VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem FRVŠ 0032/2001 c Jiří Novotný, Brno 2004
Obsah ÚVOD 3 Cíle..................................... 5 Požadované znalosti............................ 5 Doba potřebná ke studiu.......................... 5 Klíčová slova................................ 6 1 VEKTORY 7 2 MATICE 11 2.1 Úvodní pojmy, některé speciální třídy matic............ 11 2.2 Operace s maticemi.......................... 14 2.3 Hodnost matice............................ 22 2.4 Inverzní matice............................ 28 2.5 Maticové rovnice........................... 32 3 DETERMINANTY 41 3.1 Determinanty 2. a 3. řádu...................... 41 3.2 Vlastnosti determinantů....................... 44 3.3 Determinanty n-tého řádu...................... 50 3.4 Užití determinantů.......................... 53 4 SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC 61 4.1 Základní pojmy, Cramerovo pravidlo................ 61 4.2 Existence, počet a metody řešení.................. 64 4.3 Řešení homogenních systémů..................... 69 ZÁVĚR 75 Shrnutí................................... 75 Autotest................................... 75 Studijní prameny.............................. 78 Rejstřík................................... 80 1
Lineární algebra 2
ÚVOD Metody lineární algebry patří již po řadu let k základním matematickým poznatkům, se kterými se studenti vysokých škol technických seznamují v prvních ročnících svého studia. Při řešení jakýchkoliv lineárních úloh, ať již v technických, ekonomických nebo jiných aplikacích, je používání vektorů, matic, determinantů, lineárních systémů apod. zcela běžné. Například pro sestavení optimálního plánu výroby budeme analyzovat činnost určité hospodářské jednotky firmy, dílny, závodu apod.. Naším úkolem je sestavit takový plán výroby, který v maximální možné míře zabezpečí zisk z prodeje vyrobených výrobků. Předpokládejme, že jsou známy technologické možnosti dané výrobní jednotky a také množství surovin a jiných zdrojů, které můžeme čerpat. Nechť existuje m druhů surovin, které jednotka využívá pro výrobu své produkce. Označme je písmeny R 1, R 2,..., R m. Těmito surovinami mohou být kovy, uhlí, ruda, elektrická energie, finance, ale i pracovní síla apod. Předpokládejme dále, že v naší výrobní jednotce můžeme vyrábět n druhů různých výrobků, které můžeme označit analogicky G 1, G 2,..., G n. Technologií výroby výrobku G j budeme nazývat soubor čísel a ij, i 1, 2,..., m, který určuje, jaká množství suroviny R i jsou nutná pro výrobu jednotky výrobku G j. Takovým způsobem můžeme výrobu chápat jako posloupnost, ve které dodáváme postupně jednotlivé suroviny v množstvích a 1j, a 2j,..., a mj a na konci tohoto procesu vychází hotový výrobek. Na základě těchto informací můžeme sestavit tzv. technologickou matici výroby. G 1 G 2... G j... G n R 1 a 11 a 12... a 1j... a 1n R 2 a 21 a 22... a 2j... a 2n.................................. R i a i1 a i2... a ij... a in.................................. R m a m1 a m2... a mj... a mn Zbývá předpokládat, že technologie výroby je lineární, to znamená, že spotřeba surovin je přímo úměrná objemu výroby. Pokud označíme A technologickou matici výroby, dále b vektor omezení množství surovin R 1, R 2,..., R m, kterými výrobní jednotka disponuje, x plán výroby, tj. množství jednotek výrobků G 1, G 2,..., G n a c vektor cen vyjadřující zisk z prodeje jednotek výrobků G 1, G 2,..., G n hotové produkce, pak matematický model této úlohy bude mít 3
Lineární algebra tvar: max c x A x b, x o, podle kterého hledáme maximum hodnoty zisku c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n na množině ohraničené nerovnostmi n j1 a ij x j b i, i 1, 2,..., m popisujícími výrobní možnosti jednotky a nerovnostmi x j 0, j 1, 2,..., n vyjadřujícími nezápornost množství hotové produkce. Uvedená úloha patří mezi základní úlohy tzv. lineárního programování. Ze střední školy umíme řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Tak např. soustava 2x + y 5 x y 4 má jediné řešení x 3, y 1. Toto řešení najdeme například tak, že z druhé rovnice vypočteme x a dosadíme do první rovnice. Soustava 2x + y 5 4x + 2y 7 nemá žádné řešení. Odečteme-li dvojnásobek první rovnice od druhé rovnice, dostaneme 0 3, což není možné. Soustava 2x + y 5 4x + 2y 10 má nekonečně mnoho řešení. Všimněme si, že druhá rovnice je dvojnásobkem první rovnice. Stačí tedy soustavu řešit tím, že jednu neznámou volíme. Např. řešením je x 1, y 3, nebo x 0, y 5, nebo x 1, y 7 atd. V právě uvedeném příkladě jsme o řešitelnosti daných soustav rozhodli snadno. Jde-li však o soustavu s větším počtem neznámých, není otázka řešitelnosti tak přehledná. A právě jedním z hlavních úkolů lineární algebry je najít jednak jednoduchá kriteria řešitelnosti takových soustav, jednak vhodné metody, jak tyto soustavy řešit. Úkolem tohoto modulu je seznámit čtenáře se základními pojmy a metodami lineární algebry. Zatím bylo stručně pojednáno o významu lineární algebry. První kapitola uvádí nejzákladnější poznatky o vektorech, které jsou potřebné pro výklad v dalších kapitolách. Druhá kapitola je věnována maticím. Je zde zavedena terminologie maticového počtu a podrobně popsány operace s maticemi. Třetí kapitola pojednává o determinantech. Zejména jsou popsány metody jeho výpočtu a aplikace především v maticovém počtu. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic je věnována kapitola čtvrtá. Za každou kapitolou je pro potřeby samostatné práce studentů připojen soubor otázek a cvičení. Za poslední kapitolou je autotest, na kterém si posluchači kombinovaného studia mohou ověřit zvládnutí problematiky celého modulu. Ve studijních pramenech jsou v seznamu použité literatury uvedeny nejprve základní učebnice, a pak skripta, v seznamu doplňkové studijní literatury sbírky příkladů 4
