9.1.3 Oblast nerovnoměrných pružně plastických deformací(iii)... 34 9.2 Tlakovázkouškamateriáluvhouževnatémstavu... 34 9.3

Obsah 1 ÚvoddopředmětuPružnostapevnost.... 1 1.1 CílPP... 1 1.2 Návaznosti... 2 1.3 PřístupyPP.... 2 1.4 Základnípojmypružnostiapevnosti... 3 2 Meznístavy.... 5 2.1 Meznístavdeformace... 6 2.2 Meznístavpružnosti... 6 2.3 Meznístavdeformačnístability.... 7 2.4 Meznístavporušení.... 7 3 Prvektělesaanapětívřezu... 10 3.1 Principurčovánínapětí.... 11 3.2 Přehledmodelovýchtělesřešitelnýchanalyticky.... 11 3.3 RozděleníPP... 12 4 Napjatostvbodětělesa... 14 4.1 SaintVenantůvprincip.... 15 5 Deformacetěles.... 18 6 Zatíženítělesa... 21 7 ZákladníformulacelineárníPP... 23 7.1 Hookůvzákon... 23 7.1.1 ObecnýHookůvzákon... 24 7.2 Prácesílypřideformacitělesa... 25 7.3 Obecnévětylineárnípružnosti... 26 7.3.1 Větaosuperpozici.... 26 7.3.2 Větaovzájemnostiprací(Bettihověta)... 26 7.3.3 Deformačníprácesoustavyosamělýchsil... 28 7.3.4 VětaCastiglianova.... 29 8 Základnívlastnostipružněplastickéhomateriálu... 32 9 Tahováatlakovázkouška... 33 9.1 Tahovázkouškamateriáluvhouževnatémstavu.... 33 9.1.1 Oblastpružnýchdeformací(I).... 33 9.1.2 Oblast rovnoměrných pružně plastických deformací(ii)... 34 I

9.1.3 Oblast nerovnoměrných pružně plastických deformací(iii)... 34 9.2 Tlakovázkouškamateriáluvhouževnatémstavu... 34 9.3 Tahováatlakovázkouškamateriáluvkřehkémstavu... 35 10 Prutvpružnostiapevnosti.... 36 10.1 Prutovépředpoklady... 36 10.2 Geometrickécharakteristikypříčnéhoprůřezu.... 38 10.2.1 Plochapříčnéhoprůřezu... 38 10.2.2 Lineární(statické)momenty... 38 10.2.3 Kvadratickémomenty.... 38 10.2.4 Základnívlastnostikvadratickýchmomentůprůřezu... 39 10.2.5 Kvadratickémomentyzákladníchtvarůprůřezů... 39 10.2.6 Kvadratické momenty průřezu při transformaci souřadnic... 40 10.2.7 Hlavníkvadratickémomenty... 40 10.2.8 Mohrovakružnicekvadratickýchmomentů.... 41 10.3 Výslednévnitřníúčinkyprutů(VVÚ)... 41 10.4 UrčováníVVÚ.... 43 10.4.1 PřístupykřešeníprůběhůVVÚ.... 44 10.4.2 Pomocná pravidla pro vyšetřování průběhu VVÚ u přímých prutů 46 10.4.3 Otevřenévázanépruty.... 47 10.4.4 Uzavřenépruty-rámy.... 51 10.4.5 AlgoritmusurčováníVVÚ.... 51 11 Prostýtahatlak... 53 11.1 Definice... 53 11.2 Geometrickévztahy.... 53 11.3 Rozloženínapětívpříčnémprůřezu... 54 11.4 ZávislostmeziVVÚanapětím.... 54 11.5 Extrémnínapětí.... 55 11.6 Energienapjatosti.... 55 11.7 Vyjádřenídeformačnícharakteristikystřednice.... 56 11.8 Deformacepříčnéhoprůřezu... 56 11.9 Rozbornapjatostiprostéhotahu... 57 11.9.1 Grafickéznázorněnínapjatosti.... 58 11.10 Oblastipoužitelnostiprostéhotahuprutů... 59 11.10.1 Vlivproměnnostiprůřezupodélstředniceprutu... 60 11.10.2 Vlivšroubovitostiprutu... 61 11.10.3 ProměnnostVVÚpodélstřednicepříméhoprutu... 62 11.10.4 Zakřivenístředniceprutu.... 63 II

11.11 Řešení úlohy PP u prutů namáhaných prostým tahem(tlakem).. 64 11.11.1 Volnýprut.... 64 11.11.2 Vázanýprut... 65 11.11.3 Soustavysprutynamáhanýmiprostýmtahem(tlakem)... 66 12 Prostýkrut... 71 12.1 Definice.... 71 12.2 Geometrickévztahy.... 71 12.3 Rozloženínapětívpříčnémprůřezu... 72 12.4 ZávislostmeziVVÚanapětím... 73 12.5 Extrémnínapětí.... 73 12.6 Energienapjatosti.... 73 12.7 Vyjádřenídeformačnícharakteristikystřednice... 74 12.8 Deformacepříčnéhoprůřezu.... 75 12.9 ŘešeníúlohyPPuprutůnamáhanýchkrutem... 75 12.9.1 Volnýprut.... 75 12.9.2 Vázanýprut... 76 13 Prostýohyb.... 78 13.1 Definice.... 78 13.2 Geometrickévztahy.... 78 13.3 Rozloženínapětívpříčnémprůřezu... 79 13.4 ZávislostmeziVVÚanapětím... 79 13.5 Extrémnínapětí.... 80 13.6 Energienapjatosti.... 81 13.7 Vyjádřenídeformačníchcharakteristikstřednice.... 82 13.8 Deformacepříčnéhoprůřezu.... 83 13.9 Oblastipoužitelnostiprostéhoohybuprutů.... 84 13.9.1 Vlivproměnnostiprůřezupodélstředniceprutu.... 84 13.9.2 Proměnnostohybovéhomomentupodélstřednice... 84 13.9.3 Zakřivenístředniceprutu... 86 13.10 ŘešeníúlohyPPuprutůnamáhanýchohybem... 87 13.10.1 Volnýprut.... 87 13.10.2 Diferenciálnípřístup... 87 13.10.3 Integrálnípřístup... 88 13.10.4 Porovnánídiferenciálníhoaintegrálníhopřístupu... 88 13.10.5 Vázanýprut... 89 14 Zakřivenéalomenéotevřenépruty... 90 15 Vzpěrnástabilitaprutů.... 92 III

15.1 Vzpěrnástabilitaideálníhovolnéhoprutu.... 92 15.2 Kritickásílavzpěruuvázanéhoprutu... 95 15.3 Tlakovénamáháníprutuzeskutečnéhomateriálu.... 96 16 Matematickýpopisnapjatosti.... 98 16.1 Hlavnísouřadnicovýsystém... 98 16.2 Určenínapětívobecnérovině.... 99 16.3 Napětívoktaedrickérovině... 99 16.4 Grafickéznázorněnínapjatosti.... 100 16.5 Zvláštnítypynapjatosti... 100 16.5.1 Trojosá(prostorová)napjatost.... 100 16.5.2 Dvojosá(rovinná)napjatost... 101 16.5.3 Jednoosá(přímková)napjatost.... 102 16.5.4 Nulovánapjatost... 102 17 Úvoddonaukyomezníchstavech.... 103 17.1 Součinitelbezpečnosti.... 103 17.2 Meznístavpružnosti... 104 17.2.1 Podmínkaplasticitymax τ(trescova).... 105 17.2.2 PodmínkaplasticityHMH(Misesova).... 107 17.3 Obecnáaprostábezpečnost... 108 18 Metodakonečnýchprvků... 110 19 Nomogramysoučinitelůkoncentracenapětí.... 113 s01 ZákladystatikynutnéproPP.... 120 Použitáliteratura... 132 IV

