Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 3
Predikátový počet Uvažujme následující úsudek. Jeho předpoklady jsou všichni sportovci jsou zdraví, Petr je sportovec a závěrem je Petr je zdravý. Vzhledem k tomu, že zmíněné výroky jsou jednoduché, příslušná úsudková forma by měla premisy a závěr jako pouze výrokové proměnné (označme předpoklady jako a, b a závěr c). K platnosti úsudkové formy je třeba dokázat, že a b c, neboli, že (a b) c je tautologie. To ale samozřejmě tautologie není. Na druhou stranu se nám zmíněný úsudek může zdát platný. Důvodem neplatnosti úsudku podle naší definice je fakt, že výrokový počet je příliš hrubý. Vnímá pouze strukturu výroků na úrovni logických spojek. Nepostihuje úvahu typu, že když něco platí pro všechny objekty, platí to i pro jeden konkrétní objekt. Řešením je predikátový počet, který je možno chápat jako rozšíření výrokového počtu. Stejně jako u výrokového počtu se i zde dopustíme značných zjednodušení. Ty si můžeme pro naše potřeby dovolit. Podrobnější výklad čtenář najde např. v [1] v kapitole 6.3 začínající na str. 116, nebo třeba v [2] v kapitole II. Predikát V dané oblasti našeho zájmu (dané teorii) je potřeba rozhodnout, o jakých objektech individuích budeme mluvit a jaké vlastnosti či vztahy mezi nimi budeme uvažovat. Množině všech individuí budeme říkat univerzum (angl. universe of discourse), popř. nosič nebo nosná množina. Vlastnostem individuí a vztahům mezi individui budeme říkat souhrnně predikáty. Výklad budeme ilustrovat na konkrétním příkladě. V něm bude univerzem množina všech lidí a vlastnostmi budou je sportovec a je zdravý. Mezi predikáty často se objevující v matematice jsou např. ležet na přímce, být prvkem množiny, rovnat se, dvojnásobek je větší než sedm. Každý predikát vypovídá o vlastnostech či vztazích různého počtu individuí. Např. predikát je sportovcem je vlastností jednoho individua, predikát být prvkem množiny je vztah mezi dvěma individui. Počtu individuí, které vstupují do vztahu, říkáme četnost (nebo arita) predikátu např. říkáme, že být prvkem množiny je predikátem četnosti 2, nebo také 2 árním predikátem. Individua budeme značit malými písmeny a predikáty velkými. Např. S: je sportovec Z: je zdravý K: jsou kamarádi jsou predikáty (S a Z jsou predikáty četnosti 1 a K je predikát četnosti 2) a p: Petr r: Radek 2
jsou individua z příslušného univerza (z množiny všech lidí). Z nich pak můžeme vytvářet výroky, např. Z(p) označuje výrok Petr je zdravý, S(r) znamená Radek je sportovec, nebo K(p, r) znamená Petr a Radek jsou kamarádi. Pochopitelně můžeme takové výroky negovat; obecně spojovat logickými spojkami. Výroková funkce a její proměnné Dále uvažujeme výrazy ve tvaru Z(x): x je zdravý K(x, y): x a y jsou kamarádi kde x a y jsou tzv. proměnné, které nejsou předem určené, víme o nich jen, že za ně můžeme dosazovat individua z daného univerza. Výrazy tvaru Z(x) nebo K(x, y) sice nejsou výroky, ale můžeme pomocí nich nové výroky tvořit dosazením individuí za proměnné. Těmto výrazům říkáme výrokové funkce o daném počtu proměnných. Např. Z(x) je výroková funkce jedné proměnné (protože vznikla z predikátu četnosti jedna) a třeba K(x, y) je výroková funkce dvou proměnných (protože vznikla z predikátu četnosti dva). Výrokové funkce (podobně jako výroky) lze spojovat pomocí logických spojek a dostávat tak další výrokové funkce. Např. výroková funkce Z(x) K(y, z) je výroková funkce o třech proměnných x, y a z mající význam jestliže x není zdravý, pak y a z jsou kamarádi. Zdůrazněme, že nemá smysl se ptát, zda je výroková funkce pravdivá či nikoliv. Až teprve po dosazení individua za proměnnou dostaneme výrok. Kvantifikátory Existuje i jiný způsob tvorby výroků z výrokových funkcí, než pouhé dosazení individuí za jejich proměnné kvantifikace výrokových funkcí. Používáme dva kvantifikátory: obecný a existenční. Obecný výrok (značící se symbolem ) používáme v případě, že chceme vyjádřit, že nějaký predikát je společný všem individuím. Například, výrok všichni jsou zdraví zapíšeme jako xz(x). Nebo chceme-li zapsat výrok všichni sportovci jsou zdraví, můžeme to přeformulovat takto: pro každého člověka platí, že je-li sportovec, pak je zdravý. Použijeme-li zavedeného značení z kapitolky o predikátu, můžeme výrok napsat symbolicky jako x(s(x) Z(x)). 3
