Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek

Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek Kamila Fa 0 0evicov, Karel Hron Katedra matematick anal 0 5zy a aplikac ͺ matematiky, Univerzita Palack ho v Olomouci

Od kontingen 0 0n ͺch ke kompozi 0 0n ͺch tabulk m 6 1 Kontingen 0 0n ͺ tabulky: vztah dvou faktor 0 1 zachycen 0 5 v tabulce s diskr tn ͺmi vstupy. Test nez vislosti Φ 2 = I Ζ i=1 j=1 ( J Ζ nij 6Σ1 n i.n.j n i. n.j n n ) 2. 6 1 Kompozi 0 0n ͺ tabulky: spojit analogie kompozi 0 0n ͺch tabulek. Umo 0 6 Ύuj ͺ anal 0 5zu vztahu mezi faktory na z klad v 0 5b ru n tabulek.

I Α J kompozi 0 0n ͺ tabulky 6 1 Speci ln ͺ p 0 0 ͺpad I J-slo 0 6kov 0 5ch kompozi 0 0n ͺch dat x = C(x 11,..., x 1J,..., x I 1,..., x IJ ), kter jsou p 0 0euspo 0 0 d ny do tabulky o rozm ru I Α J 6χ2 x 11 x 1J 6χ0 x = C 6χ1..... x I 1 x IJ 6χ3 6χ4. 6 1 Nesou informaci o vztahu mezi 0 0 dkov 0 5m a sloupcov 0 5m faktorem. 6 1 P 0 0 ͺklad: v k\ BMI podv ha norm ln ͺ v. nadv ha obezita 25 6Σ1 44 0.0144 0.2196 0.1410 0.0554 45 6Σ1 64 0.0022 0.1014 0.1792 0.0988 65 6Σ1 84 0.0014 0.0473 0.0900 0.0493 Tabulka : Rozd len ͺ populace 0 9esk republiky v roce 2008 podle v ku a hodnoty BMI indexu.

I Α J kompozi 0 0n ͺ tabulky 6 1 Operace uz v ru: C(x) = 6χ0 6χ1 Κ x 11 Ζ I,J i,j=1 x ij. Κ x I 1 Ζ I,J i,j=1 x ij Κ x 1J Ζ I,J i,j=1 x ij.... Κ x IJ Ζ I,J i,j=1 x ij 6χ2 6χ3 6χ4. 6 1 V 0 5b rov 0 5m prostorem je I J-slo 0 6kov 0 5 simplex dimenze I J 6Σ1 1 S IJ = {x = (x 11,..., x 1J,..., x IJ ) x ij > 0, i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J; Ζ I,J i,j=1 x ij = Κ}.

Z kladn ͺ operace s kompozi 0 0n ͺmi tabulkami - Aitchisonova geometrie 6 1 Perturbace: 6χ0 x y = C 6χ1 6χ2 x 11 y 11 x 1J y 1J..... 6χ3.. 6χ4. x I 1 y I 1 x IJ y IJ 6 1 Mocninn transformace: 6χ0 Α Ρ x = C 6χ1 x11 Α x1j Α 6χ2..... 6χ3.. 6χ4. xi Α 1 xij Α 6 1 Skal rn ͺ sou 0 0in: x, y a = 1 2IJ Ζ Ζ i,j k,l ln x ij x kl ln y ij y kl. 6 1 Aitchisonova d lka a vzd lenost: x a = Μ x, x a a d a(x, y) = x 6έ2 y a.

Rozklad kompozi 0 0n ͺch tabulek 6 1 Pomoc ͺ projekc ͺ mohou b 0 5t kompozi 0 0n ͺ tabulky rozd leny na nez vislou a interak 0 0n ͺ 0 0 st. 6 1 Nez visl tabulka: x ind = 6χ1x ind ij = x = x ind x int. ( I Η J Η k=1 l=1 x kj x il ) 1 IJ 6χ2 6χ4 I,J i,j=1 Popisuj ͺ jen vztah mezi 0 0 dky nebo sloupci. Analogie s p 0 0 ͺpadem nez vislosti v kontingen 0 0n ͺch tabulk ch. 6 1 Interak 0 0n ͺ tabulka: x int = 6χ1x int ij = ( I Η J Η k=1 l=1 x ij x kj x il ) 1 IJ Popisuj ͺ vztah mezi r 0 1zn 0 5mi 0 0 dky a sloupci. 6χ2 6χ4 I,J i,j=1..

Anal 0 5za vztahu mezi faktory Pokud jsou 0 0 dkov 0 5 a sloupcov 0 5 faktor nez visl, pak 6 1 ve 0 8ker informace o tabulce x je obsa 0 6ena v jej ͺ nez visl 0 0 sti (x = x ind ), 6 1 interak 0 0n ͺ tabulka je neutr ln ͺ prvek (v 0 8echny prvky jsou si rovny), 6 1 v 0 8echny ilr sou 0 0adnice tabulky x int jsou nulov.