1. Úvod do předmětu Pružnost a pevnost Pružnost a pevnost(pp), jako jedna ze základních součástí mechaniky těles, patří k základním oborům strojního inženýrství. Není náhodou, že při zakládání prvních technických vysokých škol v 19. století byla obvykle hlavní náplní studia, i když častěji zaměřená na oblast stavebního inženýrství. Již tehdy se začala projevovat potřeba zajištění bezpečné, spolehlivé a bezporuchové funkce konstruovaných zařízení, která se stávala hnací silou rozvoje inženýrství a vedla k vymezení PP jako samostatného oboru. Tatodlouhátradicemájakokaždámincedvěstrany.Nastranějednéjenespornývýznam pružnosti a pevnosti pro všechny strojírenské obory, protože neexistuje žádný, který by se nepotýkal se zmíněným problémem zajištění funkčnosti. Za rub této mince lze považovat například fakt, že tradiční název oboru Pružnost a pevnost je dnes již zavádějící, neboť tento obor za více než století své samostatné existence prošel několika zásadními změnami. V dobách, kdy tento název vznikl, měl zřejmě vyjadřovat hlavní náplň oboru, kterou bylo určování pružných deformací a posuzování pevnosti odolnosti proti porušování. S rozvojem techniky se stále více užívají materiály, které nejsou pružné, dokonce i tradiční materiály jako ocel jsou nasazovány v takových oblastech použití(zatížení, teploty, atd.), kdy jejich deformace není pouze pružná. K velké většině porušení součástí dochází únavou materiálu, jež představuje složitý proces, začínající změnami v mikrostruktuře materiálu, které se následně projeví vznikem trhliny, a pokračující jejím růstem až do lomu součásti. Tento proces popisuje lomová mechanika a samozřejmě již nevystačí s jedinou charakteristikou zvanou mez pevnosti(pevnost), tak jako problematiku deformací nelze zjednodušovat na pojem pružnost už jen proto, že ke ztrátě funkčnosti vedou daleko častěji deformace, které pružné nejsou. Současnou náplní oboru, z tradice nazývaného Pružnost a pevnost, je tedy deformačně-napěťová analýza těles a nauka o mezních stavech. V detailněj- mezní stav na ším členění a přístupech vychází tento interaktivní studijní text ze skripta[1], které str.5 přizpůsobuje potřebám a nárokům bakalářského studijního programu a kombinované formy studia. 1.1.CílPP Cílem PP je zabránit ztrátě funkčnosti součástí, zařízení a konstrukcí způsobené nadměrnou deformací a porušováním, případně rekonstruovat příčiny, proč k této ztrátě funkčnosti došlo před uplynutím požadované doby jejich životnosti. Pružnost a pevnost ve strojním inženýrství pomáhá konstruktérovi stanovit rozměry a tvar strojních součástí a konstrukcí s ohledem na bezpečnost, životnost, ekonomiku, případně se zohledněním dalších aspektů(estetický vzhled, ekologie, ergonomie atd.). Základní úlohu PP lze pak formulovat jako analýzu vlivu zatížení tělesa na jeho deformaci a napjatost s ohledem na riziko vzniku mezních stavů. Naší snahou musí být zajistit provozuschopnost navrhovaných zařízení, tj. minimalizovat nepříznivé následky případných mezních stavů, anebo naopak procesů souvisejících se vznikem jednotlivých mezních stavů v praxi účelně využívat(např. technologické operace tváření, založené na plastické deformaci, nebo dělení materiálu, využívající 1

procesy porušování). Přitom musíme formulovat a řešit problémy pružnosti a pevnosti a tvůrčím způsobem uplatňovat znalosti získané při řešení úloh PP. Základní rozdíl mezi úlohou PP a problémem PP je tedy následující: úloha PP je naformulovaná zadavatelem a její řešení je víceméně rutinní(procvičuje nebo ověřuje zvládnutí výpočetních postupů); problém PP musí řešitel někdy sám formulovat, musí získat informace potřebné pro jeho řešení a při řešení pak tvůrčím způsobem uplatnit znalosti a zkušenosti osvojené při řešení úloh, případně jiných problémů. Z pochopitelných důvodů jsou náplní studia výhradně úlohy PP, pokud možno ovšem doplněné o základní informace o praktických problémech PP, při jejichž řešení lze osvojené postupy využít. 1.2. Návaznosti V následujícím neúplném schématu je znázorněno zařazení oboru pružnost a pevnost do kontextu ostatních vědních oborů: Vědy o přírodě a společnosti matematika fyzika filosofie biologie termodynamika optika mechanika akustika elektřina tekutin těles sypkých látek statika pružnost a pevnost kinematika dynamika deformačně-napěťová analýza 1.3. Přístupy PP nauka o mezních stavech a) Intuitivní navrhování způsobu řešení na základě znalostí a zkušeností, bez schopnosti exaktního zdůvodnění jeho správnosti nebo optimálnosti. Tento přístup je u konstruktéra primární a důležitý, ale rozhodně ne postačující. Jedině intuitivně je možné vybrat z obrovského množství možných variant taková řešení, která rozumně přicházejí v úvahu, ale musí být následně posouzena jinými přístupy. 2

b) Výpočtový založený na vytvoření výpočtového modelu, tedy zavedení takových zjednodušení, která na jedné straně umožní popis reality dostupnými matematickými prostředky a na druhé straně zajistí přijatelnou shodu s realitou. Výpočtové modely analytické teorieprutů,skořepin,desek,... numerické metoda konečných prvků, metoda hraničních prvků,... c) Experimentální- experimenty lze provádět na reálném objektu nebo na jeho materiálním modelu. Nevýhodou experimentů na reálném objektu je ekonomická i časová náročnost, některé experimenty nejsou ani možné(atomové elektrárny, letadla) nebo jsou natolik drahé, že se k nim přistupuje až po důkladném výpočtovém modelování(bariérová zkouška automobilů). Experiment na modelu vyžaduje zase existenci vhodných měřicích metod a zařízení pro jejich realizaci a dále splnění jistých kriterií, zajišťujících přenositelnost výsledků na dílo(např. vodní turbíny). Experiment je nezbytný pro jakékoliv výpočtové modelování, pro které zajišťuje vstupní údaje(např. vlastnosti materiálů) a rovněž slouží verifikaci výsledků. 1.4. Základní pojmy pružnosti a pevnosti Obor PP používá řadu pojmů, jejichž přesné vymezení je základem pochopení všech jevů, procesů a souvislostí, jimiž se budeme zabývat. Jednotné chápání obsahu těchto pojmů je základním předpokladem tvůrčího inženýrského přístupu, který je v moderním pojetí paralelního inženýrství založen na neustálé průběžné komunikaci mezi konstruktérem, technologem, výpočtářem, případně dalšími specialisty(designér, ekolog,...). Mechanický pohyb byl definován v předmětu Statika, která se však zabývala pouze pohybem tuhého tělesa jako celku. Mechanický pohyb tělesa má však i další složky, důležité zejména z hlediska PP. Složky mechanického pohybu a) pohyb tělesa jako celku, b) deformace, c) porušování. V některých případech je nesnadné jednoznačně oddělit pohyb tělesa jako celku od jeho deformace(např. bariérová zkouška automobilů). V základním kurzu PP se však budeme zabývat pouze tělesy, která se vůči základnímu tělesu nepohybují(s výjimkou případné rovnoměrné rotace kolem pevné osy). Základní těleso předpokládáme spojené s inerciální soustavou, jinak bychom museli ke skutečným vnějším silám přidat i zdánlivé(setrvačné) síly.(to je nutné např. tehdy, je-li zvoleným základním tělesem vozidlo při průjezdu zatáčkou, brzdění či rozjezdu.) Abychom deformaci, která je deformace na v tomto případě jedinou složkou pohybu tělesa, mohli určovat metodami statické PP, str. 18 musí být všechny síly v čase konstantní. Deformace sice může vést až k porušení tělesa, ale samotným průběhem procesu porušování už se v našem kurzu detailně zabývat nebudeme. Těleso reálné a teoretické Základním prvkem mechanické soustavy je reálné těleso. Pro řešení mu přiřazujeme výpočtový model, tj. těleso teoretické, které má vlastnosti: spojité, spojitě deformovatelné až do mezního stavu porušení, 3

