9 Geometrická posloupost její užití, prvidelý růst pokles, ekoečá geometrická řd Geometrická posloupost Je dá posloupost { }. Tuto posloupost zveme geometrická, jestliže pro kždé dv po sobě ásledující čley pltí: + q kde q je reálé číslo, q 0, 0 eboli pltí: +. q Příkld geometrické poslouposti: {,, 8, 6,, 6, 8,...} kždý čle je dvojásobkem čleu předchozího, q Určeí - tého čleu geometrické poslouposti:. q Dále pltí teto vzth:. q r s r s Vzorec pro součet - čleů geometrické poslouposti: ) q s q. q ) q s. V geometrické poslouposti je, 7-96. Určete q. 7. q 6 96 odtud q 8. q odtud q Cvičeí:. Určete součet prvích čleů geometrické poslouposti, je-li dáo: ), q -, 5 b) 6, q 0,5, 6 c) -5, q, 0 d) -5, q -, 0 e) 0,75, q /, 8 f), q, 6 [ ) ; b),5 ; c)-50 ; d)0 ; e) 9 ( ) 6 ; f) 7. ( + ) ]. Určete - tý čle geometrické poslouposti, jestliže pltí, q, s 86. [ 7. 6 ]
. Zjistěte, která z čísel jsou čley geometrické poslouposti, v íž je 7, q -.. Dokžte, že čísl 5 ; ; 5 + jsou tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti. 5. Njděte součet prvích deseti čleů geometrické poslouposti, v íž je - ;. [68 ] ) Úlohy složeé úrokováí: Užití geometrické poslouposti Do peěžího ústvu vložíme částku 0. Vkld se kždoročě úročí p procety. Kolik budeme mít spořeo po letech? vkld... 0 p z rok... 0 + 0. 0 + 00 00 p p z roky... + 00 +. 00 po letech... Máme určit -tý čle geometrické poslouposti s prvím čleem 0 q + 00 0 + 00 Jkou částku získáme z 0 let, uložíme-li vkldový list 00 000,- Kč při ročích úrocích 8 %? 00000 0 8 0 00000 + 589,99 00 Získáme částku 5 89,99 Kč. ) Odpisy strojů zřízeí: 0 Příkld : Ce ového stroje čiil 0 Kč. Kždoročě se ce tohoto stroje sižovl o p procet. Kolik čiil ce stroje po letech? ce počátku... 0 p ce z jede rok... 0-0 0 00 00 p p ce z dv roky... 00. 00
ce z let... Máme určit -tý čle geometrické poslouposti s prvím čleem 0 q 00 0 00 Do podiku byl zkoupe stroj v hodotě 00 000,- Kč. Z cey stroje se kždoročě odepisuje 5%. Jká bude hodot stroje z let? Ce počátku... 0 00 000 5 Ce po letech: 00000. 00000. 0, 85 56896,70 00 Ce stroje po letech bude čiit 56 896,70 Kč. ) Úlohy o prvidelém střádáí: Do peěžího ústvu vkládáme počátku kždého roku částku 0. Vkld je kždoročě úroče p procety. Kolik budeme mít spořeo počátku. roku i s dlším vkldem? vkld počátku. roku... A 0 počátku.roku... A 0. + 00 + 0 pro jedoduchost si + 00 ozčíme q počátku.roku...a ( 0.q + 0 ).q + 0 0.q + 0.q + 0 počátku.roku...a 0.q + 0.q + 0.q + 0 počátku.roku...a 0.q - +... + 0.q + 0.q + 0 Jedá se o součet čleů geometrické poslouposti. Částk počátku.roku: A q 0. kde q + q 00 P Novák prvidelě počátku kždého roku ukládá vkldí kížku 5000, - Kč. Vkldí kížk se kždoročě úročí 6 procety. Kolik bude mít spořeo zčátku 5. roku ( i s ovým vkldem)? Vkld: 5000,- Kč 5 Částk poč. 5. roku: A 5 5000, 06. 6 79,89, 06 N počátku 5. roku bude mít p Novák spořeo 6 79,89 Kč. Do peěžího ústvu vkládáme počátku kždého roku částku 0. Vkld je kždoročě úroče p procety. Kolik budeme mít spořeo koci - tého roku? vkld... A 0 0
