Elektrotechnika 2. Úlohy A. Pro učitele neodnášet. Pokyny a referenční hodnoty k laboratorním úlohám. doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.

Elektrotechnika Pokyny a referenční hodnoty k laboratorním úlohám Úlohy A doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D. Pro učitele neodnášet Brno 008

Obsah ZAŘAZENÍ PŘEDMĚT VE STDIJNÍM POGAM...3 ÚVOD...3 OBECNÉ POKYNY PO LABOATONÍ CVIČENÍ...3 A IMPEDANCE DVOJPÓL...5 A ANALÝZA OBVOD V HAMONICKÉM STÁLENÉM STAV...3 3 A VÝKON V JEDNOFÁZOVÉM OBVOD...0 4 A FÁZOOVÉ DIAGAMY...5 5 A SÉIOVÝ EZONANČNÍ OBVOD...3 6 A PAALELNÍ EZONANČNÍ OBVOD...37 7 A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ČLÁNKŮ C A C...4

ZAŘAZENÍ PŘEDMĚT VE STDIJNÍM POGAM Předmět Elektrotechnika (BEL) je zařazen do druhého semestru bakalářského studijního programu všech oborů studia na FEKT VT v Brně. Předmět sestává z přednášek, laboratorních cvičení a počítačových cvičení. ÚVOD Náplň jednotlivých úloh laboratorních cvičení je volena tak, aby si studenti prakticky ověřili poznatky získané na přednáškách, naučili se samostatné experimentální práci a získali tak průpravu pro práci jak ve vyšších ročnících studia, tak pro budoucí praxi. Koncepce jednotlivých úloh by měla vést studenty k osvojení formální stránky práce v laboratoři, získání správných návyků, stanovení cíle experimentu, vyhotovení záznamu o jeho průběhu a zhodnocení vlastních výsledků s ohledem na zadání. V úlohách je kladen důraz na porovnání teoretických hodnot s experimentem. Úlohy jsou navrženy tak, aby bylo možno zanedbat vliv měřicích přístrojů, neboť otázka technik měření bude probírána v předmětu Měření v elektrotechnice. OBECNÉ POKYNY PO LABOATONÍ CVIČENÍ Laboratorní úlohy jsou rozděleny do dvou skupin: A pro první polovinu a B pro druhou polovinu semestru. Úlohy jsou v laboratořích zdvojeny, takže jednu úlohu měří zároveň dvě dvojice studentů. Laboratorní cvičení sestává z těchto částí: domácí příprava, práce v laboratoři, zpracování výsledků měření. Pro laboratorní cvičení je nutné vést pracovní sešit (A4, doporučujeme čtverečkovaný), do kterého se zapisují přípravy i zpracování úloh. Každou úlohu v sešitě označte v záhlaví názvem a číslem, dále uveďte datum, kdy jste dané cvičení absolvovali. Úlohy musí být psány ručně, pouze tabulky a grafy je možné vytvořit pomocí počítače. Domácí příprava na cvičení Příprava sestává ze zpracování teoretických poznatků, týkajících se daného cvičení a je nutné její písemné vypracování do sešitu. Základem pro domácí přípravu je Teoretický úvod, který je součástí každé úlohy v tomto skriptu. Účelem domácí přípravy je pochopení podstaty dané úlohy, které je nutné ke správnému provedení vlastního měření. Teoretickou znalost příslušné problematiky je třeba prokázat během cvičení. Písemná příprava v sešitě začíná na nové straně a musí obsahovat: Číslo úlohy a nadpis, datum měření Zadání (viz Úkol u každé úlohy), Stručný výtah z teoretického úvodu (uveďte základy teorie včetně matematických vztahů, popřípadě principiálních schémat, Skutečné schéma zapojení (tužkou), Připravené tabulky (vzory tabulek jsou uvedeny v tomto skriptu v části Zpracování. Pro přehlednost jsou buňky tabulek, které se neměří, ale počítají, podbarveny šedě. V tabulkách jsou rovněž odkazy na čísla vztahů, které se mají při výpočtech použít.) Vypracovaný postup podle pokynů v odstavci Domácí příprava v návodu. Příprava má být stručná a výstižná, neopisujte celý teoretický úvod. ovněž není účelné opisovat Postup měření. Bez znalosti teorie a bez písemné přípravy nebude posluchači umožněno cvičení absolvovat. Práce v laboratoři Pracoviště v laboratoři jsou pro přehlednost označena čísly, která se shodují s číslováním úloh ve skriptu. Na pracovišti jsou připraveny všechny potřebné přístroje a příslušenství. 3

Při zapojování postupujte podle schémat skutečného zapojení. Během zapojování postupujte systematicky, abyste se vyvarovali chyb a zapojení bylo přehledné. Dokončené zapojení si nechte zkontrolovat učitelem, který připojí úlohu ke zdrojům. Během práce v laboratoři dodržujte zásady bezpečnosti práce. Jakékoliv změny v zapojení provádějte pouze při odpojených zdrojích. Důležitou součástí práce v laboratoři je zřetelné a čitelné zaznamenání naměřených hodnot tak, aby bylo možné spolehlivě pokračovat ve zpracování úlohy. Ze stejného důvodu je třeba pořídit si seznam použitých přístrojů, který obsahuje kromě typů přístrojů i jejich výrobní čísla a u měřicích přístrojů také údaje o jejich přesnosti. Po skončení vlastního měření zkontrolujte vyhodnocením alespoň několika hodnot správnost měření. Teprve po této kontrole můžete úlohu případně rozpojit a pracoviště uklidit. Před rozpojením zásadně nejprve nastavte výstupní veličiny zdrojů na nulové hodnoty a odpojte od nich vodiče! Výsledky si dejte ověřit učitelem. Ve zbývajícím čase můžete začít zpracovávat naměřené hodnoty. Zpracování výsledků Při zpracování změřené úlohy nezapomeňte na následující části: Seznam použitých přístrojů slouží k tomu, aby bylo možné měření reprodukovat za stejných podmínek. Musí tedy obsahovat soupis všech použitých přístrojů a zařízení, i pomocných. většiny zařízení se uvádí pouze typ. měřicích přístrojů pak následující údaje: druh a typ přístroje, výrobce a výrobní číslo, princip - značku soustavy (u analogových měřicích přístrojů), rozsahy, údaje o přesnosti přístroje (třída přesnosti u analogových, chyba u digitálních). Tabulky naměřených a vypočtených hodnot Tabulky je třeba uspořádat čitelně a přehledně, aby z nich bylo možné vyčíst všechny požadované hodnoty. Veličiny a jednotky uvádějte podle ustálených zvyklostí v SI soustavě. Za tabulku vypočtených hodnot vždy uveďte obecný vztah a příklad výpočtu (výpočet hodnot jednoho řádku či sloupce tabulky). V některých tabulkách se provádí porovnání naměřených X měř. a teoretických X teor. hodnot podle jejich relativní odchylky X X X X měř. teor. 00. (%) () X teor. Grafické zpracování Grafy lze vypracovat buď na milimetrový papír, nebo pomocí počítače a následně vlepit do sešitu. některých úloh používajících počítače se grafy tisknou již během měření. V každém případě je třeba vhodně zvolit typ grafu, měřítka os a způsob proložení zobrazených bodů. Osy grafu musí být řádně označeny, aby bylo zřejmé, jakou veličinu vyjadřují. Součástí grafu je i jeho nadpis. Pokud je v jednom grafu zakresleno více křivek, musí být zřetelně označeny a odlišeny. Závěr má obsahovat stručný, ale výstižný rozbor naměřených a vypočtených hodnot. Musí korespondovat se zadáním úlohy. Nemá být kvalifikací podmínek měření, ale zhodnocením naměřených parametrů a jejich teoretickým zdůvodněním. Pokud je výsledkem měření jen málo hodnot, je vhodné je do závěru zopakovat. V případě, že jde o rozsáhlé výsledky (tabulky, grafy), stačí na ně uvést odkaz. Součástí závěru by měla být i úvaha o přesnosti provedeného měření s uvedením možných zdrojů chyb, tedy zhodnocení věrohodnosti získaných výsledků. 4