Úvod a v odkazech na další studijní zdroje a prameny jsou internetové adresy stránek souvisejících s tématem modulu. Pro snadnější orientaci je na konci zařazen rejstřík pojmů. Cíle znát pojem aritmetického vektoru, počítání s nimi a jejich vlastnosti znát pojem matice a některé jejich speciální třídy umět základní operace s maticemi znát pojem hodnost matice a umět ji stanovit umět definovat inverzní matici a prakticky ji vypočítat umět řešit maticové rovnice znát pojem determinantu, jeho vlastnosti a vyčíslení umět používat determinanty znát pojem systému lineárních algebraických rovnic a jeho maticový zápis umět rozhodnout o existenci a počtu řešení systému lineárních algebraických rovnic znát základní přímé metody pro řešení systému lineárních algebraických rovnic Požadované znalosti Základy lineární algebry jsou prvním modulem z řady studijních opor určených pro posluchače 1. semestru kombinovaného studia na Stavební fakultě Vysokého učení technického v Brně. Proto v tomto díle je použita co možná nejpřístupnější forma výkladu, pro jehož pochopení stačí běžné znalosti středoškolské matematiky. Při studiu vystačíte v podstatě pouze se znalostí sčítání a násobení reálných čísel. Dále je potřebná píle a určitý stupeň logického myšlení, které je u studentů technického zaměření samozřejmou nezbytností. Doba potřebná ke studiu Jak dlouho se budete zabývat studiem tohoto modulu, záleží na vašich možnostech a schopnostech. V prezenčním studiu je problematika modulu probírána v prvních dvou týdnech úvodního semestru v rozsahu 8 hodin přednášek a 8 hodin cvičení. Odtud vychází, že by mělo být dostatečné věnovat studiu 24 hodin samostatné práce završené samokontrolou nabytých vědomostí vyřešením autotestu. 5
Lineární algebra Klíčová slova lineární algebra, aritmetický vektor, matice, determinant, systém lineárních algebraických rovnic 6
Kapitola 1 VEKTORY Motivace Vektorem se většinou rozumí orientovaná úsečka, nebo jak se zejména ve fyzice názorně říkává, veličina určená velikostí a směrem. Dvě takové úsečky představují jeden a tentýž vektor, právě když jsou souhlasně rovnoběžné a mají stejnou délku. Viz obr. 1. Vektory lze sčítat ve fyzice se také říká skládat, jak je vidět na obr. 2. Obrázek 1.1: Souhlasné vektory u + v u v Obrázek 1.2: Sčítání vektorů Dále lze vektory násobit reálnými čísly. Je-li toto číslo kladné, je výsledný vektor téhož směru jako původní. V případě záporného čísla, je opačného směru a pro nulu nulový vektor, tj. úsečka nulové délky její krajní body splývají. Viz obr. 3. u k u k>0 l u l<0 0 u Obrázek 1.3: Násobení vektorů číslem 7
Lineární algebra Budeme nyní uvažovat lineární rovnici o dvou neznámých a 1 x + a 2 y + a 3 0. Násobíme-li tuto rovnici číslem k dostaneme ka 1 x + ka 2 y + ka 3 0. Sečteme-li danou rovnici s rovnicí dostaneme rovnici a 1 x + a 2 y + a 3 0 b 1 x + b 2 y + b 3 0, a 1 + b 1 x + a 2 + b 2 y + a 3 + b 3 0. Je tedy vidět, že místo abychom počítali s rovnicemi, můžeme počítat s uspořádanými trojicemi čísel a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3. Takové trojice můžeme sčítat a násobit čísly. Uspořádané trojice mají tedy charakter vektorů. Lze tedy uspořádanou trojici čísel označit názvem vektor. Definice 1. Každou uspořádanou n tici reálných čísel tvaru a 1, a 2,..., a n nazveme n-členným aritmetickým vektorem a prvky a 1, a 2,..., a n jeho složkami. Vektory budeme značit polotučnými písmeny, např. a a 1, a 2,..., a n, b b 1, b 2,..., b n. o 0, 0,..., 0 je tzv. nulový vektor. Jeho všechny složky jsou nulové. Množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel se nazývá vektorový prostor n-členných aritmetických vektorů a značí se R n, jestliže jsou v ní rovnost a operace sčítání a násobení číslem definovány takto: Vektory a a 1, a 2,..., a n, b b 1, b 2,..., b n jsou si rovny, píšeme a b, právě když zároveň platí tyto rovnosti a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n. Neplatí-li některá aspoň jedna z těchto rovností, nazýváme vektory a, b různé a píšeme a b. Součtem vektorů a, b nazýváme vektor, který značíme a+b a pro který platí a + b a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n. K-násobkem vektoru a, k R, nazýváme vektor ka ka 1, ka 2,..., ka n. Příklad 1. Jsou dány vektory a 1, 3, 2, b 3, 1, 2, c 2, 0, 1, 2. Určíme vektory a + b, a + c, 5a 2b, 0 c. Řešení. Platí a + b 1 + 3, 3 1, 2 2 4, 2, 0. Součet a + c nemá smysl, neboť vektory a, c nemají stejný počet složek, takže je nelze sčítat. 8
1. Vektory Dále 5a 2b 5, 15, 10 + 6, 2, 4 1, 17, 14. Konečně 0 c 0 2, 0 0, 0 1, 0 2 0, 0, 0, 0. Nyní zavedeme pojem lineární závislosti, který představuje v matematice jeden ze základních vztahů. S tím také úzce souvisí pojem lineární kombinace. Definice 2. Nechť a 1, a 2,..., a k R n jsou aritmetické vektory. Říkáme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže rovnice α 1 a 1 + α 2 a 2 +... + α k a k o, kde α 1, α 2,..., α k mohou být libovolná reálná čísla, je splněna jen pro α 1 α 2... α k 0. V opačném případě, kdy uvedená rovnice platí, přičemž aspoň jedno číslo α i 0, 1 i k, nazývají se tyto vektory a 1, a 2,..., a k lineárně závislé. Vektor b R n se nazývá lineární kombinace vektorů a 1,a 2,..., a k R n, existují-li taková reálná čísla β 1, β 2,..., β k, že platí b β 1 a 1 + β 2 a 2 +... + β k a k. Příklad 2. Zjistíme, zda jsou vektory a 1 3, 2, 1, a 2 0, 1, 1, a 3 3, 1, 2 lineárně závislé nebo nezávislé. Řešení. Zřejmě platí a 1 a 2 3, 2, 1 0, 1, 1 3, 1, 2 a 3, takže a 1 a 2 a 3 o. Protože α 1 1, α 2 1, α 3 1, jsou vektory a 1, a 2, a 3 lineárně závislé. Přitom ze vztahu a 3 a 1 a 2 plyne, že vektor a 3 je lineární kombinací vektorů a 1, a 2. Příklad 3. Ukážeme, že vektory e 1, e 2,..., e n R n tvaru e 1 1, 0, 0,..., 0, e 2 0, 1, 0,..., 0,..., e n 0, 0,..., 0, 1, jsou lineárně nezávislé. Skutečně, napíšeme-li rovnici α 1 e 1 + α 2 e 2 +... + α n e n o ve tvaru α 1, 0, 0,..., 0 + 0, α 2, 0,..., 0+...+0, 0,..., 0, α n 0, 0,..., 0, dostaneme α 1, α 2,..., α n 0, 0,..., 0. Odtud plyne α 1 α 2... α n 0. To však znamená, že vektory e 1,e 2,..., e n R n jsou lineárně nezávislé. Věta 1. 1. Vektory a 1, a 2,..., a k R n jsou lineárně závislé, právě když některý z nich je lineární kombinací zbývajících vektorů. 2. Je-li mezi vektory a 1, a 2,..., a k některý vektor nulový, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. Důkaz: 1a Jestliže např. vektor a i, 1 i k je lineární kombinací zbývajících vektorů, pak platí a i β 1 a 1 +... + β i 1 a i 1 + β i+1 a i+1 +... + β k a k. Převedeme-li a i na druhou stranu rovnice, dostaneme o β 1 a 1 +... + β i 1 a i 1 + 1a i + β i+1 a i+1 +... + β k a k. Protože všechny koeficienty nejsou zároveň nuly, jsou dané vektory lineárně závislé. 9
