17 t. Analytická geometrie přímky rovnice přímky, vzájemná poloha přímek, odchylka přímek, průsečík přímek, vzdálenost přímky od roviny

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "17 t. Analytická geometrie přímky rovnice přímky, vzájemná poloha přímek, odchylka přímek, průsečík přímek, vzdálenost přímky od roviny"

Vladimíra Müllerová
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 7 t Aaltická geometrie přímk rovice přímk, vzájemá poloha přímek, odchlka přímek, průsečík přímek, vzdáleost přímk od rovi Parametrické vjádřeí přímk v roviě Přímka je jedozačě určea dvěma růzými bod. K alezeí parametrické rovice přímk potřebujeme mít dá jede bod a vektor ( směrový vektor přímk ). Přímka je možia bodů X. Každý bod X [,] a přímce p dostaeme tak, že k bodu A [a,a ] přičteme t ásobek vektoru v. Ted X A t. v po rozepsáí do souřadic dostaeme parametrickou rovici přímk: p : a t.v a t.v kde t je parametr Napište parametrickou rovici přímk, určeé bodem A [,4] a vektorem v (,5). p:.t 4 5.t Napište parametrickou rovici přímk určeé bodem A [5,6] a bodem B [7,7]. Z dvojice bodů A,B ejprve určíme vektor AB u (,). p: 5.t 6 t Je dáa přímka p: 5.t ; 6 t. Určete zda a této přímce leží bod K [,4 ] a bod M [,6 ]. Leží-li bod a přímce, pak jeho souřadice musí vhovovat rovici přímk. K : 5.t t t t - Protože všlo v obou rovicích stejé t, bod K leží a přímce p. M: 5.t t t t Protože všlo v obou rovicích růzé t, bod M eleží a přímce p. Cvičeí:. Napište parametrickou rovici přímk určeé bodem P [, -8 ] a směrovým vektorem v (, 4 ). [ t, -84t ]. Napište parametrickou rovici přímk určeé bodem A [ 6, ]a bodem B [,- ] [ 6-t, -5t ]

Každý bod X [,] a přímce p dostaeme tak, že k bodu A [a,a ] přičteme t ásobek vektoru v. Ted X A t. v po rozepsáí do souřadic dostaeme parametrickou rovici přímk: p : a t.v a t.

2 . Jsou dá tři bod A [ -4, ], B [, ], C [, 6 ]. Tto bod tvoří trojúhelík.napište parametrické rovice těžic trojúhelíku ABC. 7 4 t; t k; 4k m; 6 5m 4. Jsou dá bod A [ -, ], B [, 4 ]. Určete vzájemou polohu přímk určeé bod A a B s přímkou p: -4t, -4t. Obecá rovice přímk Obecá rovice přímk v roviě má tvar: a b c kde a, b, c jsou reálá čísla. Vektor ( a, b ) je vektor kolmý k přímce, říkáme mu vektor ormálový. Obecou rovici přímk získáme z parametrické rovice tak, že obě rovice vásobíme takovými čísl, ab po jejich sečteí vpadl parametr t. Přímku p : 5.t ; 6 t převeďte a obecý tvar. p : 5.t 6 t /.(-) 5 t - --t - -7 p: - 7 rovice sečteme Máme-li dá dva bod a chceme sestavit obecou rovici přímk určeé těmito bod, můžeme postupovat dvěma způsob: ) Sestavíme ejprve parametrickou rovici přímk a postupem z předchozího příkladu přejdeme a rovici obecou ) Najdeme ormálový vektor přímk a postupujeme podle ásledujícího příkladu: Napište obecou rovici přímk určeé bodem A [ -,6 ] a bodem B [ 4,- ]. Nejprve ajdeme vektor v AB ( 6,-9). K ěmu kolmý vektor ( ormálový vektor přímk ) ( 9, 6 ). Máme již prví koeficiet obecé rovice a 9, b 6. Rovice přímk bude mít teto tvar: 9 6 c Zbývá alézt koeficiet c. Te ajdeme tak, že dosadíme jede z bodů A ebo B za a do rovice: A p : 9.(-) 6.6 c c c -8 Celá rovice bude mít tvar: můžeme ji ještě dělit p: - 6 Vzdáleost bodu od přímk Vzdáleost bodu A [, ] od přímk p : a b c

Vektor ( a, b ) je vektor kolmý k přímce, říkáme mu vektor ormálový. Obecou rovici přímk získáme z parametrické rovice tak, že obě rovice vásobíme takovými čísl, ab po jejich sečteí vpadl parametr t.

3 Vpočteme podle vzorce d a a b b c Je dáa přímka p : - 7. Vpočtěte vzdáleost bodu K [ -, ] od této přímk. a b c Vpočteme podle vzorce d,77 a b 4 9 Úhel dvou přímek : Vpočteme buď jako úhel dvou směrových ebo dvou ormálových vektorů takto: cosα cosα u v u. v u u. v u u. v. v v Určete úhel přímek: p: - 7 q: p ( -, ) ; q (, -4 ) cosα p p. q q. p. p q q α Vzájemá poloha přímek v roviě Vzájemou polohu určíme pomocí směrových vektorů obou přímek. Jsou -li přímk zadá obecou rovicí, je lepší místo směrových vektorů použít ormálové. a) rovoběžé - totožé - směrové vektor lieárě závislé, všech bod společé - růzé - směrové vektor lieárě závislé, žádý společý bod b) růzoběžé - směrové vektor lieárě ezávislé, jede společý bod - průsečík Průsečík obou přímek ajdeme, řešíme-li soustavu dvou rovic o dvou ezámých. Určete vzájemou polohu přímek p: -.t q: -.k - t - k u p (, - ) ; v q ( -, ) Pro směrové vektor obou přímek platí : u p - v q Přímk mohou být buď totožé ebo rovoběžé.

q q. p. p q q 4 6 9 9 6 5 8 α Vzájemá poloha přímek v roviě Vzájemou polohu určíme pomocí směrových vektorů obou přímek.

4 Na přímce zvolíme libovolý bod C : volíme apř. t 5 ; C [ 5, ] Ověříme, zda teto bod leží i a přímce q : -.k 5 -.k k - - k - k k Protože hodota k je růzá, bod C a q eleží a přímk jsou rovoběžé růzé. Určete vzájemou polohu přímek p: - 7 q: p ( -, ) ; q (, -4 ) - tto vektor jsou lieárě ezávislé - přímk jsou růzoběžé Určíme jejich průsečík P: - 7 / / obě rovice sečteme P [ - 4, - ] Vzdáleost dvou rovoběžých přímek určíme tak, že a jedé z ich zvolíme libovolý bod a podle vzorce vpočteme jeho vzdáleost od druhé přímk. Je dáa přímka p : - 7 Určete jejich vzdáleost. q : p ( -, ) ; q ( -4, 6 ) - tto vektor jsou lieárě závislé, ale koeficiet c v druhé rovici eí dvojásobkem c v prví rovici - přímk jsou rovoběžé Na p zvolíme libovolý bod : - ( volíme libovolě ) vjde z rovice - - A [ -, - ] d a a b b c d ,977 Cvičeí: 5. Napište obecou rovici přímk určeé bodem A [, ] a B [, ]. [ - ] 6. Napište rovici přímk, která prochází bodem A [ -, ] a je rovoběžá s osou. [ ] 7. Napište rovici přímk, která prochází bodem A [ -, ] a je rovoběžá s osou. [ - ] 8. Napište rovici přímk, která prochází bodem A [ -, ] a je rovoběžá s přímkou [ ] 4

-6 9 6-8 obě rovice sečteme - 7 9 7 4 P [ - 4, - ] Vzdáleost dvou rovoběžých přímek určíme tak, že a jedé z ich zvolíme libovolý bod a podle vzorce vpočteme jeho vzdáleost od druhé přímk.

5 9. Určete vzájemou polohu dvou přímek p : t, -84t q : - -5 Určete případý průsečík, úhel ebo vzdáleost. [ růzob.; P [ 4 6 ; ]; α ] 7 7. Vpočtěte odchlku přímek p: 6 ; q: 8 [ 45 ]. Napište rovici přímk, která prochází bodem A [ 4,] a má od přímk 7 odchlku 45. [ - 4 ebo - ]. Najděte průsečík přímek p:, q:. [ P [, - ] ] Směricový tvar rovice přímk Je to rovice v tomto tvaru: k q Proměou k azýváme směrice přímk a platí: k tg α, kde α je úhel přímk p s osou p α q Proměá q se ozačuje úsek přímk a ose. Přímka ve tvaru k q ted vžd prochází bodem [,q ]. Pro přímku určeou dvěma bod A [, ]; B [, ] platí vzorec: A α B k k tgα Napište směricovou rovici přímk p, která je určea bod A [ 6, ]; B [ 9,]. 9 Z daého vztahu určíme k: k 9 6 Rovice má tvar q Nezámou q zjistíme dosazeím libovolého bodu do rovice: Rovice má tvar 7.6 q q -7 Teto tvar rovice přímk připomíá lieárí fukci. Cvičeí: 5

[ P [, - ] ] Směricový tvar rovice přímk Je to rovice v tomto tvaru: k q Proměou k azýváme směrice přímk a platí: k tg α, kde α je úhel přímk p s osou p α q Proměá q se ozačuje úsek přímk a ose.

6 .) Určete směricový tvar rovice přímk, daé bodem A [ 4; ] a směrovým úhlem α [ ( 4 ) ].) 4 Určete směricový tvar rovice přímk, daé bodem A [ -; ] a bodem B [ ; -] 6 8 [ ].) Jsou dá bod A [ -5;4 ] a B [ m ; -]. Určete číslo m tak, ab přímka daá bod A,B měla směrici k. Napište její rovici v směricovém tvaru. 4 [ m ; - ] ) Napište ve směricovém tvaru rovici přímk, která prochází počátkem a je rovoběžá s přímkou daou bod A [ -;-4 ] a B [ 4 ; 7 ] [ ] ) Napište ve směricovém tvaru rovici přímk, která prochází počátkem bodem A [ ; ] a její úsek a ose 5 je q [ 5 5 ] 6 6.) Napište ve směricovém tvaru rovici přímk, která prochází počátkem bodem A [ 4;6 ] a je kolmá k přímce o rovici [ ] ) Určete směrici a úsek q přímk daé rovicí 9 4. [k,5; q ] 8.) Přímka p má rovici 4. Napište obecou rovici přímk. 5 [ 5 ] π. 6

) Napište ve směricovém tvaru rovici přímk, která prochází počátkem a je rovoběžá s přímkou daou bod A [ -;-4 ] a B [ 4 ; 7 ] [ ] 4 4 5.

Podobné dokumenty

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod