CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1

2 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu tvoří obsah rovnostranného trojúhelníku? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta. 1 bod Určete v rovnici kvadratické funkce f(x) = Ax + Bx + C hodnotu nejvyššího z koeficientů A, B, C, jestliže graf funkce f prochází body [ ; 0], [1; 6]; [0; 8]. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Trojúhelník KLM je podobný trojúhelníku POQ. Koeficient této podobnosti je,..1 Určete číslo k tak, aby 1 : k (kde k > 1) byl poměr jejich obvodů.. Určete číslo m tak, aby 1 : m (kde m > 1) byl poměr jejich obsahů. max. body max. body 4 Jaký objem má rotační kužel, jehož pláštěm je kruhová výseč o poloměru s = 10 cm se středovým úhlem 10 je pláštěm kužele? Výsledek v cm zaokrouhlete na celé mm. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[ 1, ], L[4, ]. max. body 5.1 Určete bod M tak, aby bod L byl středem úsečky KM. 5. Určete na ose y všechny body N tak, aby odchylka přímek KL a KN od osy x byla stejná. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. logx 6 Určete, kolik řešení pro x N má rovnice = 1. logx bod Maturita z matematiky 06

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dána trojciferná čísla m = 4A4 a n = 5B1, v jejichž ciferném zápisu nahrazují číslici na místě desítek proměnné A a B. max. body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.17.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Bude-li A = 8 a B = 6, budou čísla m a n soudělná. 7. Existuje právě jedna možná číslice A taková, aby číslo m bylo dělitelné Existují alespoň dvě možné číslice A takové, aby číslo m bylo dělitelné Existuje nejvýše jedna číslice B taková, aby číslo 655 bylo násobkem čísla n. 8 Která z možností AE určuje počet kořenů rovnice (x + 1) + (x + x) + (x + x ) +... = pro x ( 1; 0) (0; 1)? A) nekonečně mnoho B) právě čtyři C) právě dva D) právě jeden E) žádný ANO NE body body 9 Která z možností AE udává rovnici, jejímž řešením je dvojice vzájemně opačných reálných čísel? A) 4 1 x 5 1 x 5 = 0 B) 4 1 x 5 1 x = 0 C) 4 1 x 5 1 x + 5 = 0 D) 4 1 x + 5 = 0 E) 4 1 x 5 = 0 Maturita z matematiky 06

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Student provedl jednoduchý statistický výzkum, při němž ve čtyřech studijních skupinách v ročníku, který navštěvoval, provedl šetření tělesné výšky spolužáků. Data vždy seřadil podle velikosti vzestupně, hodnoty uvedl v cm. max. 4 body 10 Přiřaďte vytvořené vzestupné řadě ( ) její základní charakteristiky polohy modus X, medián X a aritmetický průměr X (AF) , 156, 164, 168, 170, 17, 17, 175, 175, 175, 176, 180, 185, 185, , 17, 17, 17, 17, 177, 184, 187, 187, 19, , 168, 169, 17, 175, 175, 175, , 17, 17, 17, 175, 178, 187, 0, 0 A) X = X = 175, X = 17 B) X = X = 175, X = 181 C) X = 175, X = 174, X = 17 D) X = 17, X = 175, X = 181 E) X = 17, X = 177, X = 181 F) X = 0, X = 175, X = 181 KONEC TESTU 4 Maturita z matematiky 06