po roce... A 0. + pro jedoduchost si + ozčíme q 00 00 po letech... A ( 0.q + 0 ).q 0.q + 0.q po letech... A ( 0.q + 0.q + 0 ).q 0.q + 0.q + 0.q po letech...a 0.q + 0.q - +... + 0.q + 0.qq.( 0.q - +... + 0.q + 0.q) Jedá se o součet čleů geometrické poslouposti ásobeý ještě víc q. Částk po -letech: A q q 0.. kde q + q 00 P Horák prvidelě počátku kždého roku ukládá vkldí kížku 5000, - Kč. Vkldí kížk se kždoročě úročí 6 procety. Kolik bude mít spořeo koci. roku (i s ově připsými úroky)? Vkld: 5000,- Kč Částk koci. roku: A 5000 06, 06.,. 79,895, 06 N koci. roku bude mít p Horák spořeo 79,89 Kč. Cvičeí:. Město má 90 000 obyvtel. Jejich počet se kždoročě zvyšuje o,%. Určete počet obyvtel měst z 5 let. [ 09 0 ]. Ce ového stroje je 50 000,- Kč, kždoročě se odepisuje 5% cey stroje z předchozího roku. Určete ceu stroje po deseti letech. [ 89 80 ]. P Kovář si uložil vkldový list částku 50 000,- Kč. Určete, kolik tto částk vzroste z 0 let, úročí-li se 5% ročě. [ 8 5 ]. P Kovář si uložil vkldový list částku 50 000,- Kč. Určete, kolik tto částk vzroste z 0 let, úročí-li se 5% ročě koci kždého roku se z úroků strhává 5% dň. [ 75 8 ] 5. Určete, jkou částku musí pí Bílá uložit,by při 5% úroku měl spořeo z 5 let 00 000 Kč.(z úroků epltí dň) [ 8 0 ] 6. Určete, při jké úrokové míře se obos vložeý do spořitely z dobu deseti let zdvojásobí. [ 8,5% ] 7. P Šetřílek si ukládá počátkem kždého roku 5000,- Kč. Určete, jkou částku bude mít koci 5. roku při úrocích %. [ 99 06 ] 8. Stroj ztrácí opotřebováím kždoročě 0% své původí cey. Určete po kolik letech klese jeho ce poloviu. [6,5 ] 9. Možství dřev v lese kždoročě roste o %.. Určete, z jk dlouho se zdvojásobí. [ 5 let ] 0. Pí Nová ukládá počátkem kždého roku 0 000,- Kč. Určete, jkou částku bude mít z deset let při úrokové míře 5%, je-li dň z úroků 5%. [ 6 6 ]. Určitý druh bktérií se rozmožuje tk, že kždá bkterie se z půl hodiy rozdělí dvě. Kolik bkterií vzike z hodi? [ 6 777 5 ]. Ve městě žije v součsé době 85 600 obyvtel. Kolik obyvtel lze ve městě očekávt z 6 let, jestliže se předpokládá průměrý ročí přírůstek,7%? [ 9 700 ]
Nekoečá geometrická řd Výrz tvru + + +...+ +... kde,,,,...,... jsou čley poslouposti { } se zývá ekoečá řd. Zkráceě můžeme pst řdu ve tvru: Tvoří-li víc čley,,,,...,... geometrickou posloupost, zýváme řdu ekoečá geometrická řd. Součet geometrické řdy: - vypočteme podle vzorce : s Aby eistovl součet geometrické řdy, musí být q <. Určete součet řdy + + + 8 +... q Jedá se o geometrickou řdu, kde, q. Protože je splě podmík q <, můžeme pro součet geometrické řdy použít vzorec s s Součet geometrické řdy je. q. Určete součet řdy + + + 9 + 8 + 7 + 6 + 8 +... Tto řd prví pohled