Základy matematiky kombinované studium /06

Transkript

1 Základy matematiky kombinované studium /06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické výrazy I. úpravy 3. Algebraické výrazy II. úpravy a b, a b, a b, a b 4. Funkce: definice, způsob zadání funkce, def. obor, obor hodnot, graf, operace s funkcemi, vlastnosti funkcí (sudá, lichá, monotónní, ohraničená, prostá), složená fce, inverzní funkce 5. Elementární funkce I.: lineární, kvadratická, mocninná, lineární lomená (def.obor, obor hodnot, graf, vlastnosti) 6. Elementární funkce II.: exponenciální, logaritmická (def.obor, obor hodnot, graf, vlastnosti), pravidla pro počítání s logaritmy a mocninami, jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice ( využití pro určování podmínek def. oborů fcí ) 7. Elementární funkce III. : goniometrické funkce, (def. obor, obor hodnot, graf, vlastnosti), základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi, jednoduché goniometrické 1 rovnice (typu sin x ), hodnoty v obloukové a stupňové míře 2 8. Rovnice: lineární, kvadratické (i v oboru komplexních čísel), jednoduché iracionální rovnice 9. Nerovnice: lineární, nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 10. Definiční obory složitějších funkcí 11. Analytická geometrie v rovině I.: bod, vektor, přímka (parametrické rce přímky, obecná rce přímky, přímky v směrnicovém a úsekovém tvaru), graf přímky, kružnice, typy rovnic, určení středu a poloměru doplněním na čtverec 12. Analytická geometrie v rovině II. elipsa, hyperbola (graf lin. lomené fce), parabola (graf kvadratické fce). Určení základních parametrů doplněním na čtverec 13. Rezerva 14. Zápočet, opravy testů Zápočet lze získat za splnění následujících podmínek: 1. docházka na společnou výuku 2. absolvování závěrečného testu, ve kterém bude šest příkladů z učiva v osnově. Přitom je potřeba získat minimálně 45 bodů z maximálního počtu 90. 1

2 1. Některé základní pojmy Číselné množiny Přirozená čísla, označ. N, 1, 2,3,, vyjadřují počet konečných neprázdných množin Celá čísla, označ Z, 3, 2, 1, 0,1, 2,3 p Racionální čísla, označ Q, lze psát ve zlomku q, kde p Z, q N Iracionální čísla, charakterizována nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem, např. 2 Reálná čísla, označ R, jsou sjednocením všech racionálních a iracionálních 2

3 Intervaly 3

4 Operace s intervaly, sjednocení, průnik x Např. x R : e >0 x R : log x<0 x x R : e <1 Absolutní hodnota reálného čísla 4

5 Rozklad kvadratického trojčlenu Často používané vztahy Pravidla pro počítání s mocninami 5

6 Pravidla pro počítání s odmocninami Pozn. základy všech sudých odmocnin musí být nezáporné, jmenovatelé zlomků rozdílní od nuly Algebraické výrazy 4. Funkce x - nezávisle proměnná y - závisle proměnná 6

7 Vlastnosti funkce Ohraničenost funkce Monotónnost funkce Prostá funkce 7

8 Sudá a lichá funkce Graf sudé fce je souměrný podle osy y Graf liché fce je souměrný podle podle počátku soustavy souřadnic Periodická funkce Inverzní funkce 8

9 K funkci f: y = 2x+1 najděte funkci inverzní: f : y x 2 2 Konstantní funkce Elementární funkce Lineární funkce grafem je přímka, je-li Kvadratická funkce 9

10 Určení vrcholu paraboly: kvadratickou funkci 2, kde V x, y y a x x y 0 0 je vrchol paraboly y ax bx c převedeme na tvar Lineární lomená funkce Grafem funkce je rovnoosá hyperbola 10

11 Nakreslete graf lineární lomené funkce: 2x 1 y x 1 Mocninné funkce 11

12 Exponenciální funkce 12

13 Logaritmická funkce Je-li 13

14 Goniometrické funkce Z pravoúhlého trojúhelníka: 14

15 15

16 16

17 Tabulka: 17

18 8. Rovnice Lineární rovnice Kvadratické rovnice 2 D b 4ac nazýváme diskriminantem kvadratické rovnice D 0, rce má 2 různé reálné kořeny D 0, rce má jeden dvojnásobný reálný kořen D 0, rce má dva komlexně sdružené kořeny 18

19 Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice řešíme umocňováním umocňování není ekvivalentní úprava proto: Exponenciální rovnice 19

20 Logaritmické rovnice Goniometrické rovnice využíváme všech znalostí o goniometrických funkcích 9. Nerovnice 1. Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 2. Kvadratické nerovnice (řešíme rozkladem kvadratického členu v součin) 20

21 Analytická geometrie v rovině Vektory Operace s vektory 21

22 Přímka v rovině Parametrické vyjádření Obecná rovnice přímky Tento tvar lze jednoduše odvodit z parametrických rovnic vyloučením parametru t. normálový vektor: n a, b směrový vektor: u b, a vyjádřením y z obecného tvaru přímky dostaneme směrnicový tvar: y kx q k-směrnice přímky, tangenta směrového úhlu, q je úsek vyťatý přímkou na ose y 22

23 Odchylka dvou přímek Vzdálenost bodu od přímky Kružnice středový tvar kružnice: x m y n r, kde S m,n je-li S 0,0 potom x y r obecná rovnice kružnice: 2 2 x y Ax Bx C 0 Elipsa a hlavní poloosa elipsy b vedlejší poloosa elipsy 23

24 e excentricita platí: a e b středový tvar rovnice elipsy: x m 2 y n 2, kde S m,n x y je-li S 0,0 potom a b obecná rovnice elipsy: 2 2 Ax By Cx Dx E 0 A B 0, A B a b Hyperbola a hlavní poloosa hyperboly b vedlejší poloosa hyperboly e excentricita platí: a b e středový tvar rovnice hyperboly : a b rovnice asymptot hyperboly: y n b x m a x m 2 y n 2, kde S m,n

25 je-li S 0,0 potom: x a y b rovnice asymptot hyperboly: b y x a obecná rovnice hyperboly: 2 2 Ax By Cx Dx E 0 A B 0, A 0, B 0, A B Pozn. Otočíme-li hyperbolu o 90. tj. EF je rovnoběžné s osou y je středový tvar rovnice hyperboly : x m 2 y n 2, kde S m,n a b rovnice asymptot hyperboly: y n x m 2 2 Ax By Cx Dx E 0 A B 0, B 0, A 0, A B b a Parabola 25

26 26