A Impedance dvojpólu EFEENČNÍ HODNOTY A A Impedance dvojpólu Cíl úlohy Na praktických příkladech procvičit výpočty modulů a argumentů impedancí různých dvojpólů. Na základních typech prakticky užívaných obvodů ověřit měřením přímou souvislost mezi impedancí dvojpólu (modulem a argumentem impedance) a odpovídajícími časovými průběhy napětí a proudu. kázat souvislost mezi časovými průběhy a fázory, používanými při analýze obvodů v harmonickém ustáleném stavu symbolickou metodou. Úkol Zobrazte vzájemné poměry napětí a proudů zadaných dvojpólů a jejich kombinací. Ze zobrazených fázorů napětí a proudu spočtěte hodnoty impedancí dvojpólů. Ze zadaných parametrů prvků vypočtěte teoretické hodnoty impedancí dvojpólů. Teoretický úvod Symbolický počet, fázory V lineárních obvodech, které jsou buzeny zdroji harmonického napětí a proudu stejného kmitočtu, dochází po odeznění přechodných dějů vyvolaných připojením zdrojů k harmonickému ustálenému stavu (HS), při kterém všechny obvodové veličiny (napětí i proudy) mají harmonický časový průběh s konstantní amplitudou. Harmonicky proměnnou veličinu (napětí, proud) je možno popsat pomocí funkce sinus nebo kosinus. Okamžitou hodnotu časového průběhu harmonického napětí s periodou T (obr. ) můžeme psát u(t) m 0 T/ T T t sin u t t, (V) () m obr. Harmonické napětí kde je m... amplituda, (V) = f.. úhlový kmitočet, (rad/s) t... fáze, (rad) počáteční fáze. (rad) Stejný průběh můžeme rovnocenným způsobem popsat pomocí funkce kosinus π u t m costm cost. (V) (3) Jestliže necháme v komplexní rovině rotovat vektor (představující například napětí) rovnoměrným kruhovým pohybem, jeho průmět do svislé (tj. imaginární) osy reprezentuje harmonicky proměnný průběh (obr. ), který je popsán vztahem (). Využití těchto rotujících vektorů přináší značné zjednodušení při analýze elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu. Vzájemné postavení vektorů velmi názorně ukazuje fázové poměry mezi napětími a proudy, proto se popisované rotující vektory v elektrotechnice nazývají fázory. otující fázor u(t), který může (svým průmětem) zastupovat okamžitou hodnotu skutečné harmonicky proměnné veličiny, se nazývá komplexní okamžitou hodnotou nebo též komplexorem. Modul této komplexní veličiny je roven amplitudě m a argument je roven fázi ( t+ ). eálnou složku komplexoru (jeho průmět do reálné osy) u a imaginární složku komplexoru (jeho průmět do imaginární osy) u můžeme zapsat 5

A Impedance dvojpólu EFEENČNÍ HODNOTY A m cos u e u t t, (V) (4) m sin u Im u t t. (V) (5) V souladu s Eulerovým vztahem můžeme proto rotující fázor (komplexor) zapsat j t j j t j m m m u t u ju e e e e t. (V) (6) Im u t u(t) m u e 0 T/ T T t obr. Vztah mezi fázorem (komplexní rovina) a okamžitým průběhem (časová rovina) harmonického napětí Důležitější než okamžitá hodnota je pro praxi amplituda a počáteční fáze sledované veličiny, kterou vyjadřuje fázor maximální hodnoty. (V) (7) e j m m Jak je vidět z obr., je tento fázor totožný s rotujícím fázorem v okamžiku t = 0. V elektrotechnických aplikacích často pracujeme s efektivními hodnotami veličin, proto zavádíme fázor i v měřítku efektivních hodnot. Pro fázor efektivní hodnoty platí j m j m e e. (V) (8) Fázory jsou používány jako symboly, které při analýze HS zastupují skutečné fyzikální veličiny. Proto bývá tato metoda analýzy označována jako symbolická metoda. Při matematických operacích v komplexní rovině můžeme fázory vyjádřit pomocí komplexních čísel. Ze známé hodnoty fázoru můžeme zjistit okamžitou hodnotu časového průběhu j Im m e t u t. (V) (9) Poznámka: otující fázor (komplexor) budeme v textu označovat malým tučným písmenem u(t), i(t), fázory velkým tučným písmenem, I, m, I m, jejich absolutní velikosti (moduly) velkou kurzivou m, I m. Při manuálním zápisu se fázory označují velkými písmeny s pomocnými znaky (nejčastěji stříškou - Û ). Impedance Pro základní lineární obvodové prvky v harmonickém ustáleném stavu platí mezi amplitudami, mezi efektivními hodnotami a také mezi komplexory a fázory napětí a proudu lineární závislost obdobná Ohmovu zákonu pro okamžité hodnoty napětí a proudu u rezistoru. Zatímco u rezistoru je touto konstantou úměrnosti, u induktoru 6

A Impedance dvojpólu EFEENČNÍ HODNOTY A je to jl a u kapacitoru /jc. Vztahy mezi jednotlivými veličinami pro základní obvodové prvky spolu s časovými i fázorovými diagramy ukazuje přehledně tab.. tab. Vztahy mezi napětím a proudem a jejich fázorové i časové průběhy pro základní obvodové prvky, L, C Prvek Okamžité hodnoty Časová oblast Časový diagram Oblast komplexní proměnné Fázory Fázorový diagram m u t i t Z I m m Z =0 I m I ( ) ( ) L L m = I m u t di t L dt Z I m L m Z L jl I C u t i t dt C Z I Z m C m C jc = I m I m Lineární závislost mezi fázory amplitud napětí a proudu platí i pro obecný lineární pasivní dvojpól složený z libovolné kombinace základních obvodových prvků příklad obr. 3. Obecně tedy můžeme pro všechny obvodové prvky včetně jejich kombinací vyjádřit konstantu úměrnosti ve vztazích mezi fázory jako komplexní číslo Z, jehož absolutní velikost (modul) udává střídavý odpor prvku a argument udává fázový posun mezi napětím a proudem na prvku. Tato konstanta úměrnosti Z se nazývá impedance nebo obecný komplexní odpor, má rozměr odporu Ohm (). Vztah mezi fázory napětí a proudu ZI, ZI (V) (0) m m se nazývá zobecněný Ohmův zákon pro fázory. Po dosazení za fázory napětí a proudu podle (7) je j j Z e e. () () I I m m I Z m Im Modul impedance Z tedy představuje poměr amplitud (nebo efektivních hodnot) napětí a proudu a její argument pak fázový posun mezi napětím a proudem ( I) na uvedené impedanci Z. eálná část impedance se nazývá činná složka (rezistance), imaginární část jalová složka (reaktance); udávají se v ohmech. Pojem impedance je v obvodech harmonického ustáleného stavu natolik běžný, že je jím označován také abstraktní idealizovaný obvodový prvek (ve skutečnosti dvojpól vytvořený kombinací základních obvodových prvků, L, 7

A Impedance dvojpólu EFEENČNÍ HODNOTY A C), s obecnou hodnotou modulu i fáze impedance Z. Význam pojmu obecné impedance dokresluje obr. 3, představující obecnou impedanci a její fázorový a časový diagram napětí a proudu. obr. 3 a) Obecný dvojpól b) Fázorový diagram c) Časový diagram Impedanci () můžeme vyjádřit jako komplexní číslo též ve složkovém tvaru Z j X. () () Kromě impedance zavádíme také admitanci. Je to převrácená hodnota impedance a považujeme ji za zobecněnou vodivost Y = /Z; má rozměr vodivosti - Siemens (S). Impedance a admitance (souhrnně označované jako imitance impedance + admitance) jsou základními parametry dvojpólů komplexně popisující jejich chování v HS. Domácí příprava Do tab.. vypočítejte pro každý z dvojpólů z hodnot jeho obvodových prvků teoretickou hodnotu modulu a fáze impedance Z teor. Při výpočtu teoretické hodnoty impedance se vychází z impedancí Z základních obvodových prvků, L, C uvedených v tab.. Impedance se při sériovém řazení dvojpólů sčítají; při paralelním řazení dvojpólů se sčítají jejich admitance Y (Y = /Z). Pro sériové spojení induktoru a rezistoru platí: Z jl, () (3), arctan L (), ( ) (4) Z L Pro sériové spojení kapacitoru a rezistoru platí: Z, jc () (5) Z C, arctan (), ( ) (6) C Připravte si tabulku pro zakreslení časových průběhů i fázorů napětí a proudů pro všech pět měřených dvojpólů (, C, L 3 + L, L 4 + 4, C 5 + 5 ) podle vzoru v tab. 3. Pracovní postup Podle zapojení na obr. 4 napájí generátor napětím G sériovou kombinaci měřeného dvojpólu Z a snímacího rezistoru S. Napětí na rezistoru je úměrné proudu měřeným dvojpólem I Z a je s ním ve fázi A = S I Z. Ze schématu plyne vztah pro proud dvojpólem Z 8

A Impedance dvojpólu EFEENČNÍ HODNOTY A I Z G Z S A S. (A) (7) Pro hodnotu impedance měřeného dvojpólu platí B Z, (A) (8) I Z hodnotu modulu a fáze impedance můžeme vypočítat z naměřených velikostí a fázových posuvů napětí A a B, přičemž vyjdeme z toho, že napětí A má nulovou počáteční fázi: Z B B Z I Z A, () (9) S arg arg Z. ( ) (0) B obr. 4 Princip měření impedancí 9

A Impedance dvojpólu EFEENČNÍ HODNOTY A obr. 5 Zapojení pracoviště C 000 pro měření impedancí a) Zapojte pracoviště podle schématu obr. 5. Generátor připojte na svorky přípravku Gen A a Gen B. Analogový vstup A připojte ke snímacímu rezistoru S (svorky +IN A a IN A), k propojení použijte žlutou dvojlinku, pozor na polaritu vstupu značenou + a -. Analogový vstup B připojte modrou dvojlinkou ke svorkám měřených impedancí označeným +IN B a IN B. Zapněte napájecí zdroj pracoviště. b) Na přípravku generátoru Function generator stiskněte tlačítko Init, potom nastavte kmitočet khz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHIFT) a amplitudu V (MODE Ampl, pak tlačítky v bloku SHIFT). c) Spusťte obslužný program C000. Z výběru programů zvolte Oscilloscope. Stiskem tlačítka Phasor zapněte zobrazování fázorů měřených napětí. Stiskem tlačítka Cursor v sekci Function zvolte zobrazování hodnot fázorů. Nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A: ±00 mv, rozsah zobrazení kanálu B: ± V (Gain pomocí tlačítek ), průměrování vypnuto (Average: off). ozsah časové osy (Time pomocí tlačítek ) nastavte tak, aby byly zobrazeny časové značky 0,5 a ms. d) Propojovací svorkou zapojte na přípravku první z měřených dvojpólů Z. e) Stiskem virtuálního tlačítka Single spusťte měření. Zobrazí se fázory naměřených napětí a odpovídající harmonické časové průběhy. Žlutá křivka odpovídá proudu dvojpólem (napětí na snímací odporu S ), modrá křivka je napětí na měřeném dvojpólu. Při uvedeném nastavení má žlutá křivka nulovou počáteční fázi. f) Do tab. zapište amplitudy obou zobrazených křivek a fázový posun modré křivky - hodnoty se zobrazují v tabulce Cursor Phasors. Do připravené tabulky (vzor tab. 3) si zakreslete průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a jim odpovídající fázory. g) Propojovací svorkou zapojte na přípravku další z měřených impedancí. Postup podle bodů e) a f) opakujte i pro dvojpóly Z až Z 5. Všímejte si souvislostí mezi časovými průběhy a fázory napětí a proudu. h) Měření ukončete (Exit). 0

A Impedance dvojpólu EFEENČNÍ HODNOTY A Zpracování tab. Impedance měřených dvojpólů Měřeno Vypočteno z měř. hodnot Vypočteno z prvků A B Z Z teor mv V (9) (0) (3) až (6) 9 0,9 0 989 0,0 000 0,0 C 9 0,99 70 767-90,0 758-90,0 L 3 + L 06 0,96 84,6 466 84,6 474 83,9 L 4 + 4 44 0,88 34,8 6 34,8 608 34,7 C 5 + 5 76 0,94 34 37-36,0 34-35,9 Poznámky S = 00 G = V f = 000 Hz = k C = 0 nf L 3 = 75 mh L = 50 L 4 = 55 mh 4 = 500 C 5 = 0 nf 5 = k i) Vypočtěte impedanci dvojpólů Z - modul (9) a fázi (0), fázi podle potřeby přepočítejte odečtením 360 tak, aby její hodnota byla v intervalu <-90, 90 >. Příklad výpočtu (pro L 3 + L ) Z 0,96 00 466 B B Z S IZ A 0, 06 Z arg arg 84, 6 Z B teor 3 L 3 3 jl jπ0 750 50 474 83,9 Seznam přístrojů Přípravek s impedancemi (, C, L, L, C) Měřicí systém C 000 (funkční generátor, A&DD jednotka, kabely, zdroj), PC Závěr tab. 3 Vzor tabulky pro zobrazení napětí a proudů měřených dvojpólů Dvojpól Časový průběh Fázorový diagram a I I

C A Impedance dvojpólu EFEENČNÍ HODNOTY A -90 I C C L 84,6 I L L 34,8 I L -36 I C Porovnejte hodnoty impedancí všech dvojpólů zjištěné měřením s hodnotami teoretickými, viz tab.. ozdíl hodnot je způsoben (seřazeno podle významnosti vlivu): nepřesným měřením napětí A a B tolerancí hodnot prvků impedancí (na přípravku jsou uvedeny zaokrouhlené hodnoty). Porovnejte průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a odpovídající fázory z tab. 3 s teoretickými z tab.. prvků a C odpovídají experimentálně zjištěné fázorové diagramy ideálním prvkům. Naproti tomu u reálné cívky vlivem nenulového odporu vinutí ( L ) není fázový posun +90 stupňů, ale je menší. Stručné shrnutí Impedance vypočtené ze zadaných parametrů obvodu umožňují efektivní analýzu střídavých obvodů v HS. Charakter impedance dvojpólu odráží bezprostředně jeho chování jak v časové oblasti (fázový posun napětí a proudu), tak i při změnách kmitočtu. Vlastní měření ukazuje i na rozdíl mezi vlastnostmi ideálních a reálných obvodových prvků, představuje způsob praktického vyšetření hodnot modulu a fázového posunu impedance libovolného neznámého dvojpólu. V úloze byla ukázána souvislost zobrazení hodnot napětí a proudů v časovém průběhu i fázorové rovině.