5 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu tvoří obsah rovnostranného trojúhelníku? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta. Jestliže je r poloměr kruhu, potom jeho střed je těžištěm trojúhelníka a délka poloměru kružnice jsou dvě třetiny délky těžnice. Protože v rovnostranném trojúhelníku splývá těžnice s výškou v, je poloměr kruhu roven dvěma třetinám výšky. Z pravoúhlého trojúhelníka, jehož přeponou je strana a trojúhelníka a odvěsny mají délku v a a, odvodíme vzorec pro délku výšky v. v = a r = v r = a = a Určíme a porovnáme obsahy S k kruhu a S t trojúhelníka. a a a S t 4 = Sk π ( a = = 6 ) = 0,41 πa 1 4π Obsah trojúhelníka tvoří 41 % obsahu kruhu, do něhož byl vepsán. Řešení: 41 % 1 bod Určete v rovnici kvadratické funkce f(x) = Ax + Bx + C hodnotu nejvyššího z koeficientů A, B, C, jestliže graf funkce f prochází body [ ; 0], [1; 6]; [0; 8]. Protože průsečík s osou y, bod [0; 8] má y-ovou souřadnici rovnu 8, je koeficient C = 8. Zbylé dva body lze dosadit a ze soustavy dvou rovnic (I, II) o dvou neznámých (A, B) určit zbylé koeficienty. I: 0 = A ( ) + B ( ) 8 II: 6 = A 1 + B 1 8 Rovnici vyřešíme sčítací metodou, kdy k první rovnici přičteme dvojnásobek druhé. I + II: 0 + ( 6) = 4A + A B + B 8 + ( 8) 1 = 6A 4 1 = 6A A = II. B = A B = 0 Nejvyšším z koeficientů je A =. Řešení: A = VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Trojúhelník KLM je podobný trojúhelníku POQ. Koeficient této podobnosti je,..1 Určete číslo k tak, aby 1 : k (kde k > 1) byl poměr jejich obvodů. max. body Protože poměr podobnosti je, a obvod každého z nich je součtem délek jeho stran, je poměr jejich obvodů 1 :,, tj. k =,. Řešení: k =, Maturita z matematiky 06 5

6 . Určete číslo m tak, aby 1 : m (kde m > 1) byl poměr jejich obsahů. Protože poměr podobnosti je, a obsah každého z nich je polovinou součinu délek příslušné strany a výšky na ní, které jsou vždy v daném poměru, je poměr jejich obsahů 1 :,, tj. m = 4,84. Řešení: m = 4,84 max. body 4 Jaký objem má rotační kužel, jehož pláštěm je kruhová výseč o poloměru s = 10 cm se středovým úhlem 10 je pláštěm kužele? Výsledek v cm zaokrouhlete na celé mm. Neboť je kruhová výseč pláštěm rotačního kužele, je délka oblouku této kruhové výseče obvodem podstavy kužele. Kruhová výseč představuje takovou část celého kruhu, jakou část z úplného úhlu tvoří její středový úhel. Totéž platí pro poměr mezi délkou jejího oblouku a celého kruhu, jehož poloměrem je strana s celého kužele. Zároveň mezi výškou v kužele, poloměrem r podstavy kužele a stranou s kužele platí vztah Pythagorovy věty v = s r, neboť osovým řezem takového kužele je rovnoramenný trojúhelník. πr = 10 πs 60 r = s V = πr v V = V = v = s ( s ) v = 8s π( s ) s 10 cm π( ) (10 cm) = 109,701 cm v = s 9 Řešení: 109,701 cm VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[ 1, ], L[4, ]. 5.1 Určete bod M tak, aby bod L byl středem úsečky KM. max. body L = S KM = K + M M = L K M[ 4 ( 1); ( ) ] = M[9; 6]. Řešení: M[9; 6] 6 Maturita z matematiky 06

7 5. Určete na ose y všechny body N tak, aby odchylka přímek KL a KN od osy x byla stejná. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. N[0; y] a zároveň platí, že obě úsečky mají stejnou odchylku od osy x, tudíž mají stejnou nebo opačnou směrnici. Směrnice je poměr y-ových a x-ových souřadnic. KL = L K = (4 ( 1); ) = (5; 4) KN = L K = (0 ( 1); y ) = (1; y ) Stejnou směrnici mají tehdy, když: 4 = y 5y 10 = 4 5y = 6 y = 6 N 5 1 [0; 6 5 ] Opačnou směrnici mají tehdy, když: 4 = y 5y 10 = 4 5y = 14 y 5 1 = 14 N 5 [0; 14 5 ] Jde o body N 1 [0; 6 5 ] a N [0; 14 5 ]. Řešení: N 1 [0; 6 5 ] a N [0; 14 5 ] logx 6 Určete, kolik řešení pro x N má rovnice = 1. logx bod Určíme podmínky, za nichž má rovnice smysl. x > 0 logx x > 0 x 1 10 Tuto podmínku všechna přirozená čísla splňují. Pro x N rovnici vyřešíme. logx = 1 logx = logx + 1 logx = 1 x = 1 logx N Rovnice nemá žádné řešení rovné číslu přirozenému. Řešení: žádný VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dána trojciferná čísla m = 4A4 a n = 5B1, v jejichž ciferném zápisu nahrazují číslici na místě desítek proměnné A a B. max. body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.17.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Bude-li A = 8 a B = 6, budou čísla m a n soudělná. 7. Existuje právě jedna možná číslice A taková, aby číslo m bylo dělitelné Existují alespoň dvě možné číslice A takové, aby číslo m bylo dělitelné Existuje nejvýše jedna číslice B taková, aby číslo 655 bylo násobkem čísla n. ANO NE Maturita z matematiky 06 7

