proc. 19th Conf. Vol. 3(2013), p. 149-153. ISBN: 978-80-214-4695-3. [22] MARTY, F.: Sur une généralization de la notion de groupe. Huitie me congre s des mathématiciens scandinaves, Stockholm (1934), p. 45 49. [23] MESAROVIĆ, M.D. TAKAHARA, Y.: General System Theory. A Mathematical Foundations. Academic Press, New York 1975. ISBN: 0-12-491540-X. [24] NEUMAN, F.: Distribution of zeros of solutions of y = q(t)y in relation to their behavior in large. Studia Sci. Math. Hungar. Vol.8, (1973), p. 177 185. ISSM:0081-6906. [25] NEUMAN, F.: Global theory of ordinary linear differential homogeneous equations in the real domain. Math. Inst. Czechoslovakian Academy of Sciences, Branch Brno (1987), p. 50. [26] NEUMAN, F.: Global Properties of Linear Ordinary Differential Equations. Academia - Praha, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht /Boston / London, 1991. ISBN 80-200-0423-8. [27] NEUMAN, F.: On a representations of linear differential equations. Mathematical and Computer Modelling Vol.52, (2010), p. 355-360. ISSN: 0895-7177. [28] NOVÁK, M.: Potential of the Ends lemma to create ringlike hyperstructures from quasiordered (semi)hypergroups. South Bohemia Math. Letters Vol.17, No 1, (2009), p. 39 50. ISSN: 1804-1450. [29] NOVÁK, M.: The notion of Ends lemma based hyperstructures. Aplimat Journal of Applied Math. Vol.3, (2010), p. 237 247. ISBN: 978-80-89313-47- 1. [30] NOVÁK, M.: Some basic properties of EL-hyperstructures. European J. of Combinatorics Vol.34, (2013), p. 446-459. ISSN: 0195-6698.

46 [31] PRENOWITZ, W., JANTOSCIAK, J.: Geometries and join spaces. J. Reine Angew. Math, Vol.257, (1972), p. 100-128. [32] RAČKOVÁ, P.: Hypergroups of symmetric relations. 10th Internat. Congress on Algebraic Hyperstructures and Appl. Proc. of Contributions Univ. of Defence Brno (2008), p. 267-271. ISBN 978-80-7231-688-5. [33] SIEBERT, W. McC.: Circuits, Signals, and Systems. The MIT Press, McGraw-Hill Book Company, New York- San Francisco Montreal Toronto, 1986. ISBN:0-262-19229-2. [34] VOUGIOUKLIS, T.: Representations of hypergroups by generalized permutations. Algebra Universalis, Vol.29, (1992), p. 172-183. ISSN: 1420-8911. [35] VOUGIOUKLIS, T.: Hyperstructures and their Representations. Monographs, Hadronic Press, Palm Harbor, Fl. U.S.A. 1994. ISBN 0-91176-86-X. Department of Mathematics, FEEC, Brno University of Technology, Brno, Czech Republic E-mail address: xkrehl02@stud.feec.vutbr.cz