A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu EFEENČNÍ HODNOTY A A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu Cíl úlohy Na konkrétním zapojení střídavého obvodu ověřit prakticky měřením obvodových veličin platnost Kirchhoffových zákonů v obvodu v harmonickém ustáleném stavu. Aplikovat a procvičit užití metod smyčkových proudů a uzlových napětí při symbolické analýze uvedeného obvodu. Úkol Při zadaném vstupním harmonickém napětí změřte hodnoty efektivních napětí i proudů prvky obvodu. Pomocí MSP i MN vypočtěte fázory (moduly a fáze) jednotlivých napětí a proudů. Za pomoci vypočtených hodnot ověřte pro fázory napětí a proudů platnost Kirchhoffových zákonů. Teoretický úvod Základní operace s harmonicky proměnnými veličinami v časové oblasti můžeme převést na podstatně jednodušší operace s fázory v komplexní rovině. Metoda analýzy, která využívá komplexory (rotující fázory) a fázory jako symboly zastupující skutečné fyzikální veličiny (okamžité hodnoty harmonického napětí a proudu), se nazývá symbolická analýza. Ta představuje vlastně určitý druh transformace (z kmitočtové oblasti do oblasti komplexní roviny). Symbolická analýza je použitelná pouze pro obvody v harmonickém ustáleném stavu (HS) viz úloha A. Protože fázory zastupují jako symboly skutečné fyzikální veličiny lineárních obvodů, musí platit při operacích s nimi stejné zákonitosti a vztahy, se kterými jsme se již dříve při popisu lineárních obvodů setkali. Mezi fázory napětí a proudu platí zobecněný Ohmův zákon ZI, nebo Ι Y (V), (A) () a při analýze obvodů můžeme vycházet i z obecné platnosti Kirchhoffových zákonů v symbolickém tvaru. Pro libovolný uzel obvodu můžeme psát pro fázory proudu I. K. z., pro libovolnou obvodovou smyčku pak II. K. z. v symbolickém tvaru: n I i 0, i n i 0. (A), (V) (), (3) i Pro příklad z obr. 6a platí I + I I 3 = 0. Podobně můžeme aplikovat II. K. z. pro fázory napětí v obvodové smyčce z příkladu na obr. 6b + 3 = 0. Přes to, že fázory představují amplitudy a fáze, tj. ne okamžité hodnoty harmonicky proměnných veličin, přiřazujeme jim zde směr pomocí orientačních šipek napětí a proudu v duchu již dříve uvedených zásad. V případě, že řešíme lineární obvody v HS při jediném kmitočtu, mezi fázory potom platí také princip superpozice. Všechny metody řešení obvodů vycházející z jeho aplikace mohou být tedy využity i v symbolické podobě. Při analýze obvodů pomocí fázorů tak můžeme použít všech metod řešení lineárních rezistorových obvodů (metoda zjednodušování, úměrných veličin, náhradních zdrojů, Kirchhoffových rovnic, smyčkových obr. 6 a) K I. K. z. b) Ke II. K. z. proudů a uzlových napětí), se kterými jsme se seznámili v BEL. Metoda smyčkových proudů (MSP) složitějších obvodů místo metody Kirchhoffových rovnic raději používáme metody redukující počet obvodových rovnic. Jednou z nich je metoda smyčkových proudů, kterou můžeme použít při řešení obvodů v symbolickém tvaru. Postup při jejím použití ukážeme na řešení následujícího příkladu. 3

A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu EFEENČNÍ HODNOTY A Příklad k MSP rčete metodou smyčkových proudů výstupní napětí článku z obr. 7, který je napájen zdrojem harmonického napětí u(t) = m sin(t), jsou-li známé reaktance induktoru L = 0, kapacitoru /C = 0, odpory rezistorů = = 0 a efektivní hodnota napětí budicího zdroje je = 0 V. Protože je zadána efektivní hodnota napětí, budeme používat fázory efektivních hodnot. Vstupní napětí má počáteční fázi = 0 a fázor vstupního napětí je proto C I S L I S obr. 7 K příkladu MSP j0 0e 0. (V) (4) Zajímá nás fázor výstupního napětí. Ten vypočteme jako fázor napětí na rezistoru, to znamená I. (V) (5) S V obvodě si zvolíme fázory smyčkových proudů I S a I S (obr. 7) a napíšeme maticovou rovnici Z I = : jc jc IS S 0 jl I jc jc. (V) (6) Po dosazení numerických hodnot má maticový zápis soustavy rovnic tvar 0 j0 j0 IS 0 j0 0 IS 0. (V) (7) Řešení soustavy je velmi snadné, zde například Cramerovým pravidlem. Determinant matice Z je 0 j0 j0 Δ 00 j00 j0 0 ( ) (8) a determinant matice Z vzniklé z matice Z náhradou. sloupce vektorem je 0 j0 0 Δ j00 j0 0 ( V) (9) Hledaný fázor proudu: j00 00 j00 I j,07 I S 0, j0, 4 0, 447 e (A) (30) Hledaný fázor výstupního napětí pak: j j,07 j,07 IS m e 00, 447e 4, 47e (V) (3) 4

A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu EFEENČNÍ HODNOTY A Okamžitá hodnota výstupního napětí je sin 4, 47 sin,07 6, 35sin t,07 u t m t t (V) (3) Amplituda napětí je m = 6,35 V, fáze = -,07 rad = -63,43. Metoda uzlových napětí (MN) Nejčastěji používanou metodou analýzy obvodů, kterou můžeme využít také v symbolickém tvaru, je metoda uzlových napětí. Postup při použití metody při analýze obvodů v HS ukážeme na řešení jednoduchého obvodu. obr. 8 K příkladu MN Příklad k MN V obvodu uvedeném na obr. 8a) (hodnoty jsou stejné jako v příkladu k MSP) vypočítejte metodou uzlových napětí výstupní napětí příčkového článku. Protože obvod obsahuje zdroj napětí, přepočítáme jej nejprve na ekvivalentní zdroj proudu - obr. 8b). Za předpokladu, že obvodové parametry jsou stejné jako v obvodu z předchozího příkladu k MSP, je velikost fázoru proudu a vodivosti ekvivalentního zdroje proudu 0 I 0, (A) (33) G 0, (S) (34) Pro zvolené uzly a - obr. 8b) - označíme fázory uzlových napětí a. Použitím pravidel pro MN sestavíme rovnici v maticovém tvaru Y I: G jc. (A) (35) jl jl I 0 G jl jl Po dosazení numerických hodnot dostáváme 0, j0,. j0, 0, j0, 0 (A) (36) ovnici (36) řešíme Cramerovým pravidlem 0, j0, Δ 0,0 j0,0, j0, 0, j0, (S ) (37) 5

A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu EFEENČNÍ HODNOTY A 0, Δ j0,. j0, 0 (S A) (38) Hledaný fázor výstupního napětí je j0, 0,0 j0,0 j4 4,47 e j,07. (V) (39) Okamžitou hodnotu výstupního napětí tedy můžeme opět vyjádřit v časové oblasti - (3). Domácí příprava obr. 9 Schéma měřeného obvodu Podle příkladu uvedeného v teoretickém úvodu sestavte pro obvod z obr. 9 maticovou rovnici MSP. Metodou smyčkových proudů vypočtěte fázory proudů větvemi obvodu a doplňte je do tab. 4. Následně pomocí Ohmova zákona určete i fázory napětí na jednotlivých prvcích a zapište do tab. 5. Podle příkladu uvedeného v teoretickém úvodu MN sestavte výpočtové schéma měřeného obvodu s náhradou napěťového zdroje zdrojem proudovým. Metodou uzlových napětí vypočtěte fázory uzlových napětí. Z nich následně spočtěte fázory napětí (do tab. 4) a proudů (do tab. 5) prvků obvodu. Pro výpočet komplexních maticových rovnic můžete využít program KLinov (dostupný i na stránkách předmětu). Ve vypracování uveďte maticové rovnice MSP i MN pro měřený obvod v obecném i číselném tvaru. Z vypočtených hodnot fázorů napětí a proudů v obvodu podle obr. 9 ověřte platnost Kirchhoffových zákonů (), (3) pro uzel a obě smyčky obvodu. Pozor proudy i napětí v obvodu při symbolické analýze je třeba chápat jako komplexní čísla. Pracovní postup Experimentální ověření platnosti obou metod provedeme na zapojení obvodu podle obr. 9. a) K měřicímu přípravku připojte tři ampérmetry. b) Na generátoru stiskněte tlačítko Init, potom nastavte kmitočet 00 Hz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHIFT) a amplitudu 0 V (MODE Ampl, pak tlačítky v bloku SHIFT). Generátor dodáva nyní harmonické napětí o efektivní hodnotě 0/ = 7,07 V (odpovídá maximální hodnotě 0 V) s kmitočtem 00 Hz. c) Zapište proudy indikované ampérmetry do tab. 4. d) Pomocí voltmetru změřte všechna napětí v obvodu a zapište je do tab. 5. Při přepojování voltmetru není třeba vypínat generátor či odpojovat od něj obvod. 6