rozlišovací úroveň základní úloha PP na str.1 geometrie je určena na technické rozlišovací úrovni, vlastnosti materiálu jsou určeny materiálovými charakteristikami, shoduje se s reálným tělesem pouze ve vlastnostech podstatných pro řešení daného problému. Podstatné vlastnosti tělesa lze nejlépe osvětlit na příkladu: ojnice spalovacího motoru je reálné těleso, pro něž lze použít následující úrovně modelu: prořešenísilpůsobícíchvoboučepechojnicepřizatíženítlakemnapístnám stačí obecně známá informace o přímé střednici tělesa, jeho vazbách(čepy rotační vazby) a roztečná vzdálenost obou čepů. Pak lze výpočtový model znázornit tímto obrázkem: je-li u rychloběžného motoru podstatné i zatížení setrvačnými silami, potřebujeme znát úplnou geometrii ojnice, její hustotu a parametry jejího pohybu(vektory rychlosti a zrychlení jednotlivých bodů ojnice), pro řešení základní úlohy PP musí výpočtový model navíc zahrnovat elastické a pevnostní parametry materiálu včetně jejich závislosti na teplotě a samozřejmě znalosti rozsahu provozních teplot, je-li vyšetřovaným tělesem ojnice, pro niž je typické dynamické zatěžování(v čase proměnné), pak výpočtový model musí zohlednit únavu materiálu, tedy zahrnout navíc všechny parametry, které ji ovlivňují(jakost povrchu, jeho technologická úprava kalení, cementování, válečkování, atd.) 4

2. Mezní stavy V kapitole 6. Zatížení tělesa jsou mezi různými zatěžovacími stavy zavedeny stavy zatížení na přechodovéamezníjakostavy,vnichžječástečněneboúplněadočasněnebotrvale str. 21 znemožněna funkce tělesa(soustavy). Protože rozhodnutí, zda bude zařízení dále provozováno(ať už pouze částečně nebo po opravě) anebo zda bude vyřazeno z provozu, závisí na mnoha dalších faktorech mimo PP(ekonomika, ergonomie, ekologie atd.), nebudeme nadále mezi přechodovými a mezními stavy rozlišovat a všechny je budeme označovat jako stavy mezní. V tomto obecném smyslu lze pak vyslovit následující definici: Mezní stav je takový ze zatěžovacích stavů tělesa, při němž se kvalitativně mění schopnost tělesa plnit některou z požadovaných funkcí, příp. těleso tuto schopnost zcela ztrácí. Na příkladu oběžného kotouče turbíny si uvedeme některé příklady mezních stavů: a) došlokporušeníkotoučevprůběhujeholisovánínahřídelnebozaprovozu mezní stav porušení, b) vyskytly se nadměrné deformace lopatek dosahující velikosti vůle mezi rotorem a skříní turbíny mezní stav deformace, c) vyskytly se lomy některých lopatek mezní stav porušení, d) došlo k uvolnění nalisování kotouče na hřídeli mezní stav deformace. Připosuzovánímezníhostavukonstrukcejetřebabrátvúvahu,žeseskládázcelé řady podsoustav a jednotlivých částí. Můžeme vymezit jistý soubor možných mezních stavů, které jsou pro danou soustavu podstatné. K vyřazení konstrukce z provozu pak dojde po dosažení alespoň jednoho z nich. Faktory způsobující nebo ovlivňující vznik mezního stavu, lze členit na vnější avnitřní. MS porušení na str.7 MS deformace nastr.6 MS porušení na str.7 a) Vnějšími faktory jsou například: mechanické zatížení(stálé, proměnné statické, dynamické, rázové; důležitá zatížení na je velikost zatížení a jeho časový průběh), str. 21 teplotní zatížení, prostředí(chemicky neutrální nebo agresivní, ovlivňující povrch nebo objem materiálu), energetická pole(magnetické, elektrické ap.), porušení výrobních nebo provozních předpisů, chyby v organizaci práce, chybná manipulace, nesprávné seřízení, požár, povodeň aj. b) Vnitřními faktory jsou především: nevhodná volba materiálu(jeho chemického složení, tepelné, chemické nebo mechanické zpracování), vada materiálu nebo svaru, nevhodná konstrukce nebo technologie, nedodržení kvality výroby, aj. Úplný a dokonalý popis všech možných mezních stavů konstrukce je velice obtížný. Mezní stavy mohou být klasifikovány z mnoha různých hledisek. V inženýrské praxi se nejčastěji setkáváme s následujícími mezními stavy: 5

mezní stav deformace, mezní stav pružnosti, mezní stav deformační stability, mezní stav porušení. 2.1. Mezní stav deformace Příklad 404 Jednotlivé konstrukční díly se při zatížení deformují, dochází ke změně jejich rozměrů, tvaru, uložení(vůlí nebo přesahu). Pokud jsou tyto deformace v takových mezích, aby zařízení pracovalo v souladu se stanovenými technickými podmínkami(vztahujícími se např. k přesnosti výrobků, pohyblivosti soustavy apod.), mluvíme o funkčně přípustných deformacích. Například mezi lopatkou turbíny a statorem je vůle v. Z termodynamického hlediska(z důvodu vysoké účinnosti) by bylo vhodné, aby tato vůlebylaconejmenší,nejlépe v=0.profunkciturbínyjealedůležité,abysoučetradiálníhoposuvunavnějšímobvoděrotoruturbíny u r a radiálního prodloužení lopatkového listu l byl menší než radiální mezera v. Může tedy nastat u r + l < v deformacefunkčněpřípustná, u r + l > v deformacefunkčněnepřípustná, u r + l= v meznístavdeformace;rovnostnelzevzhledemkestochastickému charakteru všech veličin v praxi zajistit. Mezní stav deformace tělesa je takový jeho stav, ve kterém se deformace funkčně přípustné mění na deformace funkčně nepřípustné. Poznámka: funkčně nepřípustná deformace přitom může být jak elastická, tak plastická. 2.2. Mezní stav pružnosti Když těleso zatěžujeme z výchozího(nezatíženého) stavu na určitou úroveň zatížení a pak ho odlehčíme, uskutečníme zatěžovací cyklus. Z praxe víme, že mohou nastat zásadně dva případy: a) deformace po odlehčení je tak malá, že je dostupnými prostředky v oboru nezjistitelná celá deformace byla pružná (vratná), b) deformace po odlehčení je zjistitelná dostupnými prostředky v oboru kromě pružné vznikla v průběhu zatěžovacího cyklu i plastická(nevratná, trvalá) deformace. Mezní stav pružnosti tělesa je takový jeho stav, při jehož překročení vznikají v tělese zjistitelné plastické deformace. Mezní stav pružnosti je jedním z nejčastěji používaných mezních stavů: pro materiály v tvárném stavu je dostatečně konzervativní(poskytuje posouzení na bezpečné straně, 6

