6.06. Matematika - MAT Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání:13 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010, aktualizováno 1.9.2015, 1.9.2016 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího předmětu Cílem předmětu matematika je připravit žáky pro plnohodnotný život, ve kterém se budou s matematikou setkávat v mnoha oblastech lidské činnosti. Matematika nachází uplatnění např. v ekonomii, technice a v přírodních vědách. Pomáhá rozvíjet logické myšlení, úsudek, schopnost abstrakce, geometrickou a prostorovou představivost, analyzovat text úloh, učí hledat cestu k samostatnému řešení problémů. Cílem je připravit žáky tak, aby uměli získané poznatky aplikovat nejen ve svém dalším studiu na vysoké škole, ale i v reálných životních situacích. b) Charakteristika učiva Matematika na střední škole navazuje na znalosti a dovednosti získané na základní škole. je rozděleno do čtyř ročníků a je řazeno s ohledem na požadavky odborných předmětů. V rámci tematických celků, které na sebe navazují, se žáci učí: - provádět početní operace - upravovat algebraické výrazy - řešit různé typy rovnic, nerovnic a jejich soustav - sestrojovat grafy funkcí - odvozovat a používat vlastnosti funkcí - početně i konstrukčně řešit geometrické úlohy - řešit kombinatorické úlohy a určit pravděpodobnost - řešit úlohy využívající posloupnosti - porozumět základům finanční matematiky - interpretovat statistické údaje - využívat matematické a fyzikální tabulky, kalkulátor a prostředky IKT je tvořeno těmito tematickými celky: Operace s čísly a výrazy Funkce a její průběh. Řešení rovnic a nerovnic Planimetrie Stereometrie Analytická geometrie v rovině Posloupnosti a jejich užití Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika v praktických úlohách c) Cíle vzdělávání v oblasti citů, postojů, hodnot a preferencí Výuka směřuje k tomu, aby žáci získávali: - pozitivní postoj k matematice a zájem o ni a její aplikace - motivaci k celoživotnímu vzdělávání - důvěru ve vlastní schopnosti a práci d) Výukové strategie (pojetí výuky) Předmět se vyučuje v 1. ročníku čtyři hodiny týdně, ve 2. ročníku tři hodiny týdně, ve 3. ročníku dvě hodiny týdně a ve 4. ročníku čtyři hodiny týdně. Výuka předmětu probíhá v kmenových učebnách formou výkladu, odvozováním a procvičováním učiva. Vhodně je zařazováno využití audiovizuální techniky. Podle typu učiva volí učitel další vyučovací metody (samostatnou práci, práci ve skupinách). Učitel pravidelně zadává domácí úkoly, vede tím žáky k systematické přípravě na vyučovací hodiny. Součástí výuky jsou poměrně časté krátké prověrky, předem hlášené písemné práce na opakování tematického celku a pravidelné čtvrtletní práce. e) Hodnocení výsledků žáků Hodnocení výsledků je v souladu s platným klasifikačním řádem a jsou k němu použity tyto prostředky: - čtvrtletní práce (v 1. až 3. ročníku jsou čtyři, ve 4. ročníku jsou v prvním pololetí dvě, ve druhém pololetí je závěrečná práce společná pro všechny třídy ročníku) - ústní zkoušení, kdy učitel hodnotí schopnost žáka ústně obhájit a vysvětlit řešení úloh - písemné práce zahrnující celé tematické celky - krátké desetiminutovky hodnotící pravidelnou přípravu 46