A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu EFEENČNÍ HODNOTY A Zpracování tab. 4 Efektivní hodnoty proudů v obvodu I I I3 ma ma ma Měřeno 3,45,87,88 MSP 3,4 40,7,89-5,7,85 74,3 (MN) 3,4 40,7,89-5,7,85 74,3 Poznámky = 0/ = 7,07 V f = 00 Hz =, k C = F =, k C = F I 0,03-0,0 0,09 I max = 0,03 ma I () 0,88 -, -0,53 I max =, % tab. 5 Efektivní hodnoty napětí v obvodu C C V V V V Měřeno 4,,695,5,56 MN 4,05 40,7,7-49,3,69-5,7,69-5,7 (MSP) 4,05 40,7,7-49,3,69-5,7,69-5,7 0,005-0,07-0,06-0,0 max = 0,07 V () 0, -0,99-0,7-0,53 e) Stanovte maximální absolutní a relativní odchylku naměřených a vypočtených hodnot. Výpočet MSP jc jc jc I S S 0 I jc jc max = % 7

A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu EFEENČNÍ HODNOTY A -3 00 j59,5 j795,8 3,40 40,7 7, 07-3 j795,8 00 j795,8,890 5, 73 0 I I, I I, I I I, S S 3 S S I, I, I, I 3 C C jc jc Výpočet MN I I C C jc I, jc jc,645 0 3 49,8,688 5,73 4,909 0 3 33,55,, I, I jc C 3 C I I I I,, I 3 C jc. Seznam přístrojů Přípravek s Wienovým článkem C-C Funkční generátor C 000 4 digitální multimetr T60A (3 ma-metr, V-metr) počítač s programem KLinov Závěr Vyjádřete se o platnosti Kirchoffových zákonů v obvodech v harmonickém ustáleném stavu. K.z. je třeba počítat z fázorů (respektují fázové posuvy):. K. z.: II I 3 3, 440, 7,895, 7,8574,30. K. z.: C C 4,0540, 7, 749,3, 695, 737, 0700 8

A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu EFEENČNÍ HODNOTY A Je vidět, že K.z. platí i pro HS. Vyjádřete se o přesnosti provedených měření vzhledem k maximální velikosti relativní chyby. ozdíl hodnot je způsoben (seřazeno podle významnosti vlivu): tolerancí hodnot prvků obvodu, nepřesností změřených hodnot danou chybou měřicích přístrojů (třída přesnosti), vliv vnitřního odporu ampérmetrů (ten je ale velmi malý vzhledem k hodnotám impedancí obvodu, příliš se neprojeví). Stručné shrnutí Pro analýzu střídavých obvodů v HS se využívá s výhodou symbolická metoda. Využití impedancí a fázorů, interpretovaných komplexními čísly a operacemi v oboru komplexních čísel, představuje velmi efektivní nástroj pro analýzu obvodů v HS. Jejich pomocí lze plně využít univerzální metody řešení obvodů jako jsou metody smyčkových proudů a uzlových napětí. Úloha ukazuje možnosti aplikace uvedených metod na analýze konkrétního obvodu, zdůrazňuje důležitost fázorů při praktických součtech střídavých napětí a proudů a ukazuje rozdíl mezi analýzou stejnosměrného a harmonického ustáleného stavu. 9

3 A Výkon v jednofázovém obvodu EFEENČNÍ HODNOTY A 3A Výkon v jednofázovém obvodu Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit poznatky o výpočtu jednotlivých složek výkonu harmonického střídavého proudu a jejich závislosti na parametrech zátěže. Úkol Při zadaném napětí určete proud a činný výkon zadaných zátěží složených z prvků, L a C. Z naměřených hodnot vypočtěte zdánlivý výkon a účiník. Ze zapsaných hodnot prvků zátěží vypočtěte impedanci (modul a fázi), zdánlivý, činný a jalový výkon. Teoretický úvod Připojíme-li obecnou impedanci Z = Z e j ke střídavému harmonickému napětí Z, protéká jí proud I Z I Z Z Z j I IZ e Z e Z e j j. (A) (40) Komplexní výkon na této zátěži je podle [] roven součinu fázorů napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu * j I j Z Z Z IZ e S e S I. (VA) (4) Výraz (4) můžeme pomocí Eulerova vztahu upravit na S S cos jsin P jq, (VA) (4) kde je S...zdánlivý výkon, (VA) P...činný výkon, (W) Q...jalový výkon. (VAr) Pro měření výkonu střídavého proudu na obecné impedanci použijeme zapojení podle obr. 0. Protože použité měřicí přístroje mají vlastní spotřebu, vzniká soustavná chyba měření (více o ní bude pojednáno v předmětu Měření v elektrotechnice). obr. 0 Zapojení pro měření výkonu střídavého proudu Pomocí wattmetru zjistíme činný výkon P, připojený voltmetr a ampérmetr dovolí určit zdánlivý výkon S a následně výpočtem i jalový výkon Q. S I, (VA) (43) Z Z Q S P. (VAr) (44) 0

3 A Výkon v jednofázovém obvodu EFEENČNÍ HODNOTY A S použitím výše uvedených vztahů můžeme určit také účiník P cos. (-) (45) S Wattmetr v zapojení na obr. 0 udává činný výkon P spotřebovaný zátěží zvětšený o vlastní spotřebu voltmetru a napěťové cívky wattmetru. Ampérmetr zase udává proud zátěží zvětšený o proud voltmetrem a napěťovou cívkou wattmetru. K odstranění této chyby potřebujeme znát vnitřní odpory zmíněných měřicích přístrojů. Domácí příprava Z hodnot obvodových prvků,, L, L, C vypočítejte pro každou zátěž uvedenou v tab. 6 hodnotu impedance Z (postup viz úloha A, případně literatura []), fázor proudu I Z (40) a teoretickou hodnotu zdánlivého (43), činného (46) a jalového (47) výkonu a účiník cos. Pozor, cívka má nezanedbatelné ztráty, proto je potřeba namísto ideální L uvažovat při výpočtech sériovou kombinaci L + L. P I cos S cos, (W) (46) Z Z Q I sin S sin, (VAr) (47) Z Z Pracovní postup Schéma zapojení pro měření výkonu harmonického proudu je na obr. 0. Zapojujte nejprve proudový obvod (vyznačen tučně), potom obvod napěťový. Obvody rozlište barvou vodičů, pro větší přehlednost zapojení slouží propojovací můstek. Pozor při zapojování wattmetru je třeba dodržet správnou polaritu napěťové a proudové cívky. Začátky cívek jsou označeny na svorkách wattmetru (např. šipkou - viz obr. ) a musí být připojeny v souladu s označením ve schématu. I Proudové svorky Napěťové svorky Přepínače rozsahů a I W 0 obr. Značka a rozmístění svorek wattmetru Výchylka wattmetru je úměrná činnému výkonu P = I cos a nelze tedy podle výchylky volit správný rozsah a I. Proto se k wattmetru vždy připojují kontrolní přístroje (voltmetr a ampérmetr) a rozsahy a I na wattmetru se volí podle jejich údajů. Velikost činného výkonu měřeného wattmetrem se určí z výchylky a konstanty k w wattmetru P k W, (W) (48)