evypdá jko geometrická. Při bližším zkoumáí zjistíme, že jsou zde dvě geometrické řdy promícháy do sebe. Můžeme ji rozložit dvě geometrické řdy: + + + +... ; q 8 6 + + + +... ; q 9 7 8 Určíme zvlášť součet kždé řdy: s s s s + s,5 Npište periodické číslo, ve tvru zlomku. Toto číslo má tvr,... Můžeme jej rozepst jko součet zlomků 0 Bez prvího zlomku se jedá o součet geometrické řdy, kde + 00 + 000 + 0000 + 00000 +... ; q. 00 0 Prví zlomek poecháme strou, sečteme geometrickou řdu. Výsledek sečteme s prvím zlomkem. 00 00 0 s Výsledý zlomek bude mít tvr + 9 0 0 0 0 0 5 6 + 0 7 0
Kotrolu můžeme provést klkulčce vyděleím čísel 7:0,. Npište periodické číslo, 7 ve tvru zlomku. Toto číslo má tvr,77777... Můžeme jej rozepst jko součet zlomků 0 Bez prvího zlomku se jedá o součet geometrické řdy, kde 7 7 7 + + + +... 000 00000 0000000 7 ; q. 000 00 Prví zlomek poecháme strou, sečteme geometrickou řdu. Výsledek sečteme s prvím zlomkem. 7 7 7 000 000 0 7 7 079 + 7 s 99 99 990 Výsledý zlomek má tvr + 00 00 0 990 990 5 990 076 95 + + 8 + 6 +... Nejprve sečteme řdu levé strě rovice. Levou stru ještě uprvíme tvr: ( ) ( ) ( ) + + + +... Jedá se o geometrickou řdu, kde ; q. Aby měl řd součet musí být <, tedy < 0, odtud < 0. Součet řdy určíme podle vzorce: s Dále řešíme rovici. / ( ) ; Vypočteý koře - vyhovuje podmíce. Určete, pro která lze určit součet řdy určete ho: + ( + ) + ( + ) + ( + ) +... Jedá se o geometrickou řdu, q ( + ) musí být I + I < Nerovice se řeší metodou ulového bodu: splňuje podmíku: - < < 0 s Určete hodotu součiu 8 y... Protože se jedá o souči e součet, musíme ejprve celou rovost logritmovt - získáme součet logritmů: Cvičeí: ) Sečtěte tyto řdy: log y log + log + log + 8 log + log +... 6 prvé strě je ekoečá geometrická řd : log, q Po doszeí do rovosti : log y log 9 y 9 ) + + +... b) + + +... 9 9 6 s log log log
c) +... d) 5 7 9 + + +... 0 e) f) 5 g) + +... [ ),5 ; b) ; c) ; d) 50 ; e) 0,5 ; f) 0,5 ; g) - ] ) Převeďte zlomky: ) 8, b) 0, 7 c), 0 d), 86 76 00 9 [ ) ; b) ; c) ; d) 9 90 7 ] ) Řešte rovice: ) + +... b) + +... 5 ) Určete součet řdy: + +... 9 7 + + +... 5) Určete součet řdy: 6 6) Určete součet řdy: 7) Převeďte zlomek: 8) Určete součet řdy: 9) Určete součet řdy: 0) Určete součet řdy: + + + + +... 9 7,0 + + + + + 9 8 7 9 7 8 + + 6 6 56 +...... 0 ( 5 ) + ( 5 ) + ( 5 ) + ( 5 ) +... ) Určete, pro která eistuje součet řdy určete ho: + ( ) + ( ) + ( ) +... [ ) ; b) ; ] 6 0 990 7 5 ; + + + + 5 +... + + ) Určete hodotu výrzu: + + + +... 8 8 ) Řešte rovici: log + log + log + log +... [ 0] 8 ) Řešte rovici: + + + +... [ 6; ] jede koře eí kořeem 5) Řešte rovici: + + 8 + 6 +... [ ] 6 6) Řešte rovici: + si + si + si +... tg [ 5, 5 ] 7) Určete součet řdy: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +... 8) Řešte rovici: + 8 +... 6 + 5 8 6 9) Řešte rovici:... 0, 5 6 + [ ; ] 7