8 7.1 Bude-li A = 8 a B = 6, půjde o čísla m = 484 a n = 561. Přirozená čísla jsou soudělná, když mají alespoň jednoho společného dělitele většího než 1. Rozložíme-li číslo m na součin mocnin prvočísel, dojdeme k závěru, že čísla m a n soudělná budou jen tehdy, když bude číslo n dělitelné nebo 11. Protože číslo n je dělitelné 11, jsou m a n soudělná. m = 484 = 11 n = 561 = Tvrzení je pravdivé. 7. Aby přirozené číslo bylo dělitelné 9, musí jeho ciferný součet dát rovněž číslo dělitelné 9. Protože v číslu m = 4A4 je ciferný součet číslo A + 8, přichází v úvahu právě jen číslice A = 1. Tvrzení je pravdivé. 7. Aby přirozené číslo bylo dělitelné 4, musí být jeho poslední dvojčíslí dělitelné 4. Protože v číslu m = 4A4 je poslední dvojčíslí A4 a čísla 04 a 4 jsou 4 dělitelná, tvrzení je pravdivé. 7.4 Aby bylo číslo 7965 násobkem čísla n, musí být n dělitelem Využijeme-li známá pravidla dělitelnosti, určíme rychle, že 7965 = = Nejbližšími dalšími děliteli 7965 jsou 95 a 885, žádné další možné n již nenajdeme. Existuje tedy jen jediná možnost, a to pro B =. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, ANO, ANO, ANO 8 Která z možností AE určuje počet kořenů rovnice (x + 1) + (x + x) + (x + x ) +... = pro x ( 1; 0) (0; 1)? A) nekonečně mnoho B) právě čtyři C) právě dva D) právě jeden E) žádný body (x + 1) + (x + x) + (x + x ) +... = Na levé straně rovnice je geometrická řada, v níž a 1 = x + 1 a q = x, která je pro x ( 1; 0) (0; 1) konvergentní. Určíme její součet, který je roven číslu na pravé straně rovnice. s = a 1 1 q = x x Rovnice má právě jeden kořen. Správná je možnost D. Řešení: D = x + 1 = x 4x = x = 1 8 Maturita z matematiky 06

9 body 9 Která z možností AE udává rovnici, jejímž řešením je dvojice vzájemně opačných reálných čísel? A) 4 1 x 5 1 x 5 = 0 B) 4 1 x 5 1 x = 0 C) 4 1 x 5 1 x + 5 = 0 D) 4 1 x + 5 = 0 E) 4 1 x 5 = 0 Dva vzájemně opačné reálné kořeny mají jen tzv. ryze kvadratické rovnice, tedy rovnice ve tvaru Ax + C = 0, jejichž diskriminant je kladný. Což je mimo jiné důsledkem toho, že reálné koeficienty A a C mají různá znaménka. Této postačující podmínce vyhovuje pouze možnost E, možnosti AC jsou neryze kvadratické rovnice, v možnosti D jsou kvadratický koeficient a prostý člen kladná čísla, znaménkem se neliší. Správně je tedy možnost E. Řešení: E VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Student provedl jednoduchý statistický výzkum, při němž ve čtyřech studijních skupinách v ročníku, který navštěvoval, provedl šetření tělesné výšky spolužáků. Data vždy seřadil podle velikosti vzestupně, hodnoty uvedl v cm. max. 4 body 10 Přiřaďte vytvořené vzestupné řadě ( ) její základní charakteristiky polohy modus X, medián X a aritmetický průměr X (AF) , 156, 164, 168, 170, 17, 17, 175, 175, 175, 176, 180, 185, 185, , 17, 17, 17, 17, 177, 184, 187, 187, 19, , 168, 169, 17, 175, 175, 175, , 17, 17, 17, 175, 178, 187, 0, 0 A) X = X = 175, X = 17 B) X = X = 175, X = 181 C) X = 175, X = 174, X = 17 D) X = 17, X = 175, X = 181 E) X = 17, X = 177, X = 181 F) X = 0, X = 175, X = 181 Maturita z matematiky 06 9