Obecně, obecné výroky vytváříme takto: Je-li V (x) výroková funkce, pak xv (x) je výrok. Přitom, tento výrok je pravdivý právě tehdy, když je výrok V (a) pravdivý pro všechna individua a. Druhým kvantifikátorem je existenční (značí se symbolem ). Existeční výroky vytváříme takto: Je-li V (x) výroková funkce, pak xv (x) je výrok. Přitom, tento výrok je pravdivý právě tehdy, když je výrok V (a) pravdivý pro alespoň individuum a. Kromě výroků lze ovšem vytvářet i další výrokové funkce (o méně proměnných). Uvažujme např. výrokovou funkci V (x, y): x = y s univerzem rovným množině všech celých čísel. Pak výraz xv (x, y) opět není výrok, protože obsahuje proměnnou y. Jde tedy opět o výrokovou funkci tu lze opět kvantifikovat. Výraz y xv (x, y) již výrokem je. Mezi potřebné schopnosti patří čtení a pochopení takových kvantifikovaných výroků zejména, když se v nich objevuje více proměnných s různými kvantifikátory. Je potřeba si promyslet smysl (a pravdivostní hodnoty) následujících výroků: x yv (x, y): Každé číslo je opačné ke každému číslu. y xv (x, y): Každé číslo je opačné ke každému číslu. y xv (x, y): Ke každému číslu existuje číslo opačné. x yv (x, y): Existuje číslo, které je opačné ke každému číslu. x yv (x, y): Existují dvě čísla k sobě opačná. y xv (x, y): Existují dvě čísla k sobě opačná. Z toho docházíme k poučení, že záměnou pořadí různých kvantifikátorů dochází ke změně výroku; záměnou pořadí stejných kvantifikátorů nedochází ke změně tvrzení. Volné vs. vázané proměnné Na tomto semináři se tím příliš nezabýváme. Zjednodušeně řečeno tak zvané volné proměnné nazýváme proměnnými a tak zvané vázané proměnné vůbec nijak nezdůrazňujeme. Pokusme se o rozlišení těchto pojmů: Mějme výrokovou funkci V (x) : y(x = y). s univerzem rovným množině všech (reálných) čísel. Vidíme, že v této výrokové funkci se objevují dvě proměnné: x a y. Mají ovšem odlišný charakter. Proměnná x je 4
viditelná zvenku vyjádřeno tím, že V má jen proměnnou x; o proměnné y není navenek ani zmínka. Rozsah její platnosti je omezen kvantifikací y proto jsme ji ani neuváděli jako proměnnou této výrokové funkce. K pochopení tohoto faktu nám může pomoct i způsob, jak číst tuto výrokovou funkci: x je opačné číslo ke všem číslům. Vidíme, že zde se vyskytuje pouze x ale ne y. Klidně bychom mohli místo y psát jiné písmeno, a nic by se nezměnilo. Proměnné y říkáme vázaná, protože rozsah její platnosti je vázán kvantifikací y pouze na závorku (x = y). Naproti tomu symbol x je tzv. volnou proměnnou. Negace kvantifikovaných výroků Negace kvantifikovaných výroků je poměrně snadná záležitost. Po krátké úvaze jde dojít k závěru, že negace obecného výroku xv (x) má stejnou pravdivostní hodnotu jako existenční výrok x V (x). Naopak, negace obecného výroku xv (x) má stejnou pravdivostní hodnotu jako obecný výrok x V (x). Stejná pravidla lze ovšem použít i na negaci výrokových funkcí, např. mějme výrokovou funkci o dvou (či více) proměnných V (x,...). Pak po dosazení jakéchkoliv individuí do ostatních proměnných, mají výroky a xv (x,...) x V (x,...) stejnou pravdivostní hodnotu. Podobně pro xv (x,...) a x V (x,...). Z těchto faktů lze odvodit pravidla pro negaci složitějších výroků. Např. x y z(v (x, y, z) W (x, y, z)) má stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok x y z(v (x, y, z) W (x, y, z)). Reference [1] Bělohlávek, R., Vychodil, V., Diskrétní matematika pro informatiky II., UP Olomouc, 2004. [dostupné online: http://belohlavek.inf.upol.cz/vyuka/dm2.pdf ] [2] Sochor, A., Klasická matematická logika, Karolinum, Praha, 2001. 5