Vyj d 0 0en ͺ kompozi 0 0n ͺ tabulky v sou 0 0adnic ͺch Sou 0 0adnice D-slo 0 6kov 0 5ch kompozi 0 0n ͺch dat p 0 0edstavuj ͺ D 6Σ1 1-rozm rn 0 5 re ln 0 5 vektor z = h(x) = ( x, e 1 a,..., x, e D 6Σ11 a ) = (z 1, z 2,..., z D 6Σ11 ), kde e i = C(e i1,..., e i,d ), i = 1,..., D 6Σ1 1 tvo 0 0 ͺ ortonorm ln ͺ b zi D-slo 0 6kov ho simplexu. Pro tyto sou 0 0adnice plat ͺ, 0 6e h( Α Ρ x 1 Β Ρ x 2 ) = Α z 1 + Β z 2, x 1, x 2 a = z 1, z 2. Mezi r 0 1zn 0 5mi syst my sou 0 0adnic existuje ortogon ln ͺ vztah.

Vyj d 0 0en ͺ kompozi 0 0n ͺ tabulky v sou 0 0adnic ͺch Interak 0 0n ͺ tabulku lze p 0 0ev st do sou 0 0adnic pomoc ͺ: 6 1 Postupn ho bin rn ͺho d len ͺ 6Ν0 I J 6Σ1 1 obecn nenulov 0 5ch sou 0 0adnic. 6 1 Vztahu r 6Σ11 1 Η s 6Σ11 Η Μ ln r s (r 6Σ1 1) (s 6Σ1 1) i=1 j=1 x ij x rs x is x rj (1) pro r = 2, 3,..., I a s = 2, 3,..., J 6Ν0 (I 6Σ1 1)(J 6Σ1 1) obecn nenulov 0 5ch sou 0 0adnic, zb 0 5vaj ͺc ͺ nulov. 6 1 Permutac ͺ 0 0 dk 0 1 nebo sloupc 0 1 tabulky a pou 0 6it ͺm vztahu (1) 6Ν0 (I 6Σ1 1)(J 6Σ1 1) obecn nenulov 0 5ch sou 0 0adnic s novou interpretac ͺ.

Srovn n ͺ metod pro p 0 0evod interak 0 0n ͺ tabulky do sou 0 0adnic Postupn bin rn ͺ d len ͺ Nov metoda + Interpretace pomoc ͺ bilanc ͺ + Souvislost s pom ry 0 8anc ͺ v tabulce x. 6Σ1 Zdlouhav 0 5 v 0 5po 0 0et o n kolika kroc ͺch. + Rychl 0 5 v 0 5po 0 0et p 0 0 ͺmo z tabulky x. 6Σ1 V ͺce nenulov 0 5ch sou 0 0adnic, ne 0 6 je + Po 0 0et nenulov 0 5ch sou 0 0adnic je dimenze prostoru S I ΑJ (x int ). roven dimenzi prostoru S I ΑJ (x int ). 6Σ1 Vede k probl m 0 1m se singularitou + Probl m se singularitou je sou 0 0adnic. eliminov n. Tabulka : Srovn n ͺ metod pro vyj d 0 0en ͺ tabulky x int v sou 0 0adnic ͺch.

P 0 0 ͺklad - vztah mezi v kem a indexem BMI 6 1 Zab 0 5v me se vztahem mezi v kem a BMI. 6 1 K dispozici m me v 0 5b r kompozi 0 0n ͺch tabulek typu 3 Α 4 popisuj ͺc ͺch rozd len ͺ populace 18-ti evropsk 0 5ch zem ͺ podle v ku a BMI v roce 2008. 6 1 Faktor v k m 3 ²rovn : 25 6Σ1 44, 45 6Σ1 64 a 65 6Σ1 84 let. 6 1 Faktor BMI m 4 ²rovn : podv ha, norm ln ͺ v ha, nadv ha a obezita. v k\ BMI podv ha norm ln ͺ v. nadv ha obezita 25 6Σ1 44 0.0144 0.2196 0.1410 0.0554 45 6Σ1 64 0.0022 0.1014 0.1792 0.0988 65 6Σ1 84 0.0014 0.0473 0.0900 0.0493

P 0 0 ͺklad - rozklad na nez vislou a interak 0 0n ͺ tabulku 6 1 Nez visl tabulka pro 0 9eskou republiku: 6χ2 0.0061 0.1716 0.2218 0.1090 x ind = 6χ1 0.0039 0.1090 0.1409 0.0692 6χ4 0.0020 0.0569 0.0736 0.0361 6 1 Interak 0 0n ͺ tabulka pro 0 9eskou republiku: 6χ2 0.1813 0.0973 0.0483 0.0387 x int = 6χ1 0.0444 0.0707 0.0967 0.1085 6χ4 0.0541 0.0632 0.0930 0.1037 6 1 Pr 0 1m rn tabulka (ve smyslu Aitchisonovy geometrie): 0.1472 0.0959 0.0585 6χ2 0.0462 x int = 6χ1 0.0550 0.0747 0.0907 0.1023 6χ4 0.0599 0.0677 0.0915 0.1027 Prvky si nejsou rovny 6Ν0 sv d 0 0 ͺ proti nez vislosti faktor 0 1.

P 0 0 ͺklad - p 0 0evod interak 0 0n ͺ tabulky do sou 0 0adnic z22 int = 1 x11x22 2 ln x 12x 21 z int 23 = 1 Μ 12 ln x11x12x 2 23 x 21x 22x 2 13 z int 24 = 1 Μ 24 ln x11x12x13x 3 24 x 21x 22x 23x 3 14 z int 32 = 1 Μ 12 ln x11x21x 2 32 x 2 31 x12x22 z int 33 = 1 Μ 36 ln x11x12x21x22x 4 33 x 2 31 x 2 32 x 2 13 x 2 23 z int 34 = 1 Μ 72 ln x11x12x13x21x22x23x 6 34 x 2 31 x 2 32 x 2 33 x 3 14 x 3 24

P 0 0 ͺklad - v 0 5b rov charakteristiky z int z 22 z 23 z 24 z 32 z 33 z 34 V. pr 0 1m r 0.3674 0.6096 0.6494 0.1057 0.3624 0.3783 V. s. odchylka. 0.1488 0.1357 0.1426 0.2412 0.2175 0.1945 6 1 Op t sv d 0 0 ͺ proti nez vislosti v ku a BMI. 6 1 Nejv ͺce jsou od nuly vzd leny sou 0 0adnice z 23 a z 24 (pom ry 0 8anc ͺ agreguj ͺc ͺ podv hu a norm ln ͺ v hu, resp. podv hu, norm ln ͺ v hu a nadv hu). 6 1 V p 0 0 ͺpad n hodn ho v 0 5b ru (nez vislosti kompozi 0 0n ͺch tabulek) lze nez vislost d le ov 0 0it pomoc ͺ testov n ͺ nulovosti sou 0 0adnic z int.

P 0 0 ͺklad - grafick reprezentace sou 0 0adnic Interaction table 6Σ10.5 0.0 0.5 PC 2 (18 %) 6Σ10.6 6Σ10.4 6Σ10.2 0.0 0.2 0.4 int33 int32 SK int34 GR CY BG int23 int24 int22 CZ AT SI HU LT PL ES EE DK FR BE MT RO TR 6Σ10.5 0.0 0.5 6Σ10.6 6Σ10.4 6Σ10.2 0.0 0.2 0.4 PC 1 (67.8 %)

Co najdete na posteru 6 1 Definici kompozi 0 0n ͺch tabulek jako spojit analogie kontingen 0 0n ͺch tabulek. 6 1 Metodu anal 0 5zy vztahu mezi dv ma faktory s vyu 0 6it ͺm v 0 5b ru n tabulek. 6 1 Rozklad tabulek na interak 0 0n ͺ a nez vislou 0 0 st. 6 1 Vztah pro v 0 5po 0 0et sou 0 0adnic interak 0 0n ͺ tabulky. 6 1 Interpretaci sou 0 0adnic ve smyslu pom ru 0 8anc ͺ. 6 1 P 0 0 ͺklad pou 0 6it ͺ metody pro anal 0 5zu vztahu mezi v kem a BMI.

Reference 6 1 J. Aitchison (1986) The Statistical Analysis of Compositional Data. Chapman and Hall, London. 6 1 J.J. Egozcue, V. Pawlowsky-Glahn, G. Mateu-Figueras, C. Barcel -Vidal (2003) Isometric logratio transformations for compositional data analysis. Mathematical Geology 35(3), 279 C300. 6 1 J.J. Egozcue, J.L. D ͺaz-Barrero, V. Pawlowsky-Glahn (2008) Compositional analysis of bivariate discrete probabilities. In: J. Daunis-i-Estadella, J.A. Mart ͺn-Fern ndez, eds, Proceedings of CODAWORK 08, University of Girona, Spain. 6 1 K. Fa 0 0evicov, K. Hron, V. Todorov, D. Guo, M. Templ (2013) Logratio approach to statistical analysis of 2 Α 2 compositional tables. Journal of Applied Statistics, DOI: 10.1080/02664763.2013.856871. 6 1 K. Fa 0 0evicov, K. Hron, V. Todorov (2014) Compositional tables analysis in coordinates. V p 0 0 ͺprav.