0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu nebo džus. Kolika způsoby si může host vybrat oběd, za předpokladu, že bude jíst a) jen polévku a hlavní jídlo, b) polévku, hlavní jídlo a dále si objedná nápoj, c) polévku, hlavní jídlo moučník a nápoj. [a), b) 63, c) 5] )Kolik různých přirozených čtyřciferných čísel s různými ciframi lze sestavit z cifer,, 3,, 5? Kolik z nich je dělitelných 5? Kolik z nich je lichých? [0,,7] 3) Kolik různých přirozených pěticiferných čísel s různými ciframi lze sestavit z cifer 0,,, 6, 7, 8, 9? Kolik z nich je dělitelných? Kolik z nich je dělitelných 0? Kolik z nich je sudých? [ 60, 80, 360, 560] ) Určete počet všech přirozených čísel větších než 300 a menších než 5 000, v jejichž zápisu se vyskytují cifry, 3,, 7, 8, a to každá nejvýše jednou. [0] 5) Ve třídě.a se vyučuje různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? [33 60] 6) Zmenší-li se počet prvků o 7, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků desetkrát. Určete původní počet prvků. [0] 7) Kolika způsoby lze postavit do řady na poličku 0 různých knih českých a 5 různých knih anglických tak, že nejprve budou knihy české a vedle nich knihy anglické. [35 56 000] 8) Kraťte, ( určete podmínky pro n: n + )! ( n + )! ( n 00 )! a) b) c) n! ( n )! ( n 99)! ( n )! ( n)! ( 3n )! d) e) f) ( n )! ( n )! ( 3n 3)! [a) n +, n Z, n 0, b) n + n, n N, c), n N, n 00, n 99 d), n N, n, e) n, n N, f) 3n, n N ] n 5n + 6 9) Upravte, určete podmínky pro n: n n 6 n a) b) + ( n 3 )! ( n )! n +! + 5 + ( ) ( n + 3 )!! 3 c) n! n n + ( n + )!!
( ) d) 3n!! [a), n N, n, b), n Z, n, ( ) ( ) f) n! n! + ( n )! n! 5!! 3! e). + 3n!! 3!!! 3 pro n = je výsledek 0, n 3! n +! 7n + c) 0, n Z, n 0, d), n N, e), n N, f), n Z, n ] n + n n + n 0) Kolik kružnic určuje deset různých bodů v rovině, z nichž a) žádné čtyři neleží na kružnici, b) právě šest leží na kružnici? [a) 0, b) 00] ) Kolika způsoby lze rozdělit hráčů na dvě šestičlenná družstva? [9] ) Kolika způsoby lze dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva tak, aby v každém družstvu byla děvčata a chlapci? [0] 3) V krabici je 0 výrobků, z nichž jsou právě tři vadné. Kolika způsoby lze vybrat 5 výrobků tak, aby a) žádný nebyl vadný, d) právě dva byly vadné, b) právě jeden byl vadný, e) nejvýše dva byly vadné, c) nejvýše jeden byl vadný, f) alespoň dva byly vadné? [a), b) 05, c) 6, d) 05, e) 3, f) 6] ) Z kolika prvků lze vytvořit 990 kombinací druhé třídy bez opakování? [5] 5) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků o 30. Určete původní počet prvků. [6] 6) Řešte rovnice s neznámou n Z : a) 5.( + )! =! n! c) = n ( n )! ( n + 6 )! ( n )! e) n. = 5n + 80 n +! n 5! n b)! 6. ( n )! = n! ( ) ( ) 0 7n d) + = 0 ( n + )! ( n )! ( n + )! ( 3n)! ( n + )! f) + = + 50 ( n)! ( 3n )! n! [a) { 3 }, b) { }, c) { 5 }, d) {}, e) {}, f) 5 { } ] 7) Řešte rovnice s neznámou x R : 6 5 a) = x + + b) 5 8 7 x x : = 0 3 3 0 3 x + x 3 c) + = 5 d) + = x 3 x
x x x + 6 x + 5 e). = 0 f) =! + x x 3 x x + x + x + 5 x + x + x + 8 x + x g) +.. = h) 5 =.. x + 3 x 3 x x + 7 0 x x [a) { }, b) { ;}, c) { 5 }, d) { x N, x }, e) { 5 }, f) { 0 ;5}, g) {}, h) 5 { } 5 ] 8) Vypočítejte: 5 5 6 a) ( + ) b) (. 3 3) c) ( x + x ) d) y y 3 [a) + 9, b) 97 708. 3 3 56. 9 3 3, c) x + x x + 6x + x x + x, 5 5 3 5 5 5 d) y y + y + ] 3 5 y 6y 3y 9) Umocněte podle binomické i podle Moivreovy věty: ( 7 a) i b) ) 6 ( + i 3) 5 i + ) ( c) [a) 8 8i, b) 6i, c) 5 5i 3 ] 0) Vypočítejte pátý člen binomického rozvoje ( y). 0 + [ 0y ] ) Určete x R tak, aby pátý člen binomického rozvoje 9 x byl roven 06. [ x = 3 ] x ) 7 ) Který člen binomického rozvoje ( 5 m obsahuje m? [5. člen] Pravděpodobnost 3) Z pěti úseček délek cm, 3 cm, 5 cm, 7 cm a cm náhodně vybereme 3. Jaká je pravděpodobnost, že z vybraných úseček lze sestrojit trojúhelník? [ 5 ] ) Určete pravděpodobnost výhry v I. pořadí ve Sportce. [0,000 000 07] 5) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne a) šestka, b) sudé číslo, c) číslo větší než, d) číslo 0? 5 [a), b), c), d) 0] 6 6
6) Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že a) na obou kostkách padne 6, b) na obou kostkách padne liché číslo, c) alespoň na jedné kostce padne liché číslo, d) bude součet bodů na kostkách 5, e) bude součet bodů na kostkách menší než 5? [a), 36 3 c), d), e) ] 9 6 b), 7) a) Jaká je pravděpodobnost, že při třech hodech jednou mincí padne alespoň dvakrát líc? b) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi najednou padne alespoň na dvou mincích líc? [a), b) ] 8) Ze třídy, ve které je chlapců a 7 dívek, byla vybrána náhodně skupina 5 studentů. Jaká je pravděpodobnost, že v ní byli a) chlapci a 3 dívky, b) 3 chlapci a dívky, c) chlapci a dívka? [a) 0,36; b) 0,93; c) 0,00] 9) Jaká je pravděpodobnost, že se Jana a Tomáš narodili ve stejný měsíc? [0,0833] 30) V sérii 35 výrobků jsou zmetky. Náhodně vybereme 5 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou zmetky? [0,083] 3) 0 studentů má být rozděleno na čtyři stejně početné skupiny. Mezi studenty jsou Adam a Eva. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zařazeni do stejné skupiny? [0,308] 3) V bedně je 0 výrobků, z nichž právě 6 je vadných. Náhodně vybereme 5 výrobků. S jakou pravděpodobností a) budou mezi 5 vybranými výrobky právě 3 vadné, b) budou mezi 5 vybranými výrobky alespoň vadné, c) bude mezi 5 vybranými výrobky nejvýše vadný? [a) 0,07; b) 0,5; c) 0,858] d) 33) studenti a 6 studentek (mezi nimiž jsou Adam a Eva) mají ze svého středu vylosovat tříčlennou komisi. Jaká je pravděpodobnost, že Adam nebo Eva budou mezi vylosovanými? [ 5 8 ] 3) Ve třídě je 30 žáků, z nichž 5 nemá vypracováno domácí cvičení.. V hodině budou vyvoláni k tabuli žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň žák bez domácího cvičení? [0,538] 35) Z úplné hry 3 karet vytáhneme 3 karty. Jaká je pravděpodobnost, že budou všechny červené nebo všechny esa? [0,0]
36) Přerušení elektrického obvodu může nastat následkem poruchy členu a nebo následkem poruchy obou členů b, b. Poruchy členů a, b, b nechť jsou nezávislé jevy A, B, B s pravděpodobnostmi P ( A) = 0,03, P ( B ) = 0,, P ( B ) = 0,. Určete pravděpodobnost přerušení obvodu. [0,0688] 37) Na vysoké škole technické v. ročníku propadá v průměru 5 % studentů z matematiky, 0 % propadá z fyziky a 5 % z obou předmětů. Jsou jevy student propadne z matematiky a student propadne z fyziky nezávislé? [nejsou] 38) V kanceláři pracují dvě sekretářky. První přijde pozdě do práce s pravděpodobností 0,, druhá s pravděpodobností 0,. Jaká je pravděpodobnost, že a) obě přijdou včas, b) aspoň jedna přijde včas? [a) 0,7; b) 0,98] 39) Bylo sklizeno 6 000 jablek. Z nich 000 je příliš malých a 600 je mechanicky poškozených. Obě vady jsou na sobě nezávislé. Vypočtěte, jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané jablko a) má obě uvedené vady, b) nemá žádnou z uvedených vad, c) má právě jednu z uvedených vad. [a), 30 3 b), c) ] 5 30 0) Ke zkoušce na vysoké škole dostali studenti seznam 30 otázek. Každý student si na začátku zkoušky vylosuje 3 otázky. Zkoušku úspěšně složí, jestliže správně odpoví na alespoň z nich. Jaká je pravděpodobnost, že zkoušku úspěšně složí student, který se naučil odpovědi na právě 0 otázek? [0,79] Statistika ) Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve dvaceti domácnostech jsme dostali výsledky 0, 0,,,,,,,, 0, 0, 0, 3,,,,, 3,,. Uspořádejte údaje do tabulky rozdělení četností, vypočítejte relativní četnosti a vyjádřete je v procentech. [0 5 %, 0 %, 5 %, 3 0 %] ) Ve třídě je 0 žáků s prospěchem od do,5, 5 žáků s prospěchem od,5 do, žáků s prospěchem od do,5 a 5 žáků s prospěchem od,5 do 3. Sestavte tabulku intervalového rozdělení četností prospěchu žáků; četnosti intervalů prospěchu vyjádřete v procentech. [,0-,5 %,,5-,0 36 %,,0-,5 9 %,,5-3,0 %] 3) Kruhový diagram vyjadřuje v procentech volební preference pěti politických stran. Jsou-li volební preference strany A znázorněny kruhovou výsečí se středovým úhlem velikosti 7, jaké jsou preference této strany v procentech? [0 %]
) V tabulce je uvedeno rozdělení křesel v Poslanecké sněmovně ČR po volbách v roce 998: ČSSD ODS KSČM KDU_ČSL US 7 63 0 9 Znázorněte kruhovým diagramem. (Určete středové úhly jednotlivých výsečí.) [33, ;3, ; 3, ; 36,0 ; 3, ] 5) V první třídě nasbíral jeden žák průměrně 0 kg papíru, ve druhé třídě 30 kg a ve třetí 0 kg. Kolik kilogramů papíru sebral průměrně jeden žák za všechny tři třídy dohromady, jestliže ve druhé třídě byl stejný počet žáků jako v první třídě, ale ve třetí třídě byla polovina žáků ve srovnání s první i druhou třídou? [8 kg] 6) Aritmetický průměr tří čísel je 38,. Je-li součet dvou z nich 77,, jaké je třetí číslo? [37,8] 7) Několik jablek má průměrnou hmotnost 80 g. Kdybychom k nim přidali jedno jablko o hmotnosti 0 g, zvětšila by se průměrná hmotnost jablek o 3 g. Jaký je počet jablek? [9 nebo 0] 8) Deset hráčů soutěžilo v hodu na koš. První hráč získal bodů, druhý 8 bodů, třetí také 8 bodů, čtvrtý dosáhl aritmetického průměru počtu bodů prvních tří hráčů. Podobně pátý a každý další hráč získal počet bodů, který se rovná aritmetickému průměru počtu bodů všech hráčů, kteří házeli na koš před ním. Kolik bodů získal desátý hráč? [9 bodů] 9) Vojáci čtyř rot jednoho vojenského praporu byli testováni na fyzickou zdatnost. Každý obdržel známku od (nejlepší) do 5 (nejhorší). Výsledky jsou uvedeny v tabulce: 3 5. rota 3 3 5. rota 6 0 5 3. rota 5 9 3 3 3. rota 7 a) Jaká byla průměrná známka v celém praporu? Počítejte s přesností na dvě desetinná místa. b) Která rota byla v průměru nejlepší a která nejhorší? c) Určete četnosti jednotlivých známek v celém praporu a sestrojte příslušný polygon četností. d) Určete relativní četnosti (v procentech) jednotlivých známek v celém praporu s přesností na dvě desetinná místa. [a),86; b) nejlepší 3. rota, nejhorší. rota] 50) Výsledky srovnávací písemné práce z matematiky v sousedních maturitních třídách IV.A a IV.B gymnázia v městě N jsou zachyceny v tabulce: Známka 3 5 IV.A 6 8 3 IV.B 8 7 6 0 Vypočtěte průměrnou známku z ve třídě IV.A, průměrnou známku z ve třídě IV.B A B
i průměrnou známku z v obou třídách dohromady. Počítejte s přesností na dvě desetinná místa. [ z =,50, z =,60, z =, 55 ] A B 5) Aritmetický průměr pěti Michalových známek z angličtiny je 3,. Kolik jedniček by měl Michal ještě dostat, aby pak jeho průměrná známka byla lepší než,5? [aspoň 3] 5) Průměrná výška původně nominovaných členů školního basketbalového mužstva byla 83 cm. Poté, co byl do družstva zařazen nový hráč, který měří 99 cm, vzrostla průměrná výška v družstvu o cm. Kolik členů má školní družstvo nyní? [8] 53) Ve třídě je 5 chlapců. Údaje o výšce chlapců udává následující tabulka: Výška (cm) 60-6 65-69 70-7 75-79 80-8 Počet žáků 5 3 Vypočítejte průměrnou výšku žáka, určete modus, medián. [70,66; modus 67 cm; medián 7 cm] 5) Pan Dvořák jel automobilem prvních 0 km rychlostí 80 km. h, dalších 30 km rychlostí 90 km. h. Vypočítejte průměrnou rychlost jeho jízdy. [85,7 km. h ] 55) V testu při zkoušce dostalo 5 studentů známku, dalších 35 studentů dostalo známku, známku 3 dostalo 30 studentů, 5 studentů dostalo známku a zbylých 5 studentů dostalo známku 5.Vypočítejte průměrnou známku z testu, modus, medián. Výsledky testu znázorněte graficky. [,6; modus ; medián,5] 56) Při kontrole hmotnosti sušenek bylo zkontrolováno 0 krabic se sušenkami a zjistili se následující hodnoty: 50 g, 7 g, 5 g, 9 g, 5 g, 8 g, 5 g, 50 g, 5 g, 8 g. Vypočítejte průměrnou hmotnost krabice sušenek, směrodatnou odchylku a variační koeficient. [9,7 g;,55 g; 0,6 %]