Alternativní přístup k analýze vícefaktorových dat

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Alternativní přístup k analýze vícefaktorových dat"

Petra Vítková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Alternativní přístup k analýze vícefaktorových dat Kamila Fačevicová 1, Peter Filzmoser 2, Karel Hron 1 1 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci, 2 Institute of Statistics and Mathematical Methods in Economics, Vienna University of Technology kamila.facevicova@gmail.com

2 Motivace Vektorová kompoziční data Kompoziční krychle

3 Motivace Struktura zaměstnanosti ve 42 zemích v roce Např. pro Českou republiku (v tis.): x = Žena Muž ( FT PT FT PT FT PT ) Zdroj:

4 Struktura zaměstnanosti v ČR Věková struktura zaměstnanců v České republice v roce 2015: x věk = (0.09, 0.62, 0.29) vektorová kompoziční data

5 Vektorová kompoziční data Kompoziční data, standardně definovaná jako D-složkový vektor kladných hodnot x = (x 1,..., x D ), se vyznačují vlastností, že veškerá relevantní informace je obsažena v poměrech mezi složkami: (5, 10) (100, 105). Výběrovým prostorem je D-rozměrný simplex namísto celého R D : S D = {(x 1,..., x D ) R D, x i > 0, i, D x i = κ}. Data se řídí Aitchisonovou geometríı namísto Euclidovské: i=1 x y = C(x 1 y 1,..., x D y D ) a α x = C(x α 1,..., x α D ), x, y A = 1 D i<j ln x i x j ln y i y j.

6 Vektorová kompoziční data Vzhledem k relativní povaze dat není vhodné použití standardních metod. Data nejprve vyjádříme v reálných souřadnicích a následně je analyzujeme pomocí standardních (klasických/robustních) analytických metod.

7 Vektorová kompoziční data Vzhledem k relativní povaze dat není vhodné použití standardních metod. Data nejprve vyjádříme v reálných souřadnicích a následně je analyzujeme pomocí standardních (klasických/robustních) analytických metod. Isometrické log-ratio (ilr) souřadnice ilr(x) = ( x, e 1 A,..., x, e D 1 A ) představují isometrický isomorfismus mezi S D a R D ilr(x y) = ilr(x) + ilr(x), ilr(α x) = α ilr(x), neexistuje žádná standardní báze. x, y A = ilr(x), ilr(x),

8 Vektorová kompoziční data Pomocí postupného binárního dělení získáme systém D 1 log-kontrastů ξ i = (ξ i1,..., ξ id ) s prvky ξ i+ = 1 u uv u + v, ortonormálních vektorů ξ i = 1 v uv u + v a ξ i0 = 0, a ilr souřadnic - bilancí D z i = ξ ij ln x j = j=1 e i = exp(ξ i ) uv u + v ln (x j 1 x j2 x ju ) 1/u (x k1 x k2 x kv ) 1/v. i x 1 x 2 x 3 u v ξ 1 = ξ 2 = ( ) 2 3, 1 23, ( ) 0, 12, 12 z 1 = z 2 = 23 x ln 1 x2 x 3 12 ln x 2 x3

9 Struktura zaměstnanosti Věková struktura zaměstnanců v České republice v roce 2015: x věk = (0.09, 0.62, 0.29) i u v z věk 1 = z věk 2 = 2 ( ) 3 ln x1 x2 x 3 = 1.25 ( 1.53) ( ) 1 2 ln x2 x 3 = 0.55 (0.78)

10 Struktura zaměstnanosti Věková struktura zaměstnanců v České republice v roce 2015, podle jejich pohlaví a věku: x = Žena Muž ( ) kompoziční tabulky

11 Struktura zaměstnanosti Věková struktura zaměstnanců v České republice v roce 2015, podle jejich pohlaví, věku a typu prac. poměru: x = Žena Muž ( FT PT FT PT FT PT ) kompoziční krychle

12 Kompoziční krychle Kompoziční krychle x 111 x 1J1 x 11K x 1JK x = x I 11 x IJ1 x I 1K x IJK, kde x ijk > 0, i, j, k, představuje třífaktorové zobecnění I J K-složkových kompozičních dat, Výběrovým prostorem je I J K-složkový simplex I S IJK = x = (x,j,k 111,..., x IJK ) x ijk > 0, i, j, k; x ijk = κ. i,j,k=1 Základní operace Aitchisonovy geometrie je potřeba modifikovat x y = (x ijk y ijk ) I,J,K i,j,k=1 a α x = (x α ijk) I,J,K i,j,k=1,

13 Souřadnicová reprezentace CoDa krychĺı Souřadnicový systém navržený pro vektorová kompoziční data (bilance) nerespektuje trojrozměrnou povahu krychĺı, možnost jejich rozkladu na část nezávislou a části interakční alternativní souřadnicový systém.

