.8.8 Kvadratické nerovnice s arametrem Předoklady: 806 Pedagogická oznámka: Z hlediska orientace v tom, co studenti očítají, atří tato hodina určitě mezi nejtěžší během celého středoškolského studia. Proto je vhodné úvodní řehled s ostuem nakreslit na tabuli a trvat na tom, že studenti nemohou dokončit řešení říkladu, dokud nerojdou celý ostu. Postu ři řešení kvadratických nerovnic ravíme nerovnici do základního tvaru najdeme kořeny odovídající kvadratické rovnice nakreslíme kořeny na osu x nakreslíme obrázek s grafem funkce odle obrázku najdeme řešení nerovnice Na co všechno budeme muset dávat ozor? úravy nerovnice dělení (jako u lineárních nerovnic) hledání kořenů odovídající kvadratické rovnice odmocnina a jmenovatel ve b ± b 4ac vzorci x, a kreslení grafu ro určení řešení znaménko řed nebo koeček ) x, kvůli tvaru grafu ( ďolík Př. : x x t 4 > 0 s neznámou x a arametrem t. Nejdříve najdeme kořeny kvadratické rovnice x 4x t 0, abychom mohli nakreslit obrázek. Do vzorce můžeme dosadit bez dalších odmínek: ( 4) ( 4) 4 ( t) 4 4( 4 t) ± 4 ± 4 ± 6 + 4 ± + 4 ± 4 + x, a x, ± 4 + t b b ac t t Ve vzorci je odmocnina 4 + t, výraz ( 4 t) měnit řešení. Rozdělíme řešení odle hodnot výrazu ( 4 + t). ( 4 t) 0 t 4 + může mít různá znaménka, odle toho se bude + > > děláme odmocniny z kladného čísla, vyjde kladné číslo, získáme dva kořeny: x, ± 4 + t x + 4 + t x 4 + t Nakreslíme obrázek ďolík se dvěma růsečíky s osou x. - 4+t + 4+t
Hledáme části nad osou K (, 4 + t ) ( + 4 + t, ( t) 4 + 0 t 4 od odmocninou nula jediný kořen x, ± 4 + t ± 4 4 Nakreslíme obrázek ďolík s jediným růsečíkem s osou x. Hledáme části nad osou x K R { } ( 4 t) 0 t 4 + > > od odmocninou záorné číslo žádné řešení žádné růsečíky s osou x Nakreslíme obrázek ďolík bez růsečíku s osou x. Hledáme části nad osou x K R Závěrečný řehled: Hodnoty arametru t: Řešení ro x: t ( 4; K (, 4 + t ) ( + 4 + t, t 4 K R { } t ( ; 4) K R Pedagogická oznámka: Jak už bylo nasáno v úvodu nejčastější (o to masovější) chybou je ukončení říkladu ve chvíli, kdy studenti dořeší kvadratickou rovnici (bohužel tím oakují chybu, kterou dělali ve chvíli, kdy se učili obyčejné kvadratické nerovnice). Př. : y ty 0 s neznámou y a arametrem t. Nejdříve najdu kořeny kvadratické rovnice y ty 0, abychom mohli nakreslit obrázek. Do vzorce můžeme dosadit bez dalších odmínek: y, ( t ) 4 ( ) b ± b 4ac t ± t ± t + 4 a
Ve vzorci je odmocnina t + 4, výraz ( 4) t + je vždy kladný rovnice má vždy dvě řešení nemusíme dělit řešení říkladu odle hodnot arametru t. t + 4 > 0 t R děláme odmocniny z kladného čísla, vyjde kladné číslo získáme dva ( ) t + t + 4 t t + 4 kořeny: y y Nakreslíme obrázek ďolík se dvěma růsečíky s osou x. t- t +4 t+ t +4 Hledáme části od nebo na ose K t t + 4 t + t + 4 ; Závěrečný řehled: Hodnoty arametru t: Řešení ro y: t R K t t + 4 t + t + 4 ; Pedagogická oznámka: Příklad je těžký rávě tím, jak je lehký. S faktem, že se řešení vůbec nedělí, se někteří studenti nesmiřují říliš lehce. V této souvislosti nezbývá než neustále oakovat, že dělení říkladu není nutné ze zásady, ale vždy jde o důsledek něčeho jiného, co jsme rovedli ři dodržování ostuu řevzatého z řešení normálních rovnic nebo nerovnic. Pedagogická oznámka: Třetí říklad ři hodině nestíháme a studenti ho dodělávají doma. Př. 3: x x + > 0 s neznámou x a arametrem. Stejně jako v ředchozích říkladech nejdříve dosazením do vzorce najdeme kořeny kvadratické rovnice x x + 0, abychom mohli nakreslit obrázek. Dosazení do vzorce je možné ouze v říadě, že latí 0 dělíme výočet 0 nejde dosadit do vzorce vyzkoušíme dosazením do nerovnice 0x x + x + > 0 > x x < K ( ;) 0 můžeme dosadit do vzorce ( ) ( ) b ± b 4ac ± 4 ± 4 8 ± ± x, a očet kořenů rovnice závisí na znaménku výrazu od odmocninou řešíme nerovnici > 0 > 3
< POZOR: ři kreslení grafů nezáleží ouze na očtu růsečíků s osou x, ale také na tvaru grafu (zda jde o ďolík nebo koeček ) kromě znaménka od odmocninou musíme sledovat také znaménko řed x záleží také na znaménku samotného arametru (láme se odle nuly) získáme tak tři intervaly s hraničními body 0 a. ( ;0) grafem je koeček (záorné a řed + a větší ) x ) a rovnice má dva kořeny (menší + - - - + hledáme body nad osou x K ; 0; grafem je ďolík (kladné a řed x ) a rovnice má dva kořeny (menší a větší + ) - - + - + hledáme body nad osou x K ; ; grafem je ďolík (kladné a řed x ) a rovnice má jediný kořen: ± ± 0 x, graf se dotýká osy x v bodě hledáme body nad osou x K R { } ; grafem je ďolík (kladné a řed x ) a rovnice nemá žádný kořen (od odmocninou je nula) graf je celý nad osou x 4
hledáme body nad osou x K R Závěrečný řehled: Hodnoty arametru : Řešení ro x: + ( ;0) K ; 0 K ; ( ) 0; + K ; ; K R { } ; K R Pedagogická oznámka: Předchozí říklad je oravu náročný na orientaci a doředu studentům zdůrazňuji, že není žádná tragédie, okud se jim ho neodaří srávně vyřešit. Při solečné kontrole se ak snažím zdůrazňovat, že na řešení není třeba ničeho jiného než dodržování ostuu a řehledného záisu. Shrnutí: Při řešení kvadratických nerovnic s arametrem musíme dávat ozor i na hodnoty výrazu řed x, který rozhoduje o tyu grafu funkce. 5