KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
|
|
- Josef Vaněk
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010
2 2 Komplexní čísla Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
3 Komplexní čísla 3 Obsah Komplexní čísla... 5 Základní vlastnosti komplexních čísel... 5 Základní vlastnosti komplexních čísel... 7 Varianta A... 7 Základní vlastnosti komplexních čísel... 8 Varianta B... 8 Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta C Geometrické znázornění komplexních čísel Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta A Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta B Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta C Goniometrický tvar komplexního čísla Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta A Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta B Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta C Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta A Rovnice v oboru komplexních čísel... 32
4 4 Komplexní čísla Varianta B Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta C... 34
5 Komplexní čísla 5 Komplexní čísla Základní vlastnosti komplexních čísel Připomeňme základní vlastnosti reálných čísel: Součet a součin každých dvou reálných čísel je reálné číslo. Sčítání a násobení reálných čísel je komutativní: pro všechna, platí: a. Sčítání a násobení reálných čísel je asociativní: pro všechna,, platí: a Násobení reálných čísel je distributivní vzhledem ke sčítání: pro všechna,, platí: Ke každému reálnému číslu existuje jediné reálné číslo tak, že platí 0. Ke každému nenulovému reálnému číslu existuje jediné reálné číslo tak, že platí 1. Je-li součin dvou reálných čísel roven nule, je rovno nule alespoň jedno z nich. V oboru reálných čísel kvadratická rovnice se záporným diskriminantem nemá řešení. Pokud rozšíříme obor reálných čísel na obor komplexních čísel, můžeme najít všechny kořeny algebraické rovnice jakéhokoli stupně. Zavedení komplexních čísel množinu komplexních čísel získáme z množiny reálných čísel tak, že k ní přidáme číslo, pro které platí 1. Komplexní číslo je číslo ve tvaru ;,, kde je imaginární jednotka, pro kterou platí 1. Číslo se nazývá reálná část komplexního čísla, číslo se nazývá imaginární část komplexního čísla. Tento zápis komplexního čísla nazýváme algebraický tvar komplexního čísla. Je-li 0, pak takové komplexní číslo nazýváme ryze imaginární číslo Je-li 0, pak jde o reálné číslo
6 6 Komplexní čísla Operace s komplexními čísly mějme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru ;. Pro součet platí: Pro rozdíl platí: Pro součin platí: Vydělit komplexní čísla znamená vynásobit číslo číslem převráceným k číslu. Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, rovnají-li se jejich reálné části a současně se rovnají jejich imaginární části. Číslo komplexně sdružené k číslu je číslo a platí. Platí: ; ; ; Pro mocniny imaginární jednotky platí: 1; ; 1; 1; ; 1; ; Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla se značí a je definována vztahem Obecně: Platí:, 0 Komplexní jednotka je komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je 1. V množině komplexních čísel nelze zavést operaci uspořádání.
7 Komplexní čísla 7 Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta A Vypočítejte Rozšíříme zlomek (vynásobíme čitatele i jmenovatele výrazem) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: 23-2i 2.) Vypočítejte: Řešení: 16 3.) Vypočítejte: Řešení: ) Vypočítejte: Řešení:
8 8 Komplexní čísla Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta B Vypočítejte: Upravíme jednotlivé zlomky v čitateli i jmenovateli rozšířením zlomků Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: ) Vypočítejte: Řešení:
9 Komplexní čísla 9 3.) Vypočítejte: Řešení: 2 4.) Vypočítejte: Řešení: : 2 3 2
10 10 Komplexní čísla Základní vlastnosti komplexních čísel Varianta C Vypočítejte: Nejprve upravíme oba zlomky v čitateli Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: ) Vypočítejte: Řešení:
11 Komplexní čísla 11 3.) Vypočítejte: Řešení: 2 4.) Vypočítejte: Řešení: 3
12 12 Komplexní čísla Geometrické znázornění komplexních čísel Rovina komplexních čísel neboli Gaussova rovina je rovina, jejíž body považujeme za obrazy komplexních čísel. Číslu přiřazujeme bod ;. Gaussova rovina je tvořena kartézskou soustavou souřadnic, na jejíž ose jsou zobrazena reálná čísla (to znamená čísla 0). Tato osa se nazývá reálná osa. Na ose jsou zobrazena čísla ryze imaginární (to znamená čísla 0). Tato osa se nazývá imaginární osa. 32; 1,5; 2; 1 Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti jeho obrazu v Gaussově rovině od počátku soustavy souřadnic. Absolutní hodnota rozdílu komplexních čísel určuje jejich vzdálenost v Gaussově rovině. Komplexní čísla jako vektory Komplexní čísla lze v Gaussově rovině znázornit i jako vektory. Libovolnému komplexnímu číslu přiřadíme vektor, kde je počátek a obraz komplexního čísla. Komplexní čísla tedy můžeme graficky sčítat a násobit reálným číslem tak, že je zobrazíme v Gaussově rovině jako vektory, s nimiž pak jako s vektory pracujeme. Součin a podíl komplexních čísel v Gaussově rovině znázorníme pomocí geometrických zobrazení otočení a stejnolehlosti což si ukážeme na příkladě.
