9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel,

Transkript

1 Kombinatorika konzultační příklady 1) Z města A do města B vedou 2 cesty. Z města B do města C vedou 3 cesty. Kolika způsoby lze dojít z města A do města C? 2) Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, v jejich ž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. 3) Kolik dvojtónových souzvuku (intervalů) můžeme vytvořit z tónů C, E, G? 4) Kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 vybrat dvě různobarevná políčka tak, aby obě neležela v jedné řadě ani v jednom sloupci. 5) Vytvořte všechny dvojjazyčné slovníky z AJ, NJ, FJ, RJ. 6) Z místa A do místa B vedou čtyři turistické cesty, z místa B do místa C tři. Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat trasu. a) z A do C a zpět; b) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát; c) z A do C a zpět tak,ž e z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát. 7) V košíku je 12 jablek a 10 hrušek. Petr si má z něho vybrat buď jablko, anebo hrušku tak, aby Věra, která si po něm vybere jedno jablko a jednu hrušku, měla co největší možnost výběru. Určete, co si má Petr vybrat. 8) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z těchto čísel je větších než 9 000? Kolik je menších než 3 000? 9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, jejichž dekadický zápis je složen z číslic 1, 2, 3, 4, 5 (každá z nich se opakuje nejvýše jednou), která jsou dělitelná: a) pěti, b) dvěma, c) čtyřmi. 10) Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro třídu, v níž se vyučuje dvanácti předmětům a každému nejvýše jednu vyučovací hodinu denně, má-li se skládat ze šesti vyučovacích hodin. V kolika z nich se vyskytuje daný předmět a v kolika z nich je tento předmět zařazen na 1. vyučovací hodinu? 11) O telefonním čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu. 12) Výbor sportovního klubu tvoří šest mužů a čtyři ženy. Určete: a) kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře (tedy čtyřčlenné zastupitelstvo různých funkcí); b) čtyřčlenné zastupitelstvo tak, aby na křesle předsedy seděl muž, na křesle místopředsedy žena, nebo obráceně; c) čtyřčlenné zastupitelstvo tak, aby právě jedna z funkcí byla obsazena ženou. 13) Určete, kolika způsoby se může v šestimístné lavici posadit 6 hochů, jestliže a) dva konkrétní chtějí sedět vedle sebe; b) dva konkrétní chtějí sedět vedle sebe a třetí hoch chce sedět na kraji. 14) Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7. Kolik z těchto číslic je a) dělitelných šesti, b) větších než ? 15) Určete, kolikrát lze přemístit slova ve verši Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou tak, aby nepromíchala slova věty hlavní a vedlejší. 16) Určete počet všech šestimístných a) telefonních; b) přirozených čísel, v jejichž zápisu je každá z číslic: 0, 2, 4, 6, 8, 9. 17) Je dán čtverec ABCD a na každé jeho straně n n 3 vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech. 18) Herní systém hokejového turnaje pro deset mužstev spočívá v tom, že v každé ze dvou skupin po pěti družstvech sehraje každé s každým jeden zápas; první dvě mužstva z obou skupin postoupí do finále, kde opět každé s každým sehraje jeden zápas, avšak s výjimkou družstev, která již spolu hrála ve skupině. Určete celkový počet zápasů ve skupině. 19) Petr má sedm knih, o které má zájem Ivana, Ivana má deset knih, o které se zajímá Petr. Určete, kolika způsoby si Petr může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy Ivaniny. 20) Na černá políčka šachovnice 8 x 8 máme rozmístit 12 bílých a 12 černých pěšců. Určete kolika způsoby to lze provést. 21) Určete počet prvků tak, aby: a) počet 4členných kombinací z nich vytvořených byl dvacetkrát větší než počet 2členných kombinací; b) při zvětšení počtu prvků o jeden se počet 3členných kombinací zvětší o 21.

