9 Kolmost vektorových podprostorů
|
|
- Kristina Bartošová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme. Začneme tím, že stanovíme, jak určit kolmost jednoho vektoru k podprostoru. 9.1 Kolmost vektoru k podprostoru Obrázek 16: Vektor u kolmý k podprostoru V =[ b 1, b Definice 19 (Kolmost vektoru k podprostoru). O vektoru u řekneme, že je kolmý k vektorovému podprostoru V k, právě když je kolmý ke každému vektoru z tohoto podprostoru. Značíme u V k. Uvedená definice nám nedává přímý návod, jak o kolmosti vektoru k vektorovém podprostoru rozhodnout. Vektorů je ve vektorovém podprostoru nekonečně mnoho a ověření kolmosti daného vektoru ke každému z nich je proto nereálné. Naštěstí však víme, že každý vektor z vektorového podprostoru lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů jeho báze, a báze už má konečný počet vektorů (viz Obr. 16). Věta 1 (Kritérium kolmosti vektoru k podprostoru). Vektor u V n je kolmý k podprostoru V k V n, jestliže je kolmý ke všem vektorům jeho báze { b 1, b,..., b k }. Důkaz. Podle definice 19 je vektor u V n kolmý k podprostoru V k V n právě tehdy, když je kolmý ke každému vektoru v V k, tj. když pro každý vektor v V k platí u v =0. (61) 67
2 Protože V k = [ b 1, b,..., b k, můžeme každý vektor v V k vyjádřit jako lineární kombinaci v = v 1 b1 + v b + + v k bk. Po dosazení do (61) a roznásobení tak dostáváme rovnost v 1 u b 1 + v u b + + v k u b k =0, (6) která je určitě splněna, jestliže je vektor u kolmý ke všem vektorům báze b 1, b,..., b k, tj., jestliže u b 1 = u b = = u b k =0. (63) 9. Kolmost dvou podprostorů Kolmost vektoru k vektorovému podprostoru využijeme v definici a při určení kolmosti dvou vektorových podprostorů. Obrázek 17: Dva kolmé podprostory Definice 0 (Kolmost vektorových podprostorů). Dva vektorové podprostory V r,v s V n jsou na sebe kolmé, jestliže v každém z nich existuje vektor, který je kolmý k druhému podprostoru. Značíme V r V s Při rozhodování o kolmosti dvou konkrétních vektorových podprostorů daných svými bázemi budeme využívat nutnou a postačující podmínku kolmosti dvou podprostorů, která je formulována v následující větě. Než ji uvedeme, objasníme si její smysl (a tím i myšlenku jejího důkazu, který přenecháme čtenáři) na příkladu dvou podprostorů dimenzí a 3. 68
3 PŘÍKLAD 9.1. Rozhodněte, za jakých podmínek jsou na sebe kolmé podprostory V =[{ a 1, a },V 3 =[{ b 1, b, b 3 } Řešení: Dle definice 0 jsou dané dva vektorové podprostory V,V 3 na sebe kolmé, jestliže v prostoru V existuje nějaký vektor x, který je kolmý k podprostoru V 3, a zároveň v podprostoru V 3 existuje vektor y kolmý k prostoru V. K popsání těchto skutečností využijeme tvrzení věty 1 ( vektor je kolmý k podprostoru, jestliže je kolmý ke všem vektorům jeho báze ). 1. Existuje vektor x V, který je kolmý k V 3. Jestliže vektor x náleží podprostoru V, můžeme ho psát jako lineární kombinaci vektorů jeho báze x = x 1 a 1 + x a. Dle věty 1 je vektor x kolmý k podprostoru V 3, jestliže je kolmý k vektorům jeho báze b 1, b, b 3, tj., jestliže jsou splněny rovnice x b 1 = x 1 a 1 b 1 + x a b 1 =0, x b = x 1 a 1 b + x a b =0, x b 3 = x 1 a 1 b 3 + x a b 3 =0. (64) Homogenní soustava (64) má netriviální řešení právě tehdy, když její matice a 1 b 1 a b 1 A 1 = a 1 b a b (65) a 1 b 3 a b 3 má hodnost menší než.. Existuje y V 3, kterýjekolmýkv. Jestliže vektor y náleží podprostoru V 3, můžeme ho psát jako lineární kombinaci vektorů jeho báze y = y 1 b1 +y b +y 3 b3. Dle věty 1 je vektor y kolmý k podprostoru V, jestliže je kolmý k vektorům jeho