3 A Výkon v jednofázovém obvodu EFEENČNÍ HODNOTY A k I w W W, (W/dílek) (49) m kde je k W...konstanta wattmetru, (W/dílek) W...rozsah napěťové cívky wattmetru, (V) I W...rozsah proudové cívky wattmetru, (A) m...počet dílků na stupnici wattmetru. (dílek) a) Zapojte obvod podle obr. 0. Zvolte rozsah V-metru 60 V, A-metru A, u W-metru odpovídající rozsahy 60 V/ A. Do tab. 7 zapište konstantu wattmetru podle (49) i voltmetru (konstanty se nekrátí a uvádí se ve tvaru zlomků). Připojte první ze zátěží. Zapojení nechte zkontrolovat vyučujícím. b) Po kontrole připojte zdroj a pro ověření správného zapojení na něm nastavte napětí V. Po zapnutí výstupu (tlačítkem OT) by se neměli výchylky přístrojů prakticky změnit. Pokud je vše v pořádku, nastavte napětí zdroje = 60 V. c) Zapište si naměřené hodnoty proudu zdroje I, napětí zátěže Z a činného výkonu P do tab. 7. d) Nastavte výstupní napětí zdroje na 0 V a výstup zdroje odpojte (tlačítko OT). Opakujte postup od bodu b) pro další zátěže. Přepojování provádějte vždy na obvodu bez napětí. Pozor na záměnu odporů,! e) Do tab. 7 si zapište hodnoty vnitřních odporů V-metru ( V ) a napěťové cívky W-metru ( W ). Zpracování tab. 6 Teoretické hodnoty výkonu střídavého obvodu Z I Z S P Q cos Z () ( ) I Z (A) I ( ) VA W VAr - viz úloha A (40) (43) (46) (47) - Zátěž 50,0 0 0,400 0 4,00 4,00 0,0 60,37 8,4 0,994-8,4 59,64 8,89 58,97 0,49 L 90,95-90,0 0,66-90,0 39,58 0-39,58 0 3 C 78,5 49,49 0,764-49,49 45,85 9,79 34,86 0,65 4 L 9,4-9,0 0,506 9,0 30,6 9,79-4,7 0,988 5 L C 00, -65, 0,5989 65, 35,94 5,07-3,63 0,49 6 C 77,77-58,77 0,77 58,77 46,9 4,0-39,58 0,59 7 C Poznámka: Z = 60 V, = 50, = 4, L = 90 mh, L = 9, C = 35 F Příklad výpočtu (pro zátěž ) Z 60 Z jll j00π 0,9 9 60,37 8, 4, IZ = 0,994 8,4 A Z 60,37 8,4

3 A Výkon v jednofázovém obvodu EFEENČNÍ HODNOTY A S * Z I Z =600,994 8, 459,64 8,4 8,89 j58,97 VA, P 8,89 cos 0,49 S 59,64 tab. 7 Naměřené hodnoty výkonu střídavého obvodu Z I P I Z S P Q cos k V V A k W W A VA W VAr - Zátěž - - - (49) (48) (50) (43) (5) (44) (45) 4,0 60 60 57 0,45 49,0 0 0 4,5 0,386,0,9 0*,0* 5,0 57,5 0,90 0,0 0,0 0,87 50, 8,34 49,4 0,66 L 8,5 59,5 0,65 5,0,50 0,60 36,8 0,73 36,8 0,00 3 C 3,0 56,5 0,7 53,5 6,75 0,667 37,7 5, 8,0 0,668 4 L 4,0 57 0,49 55,0 7,5 0,456 6,0 5,9,74 0,994 5 L C 6,0 58 0,595 33,0 6,5 0,54 3,4 4,8 7,7 0,47 6 C 5,0 57,5 0,775 50,0 Poznámka: V = 300 k, W = 000 5,0 0,76 4,8 3,3 34,7 0,559 7 C * praveno, protože vlivem nejistoty měřicích přístrojů je zde P>S a tomu odpovídá cos > a komplexní Q, což není možné. f) V tab. 7 dopočítejte proud zátěží (opravený o proud voltmetru a napěťové cívky wattmetru) Z Z IZ I I Z V W V W, (A) (50) opravený činný výkon (údaj wattmetru zmenšený o vlastní spotřebu přístrojů) P P PW PV P Z V W, (W) (5) dále zdánlivý výkon S, jalový výkon Q a účiník cos. Příklad výpočtu (pro zátěž ) 60 P 0 0 W 0 IZ I Z 0,90 57,5 0,87 A 5 3 V W 30 0 S I Z 57, 50,87 50, VA, P 30 0 0,0 57,5 8,34 W 5 3 Q S P 50, 8,34 49, 4 VAr, P 8,34 cos 0,66 S 50, 3

3 A Výkon v jednofázovém obvodu EFEENČNÍ HODNOTY A Seznam přístrojů Prvky,, L, C Propojovací můstek Zdroj střídavý stabilizovaný 0-55 V / 50 Hz Diametral Analogový V-metr střídavý Analogový A-metr střídavý Analogový W-metr Závěr Porovnejte naměřené a vypočtené hodnoty činného a zdánlivého výkonu u všech zátěží, porovnejte ztráty (činný výkon) v technické cívce a technickém kondenzátoru navzájem a vůči ideálním prvkům. ozdíl hodnot je způsoben (seřazeno podle významnosti vlivu): tolerancí hodnot prvků obvodu, nepřesností změřených hodnot danou chybou měřicích přístrojů, harmonickým zkreslením napájecího napětí (napětí sítě není čistě harmonického průběhu). Z porovnání činného výkonu na impedancích a 3 je patrné, že ztráty na technickém kondenzátoru jsou výrazně nižší než na technické cívce. Pro kompenzaci účiníku (zvýšení hodnoty cos co nejblíže k ) induktivních zátěží, jako např. zářivkových svítidel nebo motorů, se používá zapojení 5 uvedené v tabulkách. Zhodnoťte efekt kompenzace účiníku induktivní zátěže porovnejte jalové výkony a cos u zapojení 4 a 5 v tab. 7. Při zvolených hodnotách prvků dochází u zátěže č. 5 k téměř úplné kompenzaci jalového výkonu ( Q 0, cos ) oproti zátěži 4. Stručné shrnutí Symbolickou metodu analýzy (využití fázorů a impedancí interpretovaných pomocí komplexních čísel) využíváme s výhodou i při určení výkonu v obvodech harmonického proudu. Modul komplexního výkonu (4) odpovídá zdánlivému výkonu, jeho reálná část je činný výkon a imaginární část je výkon jalový, viz (4). Poměr činného a zdánlivého výkonu (45) se nazývá účiník. Tato úloha ukazuje způsob měření výkonu a určení účiníku, objasňuje jejich závislost na charakteru impedance zátěže a naznačuje možnost kompenzace jalového výkonu. 4

4 A Fázorové diagramy EFEENČNÍ HODNOTY A 4A Fázorové diagramy Cíl úlohy Procvičit výpočty modulů a argumentů impedancí různých dvojpólů. kázat způsob měření hodnoty impedance neznámého dvojpólu. kázat způsob sestrojení a využití fázorových diagramů pro objasnění chování obvodu v harmonickém ustáleném stavu (HS). Úkol Změřte napětí a proudy všech prvků zadaných dvojpólů. Z naměřených hodnot sestrojte příslušné fázorové diagramy. Z naměřených hodnot určete modul i fázi impedance pro každý z dvojpólů a srovnejte ji s teoretickým výpočtem. rčete výsledný charakter impedance jednotlivých dvojpólů. Teoretický úvod Fázorové diagramy jsou praktickou a názornou pomůckou pro řešení střídavých obvodů. Používají se při grafickém řešení obvodů, mohou sloužit ke kontrole a názorné interpretaci číselného výpočtu, k rychlému určení výsledného charakteru obvodu apod. Fázorové diagramy jsou grafickým zobrazením symbolů vyjadřujících amplitudy a fáze harmonických napětí a proudů v ustáleném stavu obvodu v komplexní rovině. V této úloze budete proměřovat obvody s reálnými, nikoliv ideálními prvky. Při nepříliš vysokém kmitočtu se vlastnosti reálného odporu blíží vlastnostem ideálního rezistoru - proud rezistorem je ve fázi s napětím, = 0-90 I C (fázorový diagram rezistoru I C L < 90 I L obr. a), rovněž vlastnosti reálného kondenzátoru se blíží vlastnostem ideálního kapacitoru - napětí se zpožďuje -90 I C za proudem o C -90 (fázorový diagram kapacitoru I C L < 90 I L 5

