ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Semestrální práce z předmětu Matematické Modelování Model ALADIN Jitka Váchová A08N0P MAN/MA 1
1 Úvod Model ALADIN (Aire Limitée, Adaption Dynamique, Development International) je numerický předpovědní model počasí, který je určený pro omezenou oblast a pro krátkodobou předpověd, nejvíce na dva dny. ALADIN je založen na systému základních rovnic řešených spektrální metodou na omezené oblasti. Integrační oblast modelu je vytyčena na mapě v konformní projekci. Ve vertikále je použitý hybridní souřadnicový systém. Než začneme počítat samotný vývoj atmosféry, musíme mít zadané počáteční podmínky na oblasti, kde to chceme řešit, a okrajové podmínky. Počáteční podmínky získáváme z údajů naměřených v meteostanicích, které tvoří hustou sít v oblasti, kterou řešíme, a z dat předcházející předpovědi. Tento proces se nazývá asimilace dat. Okrajové podmínky se získávají z globálního modelu, který je zjednodušenní na celou zeměkouli. Po získání a upravě počátečních podmínek muže začít samotný výpočet vývoje stavu atmosféry na základě fyzikálních zákonů popisujících děje v atmosféře. 2
2 Matematický model V matematickém modelu ALADIN se používá šest diferencních rovností, které jsou matematickým zápisem pěti fyzikálních zákonů zachování, popisujících stav atmosféry. Jedná se o následující: Zákon zachování hybnosti u t = u u x v v ( x + ξv η p ) u η p + KC u(ϕ, λ) + fv ( RT ln p x + Φ ) + F u + HD u x v t = u v x v v ( x vd ( RT ln p y + Φ ) y η p ) v η p + KC v(ϕ, λ) fu + F v + HD v Zákon zachování energie (z první termodynamické věty) T t = u T x v T ( y η p ) T η p + RT C p Zákon zachování množství vodní páry ( ) ω + F r + HD r p q v t = u q v x v q ( v y η p ) qv η p + F q v + HD qv Zákon zachování hmoty (rovnice kontinuity) t ( ) p η = ( u x Hydrostatická rovnováha ( )) p ( v η y ( )) p ( η η η ( )) p η Φ η = RT ln p η 3
2.1 Použité proměnné a konstanty 2.1.1 Proměnné Proměnné, které se vyskytují v rovnicích modelu ALADIN se dělí na prognostické a diagnostické. Prognostické proměnné: u v T q v p s zonální složky rychlosti větru meridiánová složka rychlosti větru teplota vzduchu měrná vlhkost vodní páry tlak na zemském povrchu Diagnostické proměnné: Φ p ξ D K ω geopotenciál atmosférický tlak potenciální vorticita (vírovost) horizontální divergence kinetická energie horizontálního proudění zevšeobecněná vertikální rychlost 2.1.2 Konstanty R C p f plynová konstanta pro vlhký vzduch měrné teplo vlhkého vzduchu při konstantním tlaku Coriolisův parametr C u (λ, ϕ), C v (λ, ϕ) metrické členy 4
2.2 Popis modelu Samotný model lze chápat jako dynamickou část celého modelu předpovědi počasí. Druhou částí jsou fyzikální parametrizace. Fyzikálními parametrizacemi popisujeme jevy, které nejsou zahrnuté v rovnicích modelu. Při výpočtech se rovnice diskretizují v prostoru i v čase. Vznikají tak kvadry se stranami x, y, η, kde x, y jsou souřadnice horizontální sítě a η je souřadnice ve vertikálním směru. 2.2.1 Horizontální sít Sít modelu ALADIN je izotropní, to znamená, že jí tvoří čtverce se stranami ležící v meridiánovým a zonálním směru. V České republice se využívá část modelu ALADIN ALADIN/LACE, který pracuje se čtverci o straně 9km. Délka časového kroku souvisí s délkou strany čtverce. Zmenšíli se strana čtverce, tak se musí zvetšit časový krok, kvůli stabilitě výpočtů Sít modelu ALADIN je sestrojená pomocí Lambertovy tangenciální konformní projekce. 2.2.2 Vertikální souřadnice Vertikální souřadnice modelu je η. Model ALADIN rozděluje atmosféru ve vertikálním směru na 31 vrstev. Souřadnice η je definovaná implicitně tak, že je definovaný tlak p jako funkce této proměné nasledujícím vztahem: p = A(η) + B(η)p s kde p s je tlak na zemském povrchu, A(η) a B(η) jsou funkce volené tak, aby na zemském povrchu byla η = 1. Tyto funkce jsou definovány tabulkou hodnot pro jednotlivé vertikální vrstvy. Systém souřadnice η je systém koupírující povrch Země. z toho vyplývá, že oblast pro výpočet modelu je zdola ohraničená souřadnicovou plochou. 5