Lineární algebra 1b Jestliže naopak jsou dané vektory lineárně závislé, pak v rovnici α 1 a 1 + α 2 a 2 +... + α k a k o je aspoň jeden koeficient různý od nuly, např. α j 0. Dělíme-li tímto koeficientem uvedenou rovnici, dostaneme Odtud α 1 α j a 1 +... + α j 1 α j a j 1 + a j + α j+1 a j α 1 α j a 1... α j 1 α j α j a j 1 α j+1 a j+1 +... + α k α j a k o. α j a j+1... α k α j a k. To však znamená, že vektor a j je lineární kombinací zbývajících vektorů. 2. Nulový vektor je lineárních kombinací každých vektorů a 1, a 2,..., a k, neboť pro α 1 α 2... α k 0 zřejmě platí o 0 a 1 +0 a 2 +...+0 a k o+o+...+o o. Nyní tvrzení plyne z 1. části této věty. Poznámka 1. Pro k 1 znamená lineární nezávislost jediného vektoru a 1, že a 1 o. Pro k 2 znamená lineární závislost dvou vektorů a 1, a 2, že jeden z nich lze vyjádřit jako násobek druhého vektoru. Aritmetické vektory a 1, a 2 se pak nazývají kolineární, neboť při geometrickém modelu, který jsme uvedli v úvodu této kapitoly, jsou odpovídající orientované úsečky rovnoběžné. CVIČENÍ 1 Vektory Kontrolní otázky 1. Co je to aritmetický vektor? 2. Jak s vektory počítáme? 3. Definujte lineární nezávislost vektorů. 4. Kdy je jeden z vektorů lineární kombinací ostatních vektorů? Příklady k procvičování 1. Jsou dány vektory x 1, 2, 3, 0, y 3, 0, 1, 5, o 0, 0, 0, 0. Vypočtěte a x + y ; b x y ; c 2x ; d 3y ; e 2x 3y ; f 0 x ; g 2o. 2. Jsou dány vektory a 1, 2, 3, 1, b 0, 1, 2, 0, c 1, 0, 2, 3. Určete vektor x x 1, x 2, x 3, x 4 tak, aby platilo a 3b + 2x c 3a. 3. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů a a 1 1, 0, 2, a 2 4, 1, 0, a 3 2, 1, 4 ; b a 1 2, 0, 0, a 2 0, 1, 6, a 3 0, 0, 3 ; c a 1 3, 1, 5, 2, a 2 1, 0, 2, 4 ; d a 1 3, 1, 2, 2, a 2 9, 3, 3, 6, a 3 6, 5, 1, 4, a 4 6, 2, 5, 4. Výsledky příkladů 1. a 2, 2, 4, 5 ; b 4, 2, 2, 5 ; c 2, 4, 6, 0 ; d 9, 0, 3, 15 ; e 11, 4, 3, 15 ; f 0, 0, 0, 0 ; g 0, 0, 0, 0. 2. x 1 2 c 4a + 3b 3 2, 11 2, 4, 7 2 3. a závislé, a 3 2a 1 a 2 ; b nezávislé; c nezávislé; d závislé, a 4 3a 1 1 3 a 2. 10
Kapitola 2 MATICE 2.1 Úvodní pojmy, některé speciální třídy matic Motivace V matematice, ekonomice i v technických disciplínách se často setkáváme s úlohami, které se popisují pomocí čísel sestavených do řádků a sloupců. Tak např. systém lineárních rovnic 5x 1 3x 2 1 3x 1 + 2x 2 12 je úplně určen tabulkou čísel 5 3 1 3 2 12, protože na označení neznámých z matematického hlediska nezáleží. Přitom je třeba zdůraznit, že uspořádání těchto čísel do řádků a sloupců je podstatné. Např. číslice 3 neurčuje jen číselnou hodnotu, ale postavení v tabulce současně říká, že číslo 3 je koeficientem ve druhé rovnici u první neznámé. Proto takový koeficient značíme a 21 a v našem případě je roven 3. Má tedy smysl následující definice. Definice 1. Maticí typu m,n, kde m, n jsou přirozená čísla, rozumíme uspořádanou soustavu m n čísel zapsaných ve tvaru tabulky do m řádků a n sloupců. Matici typu m, n zapisujeme takto a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n................... a m1 a m2 a mn Čísla a 11, a 12,..., a mn nazýváme prvky matice. Prvek ležící v i-tém řádku a j- tém sloupci značíme a ij. První index se nazývá řádkový, druhý index sloupcový.. 11
Lineární algebra Poznámka 1. Prvky matice mohou být reálná i komplexní čísla. Setkáme se i s maticemi, jejichž prvky jsou obecnějšího charakteru konstanty, proměnné i funkce. V této kapitole se budeme zabývat maticemi tvořenými reálnými čísly. V ekonomických a technických problémech se pracuje s maticemi, které mají stovky řádků a sloupců. Prakticky není vždy možné vypisovat všechny prvky matice. Daleko výhodnější je označit matici jedním písmenem, např. A, a početní operace s jednotlivými prvky nahradit početními operacemi s jediným objektem A. Tak vzniká maticový počet. Pro matice typu m, n se také používá označení a ij n m, [a ij ] m,n, a ij n m atd. Nebo a ij, [a ij ], A, je-li typ matice znám ze souvislosti, nebo nehrozí-li nedorozumění. Nyní uvedeme několik význačných matic s jejich standardním označením. Název matice je zpravidla shodný s její strukturou. Definice 2. Nechť A je matice typu m, n. Je-li m n, A se nazývá obdélníková matice. Je-li m n, A se nazývá čtvercová matice. Číslo n pak nazýváme řádem čtvercové matice A. Prvky a 11, a 22,..., a nn tvoří hlavní diagonálu úhlopříčku a prvky a 1n, a 2,n 1,..., a n1 vedlejší diagonálu matice A. Příklad 1. Matice A a B jsou obdélníkové, matice C je čtvercová matice 3. řádu. A 5 3 1 3 2 12, B 2 1 1 0 1 1, C 1 4 3 0 5 6 1 6 4 Prvky 1, 5, 4 tvoří její hlavní diagonálu, prvky 3, 5, 1 vedlejší diagonálu. Definice 3. Matice typu 1, n se nazývá řádková matice řádkový vektor, matice typu n, 1 sloupcová matice sloupcový vektor. Příklad 2. X 1 2 3 4 5 je řádkový, Y 1 0 2 je sloupcový vektor. Definice 4. Čtvercovou matici řádu n nazýváme diagonální, jestliže všechny její prvky mimo hlavní diagonálu jsou nulové, tj. a ij 0 pro i j, i, j 1, 2,..., n. 12
2. Matice Diagonální matice má tedy tvar D d 1 0 0 0 0 d 2 0 0.................. 0 0 0 d n V případě, že d i 1 pro i 1, 2,..., n, se diagonální matice nazývá jednotková matice a značí se E případně I. E 1 0 0 0 0 1 0 0.............. 0 0 0 1 Čtvercovou matici řádu n nazýváme dolní resp. horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad resp. pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. jestliže a ij 0 pro j > i, resp. pro i > j, i, j 1, 2,..., n. Dolní resp. horní trojúhelníková matice má tedy tvar a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0....................... a n1 a n2 a n3 a nn resp... a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n................. 0 0 a nn Čtvercová matice řádu n se nazývá symetrická, jestliže a ij a ji pro i, j 1, 2,..., n, tj. prvky symetricky položené vzhledem k hlavní diagonále jsou stejné.. Příklad 3. Matice A 1 1 0 1 2 3 0 3 0 je symetrická. Definice 5. Čtvercová matice řádu n se nazývá antisymetrická, jestliže a ij a ji pro i, j 1, 2,..., n, tj. prvky symetricky položené vzhledem k hlavní diagonále se liší znaménkem a všechny prvky v hlavní diagonále jsou nulové. Příklad 4. Matice A 0 1 2 1 0 9 2 9 0 je antisymetrická. 13