st tj. součást snese ve skutečnosti vyšší zatížení než výpočtové) a je poměrně výpočtově nenáročný(je potřebné řešení pouze v pružné oblasti). 2.3. Mezní stav deformační stability Příklad: Vytahujeme kovový svinovací metr ze schránky. Do určité délky má jistou geometrickou konfiguraci. Při dalším vytahování dosáhneme délky l, při níž se tato konfigurace stane nestabilní a pás přejde do jiné stabilní geometrické konfigurace(výrazně se ohne). Mezní stav deformační stability tělesa je stav, kdy geometrická konfigurace, která byla stabilní před dosažením mezního stavu, se po jeho překročení stává labilní a stabilní se stává jiná geometrická konfigurace tělesa. Tento mezní stav vzniká u konstrukcí, jejichž rozměr je v některém směru podstatně menší než ve směru jiném(tenkostěnné konstrukce, štíhlé pruty), a to v případě, že v konstrukci nebo její části vzniknou záporná normálová napětí(tlaková). Pak může normálové dojít ke ztrátě únosnosti celé konstrukce. Protože tento mezní stav je obvykle spojen napětínastr.14 se vznikem velkých deformací, je jeho výpočtové řešení mimořádně obtížné. Mezní veličina závisí na tvaru konstrukce, v případě prutů namáhaných tlakem je jí kritická prut na str. 36 sílavzpěruameznístavsepaknazývámeznístavvzpěrnéstability. vzpěrnastr.92 2.4. Mezní stav porušení Zatěžujeme-li spojité těleso, můžeme pozorovat, že v určitém rozsahu zatěžování zůstává spojitost tělesa(v mechanickém smyslu, tj. makroskopicky) zachována. Těleso spojitost tělesa zůstává tedy i při zatížení spojitým. Po překročení tohoto rozsahu zatěžování vznikají nastr.120 poruchy spojitosti(trhliny), přitom se vytvářejí nové povrchy tělesa a proces může pokračovattakdlouho,ažsetělesorozpadnenavícečástí vznikájeholom.jekatastrofickým zakončením stádia růstu defektů a dovršením porušení tělesa, které se tím rozpadá na části. Podle charakteru zatěžujících a ovlivňujících faktorů a chování materiálu lze rozlišit následující typy lomů: a) Tvárný lom Tvárný lom lze z mechanického hlediska definovat jako vysokoenergický plastický kolaps, ke kterému dochází po vzniku plastické nestability v kritickém průřezu tělesa. Z fyzikálně metalurgického hlediska jde o proces nukleace, růstu a spojování mikrodutin. Praktický význam je dán tím, že se často uplatňuje v mikroskopickém měřítku na čele šířící se trhliny[6]. Je třeba se jej vyvarovat u technologických operací, využívajících velkých plastických deformací(hluboké tažení plechů, drátů, tváření za studena aj.) 7

b) Křehký lom Pro vznik křehkého lomu je rozhodující kritická hodnota normálového napětí(u těles bez apriorních trhlin) resp. kritická hodnota hnací síly trhliny(u těles s trhlinami). Tento lom nastává bez větší předchozí plastické deformace, při napětích nižších než makroskopická mez kluzu materiálu. těleso bez apriorních trhlin důležitou charakteristikou odolnosti materiáluvůčikřehkémulomujekritickélomovénapětí σ cf,cožjenejnižšínapětí nutné pro vznik křehkého lomu. těleso s trhlinami většina křehkých lomů v rozměrných konstrukcích iniciuje z trhlin, které jsou přítomny v materiálu vinou nedokonalé technologie při výrobě(svary, kalení atd.) nebo vlivem předchozího provozu konstrukce (korozní trhliny, únavové trhliny). Poněvadž je nutno s existencí těchto defektů vždy počítat, vzniká otázka, za jakých podmínek může dojít k nestabilnímu křehkému lomu(tj. trhlina roste i když těleso odlehčíme, tento růst je už člověkem neovlivnitelný). Jednou z nejdůležitější charakteristik odolnosti proti křehkému lomu je lomová houževnatost, která je určena kritickou hodnotou hnací síly trhliny, odpovídající okamžiku nestabilního lomu. c) Lom korozí pod napětím Vliv okolního prostředí může podstatně urychlit poškozovací procesy vedoucí k iniciaci trhlin a jejich šíření. Jedním z nejvýznamnějších degradačních mechanismů v tomto smyslu je koroze, tj. chemická nebo elektrochemická reakce mezi prostředím a materiálem. Ke stabilnímu šíření trhlin v korozním prostředí dochází při nižších napětích než v prostředí inertním, kde je stabilní šíření obtížné. Také lomové houževnatosti je dosaženo při nižších hodnotách zatížení. V souvislosti s problematikou provozu jaderných elektráren vyvstává do popředí další typ degradačního procesu poškození materiálu vlivem radioaktivního záření, které také snižuje hodnotu lomové houževnatosti. d) Únavový lom Podrobíme-li součásti působení proměnlivých vnějších sil, může dojít po určité době k jejich lomu, ačkoliv maximální napětí je pod mezí kluzu. Probíhá proces postupného porušování materiálu nukleací mikrodefektů a jejich šířením únava materiálu. Únavový lom je nejčastějším provozním mezním stavem. K posouzení únavové pevnosti slouží mez únavy materiálu, k posouzení únavové životnosti se používá Wöhlerova křivka a Mansonova Coffinova křivka. e) Creepový lom Je-li deformační chování materiálu závislé na čase i při konstantním zatížení, jedná se o creep(tečení materiálu), který rovněž může vést k lomu při napětím nižším než je mez pevnosti materiálu. V praxi nejčastěji používanou mezní hodnotou napětí je mez pevnosti při tečení. Mezní stav porušení je takový zatěžovací stav tělesa, při kterém dojde k porušení jeho spojitosti některým z uvedených mechanismů tak, že příslušná konstrukce nemůže plnit stanovenou funkci. K vyřazení konstrukce z provozu přitom může dojít: z důvodu bezpečnosti při výskytu jakékoliv zjistitelné trhliny(např. svary důležitých tlakových nádob kontrolované rentgenem), 8

pokud se délka trhliny blíží tzv. kritické délce, při níž nastává její nestabilní šíření končící nutně lomem, pokud trhlina sice nehrozí lomem, ale znemožňuje funkci konstrukce(např. únik média z tlakové nádoby), pokuddojdeklomusoučásti. 9