4 A Fázorové diagramy EFEENČNÍ HODNOTY A obr. b). Naproti tomu reálná cívka se od ideálního induktoru významně liší. Činný odpor jejího vinutí není zanedbatelný, proto se proud cívkou zpožďuje o úhel L <90 (fázorový diagram reálné cívky -90 I C L I C < 90 I L obr. c). -90 I C L I C < 90 I L obr. a) Fázorový diagram b) Fázorový diagram C c) Fázorový diagram reálné cívky Fázorové diagramy obvodů lze sestrojit z naměřených hodnot napětí a proudů. Přitom je nutné si uvědomit, že ampérmetry a voltmetry měří efektivní hodnoty proudů a napětí (tedy moduly fázorů), ale neměří jejich fázi. Při konstrukci fázorového diagramu z naměřených veličin je třeba respektovat vzájemné fázové posuvy proudů -90 I C a napětí na jednotlivých prvcích obvodu - viz I C L < 90 I L obr. a) až c ). Fázorové diagramy lze nejlépe kreslit na milimetrový papír. Dále budete potřebovat pravítko, kružítko a úhloměr. Začněte volbou vhodného měřítka napětí a proudu. L I C I I I = C obr. 3 a) Příklad obvodu b) jeho fázorový diagram 6

4 A Fázorové diagramy EFEENČNÍ HODNOTY A Příklad Jako příklad uvedeme konstrukci fázorového diagramu pro dvojpól složený z, L a C, obr. 3a. Při konstrukci vyjdeme z napětí = C na paralelní kombinaci odporu a kondenzátoru a jeho fázor zakreslíme do komplexní roviny - obr. 3b. Fázor proudu I je s tímto napětím ve fázi, fázor proudu I C jej předbíhá o úhel -90 I C L blížící se 90 - viz I C < 90 I L obr. b. Podle I. K. z. musí platit I = I + I C, sestrojíme tedy trojúhelník vektorů buď pomocí kružítka, nebo jednoduše zakreslíme pravoúhlý trojúhelník (předpokládáme C 90 ). O napětí na technické cívce L víme, že předbíhá proud I L = I o úhel L <90. Ze schématu na obr. 3a vyplývá, že podle II. K. z. musí platit = L +. Proto z naměřených hodnot, L, sestrojíme pomocí kružítka trojúhelník fázorů napětí. Ze dvou možných grafických konstrukcí trojúhelníka vybereme tu, kde fázor L předbíhá fázor proudu I (je od něj proti směru hodinových ručiček), neboť jde i induktivní impedanci. Jak je vidět na obr. 3b, fázor výsledného napětí předbíhá fázor výsledného proudu I o kladný úhel ( = ( - I ) > 0); uvedený příklad dvojpólu má tedy induktivní charakter. Domácí příprava Z hodnot obvodových prvků vypočtěte metodou postupného zjednodušování hodnoty komplexních impedancí všech dvojpólů (úloha č. A v těchto skriptech nebo literatura []). cívky uvažujte i odpor vinutí L zakreslený ve schématech na obr. 4. Vypočtené impedance (modul a fázi) zapište do tab. 9 (Z teor ). L L L C I I L I I C C I L L C C, L L I C L C obr. 4 Zapojení měřených dvojpólů; cívka je zakreslena včetně parazitního odporu vinutí L Pracovní postup obr. 5 Zapojení úlohy a) Zapojte obvod podle schématu na obr. 5, pro přehlednost a snadnou manipulaci se zátěží slouží propojovací můstek. Z prvků sestavte první z dvojpólů podle obr. 4 a připojte jej ke svorkám můstku. Do obvodu dvojpólu zařaďte potřebný počet voltmetrů a ampérmetrů tak, abyste změřili napětí a proudy všemi jeho prvky. Pro tuto úlohu můžeme zanedbat spotřebu voltmetru a proto platí I Z I. 7

4 A Fázorové diagramy EFEENČNÍ HODNOTY A b) Nastavte rozsahy všech V-metrů na 0 V a A-metrů na A. Zapojení nechte zkontrolovat vyučujícím. c) Po kontrole připojte zdroj a pro ověření správného zapojení na něm nastavte napětí V. Po zapnutí výstupu (tlačítko OT) by se neměli výchylky přístrojů prakticky změnit. d) Pokud je vše v pořádku, nastavte napětí zdroje = 50 V. Podle výchylky jednotlivých měřidel rozhodněte o správnosti zvoleného rozsahu a podle potřeby změňte rozsahy V-metrů. Pokud bude potřeba změnit rozsah některého z A-metrů, tedy jen v bezproudovém stavu - nejprve vypnout výstup zdroje (OT) a teprve poté přepnout rozsah A-metru. Změřte hodnoty napětí a proudů prvků dvojpólu a dále proud a napětí zdroje a zapište je do tab. 8. e) Nastavte výstupní napětí zdroje na 0 V a výstup zdroje odpojte (OT). Postup od bodu b) opakujte pro ostatní dvojpóly z obr. 4. Zpracování tab. 8 Naměřené hodnoty napětí a proudů prvků dvojpólů Z L Napětí C k V V k V V k V V k V V 60 4 60 -L 0 5,0 9 3,8 79 39,5 0 0 0 Sériové 60 60 -C 04 5,0 79 39,5 56 8,0 0 0 Paralelní -L-C 98 -L 00 50,0 -C 98 49,0 49,0 06,5 4 0,3 6 0 0 6,0 06,5 4 0,3 Sériové Paralelní Proudy I Z I I L I C k A A k A A k A A k A A -L 0,5 0,5 -C 0,4 0,4 -L 0,66 0,66 0,5 0,5 0,3 0,3 -C 0,93 0,93 0,50 0,50 0,76 -L-C 0,40 tab. 9 Impedance měřených dvojpólů Sériové Paralelní 0,40 0,4 Z teor Z Odchylka Z Z Z % % z fázorového (viz úloha č. A) (5) diagramu () () 0,4 0,33 0,76 0,33 Charakter dvojpólu (kapacitní, induktivní) -L 9,7 5,5 04,0 48,5 5,9-5,7 ind. -C,5-35,3 3,8-3,, -9,0 kap. -L 78,93 3,0 75,76 8, -4,0-8,9 ind. -C 57,75-54,7 5,69-54,7-8,8 0,0 kap. -L-C 6,6 6,8,5 63,7 5,,4 ind. 8

4 A Fázorové diagramy EFEENČNÍ HODNOTY A Poznámka: = 00, L = 480 mh, L = 0, C = 45 F. f) Z hodnot v tab. 8 sestrojte pro každý měřený dvojpól fázorový diagram. V diagramu musí být uvedeno délkové měřítko pro fázory napětí i proudu! g) Z naměřených hodnot určete podle (5) hodnotu modulu impedance Z každého dvojpólu; argument (fázový posuv) této impedance zjistěte graficky (úhloměrem) z příslušného fázorového diagramu - lze použít i kosinové věty. Modul i fázový posuv zapište do tab. 9. Při určování impedancí pozor na znaménko fáze! Z I I Z Z () (5) h) Pro všechny dvojpóly spočtěte odchylky naměřené a vypočtené impedance. Příklad výpočtu (pro zátěž L sériově) Z Z teor jl j00π 0,48 0 9,7 5,5 Z 04 I Z 5,0 0, 5 L Fáze se určí buď graficky z fázorového diagramu, nebo lze podle kosinové věty Z L 5, 0 3,8 39, 5 arccos arccos 48, 5 Z 5,03,8 Fázorové diagramy, úhly ve stupních. Měřítko: cm = 0 V, cm = 0, A 9

4 A Fázorové diagramy EFEENČNÍ HODNOTY A -3 I 8, I L C I L 49 I L sériové C sériové L paralelní I = C L L I C I I I C -55 I C paralelní I 64 = C LC Seznam přístrojů Prvky, L, C Propojovací můstek Zdroj střídavý stabilizovaný 0-55 V / 50 Hz Diametral 3 analogový V-metr střídavý 3 analogový A-metr střídavý Závěr Srovnejte naměřené a vypočtené hodnoty impedancí dvojpólů v tab. 9 a stanovte jejich výsledný charakter. Zdůvodněte možné rozdíly vypočtených a naměřených hodnot. ozdíl v naměřených a vypočtených hodnotách impedance může být způsoben: tolerancí hodnot prvků obvodu, chybou měření danou nejistotou měřicích přístrojů, nepřesným zjišťováním fázových posuvů z fázorových diagramů. Výsledný charakter byl stanoven podle znaménka fáze impedance dvojpólu (+ = induktivní, - = kapacitní) a je uveden v tab. 9. 30