Lineární algebra Definice 6. Matici typu m, n nazýváme nulová matice, jestliže všechny její prvky jsou rovny 0, tj. a ij 0 pro i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n. Nulová matice se značí O. Tedy O 0 0 0........... 0 0 0. 2.2 Operace s maticemi Podobně jako s čísly zavádíme i s maticemi početní operace s příslušnými pravidly. Definice 7. Rovnost matic Dvě matice A a ij, B b ij téhož typu m, n jsou si rovny, píšeme A B, právě když odpovídající prvky jsou stejné, tj. a ij b ij pro i 1, 2,..., m ; j 1, 2,..., n. Poznámka 2. V této definici se znovu zdůrazňuje rozdíl mezi množinou a maticí. Množiny M {1, 2, 3}, N {3, 1, 2} jsou si rovny, píšeme M N, poněvadž mají stejné prvky. Avšak matice 1 2 3, 3 1 2 typu 1, 3, tj. řádkové vektory, se nerovnají, poněvadž nejsou rovny odpovídající si prvky. Rovnost mezi maticemi typu m, n tedy nahrazuje m n rovností mezi odpovídajícími si prvky. Definice 8. Součet matic Jestliže A a ij, B b ij jsou matice téhož typu m, n, pak součtem matic A, B rozumíme matici C c ij typu m, n, píšeme C A + B, jejíž prvky jsou součtem odpovídajících si prvků, tj. c ij a ij + b ij pro i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n. Příklad 5. Jestliže 1 2 3 A, B 3 1 5 A + B 1 1 2 2 3 + 3 3 + 2 1 + 5 5 3 1 2 3 2 5 3, pak 0 0 6 5 6 8. Definice 9. Násobení matice číslem K-násobkem matice A a ij typu m, n rozumíme matici C téhož typu jako A, píšeme C ka, jejíž prvky jsou k-násobky prvků matice A, tj. c ij ka ij pro i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n. 14
2. Matice Poznámka 3. Při násobení matice číslem se násobí všechny prvky matice, tj. k a 11 a 1n............. a m1 a mn ka 11 ka 1n................ ka m1 ka mn Tuto poslední rovnost můžeme ovšem užít i obráceně k vytknutí společného činitele všech prvků, např. 5 10 15 20 5 1 2 3 4.. Definice 10. Matice 1 A se nazývá opačná matice k matici A a označujeme ji A. Jsou-li A, B matice téhož typu, pak výraz A + B se nazývá rozdíl matic A, B a píšeme A + B A B. Příklad 6. Vypočteme rozdíl matic z předcházejícího příkladu. Zřejmě platí A B 1 1 2 2 3 3 3 2 1 5 5 3 2 4 0 1 4 2 Pro součet matic a pro násobení matice číslem platí jednoduchá početní pravidla, která uvedeme v následující větě.. Věta 1. Jsou-li A, B, C libovolné matice téhož typu, k, k 1, k 2 libovolná reálná čísla, pak platí následující vztahy. 1. A + B B + A komutativní zákon 2. A + B + C A + B + C asociativní zákon 3. A + O A, kde O je nulová matice téhož typu jako A. 4. A + A O, kde O je nulová matice téhož typu jako A. 5. 1 A A 6. k 1 k 2 A k 1 k 2 A asociativní zákon pro násobení číslem 7. k 1 + k 2 A k 1 A + k 2 A 1. distributivní zákon pro násobení matice číslem 8. ka+b ka+kb 2. distributivní zákon pro násobení matice číslem 15
Lineární algebra Důkaz věty je snadný. Uvedené vlastnosti vyplývají z definic příslušných početních operací a vlastností reálných čísel. Definice 11. Součin matic Nechť A a ij je matice typu m, n a B b jk je matice typu n, p. Součinem matice A s maticí B v daném pořadí rozumíme matici C c ik typu m, p, píšeme C A B, pro jejíž prvky platí n c ik a ij b jk pro i 1, 2,..., m; k 1, 2,..., p. j1 Poznámka 4. Definice říká, že chceme-li určit prvek c ik, musíme odpovídající členy i-tého řádku první matice vynásobit odpovídajícími členy k-tého sloupce druhé matice a takto vzniklá čísla sečíst. Proto musí mít první matice řádek stejně dlouhý jako druhá matice sloupec. Tedy první matice musí mít stejný počet sloupců jako druhá řádků. Součin matice A s maticí B můžeme schematicky znázornit takto: i tý řádek................ a i1 a i2 a in................ k tý sloupec. b 1k.. b 2k..... b nk. c ik a i1 b 1k + a i2 b 2k +... + a in b nk k tý sloupec........... c ik........... i tý řádek Příklad 7. Určíme součiny C A B a D B A pro matice A 3 1 2 4 2 1 0 1, B 1 3 1 2 2 1 2 2. Řešení. Platí A B 3 1 2 4 2 1 0 1 1 3 1 2 2 1 2 2 3 1 + 1 1 + 2 2 + 4 2 3 3 + 1 2 + 2 1 + 4 2 2 1 + 1 1 + 0 2 + 1 2 2 3 + 1 2 + 0 1 + 1 2 10 5 3 10 C, 16
B A 1 3 1 2 2 1 2 2 3 1 2 4 2 1 0 1 2. Matice 1 3 + 3 2 1 1 + 3 1 1 2 + 3 0 1 4 + 3 1 1 3 + 2 2 1 1 + 2 1 1 2 + 2 0 1 4 + 2 1 2 3 + 1 2 2 1 + 1 1 2 2 + 1 0 2 4 + 1 1 2 3 + 2 2 2 1 + 2 1 2 2 + 2 0 2 4 + 2 1 9 4 2 1 1 1 2 6 4 1 4 9 10 4 4 6 D. Poznámka 5. 1. Již z příkladu vidíme, že pro násobení matic obecně neplatí komutativní zákon A B B A. Matice A je typu 2,4, matice B je typu 4,2, proto součin A B je typu 2,2, kdežto součin B A je typu 4,4. 2. Je-li např. matice A typu 2, 4, matice B typu 4, 5, pak součin A B existuje a je to matice typu 2, 5, kdežto součin matic B A není definován, protože počet sloupců matice B je různý od počtu řádků matice A. O rovnosti A B B A tedy nemá smysl hovořit. 3. Je-li matice A typu m, n a matice B typu n, m, pak součin A B je čtvercová matice řádu m a B A je čtvercová matice řádu n. Pokud m n, opět nelze uvažovat o rovnosti matic A B a B A, protože nejsou stejného řádu. 4. Z uvedeného vyplývá, že o platnosti komutativního zákona pro součin matic lze uvažovat pouze v případě, kdy obě matice jsou čtvercové a stejného řádu. Na příkladě však uvidíme, že ani v tomto případě komutativní zákon obecně neplatí. Proto má smysl následující definice. Definice 12. Čtvercové matice A, B řádu n se nazývají zaměnitelné komutativní, jestliže platí A B B A. Jak snadno zjistíme vynásobením, platí následující tvrzení. Věta 2. Jsou-li matice A, nulová matice O a jednotková matice E čtvercové matice stejného řádu n, pak platí A O O A O, A E E A A. 17
Lineární algebra Tj. nulová a jednotková matice jsou zaměnitelné s libovolnou čtvercovou maticí stejného řádu. Příklad 8. Jestliže A A B B A takže A B B A. Příklad 9. Jestliže A A B 2 0 3 6 2 0 3 6 1 1 5 7 a B A 5 2 4 5 5 2 4 5, B 1 1 5 7 2 0 3 6 2 1 2 2, B 2 1 2 2 takže dané matice A, B jsou zaměnitelné. Příklad 10. Jestliže A A B 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 5 7 2 1 2 2 5 2 4 5, B 1 1 0 0, pak 2 2 27 45 5 6 11 42, pak 14 9 18 14 1 1 0 0 14 9 18 14, pak 0 0 0 0 Tedy z rovnice A B O neplyne, že některý z činitelů je roven nulové matici. Příklad 11. Jestliže A A B a A C 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2, B 5 1 3 1 5 1 3 1 2 2 3 1, C 3 1 6 2 3 1 6 2. 2 2 3 1., pak Tedy z rovnice A B A C nelze činit závěr, že B C. Tj. při násobení matic nelze krátit. Z uvedených příkladů vyplývá, že početní operace s maticemi mají některé odlišné vlastnosti od početních operací s reálnými čísly. I když nezavádíme nové názvy a hovoříme stejně jako u reálných čísel o součtu, rozdílu a součinu matic, je třeba si uvědomit, že jde o početní operace s novými matematickými objekty. 18