3.Prvektělesaanapětívřezu Asi před 200 lety přišel Bernoulli na geniální myšlenku, že v tělese vznikají vnitřní síly, které se snaží při vnějším silovém působení na těleso vrátit toto těleso do původního statická rovnováha na str. 123 a dospěli jste k závěru: jestliže je těleso ve statické rovnováze, musí být ve statické nedeformovaného stavu. Ve statice jste se seznámili s pojmem statická rovnováha rovnováze i každá jeho část. Základním vyšetřovaným objektem prvkem soustavy těles bylo těleso. V PP je těleso základním útvarem a prvkem nazýváme každou jeho část vyšetřovanou z hlediska vnitřních sil. Prvek tělesa je každá jeho souvislá část, oddělená z něj jedním nebo více myšlenými řezy. V těchto řezech působí vnitřní síly. Geometrický tvar prvku volíme s ohledem na tvar vyšetřovaného tělesa, zvolený souřadnicový systém a charakter řešeného problému. Rozměry prvku mohou být buď konečné nebo nekonečně malé v limitním smyslu. Prvek označíme jako sílanastr.120 konečný(ω 0 ) všechnyrozměrykonečné, jednonásobněelementární(ω 1 ) jedenrozměr nekonečně malý, dvojnásobně elementární dva rozměry nekonečně malé, trojnásobněelementární(ω 3 ) třirozměry nekonečně malé. Vyšetřování vnitřních sil začíná uvolněním prvku. Oddělíme-li z tělesa prvek jediným řezem ω, pak na tomto řezu musíme zavést účinky vzájemného působení. V mechanice těles to jsou účinky silové, spojitě nebopočástechspojitěrozloženénařezuajsouto tedy plošné síly. Tuto operaci nazýváme uvolněním prvku tělesa, analogicky k uvolnění celého tělesa, kteréjsmezavádělivestaticeakterésloužilokurčení vnějších silových účinků reakcí ve vazbách. NaploškudSvřezu ωpůsobíelementárnísílad F= fds,kde fjeměrnáplošnásíla, kterounazvemeobecnénapětí vřezu.můžemítvkaždémboděřezujinýsměr ivelikost. Souřadnicový systém je vhodné při určování vnitřních sil volit tak, že jedna osa je totožná se směrem normály k plošce ds a druhá bude ve směru tečném.normálové atečnésílysetotižvýraznělišívúčinkunamateriálajejich vliv na mezní stavy je odlišný. Obecnénapětí frozložímedosměrunormály e n adosměru tečny e t : f= σ e n + τ e t. Obecné napětí je vektor, který má samozřejmě v trojrozměrném prostoru 3 složky: jednu normálovou σ a dvě smykové τ. Při vhodné volbě souřadnicového systému(jedna 10

zosjenormálařezuadruháprůsečnicetečnérovinyřezusrovinoudanounormálou avektorem f)všakjejednozesmykovýchnapětí(vesměru e b )nulové.anipřijinévolbě souřadnicového systému není nutné mezi oběma tečnými směry rozlišovat, z hlediska mezních stavů je důležitá pouze velikost smykového napětí. Pak lze psát σ= f e n, τ= f 2 σ 2 = f e t. Základní jednotkou napětí(obecného, normálového, smykového) a měrné plošné síly je pascal. [f]=[σ]=[τ]=[df/ds]=pa Určení orientace napětí: normálového: σ > 0 = tahové, směřuje ven z řezu, σ < 0 = tlakové, směřuje dovnitř prvku, smykového: volí se smluvně, u izotropních materiálů není volba podstatná. orientace na str. 57 3.1. Princip určování napětí Na těleso Ω působí rovnovážná silová soustava Π. Řezem ω uvolníme prvek Ω 01 zatížený podsoustavou Π 1 (členy soustavy Π působící v bodech prvkuω 01 ),kteráaleužnesplňujepodmínkystatické rovnováhy. Protože každý uvolněný prvek musí být ve statické rovnováze, působí v řezu ω soustava elementárních vnitřních plošných sil Πv(obecná napětívbodechřezu)asoustavaπ 1 Πvjestaticky rovnovážná. Rozložení obecného napětí v řezu ω neznáme, vzhledem k elementárnosti sil představuje nekonečný počet neznámých parametrů a jeho určení je tedy úloha staticky neurčitá. statický rozbor Použitelné podmínky statické rovnováhy poskytnou pouze ν 6 rovnic(podle charakterusoustavyπ 1 Πv),takžeprořešeníbybylnutnývelkýpočetdeformačních statické nastr.128 podmínek. podmínky na Uvolníme-li při řešení vnitřních sil z tělesa trojnásobně elementární prvek, dostaneme soustavu parciálních diferenciálních rovnic se složitými okrajovými podmínkami. V předpočítačové éře tato soustava nebyla obecně řešitelná, ale pružnostně pevnostní problémy bylo nutno řešit. Proto vznikly přístupy, které problém zjednodušovaly zavedením jistých předpokladů, vyplývajících z experimentů a z úrovně vědy v příslušné době. Zavedení těchto předpokladů sice snižuje náročnost řešení problémů, ale omezuje použitelnost pouze na ta tělesa, u nichž jsou tyto předpoklady s dostatečnou přesností splněny. Jde tedy o jednodušší, ale omezeně použitelnou pružnost, pracující s modelovými tělesy[2]. Jejich přehled, který je současně přehledem možností analytické PP, uvádí kapitola 3.2. str. 123 deformační podmínkanastr.43 3.2. Přehled modelových těles řešitelných analyticky Úloha řešení deformačně napěťových stavů tělesa je analyticky řešitelná pouze při zavedení jistých předpokladů. Tyto předpoklady vymezují následující typy modelových těles: 11

1. prut, 2. tlustostěnné těleso válcové nebo kulové, 3. rotačně symetrická stěna, 4. rotačně symetrická deska, 5. rotačně symetrická bezmomentová skořepina, 6. válcová momentová skořepina. Jak je z přehledu vidět, možnosti analytické pružnosti a pevnosti jsou omezeny kromě těles prutových na tělesa rotačně symetrická. Rotační symetrie musí být dodržena nejen z hlediska geometrie, ale i materiálu, vazeb a zatížení tělesa. Jedině potom je i napjatost a deformace tělesa také rotačně symetrická a lze ji analyticky řešit. Ostatní tělesa vyžadují numerické řešení s využitím speciálních počítačových metod a programů. Uvedené názvy abstraktních modelových těles se běžně přenášejí i na tělesa skutečná, o nichž pak hovoříme jako o prutu, skořepině, desce atd. Proto je třeba zdůraznit, že výpočtový model použitelný pro řešení(a to nejen v pružnosti analytické, ale i při použití numerických metod) není jednoznačně dán tvarem tělesa, ale závisí i na okrajových podmínkách, zahrnujících vazby a zatížení tělesa. 1. Prut- základním prvkem je jednonásobně elementární prvek, jehož použití prutové předpoklady na str. 36 2. Tlustostěnné těleso válcové nebo kulové- základním prvkem je trojnásobně umožňují prutové předpoklady. elementární prvek. Praktické využití při výpočtech tlakových nádob. 3. Rotačně symetrická stěna- těleso definované střednicovou rovinou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), jehož zatížení leží pouze ve střednicové rovině. V praxi nejčastěji používáno pro výpočet rychloběžných kotoučů zatížených odstředivými silami, případně nalisováním na hřídel. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 4. Rotačně symetrická deska- těleso definované shodně se stěnou, ale zatížené pouze kolmo ke střednicové rovině. V praxi používáno pro výpočet přírub, dna nádob, pístů apod. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 5. Rotačně symetrická bezmomentová skořepina- těleso definované rotační střednicovou plochou a tloušťkou(výrazně menší oproti ostatním rozměrům), zatížené spojitě bez skokových změn a uložené tak, aby nedocházelo k omezení radiálních posuvů(jsou splněny předpoklady bezmomentovosti). V praxi se používá pro výpočet většiny rotačně symetrických nádob(včetně trubek) s tím, že v oblastech, kde jsou omezeny radiální posuvy nebo dochází ke skokovým změnám spojitého zatížení, tato teorie neplatí a napětí mají vyšší hodnoty při složitějším charakteru napjatosti. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 6. Válcová momentová skořepina- těleso definované válcovou střednicovou plochou a tloušťkou(výrazně menší oproti ostatním rozměrům), které při splnění podmínek rotační symetrie nesplňuje podmínky bezmomentovosti. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 3.3. Rozdělení PP napjatost na str. 14 Při silovém působení se prvek deformuje, proto by se měl uvolňovat v deformovaném stavu, což vede ke značným výpočtovým složitostem, protože tento stav na začátku výpočtu neznáme. Deformaci a napjatost pak nelze řešit nezávisle na sobě, protože změna tvaru tělesa vlivem deformace vyvolá změnu napjatosti a obráceně. 12