4 A Fázorové diagramy EFEENČNÍ HODNOTY A Stručné shrnutí Postupné skládání dílčích fázorových diagramů základních obvodových prvků umožňuje sestavit fázorový diagram složitějšího obvodu. Jeho pomocí lze často jednoduše a názorně analyzovat výsledné vlastnosti složitého střídavého obvodu a postihnout jeho chování při změně některých obvodových veličin. vedená úloha ukazuje možný způsob vyšetřování impedancí různých dvojpólů, upozorňuje na rozdíly mezi ideálními a reálnými vlastnostmi obvodových prvků (zejména technických cívek) a ukazuje možnosti využití fázorových diagramů v analýze obvodů v HS. 3

5 A Sériový rezonanční obvod EFEENČNÍ HODNOTY A 5A Sériový rezonanční obvod Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit základní parametry reálného sériového rezonančního obvodu (SO) - činitel jakosti Q, rezonanční kmitočet f r a šířku pásma B. kázat selektivní vlastnosti SO změřením jeho kmitočtových závislostí a porovnat naměřené hodnoty parametrů obvodu s hodnotami určenými výpočtem z parametrů jednotlivých prvků rezonančního obvodu. Úkol Změřte a zobrazte kmitočtovou závislost modulu napětí na kondenzátoru C (f) v SO. rčete rezonanční kmitočet f r, činitel jakosti Q a šířku pásma B pro různé hodnoty odporu. Naměřené hodnoty ověřte teoretickými výpočty. Vypočtěte a zobrazte hodnoty modulu i argumentu impedance SO pro příslušné kmitočty. Teoretický úvod ezonanční obvody LC se v převážné míře používají v harmonických oscilátorech, k výběru nebo naopak k potlačení signálu určitého kmitočtu ve spektru (laděné obvody, filtry apod.). ezonanční obvod je tvořen minimálně dvěma setrvačnými prvky L a C. Využívá jevu rezonance, při kterém dochází k procesu periodické výměny energie mezi elektrickým polem kondenzátoru a magnetickým polem cívky. Sériový rezonanční obvod je na obr. 6. Impedance sériového obvodu LC je L jarctan C j j e e Z L Z L jc C Je-li imaginární část kladná ( 0 ), pak má dvojpól indukční charakter. Při záporné imaginární části ( 0 ) má dvojpól kapacitní charakter. Zvláštní případ nastane při L C. Imaginární složka je nulová ( 0 ),obvodu má čistě odporový charakter a nejmenší možnou velikost Z =, viz např. lit. []. Tento stav SO se nazývá rezonance. Z podmínky Z I. obr. 6 Sériový rezonanční obvod L L C (53) C r L 0 C () (54) r plyne Thomsonův vzorec pro rezonanční kmitočet fr. (Hz) (55) π LC Při rezonanci jsou napětí na induktoru a kapacitoru stejně veliká a v protifázi. Celkové napětí na obvodu je proto rovno pouze napětí na rezistoru a je ve fázi s proudem I. (V) (56) 3

5 A Sériový rezonanční obvod EFEENČNÍ HODNOTY A Napětí na induktoru a kapacitoru při rezonanci je jrl C L jrli jq (V) (57) a může být podstatně větší (a to Q-krát) než je celkové napětí na SO. Číslo Q je tzv. činitel kvality SO Q L C r. (-) (58) r Praktická hodnota činitele kvality bývá v rozsahu 0 až 00 a závisí především na činném odporu cívky; ztráty v kondenzátoru lze většinou zanedbat. Když při konstantním napětí na SO vyneseme závislost proudu na kmitočtu I(f), dostaneme tzv. rezonanční křivku (obr. 7). Z ní můžeme odečíst šířku propustného pásma, která je dána rozdílem mezních kmitočtů f m a f m, daných poklesem proudu na hodnotu I r, v logaritmické míře značeno jako -3 db a platí I I I r r B B f f. (Hz) (59) m m Mezi šířkou pásma a činitelem jakosti existuje vztah f r Q. (Hz) (60) B f m f r f m obr. 7 ezonanční křivka SO f Šířka přenosového pásma B charakterizuje selektivní vlastnosti SO. Při mezních kmitočtech f a f nabývá argument impedance obvodu hodnot 45. Jak plyne ze vztahu (60), je rezonanční křivka tím užší, čím vyšší je činitel jakosti obvodu. Obdobně lze sestrojit rezonanční křivku pro napětí L (f) nebo C (f), tyto křivky mají v okolí rezonančního kmitočtu tvar prakticky shodný s rezonanční křivkou proudu I(f), obr. 7. Domácí příprava Do tab. 0 doplňte hodnoty modulu Z a argumentu celkové impedance SO (obr. 6) vypočtené podle vztahu (53) pro všechny uvedené kmitočty a pro obě hodnoty. Vytvořte grafy Z = f(f) a = f(f); v každém grafu dvě křivky (pro = A a = B ). Do tab. doplňte teoretické hodnoty rezonančního kmitočtu f r (55), činitele jakosti Q (6) a z těchto hodnot určete i teoretickou šířku pásma B s použitím (60). L/ C Q (-) (6) Pracovní postup a) Zapojte obvod podle schématu na obr. 8. Jako zvolte přepínačem A. Na obou voltmetrech zvolte režim měření střídavého napětí ACV. b) Na generátoru zvolte harmonické napětí s prvním z daných kmitočtů a výstupní napětí generátoru G nastavte tak, aby napětí G indikované voltmetrem V mělo hodnotu 00 mv. Napětí G udržujte nastavováním amplitudy generátoru pro každý kmitočet konstantní. c) Voltmetrem V změřte efektivní hodnotu napětí na kondenzátoru C. Hodnotu zapište do tab. 0. d) Na generátoru nastavte další z řady kmitočtů a změnou amplitudy generovaného napětí upravte požadovanou hodnotu G (voltmetr V musí indikovat 00 mv). e) Měření podle bodů b) až d) opakujte pro = B. 33

5 A Sériový rezonanční obvod EFEENČNÍ HODNOTY A obr. 8 Zapojení pro měření SO Zpracování tab. 0 Závislost c a impedance SO na kmitočtu A B f khz - 30 38 40 4 43 44 44,5 45 C mv - 78, 340,9 46,0 73,7 034,5 676,6 0,3 53,0 Z 743 309 8 34 94,5 58,8 44,4 35,8 (53) -87,3-83,5-80,8-74,9-68,3-53,5-38,0 -,4 C mv - 77,7 335,9 447,6 670,6 87, 46,7 63,9 303,9 Z 745 34 6 46 8,8 73,3 68,4 (53) -84,8-77,5-7,5-6,3-5, -34,8 -,9-6,5 pokračování tabulky A B f khz - 45,5 46 47 48 49 50 5 60 C mv - 90,7 65,0 993, 684,8 56,6 4,8 89, 4, Z 36,9 46,8 77,3 47 8 50 507 (53) 8,6 4,5 63, 7,7 76, 78,9 8,0 86,0 C mv - 35,8 00, 86,5 64,6 48,5 39,5 8,9 3,3 Z 69,0 74,7 96,8 6 58 9 57 50 (53) 9,8 4,5 45,4 57,3 64,5 69, 74,7 8,3 Poznámka: G = 00 mv, A = 35, B = 68, C = 4 nf, L = 3, mh Příklad výpočtu (pro f = 30 khz, A ) 3 3 Z jl 35 j30 0 3,0 743 87,3 3 9 jc 300 40 f) Vytvořte graf C = f(f) pro = A i = B, obě křivky do jednoho grafu. g) V grafu rezonančních křivek C (f) vyznačte rezonanční kmitočet f r a mezní kmitočty f m a f m pro pokles o 3 db (na Cmax /), podobně jako na obr. 7. Z tako zjištěných hodnot určete šířku pásma B (59) a činitel jakosti Q (60) pro obě hodnoty. Zjištěné hodnoty zapište do tab. a ke křivkám v grafu dopište zjištěný činitel jakosti Q. h) rčete poměrné odchylky mezi naměřenými a vypočtenými hodnotami v tab.. 34