2. Matice Věta 3. Základní vlastnosti součinu matic Nechť A, B, C jsou matice, k číslo. Pak platí následující vztahy. 1. A B C A B C asociativní zákon 2. ka B ka B A kb asociativní zákon pro násobení součinu matic číslem 3. A + B C A C + B C 1. distributivní zákon 4. A B + C A B + A C 2. distributivní zákon Důkaz: Především je třeba říci, že ve vlastnostech 1 4 nejsou uvedeny typy příslušných matic. Těmto vztahům je třeba rozumět tak, že v případě existence matic na levé straně existuje i matice na pravé straně a platí uvedená rovnost. Platnost vztahů se dokáže tak, že matice představující levou i pravou stranu rovnic jsou stejného typu a odpovídající prvky jsou shodné. Například 2. vlastnost, která říká, že součin matic lze násobit číslem k v livolném pořadí, pokud pořadí matic zůstane zachováno, vyplývá z platnosti vztahů k a ij b jk k a ij b jk a ij k b jk plynoucí ze záměnnosti násobení čísel. Poznámka 6. Se součinem matic úzce souvisí mocniny čtvercové matice s přirozeným exponentem. Místo A A píšeme stručněji A 2, A A A A 3, atd. Mocniny matice rozšiřujeme i pro případ, že exponent je roven nule, a to vztahem A 0 E, kde E je jednotková matice stejného řádu jako A. 3 1 3 Příklad 12. Vypočteme. 2 1 Řešení. Platí 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 3 5 0 5 0 1 3, 2 1 2 1 0 5 0 5 2 1 3 1 3 5 15 Tedy. 2 1 10 5 5 15 10 5 Na závěr tohoto odstavce uvedeme ještě další operaci maticového počtu. Definice 13. Transponování matice a 11 a 12 a 1n a Jestliže A 21 a 22 a 2n................... a m1 a m2 a mn 19
Lineární algebra je matice typu m, n, potom matici A T a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2.................. a 1n a 2n a mn typu n, m nazýváme transponovaná matice k matici A. Poznámka 7. Transponovaná matice A T vznikne tedy z matice A tak, že i-tý řádek matice A napíšeme do i-tého sloupce matice A T. Zaměníme řádky za sloupce a naopak při zachování jejich pořadí. Označíme-li prvky transponované matice a T ij, pak platí a T ij a ji, tj. prvek transponované matice v i-tém řádku a j-tém sloupci je roven prvku původní matice, který leží v j-tém řádku a i-tém sloupci. Příklad 13. Jestliže A 2 1 3 0 3 1 2 5 2 1 0 0, pak AT 2 0 2 1 1 3 5 0 3 1 2 0. Příklad 14. Jestliže A a b c, pak A T Tedy transponováním řádkového vektoru dostaneme sloupcový vektor a naopak. a b c. Věta 4. Základní vlastnosti transponování matic Nechť A, B, C jsou matice vhodných typů a k reálné číslo. Pak platí následující vztahy. 1. A T T A 2. A + B T A T + B T 3. A C T C T A T 4. ka T ka T Důkaz: Omezíme se jen na důkaz třetí vlastnosti. Ostatní vlastnosti se snadno nahlédnou z definice transponování. U druhé vlastnosti předpokládáme, že matice A, B jsou stejného typu, aby existoval součet A + B. 20
2. Matice Nechť A a ij m,n, pak C c jk n,p, aby existoval součin A C, a tedy C T c T jk p,n, A T a T ij n,m. Dále platí, že matice A C T a C T A T jsou stejného typu p, m. Označíme-li D A C, pak d T ik d ki n j1 a kj c ji n j1 a T jk ct ij n j1 c T ij at jk. Poslední součet je však prvkem i-tého řádku a k-tého sloupce matice C T A T, takže matice A C T a C T A T jsou si rovny. Poznámka 8. Pojem transponované matice se mimo jiné často vyskytuje v souvislosti se symetrickou maticí. Transponovanou matici ke čtvercové matici získáme překlopením kolem hlavní diagonály. Je-li matice symetrická, potom zřejmě transponovaná matice je rovna původní matici, tj. A T A. Podobně se dá ověřit, že čtvercová matice je antisymetrická, právě když A T A. Pro každou čtvercovou matici A je A + A T symetrická matice a A A T antisymetrická matice. Protože platí A 1 2 A + AT + 1 2 A AT, dostáváme tvrzení, že každou čtvercovou matici lze psát jako součet symetrické a antisymetrické matice. Není obtížné ověřit, že takový rozklad čtvercové matice na součet symetrické a antisymetrické matice je jednoznačný. Příklad 15. Matici A antisymetrické matice. 2 1 1 3 1 1 1 5 3 rozložíme na součet symetrické a Řešení. Podle předcházející poznámky platí A B + C, kde B 1 2 A + AT je symetrická matice a C 1 2 A AT je antisymetrická matice. V našem případě B 1 2 C 1 2 2 1 1 3 1 1 1 5 3 2 1 1 3 1 1 1 5 3 Tedy máme A + 1 2 1 2 2 3 1 1 1 5 1 1 3 2 3 1 1 1 5 1 1 3 2 1 0 1 1 2 0 2 3 + 0 2 1 2 0 3 1 3 0 2 1 0 1 1 2 0 2 3, 0 2 1 2 0 3 1 3 0.. 21
Lineární algebra 2.3 Hodnost matice Jedním z důležitých pojmů při studiu systémů lineárních algebraických rovnic je pojem hodnosti matice. Definice 14. Uvažujme matici A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n................... a m1 a m2 a mn typu m, n. Hodností matice A rozumíme přirozené číslo, udávající maximální počet lineárně nezávislých řádkových vektorů matice A. Hodnost matice budeme značit ha. Poznámka 9. Zřejmě hodnost nulové matice je nula. Později si ukážeme, že počet lineárně nezávislých řádků matice A je roven počtu lineárně nezávislých sloupců téže matice. Hodnost matice je zdola ohraničena číslem nula a shora minimem z čísel m, n rozměrů matice. Tj. platí 0 ha minm, n. Příklad 16. Matice nezávislé. 1 0 1 0 1 0 má hodnost 2, neboť její řádky jsou lineárně 3 5 2 Příklad 17. Matice má hodnost 1, neboť druhý řádek je 6 10 4 dvojnásobkem nenulového a tedy lineárně nezávislého řádku prvního. Příklad 18. Určíme hodnost matice A 2 0 2 1 2 3 2 6 8 Řešení. Připusťme, že ha 3, tj. že matice má tři lineárně nezávislé řádky. Označíme-li a 1 2, 0, 2, a 2 1, 2, 3, a 3 2, 6, 8, pak musí platit α 1 a 1 + α 2 a 2 + α 3 a 3 o jen pro α 1 α 2 α 3 0. Ověřme tento předpoklad. Rozepíšeme-li uvedenou rovnici do složek, dostaneme soustavu 2α 1 + α 2 + 2α 3 0 2α 2 + 6α 3 0 2α 1 + 3α 2 + 8α 3 0 Z druhé rovnice soustavy plyne α 2 3α 3 a po dosazení do první rovnice soustavy α 1 α 3 2. Dohromady má soustava řešení α 1 k, α 2 2 3k, α 3 k, kde k je libovolné reálné číslo. Existují tedy i nenulová α 1, α 2, α 3, tj. vektory a 1, a 2, a 3 jsou lineárně závislé. Platí a 3 3a 2 1a 2 1, proto ha 3, tj. ha < 3. Protože. 22
2. Matice první a druhý řádek matice nejsou úměrné, a 1, a 2 jsou lineárně nezávislé. Tedy ha 2. Příklad 19. Matice B b 11 b 12 b 1m b 1n 0 b 22 b 2m b 2n........................... 0 0 b mm b mn kde b ii 0, b ij 0 pro i > j, i 1, 2,..., m, m n, tj. v hlavní diagonále nenulové prvky a pod hlavní diagonálou samé nuly, má hodnost m. Označíme-li totiž její řádky po řadě symboly b 1, b 2,..., b m, potom z rovnice β 1 b 1 + β 2 b 2 +... + β m b m o plynou porovnáním složek obou stran pro čísla β i vztahy β 1 b 11 0 a odtud β 1 0, β 1 b 12 + β 2 b 22 0 a odtud β 2 0, atd. až β m 0. Tedy řádky uvažované matice jsou lineárně nezávislé. Matice B má proto hodnost hb m. Poznámka 10. Určení hodnosti matice přímo z definice není vždy jednoduché viz příklad 18. Proto se matice upravuje na jednodušší tvar viz příklad 19, samozřejmě tak, aby se při úpravách její hodnost neměnila., Definice 15. Mějme matici A a ij typu m, n. Elementárními úpravami matice A budeme rozumět kteroukoliv z následujících úprav: i. přehození i-tého a j-tého řádku resp. sloupce; ii. vynásobení i-tého řádku resp. sloupce nenulovým číslem; iii. přičtení k-násobku i-tého řádku resp. sloupce k j-tému řádku resp. sloupci. Poznámka 11. Pokud upravujeme jen řádky, hovoříme o řádkových úpravách, analogicky zavádíme sloupcové úpravy. Jestliže matice B vznikla elementární úpravou matice A, používáme pro označení vztahu mezi nimi značku A B. Dá se ukázat, že pomocí elementárních úprav lze nenulovou matici A převést na tzv. schodovitou matici B b ij téhož typu m, n tvaru 0 0 b 1j1 b 1n 0 0 b 2j2 b 2n................................... 0 0 b rjr b rn 0 0 0................................... 0 0 0, kde 1 j 1 < j 2 < < j r n, 1 r minm, n, b iji 0 pro i 1, 2,..., r. 23
Lineární algebra Pojem schodovitá matice odpovídá názorně svému názvu, neboť nulové prvky tvoří jakési schody. Vzhledem k nerovnosti 1 j 1, první řádek může, ale také nemusí začínat nulovými prvky. Věta 5. Elementární úpravy matice nemění její hodnost. Důkaz: Postup důkazu ukážeme na řádkové elementární úpravě přičtení k-násobku i-tého řádku k j-tému řádku. Ostatní případy tvrzení věty se ukáží analogicky. Nechť ha r. Označme a 1 a 11, a 12,..., a 1n, a 2 a 21, a 22,..., a 2n,..., a r a r1, a r2,..., a rn maximální počet r lineárně nezávislých řádkových vektorů matice A. Máme ukázat, že pak také vektory a 1, a 2,..., a i,..., ka i + a j,..., a r jsou lineárně nezávislé. Tj. že rovnost α 1 a 1 +α 2 a 2 +...+α i a i +...+α j ka i +a j +...+α r a r o platí, jen když α k 0 pro k 1, 2,..., r. Úpravou dostaneme α 1 a 1 +α 2 a 2 +...+α i + α j ka i +...+α j a j +...+α r a r o. Protože vektory a k, k 1, 2,..., r jsou podle předpokladu lineárně nezávislé, platí α 1 α 2... α i + α j k... α j... α r 0. Protože α i + α j k 0 a α j 0, je také α i 0. Takže α k 0 pro k 1, 2,..., r. To však znamená, že vektory a 1, a 2,..., ka i + a j,..., a r jsou lineárně nezávislé. Poznámka 12. Z předchozí věty plyne, že když schodovitá matice B vznikne z matice A elementárními úpravami, pak ha hb. Hodnost matice B se zjistí snadno. Je zřejmě rovna počtu řádků, které obsahují aspoň jeden nenulový prvek. Tak dostáváme jednu z nejběžnějších metod zjišťování hodnosti matice. Všimněme si ještě, že se můžeme omezit např. jen na řádkové úpravy, protože platí toto tvrzení. Věta 6. Pro každou matici A platí ha ha T, tj. hodnost matice se rovná hodnosti transponované matice. Příklad 20. Určíme hodnost matice 1 3 2 0 5 2 6 9 7 12 2 5 2 4 5 1 4 8 4 20 Řešení. Platí 1 3 2 0 5-2 1 3 2 0 5 2 6 9 7 12 0 0 5 7 2 2 5 2 4 5 2 5 2 4 5 1 4 8 4 20 1 4 8 4 20 1 3 2 0 5-1 1 3 2 0 5 0 0 5 7 2 0 0 5 7 2 0 1 6 4 15 0 1 6 4 15-1 1 4 8 4 20 0 1 6 4 15 1 3 2 0 5 1 3 2 0 5 0 0 5 7 2 0 1 6 4 15 0 1 6 4 15 0 0 5 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 2 24
2. Matice Upravená schodovitá matice má tři nenulové řádky, proto je její hodnost 3, což je také hodnost dané matice. Příklad 21. Určeme hodnost matice Řešení. Platí 2 1 1 4 2 1 6 3 1 2 1 2 T 2 1 1 4 2 1 6 3 1 2 1 2. 2 4 6 2 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 0 0 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 0 1 2 3 0 0 0 0 Hodnost dané matice je tedy 2. Poznámka 13. Pomocí výpočtu hodnosti matice se dá řešit novým způsobem úloha, zda dané vektory a 1, a 2,..., a m jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Je-li totiž hodnost matice, jejíž řádky jsou tvořeny těmito vektory, rovna číslu h, pak jestliže h m jsou dané vektory lineárně nezávislé, v případě h < m lineárně závislé. Příklad 22. Rozhodneme o lineární závislosti či nezávislosti soustavy vektorů a 1 25, 2, 3, 4, 2, a 2 75, 6, 2, 11, 3, a 3 75, 6, 3, 4, 8, a 4 25, 4, 5, 1, 4. Řešení. Platí 25 2 3 4 2 75 6 2 11 3 75 6 3 4 8 25 4 5 1 4 25 2 3 4 2 0 2 2 3 2 0 0 6 8 2 0 0 7 1 3-3 -3-1 -7/6 25 2 3 4 2 0 0 7 1 3 0 0 6 8 2 0 2 2 3 2 25 2 3 4 2 0 2 2 3 2 0 0 6 8 2 25 0 0 0 3 16 3 Hodnost matice vyšla 4, což se rovná počtu daných vektorů. Proto je soustava vektorů lineárně nezávislá. Příklad 23. Zjistíme, jaká může být hodnost matice. A 1 3 2 18 2 1 1 1 x 2 1 5 3 1 2 2 pro různé hodnoty čísla x. 25
Lineární algebra Řešení. Standardním postupem nulujeme prvky pod hlavní diagonálou. Platí 1 3 2 18 2 1 1 1 x 2 1 5 3 1 2 2-2 -x -3 1 3 2 18 0 5 5 35 0 2 3x 1 + 2x 5 18x 0 8 8 56 1 5 1 8 1 3 2 18 0 1 1 7 0 2 3x 1 + 2x 5 18x 0 1 1 7 Nyní pro x 3 dostáváme matici 2-3x -1 1 3 2 18 0 1 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 18 0 1 1 7 0 0 3 x 9 + 3x 0 0 0 0, tedy ha 2. Pro x 3 jsou prvky 3 x, 9 + 3x nenulové, a proto ha 3.. Definice 16. Čtvercová matice A řádu n se nazývá regulární, jestliže platí ha n, tj. jestliže její hodnost je stejná jako její řád. Není-li matice A regulární, říkáme, že je singulární. Pak ha < n a číslo n ha se nazývá defekt nebo též nulita matice A. Příklad 24. Zjistíme, zda matice A singulární. Řešení. Platí 0 1 2 3 1 1 2 1 2 je regulární nebo 0 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 1 0 1 2 2 1 2 1 3 1 1 3 1 3 0 1 2 2 1 2-2 1 1 3 1 3 0 1 2 0 5 3 4 3-5/3 1 1 3 1 3 0 1 2 0 0 14 3. Protože ha 3 n, je daná matice regulární. Příklad 25. Určíme nulitu matice 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3. 26
2. Matice Řešení. Platí 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 1 7 17 3 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17-4 -10 1 7 17 3 0 4 10 1 0 20 50 5 0 52 130 13 5 13 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0. Daná matice má tedy hodnost 2. Protože její řád je 4, jedná se o singulární matici, jejíž nulita je 2, neboť n h 4 2 2. Poznámka 14. Dá se ukázat, že každé elementární úpravě s řádky sloupci matice odpovídá vynásobení matice vhodnou regulární maticí zleva zprava. a 11 a 12 a 13 0 1 0 Tak např. vynásobení zleva matice a 21 a 22 a 23 maticí 1 0 0 vede a 31 a 32 a 33 0 0 1 k výměně prvního a druhého řádku. Skutečně, platí 0 1 0 1 0 0 0 0 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Podobně např. násobení zleva maticí řádku číslem k, neboť 1 0 0 0 k 0 0 0 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Konečně např. násobení zleva maticí třetího řádku k druhému řádku, neboť 1 0 0 0 1 k 0 0 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 1 0 0 0 k 0 0 0 1 1 0 0 0 1 k 0 0 1 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33. vede k vynásobení druhého a 11 a 12 a 13 ka 21 ka 22 ka 23 a 31 a 32 a 33. vede k přičtení k-násobku a 11 a 12 a 13 a 21 + ka 31 a 22 + ka 32 a 23 + ka 33 a 31 a 32 a 33. 27
Lineární algebra 2.4 Inverzní matice Motivace Uvažujme rovnici ax b, kde a, b jsou reálná čísla, a 0. Její řešení získáme snadno vynásobením rovnice číslem a 1. Platí ax b a 1 ax a 1 b 1 x a 1 b x a 1 b. Analogická situace nastává i při řešení maticové rovnice A X B, kde A, B jsou dané matice a X je matice s neznámými prvky. Kdyby existovala matice A 1 s vlastností A 1 A E, kde E je jednotková matice, mohli bychom danou maticovou rovnici řešit takto: Je proto přirozená následující definice. A X B A 1 A X A 1 B A 1 A X A 1 B E X A 1 B X A 1 B. Definice 17. Nechť A je daná čtvercová matice. Existuje-li matice Z tak, že platí A Z Z A E, kde E je jednotková matice, nazýváme Z inverzní maticí k dané matici A a značíme Z A 1. Poznámka 15. Otázka inverze matic se někdy pojímá obecněji inverze zprava resp. zleva, pro obdélníkovou matici, tím se však v tomto textu zabývat nebudeme. Příklad 26. Matice neboť platí a rovněž 1 1 3 1 1 1 4 4 3 1 4 4 1 1 4 4 3 1 4 4 1 4 je inverzní k matici 1 4 3 4 1 4 1 1 3 1 1 + 3 4 4 3 3 4 4 1 + 3 4 4 3 3 4 4 1 1 3 1, 1 1 4 4 3 + 1 4 4 1 1 4 4 3 + 1 4 4 1 0 0 1 1 0 0 1 Dále se budeme zabývat otázkou existence a jednoznačnosti inverzní matice. Platí následující tvrzení, jehož důkaz provedeme v kapitole 3.. 28
2. Matice Věta 7. Inverzní matice k matici A existuje, právě když matice A je regulární. K singulární matici tedy inverzní matice neexistuje. Definice 17 a ani uvedená věta nevylučuje možnost existence více inverzních matic k regulární matici A. Platí však tato věta o jednoznačnosti inverzní matice. Věta 8. Nechť A je regulární matice. Potom k ní existuje právě jedna inverzní matice. Důkaz: Předpokládejme, že k matici A existují dvě inverzní matice např. B a C. Pak platí A B B A E i A C C A E. Odtud dostáváme rovnost B B E B A C B A C E C C. Nyní si uvedeme některé vlastnosti inverzních matic. Věta 9. Nechť A, B jsou regulární matice stejného řádu a k 0 reálné číslo. Pak platí 1. Inverzní matice k jednotkové matici je jednotková matice, tj. E 1 E. 2. Jestliže A 1 je inverzní matice k matici A, je obráceně A inverzní matice k matici A 1, tj. A 1 1 A. 3. Transponovaná inverzní matice je rovna inverzní matici k transponované matici, tj. A 1 T A T 1. 4. Inverzní matice k matici násobené nenulovým číslem je rovna inverzní matici násobené převrácenou hodnotou tohoto čísla, tj. ka 1 1 k A 1, k 0. 5. Inverzní matice k součinu dvou matic je rovna součinu jejich inverzních matic v obráceném pořadí, tj. A B 1 B 1 A 1. Důkaz: 1. Plyne ze vztahu E E E. 2. Matice A 1 1 je inverzní k matici A 1, a proto A 1 1 A 1 E. Násobíme-li tuto rovnost maticí A zprava, dostaneme A 1 1 A 1 A E A a protože A 1 A E, máme A 1 1 E E A, tj. A 1 1 A. 3. Vyjdeme z rovnice A 1 A E. Jejím transponováním dostaneme A 1 A T A T A 1 T E T E. Násobme nyní rovnici A T A 1 T E zleva maticí A T 1. Dostaneme A T 1 A T A 1 T A T 1 E A T 1, z čehož plyne E A 1 T A T 1 a tedy A 1 T A T 1. 4. Platí ka 1 k A 1 k 1 k A A 1 E. 5. Platí A B B 1 A 1 A B B 1 A 1 A E A 1 A A 1 E. 29
Lineární algebra Poznámka 16. Nyní popíšeme metodu výpočtu inverzní matice pro danou regulární matici založenou na elementárních úpravách matice. Především už víme poznámka 14, že každé elementární úpravě odpovídá vynásobení matice vhodnou regulární maticí. Dále připomínáme, že elementární úpravy zachovávají hodnost matice. Metoda spočívá v tom, že napíšeme vedle sebe danou čtvercovou matici A a jednotkovou matici stejného řádu. Na takto vzniklou matici jako celek aplikujeme elementární řádkové úpravy s odpovídajícím násobením zleva maticemi A 1, A 2,..., A p tak dlouho, až na místě matice A dostaneme jednotkovou matici E. A E A 1 A A 1 E A 2 A 1 A A 2 A 1 E...... A p A 2 A 1 A } {{ } E A p A 2 A 1 E } {{ } A 1 Protože E A 1 A, je zřejmě A p A 2 A 1 A 1, a to je právě matice na pravé straně. Z předchozího plyne, že tytéž řádkové úpravy, které převedly regulární matici A na jednotkovou matici E, převedou, provedeny v témže pořadí, jednotkovou matici E na matici inverzní A 1. Příklad 27. Vypočtěme inverzní matici k matici A 2 2 3 1 1 0 1 2 1. Výpočet provedeme ve tvaru tabulky. Připojíme kontrolní sloupec Σ, ve kterém je součet všech čísel téhož řádku. Provedeme-li příslušnou řádkovou elementární úpravu i v tomto kontrolním sloupci, musí se opět součet v příslušném řádku shodovat s nově vzniklým číslem v kontrolním sloupci. 30
2. Matice A E Σ Poznámka 2 2 3 1 0 0 8 1-1 0 0 1 0 1 Vyměníme první a druhý řádek. -1 2 1 0 0 1 3............................................................ 1-1 0 0 1 0 1 První řádek vynásobíme 2 2 2 3 1 0 0 8 a přičteme k druhému řádku. -1 2 1 0 0 1 3 První řádek přičteme ke třetímu............................................................. 1-1 0 0 1 0 1 0 4 3 1-2 0 6 Vyměníme druhý a třetí řádek. 0 1 1 0 1 1 4............................................................ 1-1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 4 Druhý řádek vynásobíme 4 0 4 3 1-2 0 6 a přičteme ke třetímu řádku............................................................. 1-1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 4 Třetí řádek přičteme ke druhému. 0 0-1 1-6 -4-10 Třetí řádek vynásobíme 1............................................................. 1-1 0 0 1 0 1 0 1 0 1-5 -3-6 Druhý řádek přičteme k prvnímu. 0 0 1-1 6 4 10............................................................ 1 0 0 1-4 -3-5 0 1 0 1-5 -3-6 Tučně označené prvky 0 0 1-1 6 4 10 tvoří inverzní matici. Tedy inverzní matice k matici A je matice A 1 1 4 3 1 5 3 1 6 4. 2 2 3 1 1 0 1 2 1 Můžeme provést zkoušku, tj. ověřit rovnosti A A 1 A 1 A E. Skutečně platí 2 2 3 1 1 0 1 2 1 1 4 3 1 5 3 1 6 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 i obráceně 1 4 3 1 5 3 1 6 4 2 2 3 1 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1. 31