báze a 1, a, tj., jestliže jsou splněny rovnice y a 1 = y 1 b1 a 1 + y b a 1 + y 3 b3 a 1 =0 y a = y 1 b1 a + y b a + y 3 b3 a =0 Homogenní soustava (66) má netriviální řešení právě tehdy, když její matice [ a A = 1 b 1 a 1 b a 1 b 3 a b 1 a b a b 3 (66) (67) má hodnost menší než 3 (což je v tomto případě určitě splněno). Vidíme, že pro kolmost podprostorů V,V 3 jsou rozhodující hodnosti matic A 1,A. Protože A = A T 1 a h(a )=h(a T 1 ), stačí uvažovat jenom jednu z těchto matic, například A, kterou v souladu s následující větou označíme G. Aby byly podprostory 69
4 V,V 3 na sebe kolmé, tj. aby měly obě uvedené soustavy (64), (66) nenulová řešení, musí být hodnost matice [ a G = 1 b 1 a 1 b a 1 b 3 (68) a b 1 a b a b 3 menší než. V obecném případě bychom řekli, že hodnost takovéto matice musí být menší než minimum z dimenzí posuzovaných vektorových prostorů, jak uvádí následující věta. Věta (Nutná a postačující podmínka kolmosti dvou podprostorů). Dva vektorové podprostory V r a V s sbázemi{a 1,a,...,a r } a {b 1,b,...,b s } jsou na sebe kolmé právě tehdy, když pro hodnost matice G = a 1 b 1 a 1 b... a 1 b s a b 1 a b... a b s a r b 1 a r b... a r b s platí h(g) < min(r, s). PŘÍKLAD 9.. Rozhodněte, zda jsou dané vektorové podprostory prostoru R 4 na sebe kolmé: a) V = [(1, 0, 1, 1), (0,, 1, 1), V 3 = [(0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, ), (1,, 1, ), b) V = [(1, 1,, 1), (3, 0, 1, 1), V 3 = [(1, 0, 1, ), (, 3,, ), (1, 1, 1, ), c) V 1 = [(1, 0, 1, ), V 3 = [(0, 1,, 1), (1, 3, 1, 1), (, 1, 0, 1). Poznámka. Zvláštní kategorii vzájemně kolmých podprostorů daného vektorového prostoru V n tvoří tzv. totálně kolmé podprostory. Jedná se o dvojice podprostorů, které jsou kolmé a součet jejich dimenzí je přitom roven n. Říkáme, že tyto podprostory jsou vzájemně svými ortogonálními doplňky. 9.3 Ortogonální doplněk vektorového podprostoru PŘÍKLAD 9.3. Určete množinu všech vektorů z V 3, které jsou kolmé (ortogonální) k vektoru u =(, 1, 3). Řešení: Hledáme množinu W V 3, pro kterou platí: x W ; u x =0, tj. množinu všech řešení homogenní rovnice x 1 + x 3x 3 =0, (69) 70
5 kde x 1,x,x 3 jsou souřadnice vektoru x. Rovnici (69) můžeme uvažovat jako soustavu jedné rovnice o třech neznámých. Potom dvě ze tří neznámých, např. x 1 a x 3 nahradíme reálnými parametry a zbývající neznámou x dopočítáme. Dostaneme a hledanou množinu W zapíšeme ve tvaru x 1 = r, x 3 = s, (70) x = r +3s; r, s R W = {(r, r +3s, s); r, s R}. (71) Protože W = {(r, r+3s, s); r, s R} = {r(1,, 0)+s(0, 3, 1); r, s R}, můžeme W psát jako lineární obal dvojice vektorů (1,, 0), (0, 3, 1), W =[{(1,, 0), (0, 3, 1)}. (7) Potom je, jak již víme, W vektorovým podprostorem V 3, W V 3. Pokud budeme uvažovat také podprostor generovaný vektorem u, U =[{(, 1, 3))}, (73) tvoří U, W dvojici vzájemně se ortogonálně doplňujících podprostorů vektorového Obrázek 18: U =[{(, 1, 3))},W =[{(1,, 0), (0, 3, 1)} prostoru V 3 (viz Obr. 18), značíme U = W, W = U a čteme podprostor U je ortogonálním doplňkem podprostoru W, resp. podprostor W je ortogonálním doplňkem podprostoru U. 71