- hodnocení aktivní účasti v hodinách - hodnocení plnění domácích úkolů f) Přínos předmětu k rozvoji klíčových kompetencí a aplikaci průřezových témat Vyučovací předmět se podílí na rozvoji všech klíčových kompetencí, zejména však: - kompetencí k učení (vede žáky k práci s učebnicí, učí je chápat strukturu učebnice, klade důraz na čtení s porozuměním) - kompetencí k řešení problémů (navozuje situace, při kterých žáci formulují problémy, analyzují je a hledají cesty k jejich řešení; učitel vede žáky ke správné volbě známého algoritmu, příp. k vytvoření nového algoritmu řešení; připouští práci s chybou a na jejím základě vede žáky k jiným postupům a poučením se z chyb; vede žáky k předvídání a odhadům výsledku úlohy, k provádění zkoušky správnosti řešení; zadává úlohy, které vedou k zobecňování provedení syntézy, vyslovení hypotézy a vede žáky k ověřování těchto hypotéz) - komunikativních kompetencí (učitel učí žáky formulovat myšlenky, obhajovat vlastní názor, vyžaduje přesnost při formulaci definic a vět; učí žáky argumentovat, používat různé typy tvrzení, rozlišovat definici a větu, zdůvodnit nebo vyvrátit hypotézu; vede žáky ke klasifikaci informací z různých zdrojů, učí žáky rozpoznat jejich důvěryhodnost, vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru, které jsou obsaženy v grafech, diagramech, tabulkách; učí žáky prezentovat výsledky řešení úlohy, prezentovat získané informace formou grafů, diagramů a tabulek apod.) - kompetencí sociálních a personálních (učitel vytváří příležitosti k činnosti ve dvojicích, ve skupinách, vede žáky k organizaci práce ve skupinách, k zodpovědnosti za práci skupiny; umožňuje střídat role žáků ve skupině, učí je hodnotit podíl na řešení úlohy svůj i jiných; vede žáky k úctě k práci jiných, nechává žáky hodnotit práci druhých, vede je k odhadu důsledků svého jednání a schopnosti nést následky) - kompetencí občanských (vede žáky k zodpovědnému plnění povinností a úkolů; vybírá vhodné úlohy s ekologickou tematikou, vede žáky k poznání, že je třeba přírodu a životní prostředí chránit; učí žáky při zdůvodňování stanovisek a postupů uplatňovat základy logiky a rozlišovat seriózní a demagogickou argumentaci) - kompetencí matematických (rozvíjí logické myšlení, učí uvědoměle využívat matematických vědomostí a dovedností při řešení problémů běžných situací, matematizovat reálné situace a vyhodnotit výsledek vzhledem k realitě, správně používat fyzikální jednotky, aplikovat základní matematické poznatky a postupy v odborné složce vzdělávání) Matematika integruje tato průřezová témata: Občan v demokratické společnosti: Žáci jsou vedeni k tomu, aby vyjadřovali své názory a respektovali názory jiných, hledali kompromisy a byli kriticky tolerantní k ostatním. Člověk a svět práce: Učitel pomáhá žákům reálně posuzovat jejich schopnosti, možnosti dalšího studia na vysoké škole a pracovního uplatnění, uvědomovat si rozvoj vědy a techniky v současném světě a z toho plynoucí nutnost celoživotního vzdělávání. Člověk a životní prostředí: Vhodně zvolené úlohy přispívají k tomu, aby si žák uvědomoval negativní dopady lidské činnosti na životní prostředí a nutnost jeho ochrany. Informační a komunikační technologie: Žák využívá v matematice prostředky IKT k získávání informací a k prezentaci vlastní práce. 2) a kompetence 1. ročník, 4 hodiny týdně, 34 týdnů, celkem 136 hodin 1. Opakování a rozšíření učiva základní školy - utřídí si a doplní znalosti ze základní školy Množiny - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel Číselné obory - používá různé zápisy reálného čísla Zaokrouhlování čísel - užívá základní množinové pojmy Reálná čísla, jejich vlastnosti a operace s reálnými - používá absolutní hodnotu čísly - zapíše a znázorní interval, provádí operace s Absolutní hodnota reálného čísla intervaly (sjednocení, průnik, doplněk) Intervaly - řeší praktické úlohy s využitím trojčlenky, Úměry, trojčlenka procentového a úrokového počtu Procentový a úrokový počet - řeší pravoúhlý trojúhelník pomocí Pythagorovy věty Pythagorova věta, goniometrické funkce ostrého a goniometrických funkcí úhlu 47