2 22) V množině všech přirozených čísel řešte rovnici: a) n 2 n 1 2 =4 b) n 3 n 2 3 n 4 3 = n ) Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže a) v každé řadě záleží na pořadí; b) na pořadí v řadách nezáleží. 24) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 postavit pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích. 25) Na maturitním večírku 8. A je 15 hochů a 12 děvčat. Určete, kolika způsoby z nich lze vybrat 4čtyři taneční páry. 26) Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, každá nejvýše jednou. 27) Určete, kolika způsoby se kolem kulatého stolu může posadit pět mužů a pět žen tak, aby žádné dvě ženy neseděly vedle sebe. [Návod: Očíslujeme-li jednotlivá místa, mohou muži sedět buď na místech 1, 3, 5, 7, 9 nebo 2, 4, 6, 8, 10.] 28) V kupé železničního vagónu jsou proti sobě dvě lavice po pěti místech. Z deseti cestujících si čtyři přejí sedět ve směru jízdy, tři proti směru a zbývajícím třem to je lhostejné. Určete, kolika způsoby se mohou rozsadit. 29) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel s různými číslicemi, jejichž dekadický zápis je utvořen z číslic 0, 1, 2, 3, 5, 7. a) Kolik těchto čísel končí jedničkou? b) Kolik těchto čísel je lichých? Variace s opakováním 30) Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze utvořit sestavením teček a čárek do skupin o jednom až čtyřech prvcích. 31) Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných čtyřmi, v nichž se vyskytují pouze cifry 1, 2, 3, 4, 5. [Návod: Aby za daných podmínek bylo číslo dělitelné čtyřmi, musí byt poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi.] 32) Určete počet všech přirozených čísel menších než milión, která lze zapsat (dekadicky) pouze použitím číslic 5, 8. 33) Jméno a příjmení každého obyvatele městečka s 1500 obyvateli může začínat jedním ze 32 písmen. Dokažte, že aspoň dva obyvatelé městečka mají stejné iniciály. 34) Kufřík má heslový zámek, který se otevře, když na každém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na každém kotouči devět. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestliže jsme zapomněli heslo. 35) Určete počet šesticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je číslo sudé. Permutace s opakováním 36) Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky (král, dáma, 2 věže, 2 jezdci, 2 střelci, 8 pěšáků) a) na dvě pevně zvolené řady šachovnice 8 x 8; b) na libovolné dvě řady šachovnice 8 x 8. 37) Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejich ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých? 38) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle ) 39) Určete, kolika způsoby je možno přemístit písmena slova BATERKA tak, aby se souhlásky a samohlásky střídaly. [Návod: Na začátku a na konci musí být souhláska.] 40) Jistě jste poznali, že v anagramech AABIIKKMNOORT resp. MINIKABAROTOK je zašifrováno slovo KOMBINATORIKA. Určete počet všech anagramů, jež lze ze slova KOMBINATORIKA utvořit. Kombinace s opakováním 41) Určete počet kvádrů, jejichž velikost hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti. Kolik je v tomto počtu krychlí? 42) V novinovém stánku je ke koupi deset druhů pohledů, přičemž každý druh je k dispozici v padesáti exemplářích. Určete, kolika způsoby lze zakoupit a) 15 pohledů; b) 51 pohledů; c) 8 různých pohledů. 43) Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má velikost vyjádřenou jedním z čísel 4, 5, 6, 7.