14 Souřadnicová reprezentace CoDa krychĺı - konstrukce 1. Definice PBD pro celé řádky, sloupce a řezy, 2. výpočet log-kontrastů ξ i, 3. výpočet dalších log-kontrastů pomocí Hadamardova součinu dvojic a trojic log-kontrastů z různých PBD, 4. normování nových log-kontrastů, 5. výpočet IJK 1 ortonormálních souřadnic s využitím vztahu z i = D ξ ij ln x j. j=1

Souřadnicová reprezentace CoDa krychĺı Takto získaný systém je tvořen

jednotlivých faktorů např. zi r stjk = ln [g(x j 1..) g(x js.

)] 1/t interakce mezi dvojicemi faktorů interakce mezi všemi faktory

15 Souřadnicová reprezentace CoDa krychĺı Takto získaný systém je tvořen třemi skupinami souřadnic popisujícími: bilance mezi úrovněmi jednotlivých faktorů např. zi r stjk = ln [g(x j 1..) g(x js.. )] 1/s s+t [g(x k1..) g(x k t.)] 1/t interakce mezi dvojicemi faktorů interakce mezi všemi faktory např. z rc = A D ln g(x A)g(x D ) A + B + C + D g(x B )g(x C ) např. z rcs = K ln g(x A )g(x D )g(x F )g(x G ) g(x B )g(x C )g(x E )g(x H )

16 Struktura zaměstnanosti x = ( ) i Ženy Muži s t j Full time Part time u v k m n

17 Struktura zaměstnanosti Bilance - pohlaví z1 r = ( ) 3 ln g(x1..) g(x 2..) = 0.31 (0.18) Bilance - typ z1 c = ( ) 3 ln g(x.1.) g(x.2.) = 4.67 (2.70) Bilance - věk ( z1 s = 8 3 ln z s 2 = 2 ln g(x..1) g(x..2)g(x..3) ) = 2.50 (-1.53) ( ) g(x..2) g(x..3) = 1.10 (0.78)

Employment structure Interakce - pohlaví, typ ( ) z1 rc = 3 4 ln g(x11.

18 Employment structure Interakce - pohlaví, typ ( ) z1 rc = 3 4 ln g(x11.)g(x 22.) g(x 12.)g(x 21.) = 0.97 (-1.12) Interakce - pohlaví, věk ( 1 = 2 3 ln z rs g(x 1.1) g(x 2.2)g(x 2.3) g(x 2.1) g(x 1.2)g(x 1.3) ) = 0.25 (-0.30) ( ) z2 rs = 1 2 ln g(x1.2)g(x 2.3) g(x 2.2)g(x 1.3) = 0.38 (0.54) Interakce - typ, věk ( 1 = 2 3 ln z cs z cs g(x.11) g(x.22)g(x.23) g(x.21) g(x.12)g(x.13) ) = 0.51 (-0.63) ( ) 2 = 1 2 ln g(x.12)g(x.23) g(x.13)g(x.22) = 1.12 (1.59)

19 Employment structure Plná interakce ( z1 rcs 1 = 6 ln ) x111x 221 x122x 123 x212x 213 x 211x 121 x112x 113 x222x 223 = 0.12 (0.30) ( ) z2 rcs 1 = 8 ln x 112x 222x 123x 213 x 122x 212x 113x 223 = 0.30 (-0.86)

20 Struktura zaměstnanosti Celkově jsme měli k dispozici údaje o 42 zemích. Data jsou nyní připravena k analýze pomocí standardních analytických metod.

21 Struktura zaměstnanosti Při tradiční analýze souboru původních tabulek můžeme využít např. log-lineárních modelů. Tyto modely jsou však spíše konstruované pro analýzu jedné tabulky ne celého výběru. Zahrneme-li do analýzy čtvrtý faktor (stát), je výsledný model velmi ovlivněn různými velikostmi států, které zastírají efekt sledovaných faktorů.

22 References Agresti A (2002) Categorical data analysis. John Wiley & Sons, Inc., New Jersey. Aitchison J (1986) The statistical analysis of compositional data. Chapman and Hall, London. Egozcue JJ, Pawlowsky-Glahn V (2005) Groups of parts and their balances in compositional data analysis. Math Geol 37: Fačevicová K, Hron K, Todorov V, Templ M (2016) Compositional tables analysis in coordinates. Scandinavian Journal of Statistics, 43(4): Fačevicová K, Hron K, Todorov V, Templ M (2016) General approach to coordinate representation of compositional tables. Under review.

Podobné dokumenty

Robust 2014, 19. - 24. ledna 2014, Jetřichovice

Robust 2014, 19. - 24. ledna 2014, Jetřichovice K. Hron 1 C. Mert 2 P. Filzmoser 2 1 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého, Olomouc 2 Department of Statistics and Probability Theory Vienna University