Harmonické kmiy
Úvod do nauky o kmiech Harmonické kmiy Hlavní body Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosi výchylky, rychlosi, zrychlení, Poenciální, kineická a celková energie Princip superpozice při skládání kmiů Příklad kmiající sousavy kyvadla Vlasní frekvence Nucené harmonické kmiy- rezonance
Pohyb kmiavý Podmínkou kmiavých (vibračních pohybů je 1. Rovnovážná poloha, v níž na hmoný bod nepůsobí žádné síly a. Síly, keré se snaží o návra hmoného bodu do rovnovážné polohy. Původem kmiavých (vibračních pohybů je nejčasěji eisence elasického charakeru sil, působících mezi čásicemi. V přírodě jsou značně rozšířeny. Vibrační energie je důležiým druhem energie.
Nelumené harmonické kmiy nelumené = bez zráy energie Uvažujme pro jednoduchos uo siuaci : hmoný bod se může pohybova na přímce, kerou zoožníme například s osou. počáek zvolíme v rovnovážné poloze Charaker kmiů je dán návraovou silou : návraová síla je přímo úměrná výchylce harmonické kmiy F k
F k Lineární osciláor ao síla odpovídá Hookovskému chování. Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou maeriálu nazývá se konsana úměrnosi k uhos pružiny a je úměrná příslušnému Youngovu modulu. podobná síla ale může eisova v libovolném poli, keré má poenciál, například graviačním nebo elekrosaickém.
Zařízení, keré volně (bez vnějšího působení kmiá, je mechanický osciláor. víceméně lineární
Dosadíme-li z. Newonova zákona do vzahu pro sílu dosaneme pohybovou rovnici: (diferenciální rovnice. řádu, kerá neobsahuje člen 1. řádu F předpokládáme řešení například ve varu : (Harmonická funkce d m d k ( sin(
Vypočeme první a druhou derivaci podle času d d a dosadíme do původní rovnice : cos( d sin( ( d m m d d ( k k ( Odud vyjádříme : k m vlasní úhlová frekvence
Časovou závislos výchylky můžeme edy popsa: k ( sin( sin( Úhlová frekvence popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodiciu. Zavádíme edy i frekvenci f a periodu T : f T Proože výchylka vznikla dvojí inegrací, obsahuje dvě inegrační konsany : ampliudu, kerá má význam nejvěší možné výchylky a fázi, pomocí níž lze popsa kmiy, keré měly určiou počáeční výchylku v okamžiku, kdy se začal měři čas. m
Pohyb po kružnici pohyb kmiavý Průměy rovnoměrného kruhového pohybu do kolmých os jsou pohyby kmiavé. Souřadnice hmoného bodu B : (= r.cos ( = r.cos( + y(=r.sin ( = r.sin( + se zde nazývá počáeční fáze (v čase = r A se nazývá ampliuda VIDEO Ferder kreis
Průzkum vlasnosí rychlosi a zrychlení hm. b. v( a( sin( d d d d cos( sin( ( Rychlos se předchází před výchylkou o čvrinu periody a její ampliuda je ω-krá věší Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní v proifázi = má opačný směr = předchází se (nebo opožďuje o polovinu periody. To odpovídá charakeru návraové síly. Jeho ampliuda je ω -krá věší
cos( d d v( sin( ( sin( d d a(
Energie kmiavého pohybu energie kmiajícího hm. b. Energie musí mí dvě složky : kineickou, proože se hmoný bod pohybuje určiou časově proměnnou rychlosí a poenciální, proože k posunuí hmoného bodu do mísa s určiou výchylkou je řeba vykona práci. Tu lze získa zpě, proože vzhledem k předpokladům nelumeného kmiu jsou zráy kineické energie zanedbaelné.
Poenciální energie E P kmiavého pohybu Hledáme práci pořebnou na vychýlení hm.b. do polohy proože síla není konsanní, ale závisí na výchylce, musíme inegrova. abychom docílili určié výchylky musíme kona práci k d k W ( ( E p ( sin m ( sin k ( E p 1 m k
( cos k d d m ( E k 1 1 ( cos m ( E k 1 Kineická energie E K kmiavého pohybu Počíáme kineickou energii z rychlosi m k
Celková energie E kmiavého pohybu Pro celkovou energii edy plaí : Zákon zachování energie ] ( sin ( [cos ( ( ( k E E E p k. ( kons m k E o m k
Důležié vlasnosi harmonického pohybu 1. Kineická energie je ve fázi s absoluní hodnoou rychlosi. Tedy nezávisí na jejím směru.. Poenciální energie je ve fázi s absoluní hodnoou výchylky. Tedy opě nezávisí na její orienaci. 3. Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmonosi a čverci úhlové frekvence a čverci ampliudy. 4. Na začáku například vychýlíme hmoný bod do určié polohy, což bude maimální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme sysému počáeční celkovou energii. 5. Ta se poom v závislosi na čase rozkládá určiým způsobem na poenciální a kineickou, ale souče zůsává roven energii, kerou jsme dodali na počáku.