Kde není deformace podstatná, uvolňujeme prvky ve stavu nedeformovaném (PP I. řádu, případy prostého namáhání prutu tah, ohyb, krut). Tam, kde deformace je podstatná, uvolňujeme prvky ve stavu deformovaném(pp II. řádu, vzpěr prutů, ztráta stability stěn). vzpěr na str. 92 Podle metody řešení dělíme pružnost a pevnost na a) obecnou z tělesa je nutno uvolňovat trojnásobně elementární prvek a určování napjatosti a deformace je vzájemně závislé. b) prostou určení napjatosti a deformace jsou na sobě nezávislé procesy. Nutnou podmínkou je uvolňování prvku v nedeformovaném stavu(pp I. řádu), formulace předpokladů, umožňujících použít jedno nebo dvojnásobně elementární prvek, využití Saint Venantova principu. Saint Venantův principnastr.14 13

4. Napjatost v bodě tělesa obecnénapětína str.10 Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.vektorobecnéhonapětí f,kterépůsobívelementárnímokolíboducna plošcedssnormálou e n,charakterizujenapětípůsobícípouzevtaktoskloněnémřezu a neříká nic o tom, jaká napětí působí v jinak orientovaných rovinách vedených bodem C. Přitom pro vyloučení mezního stavu je nutno zajistit jistou rezervu vůči mezním hodnotám napětí v kterékoli z těchto nekonečně mnoha rovin, v nichž působí různá obecnánapětí f.teprvesouhrnvšechtěchtoobecnýchnapětípopisujenapěťovýstav vtomtoboděazavádímepronějnázevnapjatostvbodětělesa. Napjatost(napěťový stav) v bodě tělesa je množina obecných napětí ve všech řezech, které lze tímto bodem vést. Otázkou je, kolik elementárních plošek a jak orientovaných je nutno k úplnému určení stavunapětínebolinapjatostivboduc.dásedokázat,žeobecnénapětívlibovolném řezu vedeném bodem C lze vypočítat ze známých hodnot obecných napětí ve třech vzájemně kolmých řezech, vedených tímto bodem. Pro popis je účelné použít kartézský souřadnicový systém, jehož osy leží v průsečnicích těchto rovin. Obecná napětí budeme označovat písmenem podle normály plochy, ve které působí, tedy např. v plošce vrovině yz,kolmékose x,působíobecnénapětí f x.každéobecnénapětí,kterésvírá s příslušnou plochou obecný úhel, lze rozložit do směrů os kartézského souřadnicového systému: f x = σ x i + τ xy j+ τ xz k, f y = τ yx i + σ y j + τ yz k, f z = τ zx i + τ zy j+ σ z k, kdeparametry σ i (i=x, y, z)jsounormálovánapětí, τ ij (i, j= x, y, z; i j)smykové napětí,prvníindex ijesměrnormályroviny,vekterénapětípůsobíajudávásměr působení τ ij. Poznámka Tato tři obecná napětí lze sestavit vhodným způsobem do čtvercové matice, která reprezentuje v uvedené kartézské souřadnicovésoustavětenzornapětí T σ : T σ = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z Napjatostvbodětělesajejednoznačněurčenatenzoremnapětí T σ. V lineární pružnosti, vycházející mj. z předpokladu malých deformací, nejsou všechny složkytenzoru T σ nezávislé.lzetodoložitzmomentovépodmínkystatickérovnováhy elementárního prvku. Uvolníme-li uvnitř spojitého tělesa trojnásobně elementární prvek,vjehorovinnýchstěnách(souřadnicovéroviny yz, xzaxy)působíobecnánapětí f i. Vprotilehlýchstěnáchpůsobíobecnánapětí f i. 14

MCz =0: [ (τ xy +τ xy)dydz Poznámka ke znaménkové konvenci: Z obrázku je patrné, jak jsou zavedeny kladné složky tenzoru napětí působí na kladných stěnách (vnější normála je orientována souhlasně s některou ze souřadnicových os) ve smyslu kladném. Na záporných stěnáchkvádru(orientacevnějšínormály v záporném smyslu souřadnicové osy) působí kladné složky v záporném smyslu os. ZmomentovýchpodmínekkboduC,kterýjevtěžišti elementu, plyne ] dy 2 =0 (τ xy+τ xy) (τ yx +τ yx)=0. ] dx 2 [ (τ yx +τ yx)dxdz Obecná napětí v přední a zadní stěně elementu(s normálou z) nejsou v obrázku zakreslena z důvodu přehlednosti. Výslednice objemových(např. tíhových) sil působících na prvek prochází jeho těžištěm C, jejich moment k tomuto bodu je tedy nulový. Napětí vprotilehlýchstěnáchelementujsoupřibližněstejněvelká(platí τ xy τ xy a τ yx τ yx ), proto τ xy = τ yx.analogickyzmomentovýchpodmínekprosložky M C vesměruos x a yplyne τ yz = τ zy a τ xz = τ zx. Prvkytenzoru T σ umístěnésymetrickykolemhlavnídiagonály(smyková napětí) jsou shodné, jinými slovy u smykových napětí nezáleží na pořadí indexů. Obecnělzetytorelacezapsatrovnicí τ ij = τ ji, slovně ji vyjadřuje Stav napětí je tedy charakterizován právě 6 nezávislými složkami symetrického tenzorunapětí T σ. Napjatostvbodětělesajepopsánatenzoremnapětívtomtoboděamůžebýt stanovena v závislosti na zatížení tělesa, jeho tvaru a materiálových vlastnostech apolozeboduvtělese. Napjatost tělesa je množina napjatostí ve všech bodech tělesa. Je určena tenzorovým polem, tj. množinou tenzorů napětí pro všechny body tělesa. Závisí na zatížení tělesa, jeho tvaru a materiálových vlastnostech. Napjatost tělesa označujeme jako homogenní, jestliže napjatost ve všech bodech tělesa je shodná, tj. tenzory napětí ve všech bodech tělesa jsou totožné. věta o sdruženosti smykových napětí. Smyková napětí působící ve vzájemně kolmých elementárních řezech kolmo k jejich průsečnici jsou stejně veliká a orientovaná buď kprůsečnicineboodní. sdruženost smykových napětí nastr.57 4.1. Saint Venantův princip Při řešení praktických problémů pružnosti obvykle neznáme rozložení vnějších sil působících na povrch tělesa a musíme je nahrazovat zjednodušeným modelem silového působení(osamělá síla, silová dvojice, plošná síla konstantní velikosti atd.). Základní otázkou použitelnosti výsledků v praxi je, jak se změní napjatost tělesa, když soustavu vnějších sil nahradíme jinou staticky ekvivalentní soustavou. 15

ekvivalence na str. 122 Podrobné rozbory ukazují, že napjatost tělesa (tj. stav napětí v jednotlivých bodech tělesa) způsobená silovou soustavou Π působící na části povrchuγ S o lineárnímrozměru δ se lišípodstatně od napjatosti téhož tělesa zatíženého jinou, staticky ekvivalentnísilovousoustavoupůsobícínaγ S,pouze vtakovémobjemumateriáluvokolíplochyγ S,jehož rozměry se řádově shodují s rozměrem δ. Znázorníme-liprůběhjednésložkytenzorunapětí(např. σ x )podélpřímkyvedené tělesem, a to pro původní rozložení sil(realita R) a pro náhradní, staticky ekvivalentní (SE)rozložení(1a2),vidíme,ževdostatečnévzdálenostiodboduAjsounapětí prakticky stejná. Uvedené skutečnosti formuluje pro PP zcela zásadní věta, označovaná jako Saint Venantův princip. Saint Venantův princip. Nahradíme-li v určité oblasti tělesa jednu silovou soustavu jinou, staticky ekvivalentní soustavou, pak napjatost tělesa je pro obě zatížení prakticky stejná s výjimkou blízkého okolí oblasti náhrady, jehož rozměry δ jsou srovnatelné s rozměry této oblasti. Význam Saint Venantova principu: a) umožňuje správně používat výpočtové modely silového působení(objemových a plošných sil) b) umožňuje správně zavádět výpočtové modely styku těles c) lze usuzovat na nesprávnost používání některých zjednodušení, která jsou běžná ve statice, při řešení napjatosti adeformace Podle Saint Venantova principu je tedy v pružnosti a pevnosti možné nahrazovat silovou soustavu jinou, staticky ekvivalentní silovou soustavou. Přípustnost tohoto nahrazení je však závislá na mezních stavech, které rozhodují o provozní schopnosti skutečného tělesa. 16

