Aplikace T -prostorů při modelování kompozičních časových řad

Transkript

1 Aplikace T -prostorů při modelování kompozičních časových řad P. Kynčlová 1,3 P. Filzmoser 1, K. Hron 2,3 1 Department of Statistics and Probability Theory Vienna University of Technology 2 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Univerzita Palackého v Olomouci 3 Katedra geoinformatiky Univerzita Palackého v Olomouci ROBUST 2014, 23. ledna 2014

2 Obsah Kompoziční časové řady VAR model T -prostory Praktický příklad

3 Kompoziční data data nesoucí výhradně relativní informaci, jejichž výběrovým prostorem je simplex S D { } D S D = x = (x 1,..., x D ) x i > 0, i = 1,..., D; x i = κ Aitchisonova geometrie na simplexu = logratio transformace ze simplexu do reálného prostoru izometrická logratio transformace: ilr(x) = (z 1,..., z D 1 ) D j z j = D j + 1 ln x j D j D, j = 1,..., D 1 (1) l=j+1 x l = souřadnice z 1 obsahuje veškerou relativní informaci o x 1 vzhledem k ostatním složkám x 2,..., x D i=1

4 Kompoziční časové řady Definice mnohorozměrné časové řady pro kompoziční data {x t : t = 1,..., n}, x t = (x 1t,..., x Dt ) S D časové řady s kladnými reálnými prvky x 1t,..., x Dt > 0 problém: konstatní součet v každém čase t často roven 1 (proporcionální data) řešení: logratio transformace ze simplexu do prostoru souřadnic (S D R D 1 )

5 Kompoziční časové řady Princip modelování kompozičních časových řad transformace do prostoru souřadnic: izometrická logratio (ilr) transformace (1) = výhodné interpretační vlastnosti aplikace standardních metod pro analýzu mnohorozměrných časových řad v prostoru souřadnic návrat zpět na simplex = inverzní ilr transformace

6 Vektorový autoregresní proces VAR(p) Definice VAR(p) model v redukovaném tvaru z t = c + A (1) V z t 1 + A (2) V z t A (p) V z t p + ɛ t, (2) kde B = [c V, A (1) V,..., A(p) V ] jsou parametry a ɛ t chybová složka, ɛ t WN (0, Σ ɛ ) p se nazývá řád modelu pozorování z t je modelováno pomocí p předchozích pozorování z t 1,..., z t p.

7 z t = ilr V (x t ) jsou ilr souřadnice kompozice x t S D dané maticí V a z t = ilr V (x t ) ilr souřadnice dané maticí V VAR(p) modely jsou kompozičně ekvivalentní při použití libovolné ilr transformace z t = c V + A (1) V z t 1 + A (2) V z t A (p) V z t p, z t = c V + A (1) V z t 1 + A (2) V z t A (p) V z t p.

8 Vektorový autoregresní proces VAR(p) Endomorfismus na simplexu S D ( D A x = C x a 1j j,..., j=1 D j=1 ) x a Dj j A R D D, x S D představuje lineární transformaci vzhledem k Aitchisonově geometrii za podmínky A1D = 0 D (jinak A x A (kx)) pokud navíc platí A 1 D = 0 D, pak funkce x A x se nazývá endomorfismus na simplexu S D máme-li endomorfismus y = A x na simplexu, pak ho můžeme též vyjádřit i v prostoru souřadnic clr(y) = A clr(x) ilrv (y) = A V ilr V (x) ilr(y) = V AV ilr(x)

9 Vektorový autoregresní proces VAR(p) VAR(p) na simplexu S D výsledný VAR model na simplexu nezávisí na volbě konkrétní transformace ) ) x t = b (A (1) x t 1 (A (p) x t p w t modelování kompozičních časových řad přímo na simplexu = Barcelo-Vidal et al.(2011)

10 Vektorový autoregresní proces VAR(p) Odhad parametrů stacionární VAR(p) model lze rovněž zapsat v maticovém tvaru Y = ZB + E kde Y = (z 1,..., z n ), Z t = (1, z t 1,..., z t p) je t-tý řádek matice Z R n [(D 1)p+1] parametry B lze odhadnout pomocí MNČ pro každou rovnici zvlášt na základě sample z1,..., z n presample z p+1,..., z 0

11 Vektorový autoregresní proces VAR(p) Testování hypotéz: Grangerova kauzalita testování kauzality založené na predikci x 1 Granger causes x 2 = minulé (zpožděné) hodnoty x 1 obsahují statisticky významnou informaci o budoucích hodnotách x 2 test hypotézy H 0 : Rˆβˆβˆβ = r Waldova statistika ( Rˆβ r ) { R [ âvar(ˆβ) ] R } 1( Rˆβ r ) F ( q, n (D 1)p 1 ) q... hodnost matice R

12 Teorie T -prostorů kompoziční data = data nesoucí výhradně relativní informaci v podílech mezi složkami kompoziční časové řady zajímá nás též absolutní informace o celkovém množství v čase t (např. při predikci budoucích hodnot) teorie T -prostorů definuje rozšířený vektorový prostor T = R D + S D = umožňuje modelovat podíly mezi jednotlivými složkami s úhrnnými hodnotami těchto složek současně v jednom modelu

13 Teorie T -prostorů Aplikace teorie T -prostorů na časové řady vektor x = [t(x), C(x)] = [t x, x 1, x 2,..., x D ] je prvkem prostoru T = R D + S D C(x) kompozice, x S D t(x) celkový součet hodnot složek kompozice v daném okamžiku t D t(x) = kompozice x jsou modelovány pomocí logratio transformací úhrnné hodnoty t(x) jsou uvažovány v jejich zlogaritmované podobě i=1 x i