3 44) Ze všech bílých šachových figurek bez krále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců) vybereme a) trojici b) dvojici. Jaký je počet možnosti pro jejich složení? 45) V sadě 32 karet je každá z následujících karet čtyřikrát: sedmička, osmička, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso; karty téže jsou přitom rozlišeny těmito barvami : červená, zelená, žaludy, kule. Určete, kolika způsoby je možno vybrat čtyři karty jestliže se a) rozlišují pouze barvy jednotlivých karet; b) rozlišují pouze hodnoty jednotlivých karet. 46) Kolik různých neuspořádaných trojic mohou dát počty ok na jednotlivých kostkách při vrhu třemi kostkami? 47) Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy; k dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné? na 64 políček šachovnice. [Návod: Myslete si, že na 64 polí rozmisťujete kromě 32 figurek ještě 32 stejných předmětů, třeba mincí.] 54) Určete, kolika způsoby lze na černá políčka šachovnice 8 x 8 rozmístit 12 bílých (nerozlišitelných) a 12 černých (nerozlišitelných) kostek tak, toto rozmístění bylo symetrické podle středu šachovnice. [Návod:Na černá políčka zvolené poloviny šachovnice rozmístíme 6 bílých a 6 černých kostek a další 4 nerozlišitelné předměty, čímž je postavení zbylých černých a bílých kostek určeno.] 55) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle ) Úlohy k opakování 48) Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova Mississippi;kolik z nich začíná písmenem M? 49) Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má jednu z velikostí daných čísly 4, 5, 6, 7, 8, 9. 50) V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže a) balíčku každého druhu mají dostatečný počet; b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. 51) Určete, kolika způsoby lze z padesátihaléřových a korunových mincí zaplatit částku a) 6 Kč, b) 2 Kč, jsou-li oba druhy mincí k dispozici v dostatečném množství. [Návod: každou částku lze zašifrovat pomocí písmen k (korunové mince) a p (dvě padesátihaléřové), např. čtyřem korunovým a čtyřem padesátihaléřovým mincím odpovídá zápis kkkkpp.] 52) Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm stejná jablka a šest stejných hrušek. [Návod: Každé rozdělení osmi jablek mezi tři osoby A, B, C lze zašifrovat pomocí neuspořádané osmice z těchto písmen; např. AAABBBBC značí příděl tří jablek osobě A, čtyř jablek osobě B a jednoho jablka osobě C.] 53) Určete, kolika způsoby lze všechny figurky šachové hry (tj. od každé barvy 1 krále, 1 dámu, 2 věže, 2 jezdce, 2 střelce a 8 pěšáků) rozmístit

4 Kombinatorika konzultační příklady 1) Z města A do města B vedou 2 cesty. Z města B do města C vedou 3 cesty. Kolika způsoby lze dojít z města A do města C? 2) Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, v jejich ž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. 3) Kolik dvojtónových souzvuku (intervalů) můžeme vytvořit z tónů C, E, G? 4) Kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 vybrat dvě různobarevná políčka tak, aby obě neležela v jedné řadě ani v jednom sloupci. 5) Vytvořte všechny dvojjazyčné slovníky z AJ, NJ, FJ, RJ. 6) Z místa A do místa B vedou čtyři turistické cesty, z místa B do místa C tři. Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat trasu. a) z A do C a zpět; b) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát; c) z A do C a zpět tak,ž e z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát. 7) V košíku je 12 jablek a 10 hrušek. Petr si má z něho vybrat buď jablko, anebo hrušku tak, aby Věra, která si po něm vybere jedno jablko a jednu hrušku, měla co největší možnost výběru. Určete, co si má Petr vybrat. 8) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z těchto čísel je větších než 9 000? Kolik je menších než 3 000? 9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, jejichž dekadický zápis je složen z číslic 1, 2, 3, 4, 5 (každá z nich se opakuje nejvýše jednou), která jsou dělitelná: a) pěti, b) dvěma, c) čtyřmi. 10) Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro třídu, v níž se vyučuje dvanácti předmětům a každému nejvýše jednu vyučovací hodinu denně, má-li se skládat ze šesti vyučovacích hodin. V kolika z nich se vyskytuje daný předmět a v kolika z nich je tento předmět zařazen na 1. vyučovací hodinu? 11) O telefonním čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu. 12) Výbor sportovního klubu tvoří šest mužů a čtyři ženy. Určete: a) kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře (tedy čtyřčlenné zastupitelstvo různých funkcí); b) čtyřčlenné zastupitelstvo tak, aby na křesle předsedy seděl muž, na křesle místopředsedy žena, nebo obráceně; c) čtyřčlenné zastupitelstvo tak, aby právě jedna z funkcí byla obsazena ženou. 13) Určete, kolika způsoby se může v šestimístné lavici posadit 6 hochů, jestliže a) dva konkrétní chtějí sedět vedle sebe; b) dva konkrétní chtějí sedět vedle sebe a třetí hoch chce sedět na kraji. 14) Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7. Kolik z těchto číslic je a) dělitelných šesti, b) větších než ? 15) Určete, kolikrát lze přemístit slova ve verši Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou tak, aby nepromíchala slova věty hlavní a vedlejší. 16) Určete počet všech šestimístných a) telefonních; b) přirozených čísel, v jejichž zápisu je každá z číslic: 0, 2, 4, 6, 8, 9.