Příklad fyzické kyvadlo Kyvadla jsou sysémy kmiající zpravidla v graviačním poli (výjimka např. orzní k.. Fyzickým kyvadlem může bý jakékoli uhé ěleso, keré se může oáče kolem pevné osy neprocházející ěžišěm. Budeme předpokláda vzdálenos osy od ěžišě a. T G a F φ M ( r F Ga sin
Po vychýlení kyvadla z rovnováhy o malý úhel. se v důsledku graviace objevuje momen síly, kerý se snaží vrái ěleso do rovnovážné polohy. Napišme pohybovou rovnici : M ( Gasin I I d d pro malé úhly: sin( I d d Ga ( sin( sin( I Ga
Úhlová frekvence edy je : Ga I srovnej k m V čiaeli opě vysupuje návraová síla (momen, kerá dává sysém do pohybu a ve jmenovaeli servačné vlasnosi sysému měření času: Příklad: Válec, r =,1 m T =? T I Ga
Příklady maemaické kyvadlo Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlo maemaické, jehož veškerá hmonos m je sousředěna ve vzdálenosi l od osy oáčení. Buď na nehmoném vlákně nebo yčce. Můžeme použí vzahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, I = m l. Pro úhlovou frekvenci edy dosáváme : T mgl ml Ga I g l VIDEO Fadenpendel a pro periodu: T l g kyvadlové hodiny
Složené kmiání Princip superpozice: Jesliže hmoný bod koná současně několik harmonických kmiavých pohybů, éhož směru s okamžiými výchylkami y 1, y,, y k, je okamžiá výchylka y výsledného kmiání y ( = y 1 ( + y ( + + y k (. Okamžié výchylky mohou mí kladnou i zápornou hodnou. Proo se při superpozici sčíají a odčíají.
Superpozice dvou harmonických kmiání o sejné frekvenci a nesejné fázi y ( = y 1 ( + y ( + + y k (.
Příklady složených kmiání o sejné frekvenci s různým fázovým rozdílem složek Skládají-li se harmonické pohyby se sejnou frekvencí, vznikne harmonický pohyb se ouéž frekvencí.
Časový diagram složeného kmiání s různou frekvencí složek Skládají-li se harmonické pohyby s různou frekvencí, vznikne obecně neharmonický pohyb
Časový diagram složeného kmiání s blízkou frekvencí složek - rázy Ladění kyary VIDEO Schwebumgen
Skládání kmiů - fázory y A φ A A 1 φ 1 = ω 1 φ = ω φ φ φ 1 φ 1 φ A A A A cos 1 1 A 1 Fázory = vekory roující v dvou rozměrech kolem počáku, plaí pro ně pravidla vekorové algebry
Vlasní frekvence k m Ga I g l a φ Každý kmiavý sysém má vlasní frekvenci! To umožňuje jev zvaný rezonance. G
Nucené harmonické kmiy-rezonance (neusále působíme vnější silou F Pohybová rovnice Pro sílu F( = F sin Ω parikulární řešení (pro dlouhé časy, bez přechodových savů ( X sin( m d d k F VIDEO ω je vlasní frekvence Ω je frekvence síly Federpendel resonanz F m( X 1. Pro Ω ω je X!!! REZONANCE. Osciláor kmiá frekvencí Ω, ne ω! Mosy, rádio, mikrovlnka versus konsrukce bez chvění
Nucené lumené harmonické kmiy - realia (neusále působíme vnější silou+brzdnou silou úměrnou v Pohybová rovnice m d d k R d d F Pro F( = F cos Ω (ω je vlasní frekvence, Ω je frekvence síly Parikulární řešení (bez přechodových savů ( Xˆ sin( ˆ F X m( ir ( X sin( 1. X ani pro Ω ω!!!. Osciláor nekmiá ve fázi s působící silou VIDEO Federpendel resonanz
Minimum Harmonický osciláor Časové závislosi výchylky, rychlosi, zrychlení Poenciální, kineická a celková energie Princip superpozice při skládání kmiů, fázory Vlasní frekvence Nucené harmonické kmiy- rezonance