Jestliže provozní schopnost tělesa je určena mezními stavy v podtělese Ω M, pak přípustné nahrazení je takové, kdyžω M neobsahuježádnýbodoblastiω S (oblastovliněná náhradousilovéhopůsobenínaplošeγ S ).Jinakřečeno,oblast, ve které provádíme staticky ekvivalentní náhradu silového působení, není rozhodující pro vznik mezních stavů. V opačném případě je nahrazení obecně nepřípustné. NěkdyjemožnépřipustitSEnáhraduivpřípadě,kdyseoblastiΩ S aω M překrývají. Jetotehdy,kdyžoblastnahrazeníjerelativně malá vůči řešenému tělesu a riziko vzniku mezních stavů je při zatížení náhradní silovou soustavou poněkud vyšší než ve skutečnosti(viz příklad výpočtového modelu na obrázku). 17

5. Deformace těles deformace na str. 120 vztažný systém nastr.3 obecné napětí na str. 10 S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů tělesa a změnami úhlů daných třemi body tělesa při dodržení jeho spojitosti. Tyto změny jsou však pozorovatelné jen na povrchu tělesa, zatímco v praxi se mohou vyskytnout i případy, u nichž dochází k deformacím jen uvnitř tělesa, aniž by se podstatně měnily jeho rozměry a tvar. Např. v případě lokálních objemových změn vlivem nerovnoměrnosti teploty nebo nerovnoměrných fázových přeměn v materiálu(svařování, kalení a jiné technologické operace) dochází k deformačním posuvům části vnitřních bodů tělesa. Jestliže okolní materiál je značně tuhý, mohou být změny tvaru a rozměrů tělesa zanedbatelné, i když deformační posuvy některých vnitřních bodů tělesa v důsledku těchto procesů jsou tak velké, že vedou ke vzniku mezních stavů(např. vznik trhlin při kalení nebo svařování). Deformaci tělesa je tedy třeba vymezit obecněji: Deformace tělesa je změna tvaru a rozměrů tělesa a změna tvaru a rozměrů každého jeho prvku vymezeného ve výchozím stavu. Abychom mohli deformaci matematicky popsat, potřebujeme definovat polohu bodů tělesa pomocí polohových vektorů jak ve výchozím(nedeformovaném), tak v zatíženém (deformovaném) stavu. K popisu můžeme použít dvě různé vztažné soustavy, v nichž definujeme souřadnicové systémy, nejčastěji kartézské: a) globální počátek spojen se základním tělesem, b) lokální počátek spojen s libovolným vybraným bodem tělesa a osami vhodně orientovanými vzhledem k řešenému problému.(takovýto souřadnicový systém jsme např. použili při rozkladu obecnéhonapětí f vřezunasložkunormálovou asmykovou.) Změna polohového vektoru kteréhokoli bodu tělesa znamená posuv tohoto bodu; protože těleso jako celek nekoná pohyb vůči globálnímu souřadnicovému systému, v němž definujeme polohové vektory, je tento posuvdándeformacítělesaajednásetedyodeformační posuv( r d = r A r A ). Posuv(deformační posuv) bodu tělesa je dán změnou jeho polohového vektoru. Je-li posuv dvou bodů tělesa různý, mění se vlivem deformace jejich vzdálenost; tuto změnu délky je možné vypočítat odečtením vektorů jejich posuvů. Definujeme-li na tělese jakýkoli úhel pomocí tří jeho bodů, vektorová algebra umožňuje ze změny polohových vektorů těchto tří bodů vypočítat změnu tohoto úhlu. Lze tedy říci, že z posuvů bodů tělesa lze určit jakýkoli jeho deformační parametr. Deformace tělesa je jednoznačně dána množinou posuvů všech jeho bodů. 18

Posuvy bodů tělesa jsou jeho základními deformačními charakteristikami, které umožňují stanovit délkové a úhlové změny v tělese. posuv délkové změny úhlové změny změna polohy bodu tělesa změna vzdálenosti dvou bodů změna úhlu daného třemi body tělesa Významnou vlastností deformace je, že ji lze omezeně pozorovat a měřit. Omezeně proto, že jsme schopni měřit jen konečný a prakticky značně omezený počet deformačních charakteristik tělesa. Pro posouzení deformačních mezních stavů tedy není nutné popisovat deformaci tělesa úplně, ale stačí vybrat pouze ty charakteristiky, které jsou důležité z funkčního hlediska. Například u rotujícího hřídele, na který je nasazeno kolo, je důležité posoudit průhyb hřídele v místě rotoru, úhel prohnutí v místě ložisek, změnu průměru rotoru v důsledku odstředivých sil. Deformace tělesa je obecně v každém jeho bodě různá, proto k popisu lokální deformace zavádíme veličinu deformace v bodě tělesa. Zavedení této veličiny můžeme ilustrovat pomocí experimentu, znázorněného na obrázku. Na povrchu tělesa je narýsována pravidelná pravoúhlá síť, která se při zatěžování tělesa deformuje. Při hrubé síti a nerovnoměrné deformaci tělesa dojde k tomu, že každý z původně stejných čtverců sítě bude mít po deformaci jiný tvar. Budeme-li tuto síť zhušťovat, dospějeme do stádia, kdy sousední čtverce zůstanou i po deformaci téměř geometricky podobné. Deformace uvnitř vyznačeného čtverce pak již bude prakticky homogenní stejná ve všech jeho bodech. Nerovnoměrnost pole deformací v tělese rozhoduje otom,přijaké jemnosti sítěktomudojde.naprostopřesnětolzezajistitpouze nekonečným zmenšením délky hrany čtverce, tj. limitním přechodem a 0. Protože v trojrozměrném prostoru představuje čtverec sítě elementární prvek ve tvaru krychle, můžeme pak deformaci této krychle ztotožnit s deformací v libovolném jejím bodě. 19

Deformace elementární krychle je dána poměrnými změnami délek tří jejích hran a tří úhlů mezi jejími stěnami, popsanými následujícími vztahy: délková přetvoření(poměrná změna délek): ε x = dx dx, ε dx y = dy dy, ε dy z = dz dz dz (ε >0 prodloužení, ε <0 zkrácení), úhlová přetvoření zkosy(změna pravých úhlů): γ xy = π 2 ϕ xy, γ xz = π 2 ϕ xz, γ yz = π 2 ϕ yz. otázka Kontrolní otázky Tyto veličiny lze podobně jako složky napětí uspořádat do čtvercové matice popisující v dané souřadnicové soustavě tenzorpřetvoření T ε (někdynepřesněnazývanýtenzordeformace). T ε = ε x γ yx 2 γ zx 2 γ xy 2 ε y γ zy 2 γ xz 2 γ yz 2 ε z Tenzor přetvoření je tedy určen šesti souřadnicemi, a to třemi délkovými a třemi úhlovými přetvořeními. Pak lze vyslovit následující definici: Deformace v bodě tělesa je poměrná deformace elementárního prvku tělesa, který tentobodtělesaobsahuje.jepopsánatenzorempřetvoření T ε. Termín deformace můžetedyznamenatdvěrůznéfyzikálníveličiny: 1. deformační posuvy[mm], 2. přetvoření poměrná bezrozměrná veličina. Mezi těmito významy je třeba přesně rozlišovat. 20

6. Zatížení tělesa Zatížení tělesa je souhrn vnějších účinků působících na těleso a vnitřních procesů deformace na v tělese, jejichž důsledkem je vznik deformace a napjatosti v tělese. str. 18 Zatížení lze dělit na: napjatost na str. 14 a) silové zatížení deformace tělesa je vyvolána předepsaným vnějším silovým půsozatížení silové na benímnatěleso(sílyosamělé[n],liniové[n/m],plošné[n/m 2 ]aobjemové[n/m 3 ], případně silové dvojice[nm], jejichž hodnoty jsou předem známy); str. 120 b) deformační zatížení deformace tělesa je primární(řízenou) veličinou(stanovení některého deformačního parametru tělesa, např. nasazení náboje na hřídel Priklad 402 s přesahem, utažení šroubu, prohnutí tyče o předepsanou hodnotu), vnější síly Příklad 405 vznikají jako důsledek známé deformace a jejich hodnoty nejsou předem známy; Příklad 418 c) objemové zatížení deformace tělesa je vyvolána změnou objemu částí tělesa, ke kterým může docházet vlivem změn teploty(teplotní zatížení) nebo vlivem Příklad 409 fázových přeměn ve struktuře materiálu. Reálné zatížení tělesa je obvykle kombinace uvedených typů. Často dochází ke změně teploty tělesa, jehož deformace jsou v prostoru omezeny- kombinace teplotního a deformačního zatížení atp. Priklad 406 Za určitých okolností(nehomogenní fázové přeměny, lokální překročení meze kluzu) nemusí napjatost, resp. deformace vymizet ani po odlehčení tělesa a existuje v něm nadále jako vlastní napjatost(zbytková, technologická, montážní). Je způsobena zatěžováním tělesa v minulosti, např. technologickými operacemi(kalením, litím, tvářením za studena, svařováním atd.) nebo v průběhu provozu(při lokálním překročení mezního stavu pružnosti v omezeném objemu materiálu). Určení vlastní napjatosti je velmi obtížné, neboť je stejně jako deformace závislá nejen na okamžitém zatížení tělesa, ale i na historii zatěžování, což je sled všech zatěžovacích stavů tělesa od jeho vzniku do současnosti. Zatěžování tělesa je vždy proces probíhající v čase, jehož součástí mohou být následující zatěžovací stavy tělesa: 1. Nezatížený(výchozí) stav je stav tělesa na počátku zatěžování, tedy bez napětí. 2. Výrobní stav stav, v němž mohou existovat zbytková napětí vyvolaná technologickými postupy při výrobě tělesa(kalení, svařování, tváření atd.). 3. Montážní stav je stav, v němž mohou navíc existovat napětí vyvolaná montáží soustavy(předpjaté šrouby, nalisování s přesahem). 4. Provozní stav jeden z řady zatěžovacích stavů, kterým může být těleso v průběhu technického života vystaveno při plnění požadovaných funkcí. Některé z těchto stavů mohou být vyvolány předepsanými zkouškami zařízení(tlaková zkouška potrubí, zátěžová zkouška mostu apod.) 5.Přechodovýstav-stav,vněmžtěleso není schopno nadále plnit požadované funkce, ale je možné funkčnost tělesa obnovit opravou nebo jiným zákrokem, těleso je nadále schopno plnit požadované funkce pouze se zhoršenými technickými parametry, neodpovídajícími původním technickým podmínkám(účinnost, ekonomie provozu, spotřeba paliva, bezpečnost provozu, přípustné zatížení, ergonomie uživatelský komfort atd.) 21

těleso je schopno nadále plnit pouze některé z požadovaných funkcí. 6. Mezní stav- těleso musí být pro nezpůsobilost k plnění požadovaných funkcí vyřazeno z provozu. VVÚnastr.41 tahnastr.53 ohybnastr.78 krutnastr.71 Kontrolní otázky Obvykle se při výpočtovém hodnocení nerozlišuje mezi přechodovými a mezními stavy; někdy záleží na úrovni posuzování: např. mezní stav pístu nebo ojnice je přechodovým stavem pro motor nebo celé vozidlo, protože funkčnost motoru lze obvykle snadno obnovit výměnou porušené součásti. Nadále budeme všechny přechodové a mezní stavy označovat jako mezní. Poznámka: Namáhání tělesa je název používaný pro odlišení charakteru pomocných veličin(normálová a posouvající síla, ohybový a kroutící moment), které vystupují u prutů ve vztazích pro výpočet napětí a deformace. Rozlišujeme základní jednoduchá namáhání (v závorce je uvedena nenulová složka výsledných vnitřních účinků(vvú) charakteristická pro daný typ namáhání): tahem a tlakem(normálová síla), smykem(posouvající síla), ohybem(ohybový moment), krutem(kroutící moment). 22

7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje napjatost a deformaci těles na základě předpokladu, že všechny závislosti mezi parametry zatížení, napjatosti a deformace těles jsou lineární. Porušení linearity u kterékoliv z těchto závislostí vede k úlohám označovaným jako úlohy nelineární pružnosti. Posouzení, kdy je pružnost lineární nebo nelineární, má zcela zásadní význam pro řešení úloh PP, a tedy i pro posuzování konstrukcí. Úlohy lineární jsou podstatně jednodušší z hlediska řešení, ale jejich praktická použitelnost je omezená. Nutné podmínky pro lineárnost úlohy: materiál těles je lineárně pružný, malé deformační posuvy těles(v porovnání s jejich rozměry), složky tenzoru přetvoření malé ( 1, obvykle nejvýše řádu10 3 ), Příklad 623 okrajové podmínky lineární. V pružnosti a pevnosti I se budeme zabývat případy, kdy odchylky od linearity jsou nepodstatné. 7.1. Hookův zákon Zavedlijsmepojem pružnédeformace tělesajakodeformaci,kterájevratná.to znamená, že deformace v daném okamžiku je závislá jen na parametrech zatěžování v tomto okamžiku nezávisí tedy na historii zatěžování. V důsledku toho je i napjatost tělesa určena okamžitými parametry zatěžování. Závislost mezi napětím σ a přetvořením ε má obecně tvar podle obrázku, je nelineární. Tato nelinearita komplikuje významně řešení úloh PP. U nejběžnějšího strojírenského materiálu oceli je však možné tuto závislost v celém pružném oboru s dostatečnou přesností považovat za lineární. Dostáváme tak výpočtový model pružného materiálu materiál lineárně pružný(hookovský), jehož vlastnosti popisuje Hookův zákon. Hookův zákon je nejjednodušší formou konstitutivních(fyzikálních) relací. Tyto vztahy obecněpopisujízávislostimezisložkamitenzorunapětí T σ atenzorupřetvoření T ε ve vyšetřovaném bodě tělesa. Jedná-li se o popis deformačně-napěťového chování lineárně pružného materiálu, pak je mezi složkami přetvoření a napětí lineární závislost. V případě jednoosé napjatosti(realizuje se např. při tahové nebo tlakové zkoušce) je jedinounenulovousložkoutenzorunapětí T σ normálovénapětívpodélnémsměruvzorku (osa x) σ x azávislostmezitímtonapětímapřetvořenímvpodélnémsměrujedána 23