Lineární algebra Příklad 28. Vypočteme inverzní matici k matici B Řešení. Platí 2 7 3 1 0 0 3 9 4 0 1 0 1 5 3 0 0 1 1 5 3 0 0 1 3 9 4 0 1 0 2 7 3 1 0 0 2 7 3 3 9 4 1 5 3. 1 5 3 0 0 1 1 5 3 0 0 1 0 6 5 0 1 3 0 1 1 1 2 0 3 3 0 3 3 1 0 2 0 6 5 0 1 3 1 0 2 5 3 0 7 3 0 1 1 1 3 0 2 3 0 0 1 2 1 1 1 0 0 7 3 2 1 3 0 1 0 5 3 1 1 3 0 0 1 2 1 1 7 2 1 3 3 Tedy B 1 5 1 1 3 3. 2 1 1. Poznámka 17. Existuje ještě celá řada dalších metod pro výpočet inverzní matice. S jednou z nich se ještě blíže seznámíme v kapitole 3. Dále se čtenář setká s inverzní maticí v matematické statistice a na matematiku navazujících předmětech. 2.5 Maticové rovnice Úloha řešit maticovou rovnici o jedné neznámé matici X, znamená najít takovou matici X, která, dosazena do maticové rovnice, ji převede po provedení naznačených početních operací s maticemi na rovnost dvou matic. Řešení maticové rovnice o jedné neznámé matici X má dvě části: 1. Z maticové rovnice osamostatníme neznámou matici X. 2. Neznámou matici X vypočítáme. Postup si ukážeme na příkladech. Příklad 29. Určíme matici X, aby platilo A X B, kde Řešení. 1. Platí X A 1 B. A 1 1 3 1, B 0 1 3 4 5 5. 32
1 1 1 0 1 3 2. X 3 1 4 5 5 1 1 1 4 Inverzní matice k matici je podle příkladu 26 matice 3 1 1 1 Tedy X 4 4 0 1 3 1 1 2. 3 1 4 5 5 1 2 1 4 4 1 1 2 Řešením dané maticové rovnice je matice X. 1 2 1 1 1 1 1 2 Můžeme provést zkoušku. Platí 3 1 1 2 1 2. Matice 1 4 3 4 1 4 0 1 3 4 5 5 Příklad 30. Určíme matici X, aby platilo A X + B 2X C, kde A 1 1 0 2 2 1 1 3 1, B Řešení. 1. Osamostatníme matici X. Platí 2 1 6 4 3 2 0 2 4, C A X + B 2X 2C A X 2X B 2C. 1 3 2 2 1 3 1 5 6. Neznámou matici X vytkneme zprava, protože násobení matic není komutativní. A 2E X B 2C Rovnici násobíme zleva maticí A 2E 1. A 2E 1 A 2E X A 2E 1 B 2C X A 2E 1 B 2C 2. Vypočteme matici A 2E 1 a matici B 2C, pak obě matice vynásobíme. Platí A 2E Nyní 1 1 0 2 2 1 1 3 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 1 3 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 3 2 2 2 1 1 0 1 1 0 2 2 0 0 1 3 2 1 1 1 0 2 0 1 1 3 1 1 1 0 1 0 0 0 2 1 2 1 0 0 4 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 2 1 2 0 0 1 3 2 1,... 33
Lineární algebra Dále B 2C takže A 2E 1 1 2 2 1 6 4 3 2 0 2 4 a tedy X A 2E 1 B 2C 1 2 1 2 10 12 30 2 2 10 20 22 44 3 1 1 1 1 1 6 4 2 2 6 4 4 2 6 2 10 12 3 1 1 1 1 1 6 4 2 Řešením rovnice je matice X L : A X + B + P : 2X C 2 2 1 6 4 3 2 0 2 4 5 6 15 1 1 5 10 11 22 Zkouška: 1 1 0 2 2 1 1 3 1. 5 6 15 1 1 5 10 11 22. 5 6 15 1 1 5 10 11 22 5 6 15 1 1 5 10 11 22 8 6 26 6 4 16 18 12 56 1 3 2 2 1 3 1 5 6 4 7 10 0 1 8 2 8 8 4 7 10 0 1 8 2 8 8. + 8 6 26 6 4 16 18 12 56 CVIČENÍ 2 Matice Kontrolní otázky 1. Co je to matice typu m, n? 2. Jaké používáme speciální druhy matic? 3. Jaké znáte operace s maticemi? 4. Kdy existuje součin matic? 5. Kdy se matice nazývají zaměnitelné? 6. Co je to transponovaná matice? 7. Co je to hodnost matice? 8. Při kterých úpravách se hodnost matice nemění? 9. Jak určujeme hodnost matice? 10. Kdy je matice regulární? 11. Co je to inverzní matice? 34
2. Matice 12. Jak vypočteme inverzní matici? 13. Jak postupujeme při řešení maticových rovnic? Příklady k procvičování 1. Denní spotřeba energie a surovin podniku, který má tři závody, je popsána tabulkou. Uhlí El.proud Voda Dřevo Závod t/d kw h/d m 3 /d m 3 /d 1. 600 37, 5 5000 60 2. 450 50, 0 3200 80 3. 320 42, 5 2500 30 Vynecháme-li záhlaví této tabulky, dostáváme matici denní spotřeby podniku. S 600 37, 5 5000 60 450 50, 0 3200 80 320 42, 5 2500 30 a Co vyjadřuje druhý sloupec matice S? b Co vyjadřuje první řádek matice S? c Jaká je celková denní spotřeba uhlí celého podniku? d Jaké jsou denní náklady 1. závodu, když cena 1 t uhlí je x 1 Kč, 1 kw h elektrického proudu x 2 Kč, 1 m 3 vody x 3 Kč a 1 m 3 dřeva x 4 Kč? 2. Daná matice A je symetrická matice 3. řádu. Doplňte chybějící prvky. A 1 2 1 2 4 5 3. Daná matice B je antisymetrická matice 4. řádu. Doplňte chybějící prvky. B 4. Doplňte chybějící prvky matice 5. Jsou dány matice A matice 0, 00124 0, 001 0 0, 00213 1 2 0 3 4 5 2 1 4 2 0 6 a C 2A B, b D 1 2 A + 3B. 6. Jsou dány matice A 1 1 4 2 0 3 1 1000, B, B 4 2 6 0 3 6 0 2 3 1 4 1, C. Vypočtěte 1 1 2 0 1 0 2 1 1. 35
Lineární algebra Zjistěte, které ze součinů A B, B A, A C, C A, B C, C B jsou definovány a vypočítejte je. 7. Vypočtěte A B a B A pro matice 2 a A 3 1, B 1 2 0 ; b A 2 2 1 1 8. Zjistěte, zda dané matice A, B jsou zaměnitelné. 1 0 2 a A 2 3 2, B 2 3 2 1 0 1 b A 1 1 1 2 0 1 2 1 9. Vypočtěte A 3, jestliže A. 3 5 10. Vypočtěte A 4 A 2, jestliže A, B 1 0 2 3 11. Určete transponovanou matici k maticím a A 3 1 5 2, b B 3 1 2 1 4 2 1 2., B 5 2 2 4 1 6 4 7 0 2 0 1 0 3 1 4 1 1, c C 2 1 2 1 2 1 3 7 0 4 12. Rozložte danou matici na součet matice symetrické a antisymetrické. 3 4 9 1 2 2 a 6 0 7 b 0 2 7 5 11 10 4 3 3 13. Určete hodnost dané matice. 2 1 3 1 3 1 2 0 a 5 0 5 1 4 3 1 1 1 3 4 2 c 3 2 1 1 2 1 0 0 0 1 3 2 2 0 3 0 14. Určete nulitu matic a 1 3 4 2 1 5 2 6 10 d b b 3 5 0 2 1 4 7 10 20 1 2 2 6 1 2 1 5 0 1 3 1 8 1 1 1 0 4 2 1 2 2 1 5 1 1 0 1 2 3 2 1 2 1 4 2 6 2 3 4 2.. 36
c 1 2 3 4 1 0 2 2 0 2 5 2 1 2 7 1 d 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2. Matice 15. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů a a 1 1, 7, 8, 3, 5, a 2 2, 2, 0, 6, 6, a 3 5, 3, 8, 15, 7, a 4 4, 1, 5, 12, 7 ; b b 1 1, 1, 1, 1, 0, b 2 0, 1, 1, 1, 1, b 3 1, 2, 3, 0, 0, b 4 0, 1, 2, 3, 0, b 5 0, 0, 1, 2, 3. 16. Pro jaká čísla u, v je hodnost matice 17. Určete inverzní matici k dané matici. a 1 5 3 16 b 2 2 3 3 2 3 1 u v 2 0 1 1 c nejmenší? 6 2 7 3 d 1 0 0 3 1 0 9 3 1 g e 2 1 0 0 3 2 0 0 1 1 3 4 2 1 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 1 h f 1 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 5 1 0 0 0 8 0 1 0 0 1 0 0 1 5 3 1 2 1 4 1 1 7 18. Řešte maticové rovnice pro neznámou matici X. 1 1 a 2X + A B X 2C, když A, B 3 2 1 0 C ; 0 2 b 3A + 2X 4B + X, když A c A X A B, když A d A 2 X + B C, když A 3 2 C ; 5 7 2 1 3 2 2 0 2 1 1 2 0 1 3 3 0 2 1 5 2, B, B, B 3 2 5 1 3 4 2 1 0 3 7 5 4 2, ; 4 3 2 5 5 1 3 3 3, ; 37
Lineární algebra e A X B C, když A 2 4 C. 3 1 Výsledky příkladů 2 1 3 2, B 3 2 5 3 1. a Spotřebu elektrického proudu jednotlivými závody. b Spotřebu energie a surovin prvního závodu. c 1370 t ; d 600x 1 + 37, 5x 2 + 5000x 3 + 60x 4. 2. A 1 2 1 2 2 4 1 4 5 3. B 1, 24 1 4. 5. C 0 2, 13 6. A B C B 19 3 12 1 7. a A B B A 11 1 3 1 7 2 3 3 3 3, B A, 2 4 0 3 6 0 1 2 0 8 0 2 4 3 6 0 1 2 5 1 0 3 0 2 3 0 4 5 0 4 0 4 0 6 1 3 9 2 4 13, D C A a B C neexistují. 8. a Ano ; b Ne. 9. A 3 11. a A T 12. a 3 5 1 2 3 5 7 5 0 2 7 2 10., A C, B A 4 ; b A B b B T + 13. a 2 ; b 2 ; c 4 ; d 3. 14. a 0 ; b 1 ; c 1 ; d 0. 15. a Závislé ; b Nezávislé. 5 22 66 149 3 4 1 2 2 1 1 2 0 1 2 1 0 9 2 9 0 b 10. c CT, 13 11 2 16 1 9 15 0 0 72 72 1 1 1 1 2 2 1 2 3 9 6 6 8 5 7 0 0 0 0 2 3 0 1 7 4 +,, 0 1 3 1 0 5 3 5 0 38