- dosadí do výrazu a určí hodnotu výrazu - určí nulový bod výrazu - určuje definiční obor lomeného výrazu - provádí operace s mnohočleny a lomenými výrazy - provádí operace s mocninami a odmocninami - zapíše číslo ve tvaru a.10 n a používá ho při výpočtech - upravuje výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny - zavede souřadnicový systém, sestrojí body pomocí souřadnic - sestrojí graf konstantní a lineární funkce - z parametrů funkce určí její vlastnosti - rozlišuje lineární rovnice a nerovnice - provádí ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic - diskutuje o počtu řešení a ověřuje správnost řešení zkouškou - řeší soustavy rovnic různými metodami, zvolí nejvhodnější metodu - řeší slovní úlohy užitím rovnic nebo jejich soustav - u nerovnic vyznačí řešení na číselné ose a řešení zapíše intervalem, řeší soustavu lineárních nerovnic o jedné neznámé - řeší nerovnice v součinovém a podílovém tvaru - sestrojí graf lineární funkce s absolutní hodnotou - užívá definici absolutní hodnoty při řešení lineárních rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou - sestrojí graf kvadratické funkce - z parametrů funkce určí její vlastnosti - vypočítá souřadnice vrcholu paraboly - řeší kvadratické rovnice pomocí diskriminantu - podle hodnoty diskriminantu rozhodne o počtu řešení - vhodně používá Viètovy vzorce při řešení jednoduchých kvadratických rovnic - rozloží kvadratický trojčlen v součin - řeší soustavu lineární a kvadratické rovnice o dvou neznámých - užije kvadratickou rovnici při řešení slovních úloh - vyřeší kvadratickou nerovnici početně i graficky - řeší jednoduché iracionální rovnice - třídí úpravy rovnic na ekvivalentní a neekvivalentní 2. Algebraické výrazy Hodnota výrazu, nulový bod výrazu Operace s mnohočleny, umocnění dvojčlenu pomocí vzorců Rozklady mnohočlenů na součin vytýkáním a pomocí vzorců Operace s lomenými výrazy Definiční obor lomeného výrazu 3. Mocniny a odmocniny Mocniny s celočíselným mocnitelem Zápis čísla ve tvaru a.10 n, řád čísla n-tá odmocnina, věty pro počítání s odmocninami Mocniny s racionálním mocnitelem Operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny 4. Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární a konstantní funkce, jejich grafy Lineární rovnice o jedné neznámé Lineární rovnice o jedné neznámé s neznámou ve jmenovateli Vyjádření neznámé z technického vzorce Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, jejich početní i grafické řešení Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh Lineární nerovnice o jedné neznámé a jejich soustavy Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 5. Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice Kvadratická funkce a její graf Řešení neúplné a úplné kvadratické rovnice, diskriminant Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Rozklad kvadratického trojčlenu Užití kvadratických rovnic při řešení slovních úloh Soustava lineární a kvadratické rovnice o dvou neznámých Kvadratická nerovnice, její početní a grafické řešení Iracionální rovnice 2. ročník, 3 hodiny týdně, 34 týdnů, celkem 102 hodin 1. Planimetrie - řeší úlohy na polohové a metrické vlastnosti Základní geometrické útvary v rovině, jejich vztahy rovinných útvarů, používá správné značení Trojúhelníky a mnohoúhelníky, základní pojmy a - užívá věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků v vlastnosti početních i konstrukčních úlohách Věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků v - aplikuje Pythagorovu větu, Euklidovy věty a početních i konstrukčních úlohách Thaletovu větu při konstrukci iracionální odmocniny Věty Euklidovy a věta Pythagorova - používá Pythagorovu větu a goniometrické funkce Definice goniometrických funkcí ostrého úhlu, 48
při řešení pravoúhlého trojúhelníku - rozlišuje základní druhy rovinných obrazců, využívá jejich vlastností, určí jejich obvod a obsah - používá získané znalosti při řešení úloh z praxe - využívá poznatků o množinách všech bodů dané vlastnosti při řešení konstrukčních úloh - sestrojí obrazy útvarů v daném shodném (podobném) zobrazení, užije vlastnosti zobrazení - definuje goniometrické funkce v oboru reálných čísel - sestrojí grafy goniometrických funkcí - užívá základní goniometrické vzorce při úpravách výrazů s goniometrickými funkcemi - řeší základní goniometrické rovnice, používá vlastnosti a vztahy mezi goniometrickými funkcemi při řešení jednodušších goniometrických rovnic - používá sinovou a kosinovou větu k řešení obecného trojúhelníku - používá sinovou a kosinovou větu k řešení úloh z praxe - užije různá zadání funkce - užívá s porozuměním pojmy definiční obor, obor hodnot, argument funkce, hodnota funkce - rozlišuje jednotlivé druhy funkcí, načrtne jejich grafy a určí jejich vlastnosti - určí průsečíky grafu funkce s osami souřadnic - určí intervaly monotonie a body, ve kterých funkce nabývá extrému - řeší reálné problémy pomocí funkcí - vysvětlí význam základu a v předpisech exponenciální a logaritmické funkce - definuje logaritmus a užívá věty o logaritmech - uplatňuje získané znalosti k řešení jednoduchých exponenciálních a logaritmických rovnic řešení pravoúhlého trojúhelníku Kružnice, kruh a jejich části Obsahy a obvody rovinných obrazců, řešení úloh z technické praxe a běžného života Množiny všech bodů dané vlastnosti, jednoduché konstrukční úlohy Shodná a podobná zobrazení (souměrnosti, posunutí, otočení, stejnolehlost) v rovině 2. Goniometrie a trigonometrie Orientovaný úhel a jeho velikost v míře obloukové a stupňové Goniometrické funkce v oboru reálných čísel, jejich základní vlastnosti a grafy Některé goniometrické vzorce, úpravy výrazů s goniometrickými funkcemi Základní goniometrické rovnice Věta sinová a kosinová Řešení obecného trojúhelníku 3. Funkce Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, hodnota funkce v bodě, graf funkce Vlastnosti funkcí (monotónnost, extrémy funkce) Shrnutí poznatků o dosud probraných funkcích Funkce lineární lomená, nepřímá úměrnost a jejich grafy Funkce mocninné a jejich grafy Funkce inverzní Funkce exponenciální a funkce logaritmická a jejich grafy Vlastnosti logaritmů, věty o počítání s logaritmy Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice 3. ročník, 2 hodiny týdně, 34 týdnů, celkem 68 hodin 1. Stereometrie - určuje vzájemnou polohu bodů, přímek a rovin Základní polohové a metrické vlastnosti v prostoru - určuje odchylku přímek a rovin Konstrukce rovinných řezů hranolu a jehlanu - určuje vzdálenosti bodů, přímek a rovin Povrchy a objemy těles: základních a komolých, - počítá povrchy a objemy základních těles koule a jejích částí - řeší stereometrické úlohy z praxe Řešení úloh z praxe - používá kombinatorické pravidlo součinu při řešení jednoduchých úloh - v úlohách vhodně používá variace, permutace či kombinace - užívá vztahy pro počet variací, permutací a kombinací bez opakování a pro počet variací s opakováním - počítá s faktoriály a kombinačními čísly - pomocí binomické věty rozepíše n-tou mocninu dvojčlenu - rozlišuje náhodný pokus a náhodný jev - používá znalosti z kombinatoriky při výpočtu pravděpodobnosti náhodného jevu - určuje pravděpodobnost sjednocení neslučitelných jevů a pravděpodobnost průniku nezávislých jevů 2. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Kombinatorická pravidla Variace, permutace a kombinace bez opakování, variace s opakováním Počítání s faktoriály a kombinačními čísly Pascalův trojúhelník, binomická věta Náhodný pokus, náhodný jev, jev opačný, jevy neslučitelné a nezávislé Pravděpodobnost náhodného jevu, průniku neslučitelných a sjednocení nezávislých jevů Statistický soubor, jednotka, znak, hodnota znaku Absolutní a relativní četnost Charakteristiky polohy a variability průměry, modus, medián, rozptyl, směrodatná odchylka, variační rozpětí Vyhledávání a vyhodnocování statistických dat v 49
- užívá s porozuměním základní pojmy statistiky - vypočítá absolutní a relativní četnost, aritmetický průměr, modus, medián, rozptyl a směrodatnou odchylku, variační rozpětí - čte, vyhodnotí a sestaví tabulky, diagramy a grafy se statistickými údaji - vysvětlí posloupnost jako zvláštní případ funkce - určí posloupnost výčtem prvků, vzorcem pro n-tý člen, graficky - rozliší aritmetickou a geometrickou posloupnost a řeší úlohy s jejich využitím - orientuje se v základních pojmech finanční matematiky a provádí výpočty jednoduchých finančních úloh grafech a tabulkách 3. Posloupnosti a finanční matematika Definice posloupnosti, způsoby zadání posloupnosti, její vlastnosti, graf Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Základy finanční matematiky; jednoduché a složené úrokování 4. ročník, 4 hodiny týdně, 30 týdnů, celkem 120 hodin 1. Vektorová algebra a analytická geometrie - orientuje se v kartézské soustavě souřadnic, znázorní lineárních a kvadratických útvarů v rovině bod, umístění vektoru Soustava souřadnic na přímce a v rovině - určí vzdálenost dvou bodů, souřadnice středu úsečky, Vzdálenost dvou bodů, střed úsečky souřadnice vektoru a velikost vektoru Vektor, jeho souřadnice a velikost - provádí početní i grafické operace s vektory (součet Operace s vektory: součet a rozdíl vektorů, vektor a rozdíl vektorů, násobení vektorů reálným číslem, opačný, násobení vektoru reálným číslem skalární součin vektorů) Lineární závislost a nezávislost dvou vektorů - určí velikost úhlu dvou vektorů Skalární součin vektorů, úhel dvou vektorů, kolmost - užije vlastností kolmých a kolineárních vektorů vektorů - aplikuje znalosti z odborných předmětů při skládání Vyjádření přímky v rovině (parametrické vyjádření, vektorů obecná rovnice, směrnicový tvar rovnice) - užívá různá analytická vyjádření přímky Dvě přímky v rovině (vzájemná poloha, odchylka, - řeší analyticky polohové a metrické vztahy bodů a kolmost) přímek Vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost dvou - definuje jednotlivé kuželosečky, uvede jejich rovnoběžných přímek základní parametry Kružnice - z daných parametrů kuželosečku načrtne Vzájemná poloha kružnice a přímky - sestaví a užije obecnou i středovou (vrcholovou) Elipsa rovnici kuželosečky Vzájemná poloha elipsy a přímky - řeší úlohy o vzájemné poloze přímky a kuželosečky Hyperbola Vzájemná poloha hyperboly a přímky Parabola - orientuje se v učivu středoškolské matematiky - řeší komplexní úlohy - řeší různé typy otevřených a uzavřených úloh - při řešení úlohy vybírá nejvhodnější způsob řešení - aplikuje získané poznatky v úlohách z praxe - při řešení úloh vhodně využívá kalkulátor a tabulky Vzájemná poloha paraboly a přímky 2. Shrnutí, doplnění a systematizace poznatků 1. 4. ročníku Číselné obory Algebraické výrazy Rovnice a nerovnice Funkce Posloupnosti a finanční matematika Planimetrie Stereometrie Analytická geometrie Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika 50