5 17) Je dán čtverec ABCD a na každé jeho straně n n 3 vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech. 18) Herní systém hokejového turnaje pro deset mužstev spočívá v tom, že v každé ze dvou skupin po pěti družstvech sehraje každé s každým jeden zápas; první dvě mužstva z obou skupin postoupí do finále, kde opět každé s každým sehraje jeden zápas, avšak s výjimkou družstev, která již spolu hrála ve skupině. Určete celkový počet zápasů ve skupině. 19) Petr má sedm knih, o které má zájem Ivana, Ivana má deset knih, o které se zajímá Petr. Určete, kolika způsoby si Petr může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy Ivaniny. 20) Na černá políčka šachovnice 8 x 8 máme rozmístit 12 bílých a 12 černých pěšců. Určete kolika způsoby to lze provést. 21) Určete počet prvků tak, aby: a) počet 4členných kombinací z nich vytvořených byl dvacetkrát větší než počet 2členných kombinací; b) při zvětšení počtu prvků o jeden se počet 3členných kombinací zvětší o ) V množině všech přirozených čísel řešte rovnici: a) n 2 n 1 2 =4 b) n 3 n 2 3 n 4 3 = n ) Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže a) v každé řadě záleží na pořadí; b) na pořadí v řadách nezáleží. 24) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 postavit pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích. 25) Na maturitním večírku 8. A je 15 hochů a 12 děvčat. Určete, kolika způsoby z nich lze vybrat 4čtyři taneční páry. 26) Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, každá nejvýše jednou. 27) Určete, kolika způsoby se kolem kulatého stolu může posadit pět mužů a pět žen tak, aby žádné dvě ženy neseděly vedle sebe. [Návod: Očíslujeme-li jednotlivá místa, mohou muži sedět buď na místech 1, 3, 5, 7, 9 nebo 2, 4, 6, 8, 10.] 28) V kupé železničního vagónu jsou proti sobě dvě lavice po pěti místech. Z deseti cestujících si čtyři přejí sedět ve směru jízdy, tři proti směru a zbývajícím třem to je lhostejné. Určete, kolika způsoby se mohou rozsadit. 29) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel s různými číslicemi, jejichž dekadický zápis je utvořen z číslic 0, 1, 2, 3, 5, 7. a) Kolik těchto čísel končí jedničkou? b) Kolik těchto čísel je lichých? Variace s opakováním 30) Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze utvořit sestavením teček a čárek do skupin o jednom až čtyřech prvcích. 31) Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných čtyřmi, v nichž se vyskytují pouze cifry 1, 2, 3, 4, 5. [Návod: Aby za daných podmínek bylo číslo dělitelné čtyřmi, musí byt poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi.] 32) Určete počet všech přirozených čísel menších než milión, která lze zapsat (dekadicky) pouze použitím číslic 5, 8.