14 Praktický příklad Hrubé bonusy k příjmům zaměstnanců hrubé bonusy k příjmům zaměstnanců v odvětví zpracovávání kovů v Rakousku (v tisících eurech) = leden listopad 2011 x tzv. bílé ĺımečky x dělníci x učni v komerční sféře x učni v industriální sféře Xt celkový úhrn hodnot v čase t x 1 + x 2 + x 3 + x 4 x1 x2 x3 x4 Xt

15 Praktický příklad Metal production Kompoziční časové řady - absolutní hodnoty, x 1 ( ), x 2 ( ), x 3 ( ), x 4 ( )

16 Praktický příklad Volba modelu Dva přístupy: aplikace VAR modelu standardním způsobem na proměnné x 1, x 2, x 3, x 4 s využitím teorie T -prostorů byly proměnné transformovány pomocí ilr transformace a zlogaritmovaný celkový úhrn hodnot log (X t ) byl zahrnut do modelu jako další proměnná Přístup AIC(p) HQ(p) SC(p) FPE(p) standardní kompoziční = VAR(1) model

17 Praktický příklad Ilr coordinates and logtransformed total Ilr souřadnice pro kompoziční časové řady (z 1 ( ), z 2 ( ), z 3 ( )) a celkový úhrn hodnot složek X t po zlogaritmování.

18 Praktický příklad Testování Grangerovy kauzality na rozdíl od standardního přístupu nám použití ilr transformace a teorie T -prostorů umožňuje testovat kauzalitu nejen mezi proměnnými, ale i mezi úhrnnými hodnotami složek vzhledem k výhodným interpretačním vlastnostem dané ilr transformace lze otestovat nulovou hypotézu z 1 nemá signifikantní vliv na z 2, z 3, log (X t ) testování Grangerovy kauzality kompozičním přístupem je nesrovnatelné s aplikací VAR modelu klasickým způsobem samotné testování probíhá v prostoru ortonormálních souřadnic celkové úhrnné hodnoty jsou zahrnuty do modelu jako další proměnná

19 Praktický příklad Testování Grangerovy kauzality nulová hypotéza p-hodnota z 1 nemá vliv na z 2, z 3, log (X t ) z 1 = rel. informace o x 1 vzhledem k x 2, x 3, x z 1 = rel. informace o x 2 vzhledem k x 1, x 3, x z 1 = rel. informace o x 3 vzhledem k x 1, x 2, x z 1 = rel. informace o x 4 vzhledem k x 1, x 2, x log (X t ) nemá vliv na z 1, z 2, z = relativní informace obsažená v x 4 má dle testu významný vliv na předpověd budoucích hodnot složek x 1, x 2, x 3 i celkových úhrnných hodnot X t

20 Závěr určení předpovědí nezávisí na typu zvolené logratio transformace výběr ilr transformace usnadňuje možnost interpretace (např. testování hypotéz) teorie T -prostorů umožňuje modelovat nejen proporcionální strukturu dat, ale i celkové absolutní hodnoty v jednom modelu použití T -prostorů poskytuje nové možnosti testování Grangerovy kauzality (testování kauzálních vztahů i mezi kompozicemi a úhrnnými hodnotami) kompoziční přístup ukázal vyšší přesnost předpovědí na základě RMSEP

21 Příloha Příloha Reference Reference Barceló-Vidal, C., Aguilar, L., Martín-Fernández, J. A. (2011) Compositional VARIMA time series. In V. Pawlowsky-Glahn and A. Buccianti, eds., Compositional Data Analysis. Theory and Applications. John Wiley & Sons, Chichester, pp Fišerová, E., Hron, K. (2012). On interpretation of orthonormal coordinates for compositional data. Mathematical Geosciences 43(4), Pawlowsky-Glahn, V., Egozcue, J.J., Lovell, D. (2013). The product space T (tools for compositional data with a total). In K. Hron, P. Filzmoser and M. Templ, editors, Proceedings of CoDaWork 13, The 5th Compositional Data Analysis Workshop. Vorau, Austria.

22 Příloha Příloha Reference Reference Aitchison, J. (1986). The Statistical Analysis of Compositional Data. Chapman and Hall Ltd., London, UK. Lütkepohl, L. (2005). New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer, Berlin. Pawlowsky-Glahn, V., Buccianti, A., eds. (2011). Compositional Data Analysis: Theory and Applications. Wiley, Chichester.

23 Příloha Příloha ĉc (Â ˆβˆβˆβ (1) ) = vec(ˆb) =. (Â (p) ) âvar(ˆβˆβˆβ) = ˆΣ ɛ (ZZ ) 1 ˆΣ ɛ = 1 n (D 1)p 1 n (z t ZˆB)(z t ZˆB). t=1

24 Příloha Příloha Testování Grangerovy kauzality ve standardním VAR modelu nulová hypotéza p-hodnota x 1 nemá vliv na x 2, x 3, x x 2 nemá vliv na x 1, x 3, x x 3 nemá vliv na x 1, x 2, x x 4 nemá vliv na x 1, x 2, x = i standardně docházíme k výsledku, že x 4 má signifikantní vliv na x 1, x 2, x 3, a tedy minulé hodnoty x 4 mají významný efekt na odhad budoucích hodnot ostatních proměnných

25 Příloha Příloha Přesnost předpovědí pro použité modely Root mean squared error of prediction (RMSEP) RMSEP = 1 m x t ˆx t m 2, i=1 kde m je počet predikovaných hodnot. přístup RMSEP standardní kompoziční