6 Poznámka. Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový prostor dimenze 1, jehož vektory jsou ortogonální se všemi vektory té roviny) a ortogonálním doplňkem přímky je naopak rovina. Definice 1 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). Ortogonálním doplňkem vektorového podprostoru V k V n rozumíme množinu všech vektorů kolmých (ortogonálních) k V k. Značíme Vk. Ortogonální doplněk vektorového podprostoru je vektorový prostor a jeho dimenze je n k. Důkaz toho, že se jedná o vektorový prostor přenecháme čtenáři. Stačí na danou množinu uplatnit větu 10 (o určení vektorového podprostoru). Zde se zaměříme jenom na údaj o dimenzi n k podprostoru Vk. Věta 3 (Dimenze ortogonálního doplňku). Je-li V k podprostor vektorového prostoru V n, je jeho ortogonální doplněk Vk vektorový prostor dimenze n k. Důkaz. Nechť V k =[ a 1, a,..., a k, kde a 1, a,..., a k je ortonormální báze. Potom pro každý vektor x =(x 1,x,...,x k ) Vk musí platit a i x =0;i =1,,...,k. Dostáváme tak homogenní soustavu k rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n =0, a 1 x 1 + a x + + a n x n =0, (74)... a k1 x 1 + a k x + + a kn x n =0, jejíž matice má hodnost k (její řádkové vektory a i,i=1,,...,k jsou ortonormální, proto jsou dle věty 19 lineárně nezávislé). Z n neznámých je tedy k základních a n k volných. Proto musíme použít n k parametrů a množinou všech řešení soustavy, tj. ortogonálním doplňkem prostoru V k, je tak vektorový prostor dimenze n k. Poznámka. Z výše uvedeného vyplývá, že součet dimenzí dvou vektorových podprostorů prostoru V n, které jsou vzájemně svými ortogonálními doplňky, je n. Tj. pro V r,v s V n, kde V r = Vs (a tedy také V s = Vr ), platí r + s = n. Jak bylo uvedeno již v poznámce na straně 70, rozlišujeme podprostory kolmé (V r V s ) a podprostorytotálně kolmé (V r = Vs a V s = Vr ). Přitom prostory totálně kolmé jsou zároveň i kolmé, avšak naopak to neplatí. Ne každé kolmé prostory jsou zároveň také totálně kolmé. PŘÍKLAD 9.4. Uveďte příklad vektorových podprostorů, které jsou kolmé, ale nejsou totálně kolmé. Řešení: Například dvě na sebe kolmé roviny ρ : x =0aσ : y = 0 v prostoru V 3 jsou kolmé, ale nejsou totálně kolmé (součet jejich dimenzí je 4, tj. větší než dimenze mateřského prostoru V 3 ), viz Obr
7 Obrázek 19: Roviny ρ : x =0,σ: y = 0 jsou kolmé, ale nejsou totálně kolmé 10 Orientace báze vektorového prostoru Rozlišujeme pravotočivou (též kladnou) alevotočivou (též zápornou) bázi vektorového prostoru. Uvažujme bázi (pro jednoduchost ortonormální) { u, v} prostoru V. Jak vidíme na Obrázek 0: Pravotočivá (vlevo) a levotočivá (vpravo) báze prostoru V Obr. 0, vektory u, v můžeme v rovině uspořádat dvěma způsoby, pro které je typické, že chceme-li přejít od jednoho k druhému, nestačí nám vektory pootočit, musíme použít osovou souměrnost. Podle smyslu přechodu od vektoru u k vektoru v označujeme tyto konfigurace vektorů i jimi tvořené báze jako pravotočivou (kladný smysl, Obr. 0, vlevo), respektive levotočivou (záporný smysl, Obr. 0, vpravo). Pro pravotočivé báze používáme též označení kladné báze, pro levotočivé pak záporné báze. Stejně rozdělujeme báze v trojrozměrném prostoru 1. Uvažujme bázi { u, v, w} vektorového prostoru V 3. Vektory u, v, w můžeme opět uspořádat dvěma způsoby, mezi kterými nelze přejít pouhým otočením, ale musíme použít souměrnost podle roviny. 1 Pojem orientace báze a vektorového prostoru se dá samozřejmě zavést obecně pro vektorové prostory dimenze n, viz [1 PECH, P. (004) Analytická geometrie lineárních útvarů, České Budějovice, Jihočeská univerzita v Č. B., dostupné na adrese str
8 Konfiguraci, v níž při přechodu mezi vektory v pořadí u, v, w postupujeme v klad- Obrázek 1: Pravotočivá (vlevo) a levotočivá (vpravo) báze prostoru V 3 ném smyslu, nazýváme pravotočivou (též kladnou) bází (Obr. 1, vlevo), konfiguraci, v níž postupujeme v záporném smyslu, nazýváme levotočivou (též zápornou) bází (Obr. 1, vpravo). Vektorový prostor, v němž používáme takto orientované báze, nazýváme orientovaný vektorový prostor Matice přechodu mezi dvěma bázemi Máme-li ve vektorovém prostoru zavedeny dvě báze, můžeme souřadnice vektoru vzhledem k jedné z nich převést na souřadnice tohoto vektoru vzhledem k druhé z nich pomocí tzv. matice přechodu mezi bázemi, jak ukazuje následující příklad Každá matice přechodu mezi dvěma bázemi je regulární (proč?) a tak je její determinant různý od nuly. Pokud je kladný, jsou příslušné báze stejně orientované (tj. obě jsou kladné, nebo jsou obě záporné), pokud je determinant matice přechodu záporný, jsou příslušné báze opačně orientované (tj. jedna je kladná a druhá je záporná). PŘÍKLAD Vektor u V je dán souřadnicemi u B =(u 1,u ) vzhledem k bázi B = { b 1, b }. Určete jeho souřadnice u A =(u 1,u ) vzhledem k bázi A = { a 1, a }. Řešení: Vektory b 1, b báze B samozřejmě patří do vektorového prostoru V, můžeme je proto vyjádřit jako lineární kombinace vektorů a 1, a báze A b1 = p 11 a 1 + p 1 a, b = p 1 a 1 + p a. Pokud soustavu (75) napíšeme v maticovém tvaru [ [ [ b1 p11 p = 1 a1 b p 1 p a (75), (76) 74
9 figuruje v něm tzv. matice přechodu of báze A kbázib [ p11 p P (A, B) = 1. (77) p 1 p Vektor u zapíšeme jako lineární kombinace vektorů obou daných bází u = u 1 a 1 + u a = u 1 b 1 + u b a za vektory b 1 a b dosadíme výrazy z rovnic (75) Po úpravě dostaneme rovnici u 1 a 1 + u a = u 1 (p 11 a 1 + p 1 a )+u (p 1 a 1 + p a ). u 1 a 1 + u a =(u 1 p 11 + u p 1) a 1 +(u 1 p 1 + u p ) a, v níž porovnáme sobě odpovídající koeficienty u vektorů a 1, a na levé a pravé straně. Výslednou soustavu u 1 = u 1p 11 + u p 1 u = u 1 p 1 + u p potom můžeme zapsat maticovou rovnicí, v níž figuruje matice přechodu od báze A kbázib(77) [ [ [ u1 u = u 1 u p 11 p 1, (78) p 1 p nebo schematicky pomocí daných vektorů u A = u B P (A, B). (79) PŘÍKLAD 10.. Vektor u má vzhledem k bázi M = { m 1, m, m 3 } vektorového prostoru V 3 souřadnice u M =(, 1, 3). Určete jeho souřadnice u N vzhledem k bázi N = { n 1, n, n 3 }, jestliže platí: m 1 =4 n 1 n n 3, m = 3 n 1 + n + n 3, m 3 = n 1 3 n +11 n 3. Řešení: Ze soustavy rovnic m 1 =4 n 1 n n 3, m = 3 n 1 + n + n 3, m 3 = n 1 3 n +11 n 3 získáme matici přechodu od báze N kbázim 4 1 P (N,M) = , 75
10 kterou dle (79) vynásobíme zprava vektor u M =(, 1, 3), abychom dostali hledané souřadnice vektoru u vzhledem k bázi N 4 1 u N =(, 1, 3) 3 1 = (11, 6, 34) PŘÍKLAD Najděte matici přechodu od báze M kbázin a naopak, od N k M, jestliže M = {(1, 1), (0, )}, N= {(, 1), (1, )}. Řešení: Podle (76) můžeme psát [ N = P (M,N) [ M. Po dosazení za M a N tak dostaneme maticovou rovnici = P (M,N), jejímž řešením je matice 1 0 [ 1 P (M,N) = 1. Protože pro matici P (N,M) platí podle (76) rovnice M = 1 P (N,M) N, je zřejmé, že P (N,M) =P (M,N) 1 = PŘÍKLAD Najděte matice přechodu mezi uvedenými (ortonormálními) bázemi E = { e 1, e },F= { f 1, f } vektorového prostoru V. a) e 1 =(1, 0), e =(0, 1); f 1 =( 1, 1 ), f =( 1, 1 ), b) e 1 =(1, 0), e =(0, 1); f 1 =( 1, 1 ), f =( 1, 1 ), [ Řešení: ad a) P (E,F)= ad b) P (E,F)= [ [ ,P(F, E) = [ 1 1 1,P(F, E) =P (E,F). 1, Poznámka. Matice přechodu mezi dvěma ortonormálními bázemi je ortogonální. Její determinant je roven 1 (příslušné báze jsou souhlasné) nebo -1 (příslušné báze jsou nesouhlasné). 76
Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
Soustavy rovnic pro učební obory
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy rovnic
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
Úlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Číselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je