2.3 Uzlová sít Na obrázku je znázorněna sít uzlů s přiřazenými kostantami, které se používají v numerickým výpočtům. 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 48 48 49 49 50 50 51 51 473 478 515 563 610 628 646 621 126 133 126 106 107 121 118 112 127 244 506 492 551 559 434 588 624 600 351 303 493 470 176 165 116 116 107 118 557 519 430 569 601 558 343 323 298 267 325 317 279 297 323 345 292 143 111 123 109 115 137 152 222 498 498 559 543 437 418 434 296 333 386 363 252 226 248 123 252 229 137 151 169 288 379 535 337 352 351 581 707 787 723 595 497 397 204 171 133 267 184 391 389 512 481 472 371 370 549 595 548 561 641 727 828 892 838 721 588 204 211 200 330 163 501 581 445 492 364 482 750 780 677 685 802 855 828 781 724 675 599 295 298 252 223 143 293 309 198 362 515 490 470 474 400 380 386 573 609 586 664 793 761 658 734 901 908 771 651 603 561 380 313 260 276 230 261 417 637 473 434 409 354 399 482 621 685 667 704 760 706 645 734 848 803 674 593 345 225 209 181 333 196 351 343 472 514 543 821 418 398 318 383 697 783 767 767 767 704 651 673 682 624 569 557 448 325 218 301 417 355 323 385 512 714 801 646 481 753 461 311 380 617 799 879 876 856 782 580 506 519 521 511 461 298 196 204 169 152 294 293 293 321 400 402 663 886 866 698 665 729 374 369 384 297 618 652 700 812 895 894 890 875 750 485 521 333 216 320 294 632 703 620 558 769 951 957 954 1038 397 397 330 575 626 668 761 906 1014 981 860 802 779 653 488 540 615 589 323 183 223 419 371 671 786 732 587 643 890 1020 1034 1126 362 580 647 651 687 824 999 1083 1001 825 696 622 598 575 506 288 339 288 445 511 662 760 636 766 845 752 743 558 627 712 826 935 971 928 842 721 590 430 418 431 575 552 571 540 419 307 260 341 340 345 610 624 717 724 573 485 481 526 505 463 732 892 931 813 591 559 622 613 585 299 369 315 330 400 558 612 590 708 768 766 717 778 498 518 399 431 424 526 626 710 711 620 521 432 630 637 592 320 358 333 557 643 705 600 770 825 814 772 774 488 419 409 538 501 506 541 571 612 582 616 600 537 561 549 230 584 655 722 753 646 523 590 751 838 852 771 616 537 397 498 568 607 573 473 453 535 523 430 527 610 542 580 562 557 544 542 248 634 704 784 735 593 582 700 806 893 897 744 509 488 472 613 600 523 448 533 474 463 541 553 548 541 511 619 616 549 474 510 265 302 321 515 598 690 684 624 698 718 790 930 941 591 501 623 617 432 485 523 510 505 634 677 663 628 574 453 473 519 312 505 539 659 725 622 577 735 860 463 588 604 363 418 618 621 548 388 358 379 453 552 623 652 626 591 463 317 634 606 501 270 317 587 670 568 665 437 639 352 370 538 402 490 364 302 315 574 652 358 326 497 511 497 599 659 582 492 490 445 362 344 379 400 432 379 300 374 402 384 364 619 655 612 431 375 292 261 313 364 538 653 614 563 562 548 414 417 399 359 324 302 374 424 389 294 453 640 794 723 570 225 229 266 497 598 639 587 543 601 651 690 674 612 512 419 383 371 313 279 327 620 788 917 779 563 691 667 576 493 647 743 716 645 534 424 402 375 295 218 181 225 286 512 674 734 778 894 947 790 573 346 235 263 276 279 409 587 678 619 484 616 608 585 406 233 200 595 635 574 661 815 841 809 783 676 515 266 244 263 270 307 330 591 598 626 519 484 432 635 552 211 200 225 261 748 697 725 688 307 209 575 537 631 603 627 677 623 592 226 181 211 267 309 317 286 527 699 595 383 538 286 243 218 222 244 296 318 325 563 540 537 603 759 872 858 808 770 670 509 243 216 315 334 346 384 484 534 352 383 209 183 184 265 339 545 539 551 715 793 802 827 831 768 677 559 386 248 320 340 297 248 424 365 299 198 264 481 550 545 561 635 687 717 753 714 552 280 280 309 358 493 589 632 585 533 543 510 359 266 243 233 167 184 478 482 430 539 647 694 673 599 340 303 362 562 693 839 897 781 233 204 167 223 320 327 342 389 437 365 551 639 729 680 341 337 536 792 869 896 872 744 569 514 474 365 183 171 301 326 327 303 391 509 633 661 571 478 388 293 286 386 526 717 843 807 663 529 318 244 144 154 267 301 312 312 414 374 327 300 276 311 406 539 623 406 299 152 134 226 235 265 272 385 340 266 348 276 326 315 309 206 230 209 218 230 196 260 279 296 176 352 252 294 297 300 265 171 110 110 110 107 116 149 206 229 165 157 195 176 171 261 301 222 229 113 112 117 121 127 140 183 169 163 154 140 196 149 144 167 96 95 147 181 117 119 137 157 121 121 149 133 151 126 102 93 110 123 176 198 126 106 104 111 119 95 91 115 124 120 120 154 165 143 140 149 119 94 94 96 92 96 111 134 163 154 111 90 91 115 118 145 124 91 83 95 99 98 100 107 127 134 140 157 157 133 102 88 91 89 80 80 95 116 123 118 167 223 184 100 94 104 108 101 6
3 Výsledky modelu Po všech výpočtech se výsledky znázorňují chragicky a vznikají tak barevné mapy. 3.1 Mapy srážek čím tmavší místa jsou na mapě tím je na daném místě větší hustota srážek. 7
3.2 Mapy teplot Obrázek 1: Ve dne Obrázek 2: V noci 8