6 33) Jméno a příjmení každého obyvatele městečka s 1500 obyvateli může začínat jedním ze 32 písmen. Dokažte, že aspoň dva obyvatelé městečka mají stejné iniciály. 34) Kufřík má heslový zámek, který se otevře, když na každém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na každém kotouči devět. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestliže jsme zapomněli heslo. 35) Určete počet šesticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je číslo sudé. Permutace s opakováním 36) Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky (král, dáma, 2 věže, 2 jezdci, 2 střelci, 8 pěšáků) a) na dvě pevně zvolené řady šachovnice 8 x 8; b) na libovolné dvě řady šachovnice 8 x 8. 37) Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejich ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých? 38) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle ) 39) Určete, kolika způsoby je možno přemístit písmena slova BATERKA tak, aby se souhlásky a samohlásky střídaly. [Návod: Na začátku a na konci musí být souhláska.] 40) Jistě jste poznali, že v anagramech AABIIKKMNOORT resp. MINIKABAROTOK je zašifrováno slovo KOMBINATORIKA. Určete počet všech anagramů, jež lze ze slova KOMBINATORIKA utvořit. Kombinace s opakováním 41) Určete počet kvádrů, jejichž velikost hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti. Kolik je v tomto počtu krychlí? 42) V novinovém stánku je ke koupi deset druhů pohledů, přičemž každý druh je k dispozici v padesáti exemplářích. Určete, kolika způsoby lze zakoupit a) 15 pohledů; b) 51 pohledů; c) 8 různých pohledů. 43) Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má velikost vyjádřenou jedním z čísel 4, 5, 6, 7. 44) Ze všech bílých šachových figurek bez krále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců) vybereme a) trojici b) dvojici. Jaký je počet možnosti pro jejich složení? 45) V sadě 32 karet je každá z následujících karet čtyřikrát: sedmička, osmička, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso; karty téže jsou přitom rozlišeny těmito barvami : červená, zelená, žaludy, kule. Určete, kolika způsoby je možno vybrat čtyři karty jestliže se a) rozlišují pouze barvy jednotlivých karet; b) rozlišují pouze hodnoty jednotlivých karet. 46) Kolik různých neuspořádaných trojic mohou dát počty ok na jednotlivých kostkách při vrhu třemi kostkami? 47) Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy; k dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné? Úlohy k opakování 48) Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova Mississippi;kolik z nich začíná písmenem M? 49) Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má jednu z velikostí daných čísly 4, 5, 6, 7, 8, 9.

7 50) V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže a) balíčku každého druhu mají dostatečný počet; b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. 51) Určete, kolika způsoby lze z padesátihaléřových a korunových mincí zaplatit částku a) 6 Kč, b) 2 Kč, jsouli oba druhy mincí k dispozici v dostatečném množství. [Návod: každou částku lze zašifrovat pomocí písmen k (korunové mince) a p (dvě padesátihaléřové), např. čtyřem korunovým a čtyřem padesátihaléřovým mincím odpovídá zápis kkkkpp.] 52) Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm stejná jablka a šest stejných hrušek. [Návod: Každé rozdělení osmi jablek mezi tři osoby A, B, C lze zašifrovat pomocí neuspořádané osmice z těchto písmen; např. AAABBBBC značí příděl tří jablek osobě A, čtyř jablek osobě B a jednoho jablka osobě C.] 53) Určete, kolika způsoby lze všechny figurky šachové hry (tj. od každé barvy 1 krále, 1 dámu, 2 věže, 2 jezdce, 2 střelce a 8 pěšáků) rozmístit na 64 políček šachovnice. [Návod: Myslete si, že na 64 polí rozmisťujete kromě 32 figurek ještě 32 stejných předmětů, třeba mincí.] 54) Určete, kolika způsoby lze na černá políčka šachovnice 8 x 8 rozmístit 12 bílých (nerozlišitelných) a 12 černých (nerozlišitelných) kostek tak, toto rozmístění bylo symetrické podle středu šachovnice. [Návod:Na černá políčka zvolené poloviny šachovnice rozmístíme 6 bílých a 6 černých kostek a další 4 nerozlišitelné předměty, čímž je postavení zbylých černých a bílých kostek určeno.] 55) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle )