Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A

Transkript

1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární algebra I Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy týkající se pojmu zobrazení a jeho základních vlastností,dále pak základních vlastností reálných funkcí jedné reálné proměnné a zejména základních vlastností elementárních funkcí. Další část prvního soustředění bude věnována základním pojmům lineární algebry. a jejich vzájemným souvislostem. Posluchači se seznámí s pojmy:aritmetický vektor, vektorový prostor, podprostor vektorového prostoru, báze a dimenze vektorového prostoru. Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. zobrazení, reálné funkce jedné reálné proměnné, elementární funkce 2. aritmetické vektory, vektorový prostor, podprostor vektorového prostoru 1. dílčí téma: zobrazení, reálné funkce jedné reálné proměnné, elementární funkce K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte odstavec 4.2 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a příklady týkající se definičních oborů elementárních funkcí z variant A1, B1, C1, D1 z publikace Kaňka, Kaňková: Přijímací zkoušky z matematiky na vysoké školy, Fortuna Pečlivě si rozmyslete definici pojmu zobrazení a jeho základní vlastnosti (zobrazení prosté a zobrazení na množinu), otázku existence inverzní funkce, základní vlastnosti reálných funkcí jedné reálné proměnné a především základní vlastnosti elementárních funkcí (mocniny, exponenciální funkce, logaritmické funkce, goniometrické funkce, cyklometrické funkce) - definiční obor,obor hodnot,graf,otázku existence inverzní funkce atd. a) Zvládnout základní úlohy plynoucí z dobré znalosti základních vlastností elementárních funkcí,být schopni nakreslit grafy základních elementárních funkcí a určit definiční obory a obory hodnot elementárních funkcí.

2 b) Zvládnout řešení jednoduchých rovnic a nerovnic s elementárními funkcemi na středoškolské úrovni např. mocninné, exponenciální,logaritmické,goniometrické rovnice a nerovnice. 1. Umět řešit úlohy, týkající se určení definičních oborů elementární funkcí z variant A1, B1, C1, D1 z publikace Kaňka, Kaňková: Přijímací zkoušky z matematiky na vysoké školy, Fortuna dílčí téma: aritmetické vektory, vektorový prostor, podprostor vektorového prostoru K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte odstavec kapitolu 1 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a úlohy z kapitoly 1 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky. Dobře si rozmyslete definice těchto pojmů: Aritmetický vektor, vektorový prostor, podprostor vektorového prostoru, lineární kombinace skupiny vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru, dimenze vektorového prostoru. Po prostudování byste měli umět řešit úlohy z kapitoly 1 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky. Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje). Literatura: Budinský, Havlíček: Matematika pro vasoké školy ekonomického a technického zaměření. Budinský, Havlíček: Sbírka příkladů z matematiky pro vysoké školy ekonomického a tefchnického zaměření.

3 Metodický list pro druhé soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Lineární algebra II Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je studovat základní vlastnosti matic, řešit soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody i pomocí determinantů (Cramerovo pravidlo). Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: a) matice,hodnost matice,násobení matic b) soustavy lineárních rovnic, inverzní matice c) determinanty, Cramerovo pravidlo 1. dílčí téma: matice, hodnost matice, násobení matic K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte odstavec 2.1 a 2.4 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a úlohy týkající se hodnosti matice a násobení matic ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 2. Stěžejní je naučit se spolehlivě používat pojmy: matice, hodnost matice,součin matic. 1. Umět řešit úlohy týkající se výpočtu hodnosti matice a úlohy týkající se násobení matic ze skripta Budinský, P.,Havlíček, I.:Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 2 2. dílčí téma: soustavy lineárních rovnic, inverzních matice K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte kapitolu 2 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a úlohy týkající se soustav lineárních rovnic ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 2. Stěžejní je: 1. Rozumět Frobeniově větě. 2. Rozumět větě o počtu řešení soustavy lineárních rovnic. 3. Umět spolehlivě řešit soustavy lineárních rovnic Gaussovou metodou. 4. Rozumět pojmům regulární a singulární matice. 5. Umět určit inverzní matici k regulárním maticím.

4 Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli umět spočítat úlohy, týkající se řešení soustav lineárních rovnic, jakož i výpočtu inverzních matic k regulárním maticím, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola dílčí téma: determinanty, Cramerovo pravidlo K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte kapitolu 3 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a úlohy z kapitoly 3 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky. Dobře si rozmyslete definici pojmu determinant a základní věty o determinantech. 1. Spočítat jakýkoliv determinant matice až do řádu Rozhodnout o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a případně soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla vyřešit. Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje). Literatura: Budinský, Havlíček: Matematika pro vasoké školy ekonomického a technického zaměření. Budinský, Havlíček: Sbírka příkladů z matematiky pro vysoké školy ekonomického a tefchnického zaměření.

5 Metodický list pro třetí soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Posloupnost, funkce Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit a seznámit posluchače s pojmy číselná posloupnost a její limita, funkce, spojitost a limita funkce. Posluchači zopakují základní vlastnosti elementárních funkcí (viz první soustředění) v návaznosti na vlastnosti důležité při výpočtech limit posloupností a funkcí. Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. číselná posloupnost a její limita 2. spojitost a limita funkce 1. dílčí téma: Číselná posloupnost a její limita K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte kapitolu 4, odstavec 4.1, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a vybrané úlohy, týkající se limit posloupností ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 4. Dobře si rozmyslete definice těchto pojmů: rozšířená číselná osa R, okolí bodu v R*, limita posloupnosti. Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli umět: 1. Uspokojivě vysvětlit tyto pojmy: posloupnost rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotónní posloupnost, okolí bodu, vybraná posloupnost, limita posloupnosti. 2. Spočítat vybrané úlohy, týkající se limit posloupností ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola dílčí téma: Spojitost a limita funkce K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte kapitolu 4, odstavec 4.3 a 4.4, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a vybrané úlohy, týkající se limit funkcí a spojitosti funkce, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 4. Dobře si rozmyslete definice těchto pojmů: spojitost funkce v bodě, limita funkce v bodě.

6 1. Umět vysvětlit pojem limita funkce v bodě a pojem spojitost funkce v bodě. 2. Zvládnout řešení úloh, týkajících se limit funkcí a spojitosti funkce ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 4. Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje). Literatura: Budinský, Havlíček: Matematika pro vasoké školy ekonomického a technického zaměření. Budinský, Havlíček: Sbírka příkladů z matematiky pro vysoké školy ekonomického a tefchnického zaměření.

7 Metodický list pro čtvrté soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Diferenciální počet funkcí I Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je seznámit se s matematickou operací derivace a jejími základními vlastnostmi, naučit se počítat derivace elementárních funkcí, seznámit se se základními větami diferenciálního počtu (l Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta). Tematický celek rozdělíme do následujících témat: 3. derivace funkce 4. užití derivace funkce: l Hospitalovo pravidlo 1. dílčí téma: Derivace funkce K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte kapitolu 5 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a vybrané úlohy, týkající se derivace funkce, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 5. Dobře si rozmyslete definice těchto pojmů: derivace funkce, derivace součtu, součinu, rozdílu a podílu funkcí, derivace inverzní funkce, derivace složené funkce, funkce diferencovatelná na intervalu, nevlastní derivace, derivace n-tého řádu, diferenciál. 1. Uspokojivě vysvětlit tyto pojmy: derivace funkce, geometrická interpretace derivace funkce (tečna grafu funkce v bodě c), základní věty (derivace algebraických operací, souvislost mezi derivací a spojitostí, větu o derivaci inverzní funkce, větu o derivaci složené funkce, derivace vyšších řádů), funkce diferencovatelná na intervalu, jednostranné derivace. 2. Znát derivace elementárních funkcí s příslušnými obory existence (viz tabulka na stránkách 53 a 54 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS). 3. Umět spočítat úlohy týkající se derivace funkce, zejména derivace složených funkcí z kapitoly 5 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky.

8 2. dílčí téma: užití derivace funkce: l Hospitalovo pravidlo Ke druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte kapitolu 5, odstavec 5.4, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a vybrané úlohy týkající se výpočtů limit funkcí s použitím l Hospitalova pravidla ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 5. Po prostudování byste měli zvládnout výpočty základních typů limit, vhodných pro řešení l Hospitalovým pravidlem (viz úlohy z kapitoly 5 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky. Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje). Literatura: Budinský, Havlíček: Matematika pro vasoké školy ekonomického a technického zaměření. Budinský, Havlíček: Sbírka příkladů z matematiky pro vysoké školy ekonomického a tefchnického zaměření.

9 Metodický list pro páté soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Diferenciální počet funkcí II Cíl: Cílem tohoto tematického celku je seznámit posluchače s dalšími možnostmi použití diferenciálního počtu při vyšetřování vlastností a průběhů funkcí. Porozumíte pojmům monotonie funkce, lokální extrémy, inflexní body a konvexnost (konkávnost) funkce, asymptoty grafu funkce Tematický celek rozdělíme do následujících témat: 1. význam první derivace při vyšetřování průběhu funkce 2. význam druhé derivace při vyšetřování průběhu funkce (funkce konvexní a konkávní, inflexní body) 1. dílčí téma: Význam první derivace při vyšetřování průběhu funkce K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte kapitolu 6, odstavec 6.1, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a vybrané úlohy, týkající se vyšetřování ryzí monotonie funkcí a lokálních extrémů funkcí, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 6. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: funkce rostoucí resp. klesající v intervalu, ostré lokální minimum (maximum). Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli umět: 1. Vysvětlit větu o významu první derivace pro průběh funkce, a vysvětlit pojem lokální extrém. 2. Vysvětlit nutnou podmínku pro lokální extrém funkce. 3. Určit intervaly, na nichž je funkce rostoucí, resp. klesající, a určit lokální extrémy v úlohách, uvedených v kapitole 6 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky. 2. dílčí téma: Význam druhé derivace při vyšetřování průběhu funkce (funkce konvexní a konkávní, inflexní body) K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte kapitolu 6, odstavec 6.2, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Matematika pro VŠFS a vybrané úlohy, týkající se konvexních a konkávních funkcí, ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky, kapitola 6.

10 Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: funkce ryze konvexní resp. konkávní na množině M nebo v bodě c, inflexní bod funkce, asymptota grafu funkce. 1. Vysvětlit tyto pojmy: funkce konvexní a konkávní v intervalu. 2. Vysvětlit větu o významu druhé derivace pro průběh funkce. 3. Vysvětlit pojem inflexní bod. 4. Umět určit intervaly na nichž je funkce konvexní, resp. konkávní, a umět nalézt inflexní body funkce. 5. Umět spočítat úlohy týkající se intervalů konvexity, resp. konkávity, funkcí a umět určit inflexní body v úlohách, uvedených v kapitole 6 ze skripta Budinský, P., Havlíček, I.: Sbírka příkladů z matematiky. Pokud jste čemukoliv z uvedených textů (pojmu, problému, či otázce) neporozuměli, pokuste se přesně (písemně) vyjádřit problém či otázku, která se Vám zdá nejasná. Pokud jste se setkali v dřívějším studiu, praxi či jiné než uvedené literatuře s jiným vymezením pojmů či jiným řešením problému než jste nalezli v uvedené literatuře, uveďte je a srovnejte je s vymezením či řešením, které jste nalezli v uvedené literatuře. Pokuste se přesně určit vzájemné odlišnosti a indentifikovat jejich příčiny (zdroje). Literatura: Budinský, Havlíček: Matematika pro vasoké školy ekonomického a technického zaměření. Budinský, Havlíček: Sbírka příkladů z matematiky pro vysoké školy ekonomického a tefchnického zaměření.