10 Modus je nejzastoupenější hodnotou znaku, medián je hodnota, která dělí uspořádanou množinu hodnot znaku na dvě stejně četné skupiny, aritmetický průměr spočteme tak, že vydělíme součet všech hodnot znaku součtem jejich četností , 156, 164, 168, 170, 17, 17, 175, 175, 175, 176, 180, 185, 185, 186 Protože v první skupině bylo 15 naměřených výsledků a součet všech získaných tělesných výšek byl 595 cm, je aritmetický průměr X = 595 cm = 17 cm. Osmá hodnota (175 cm) v pořadí je 15 přesně uprostřed, medián X = 175 cm. Nejčastěji byla naměřena výška 175 cm (u tří případů), modus X = 175 cm. X = X = 175, X = 17 Řešení: A , 17, 17, 17, 17, 177, 184, 187, 187, 19, 0 Protože v druhé skupině bylo 11 naměřených výsledků a součet všech získaných tělesných výšek byl 1991 cm, je aritmetický průměr X = 1991 cm = 181 cm. Šestá hodnota (177 cm) v pořadí je přesně uprostřed, medián X = 177 cm. Nejčastěji byla naměřena výška 17 cm (u čtyř případů), modus 11 X = 17 cm. X = 17, X = 177, X = 181 Řešení: E , 168, 169, 17, 175, 175, 175, 185 Protože ve třetí skupině bylo 8 naměřených výsledků a součet všech získaných tělesných výšek byl 1991 cm, je aritmetický průměr X = 184 cm = 17 cm. Čtvrtá a pátá hodnota (17 cm a 175 cm) 8 v pořadí jsou přesně uprostřed, medián X = 174 cm je jejich průměrem. Nejčastěji byla naměřena výška 175 cm (u tří případů), modus X = 175 cm. X = 175, X = 174, X = 17 Řešení: C , 17, 17, 17, 175, 178, 187, 0, 0 Protože ve čtvrté skupině bylo 9 naměřených výsledků a součet všech získaných tělesných výšek byl 169 cm, je aritmetický průměr X = 169 cm = 181 cm. Pátá hodnota (175 cm) v pořadí je přesně uprostřed, medián X = 175 cm. Nejčastěji byla naměřena výška 17 cm (u tří případů), modus 9 X = 17 cm. X = 17, X = 175, X = 181 Řešení: D KONEC TESTU 10 Maturita z matematiky 06

11 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 0 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. ) Úlohy 16 jsou otevřené. ) Úlohy 710 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 017 výborně 1614 chvalitebně 111 dobře 107 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 41 % 1 bod A = 1 bod.1 k =, 1 bod. m = 4,84 1 bod 4 109,701 cm max. body M[9; 6] 1 bod 5. N[0; y] a zároveň platí, že obě úsečky mají stejnou odchylku od osy x, tudíž mají stejnou nebo opačnou směrnici. Směrnice je poměr y-ových a x-ových souřadnic. KL = L K = (4 ( 1); ) = (5; 4) KN = L K = (0 ( 1); y ) = (1; y ) Stejnou směrnici mají tehdy, když: 4 = y 5y 10 = 4 5y = 6 y = 6 N 5 1 [0; 6 5 ] Opačnou směrnici mají tehdy, když: 4 = y 5y 10 = 4 5y = 14 y 5 1 = 14 N 5 [0; 14 5 ] Jde o body N 1 [0; 6 5 ] a N [0; 14 5 ]. body Řešení: N 1 [0; 6 5 ] a N [0; 14 5 ] 6 žádný 1 bod Maturita z matematiky 06 11

12 7 max. body 4 podúlohy b. 7.1 ANO podúlohy 1 b. podúlohy 0 b. 7. ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7. ANO 7.4 ANO 8 D body 9 F body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b A podúlohy b. podúlohy b. 10. E 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10. C 10.4 D 1 Maturita z matematiky 06

13 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 0 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. ) Úlohy 16 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5. uveďte i celý postup řešení. ) Úlohy 710 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 017 výborně 1614 chvalitebně 111 dobře 107 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 1 bod.1 1 bod. 1 bod 4 max. body bod 5. body 6 1 bod Maturita z matematiky 06 1

14 7 max. body 4 podúlohy b. 7.1 podúlohy 1 b. podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy b. podúlohy b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 06