13 Komplexní čísla 13 Mějme komplexní čísla 1; 1. Graficky znázorněme součin a podíl :. Součin Sestrojíme v Gaussově rovině obrazy obou komplexních čísel. Nyní pomocí stejnolehlosti najdeme obraz komplexního čísla 1 2. Pak otočíme obraz tohoto čísla o argument čísla 1. Podíl 1 : 2 Převedeme podíl na součin a postupujeme podle předcházející úlohy.
14 14 Komplexní čísla Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta A Nakreslete obrazy komplexních čísel 12; 3. Potom graficky určete a) b) Varianta A Varianta B Varianta C
15 Komplexní čísla 15 Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete obrazy komplexních čísel 2; 24. Potom graficky určete 2. Řešení: 2.) Nakreslete obrazy komplexních čísel 12; 2. Potom graficky určete. Řešení:
16 16 Komplexní čísla 3.) Nakreslete obrazy komplexních čísel 12; 2. Potom graficky určete :. 4.) Nakreslete obraz komplexního čísla 23. Potom graficky určete.
17 Komplexní čísla 17 Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta B Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí 2 4 Nerovnici upravíme na tvar 2 4 Hledáme tedy všechna komplexní čísla, jejichž obrazy v Gaussově rovině mají od obrazu komplexního čísla 2 vzdálenost větší než 4. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: vnější oblast kruhu o poloměru 4 a středu o souřadnicích 2;
18 18 Komplexní čísla Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí 3 Řešení: kružnice, střed 0; 0, poloměr 3 2.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí 1 Řešení: kružnice, střed 0;, poloměr 1 3.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí 1 2 Řešení: kružnice, střed 1;, poloměr 2 4.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí 2 3 Řešení: kruh, střed 2; 0, poloměr 3
19 Komplexní čísla 19 Geometrické znázornění komplexních čísel Varianta C Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí výpočet v editoru rovnic Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: mezikruží, ; ; ; ; 2; 3; 1, 4
20 20 Komplexní čísla Příklady k procvičení: 1.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí 2 Řešení: osa úsečky s krajními body 0; 0, 2; 2.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí 13 2 Řešení: polorovina, hraniční přímkou je osa úsečky s krajními body 1; 3, 0; 2 3.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí Řešení: průnik poloroviny, jejíž hraniční přímkou je osa úsečky s krajními body 1; 0, 0; 2, a kruhu bez hraniční kružnice se středem 2; 0 a poloměrem 4 4.) Nakreslete v Gaussově rovině obrazy všech komplexních čísel, pro která platí Řešení: mezikruží kružnic a, 1; 2; 2, 1; 2; 7 bez hraničních kružnic
21 Komplexní čísla 21 Goniometrický tvar komplexního čísla Goniometrický tvar komplexního čísla 0 je jeho zápis ve tvaru. Číslo je argument komplexního čísla, je jeho absolutní hodnota. V Gaussově rovině můžeme znázornit komplexní číslo na základě znalosti jeho algebraického tvaru nebo pomocí jeho vzdálenosti od počátku Gaussovy roviny a velikosti orientovaného úhlu (argumentu), jehož počáteční rameno je kladná reálná poloosa a koncové rameno polopřímka. Pro převod algebraického tvaru komplexního čísla na tvar goniometrický platí:,, Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru Komplexní čísla v goniometrickém tvaru lze velmi snadno násobit, dělit, umocňovat a odmocňovat. Sčítat a odčítat je výhodnější v algebraickém tvaru. Součin: Větu o násobení lze rozšířit pro libovolný počet činitelů.
22 22 Komplexní čísla Podíl: Umocnění pro : Speciálním případem je Moivreova věta platná pro komplexní jednotky: Odmocnění: Nechť je libovolné nenulové komplexní číslo a je přirozené číslo. Pak existuje právě různých hodnot komplexní -té odmocniny čísla. Jsou jimi komplexní čísla vyjádřená v goniometrickém tvaru vzorcem 2 2, 0; 1;, 1 Všechny -té odmocniny čísla mají stejnou absolutní hodnotu, ale liší se o celistvé násobky čísla. Proto pro jejich obrazy v Gaussově rovině platí, že leží ve vrcholech pravidelného -úhelníku, který je vepsaný do kružnice se středem v počátku Gaussovy roviny a o poloměru.
23 Komplexní čísla 23 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta A Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo Převedeme číslo na algebraický tvar Nyní budeme převádět na tvar goniometrický ; ; Hledaný tvar komplexního čísla tedy je Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 1 Příklady k procvičení: 1.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo 22 3 Řešení: 4 2.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo 3 Řešení: 2
24 24 Komplexní čísla 3.) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo 77 Řešení: ) Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo Řešení: 10 2
25 Komplexní čísla 25 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta B Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru 3 2 Rozšíříme zlomek výrazem Nyní toto komplexní číslo převedeme na goniometrický tvar 1 1 2; ; Hledaný goniometrický tvar zadaného komplexního čísla je Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2 Příklady k procvičení: 1.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru Řešení: 2.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru 1 1 Řešení: 1
26 26 Komplexní čísla 3.) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru Řešení: ) Upravte a výsledek zapište v goniometrickém tvaru 3 13 Řešení: 1
27 Komplexní čísla 27 Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Varianta C a) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru 1 3 b) Vypočítejte všechny druhé komplexní odmocniny z čísla 4. a) převedeme komplexní číslo v závorce na goniometrický tvar 1 32; 1 3 ; 2 2 ; a použijeme Moivreovu větu b) Číslo 4 nejprve převedeme na goniometrický tvar Číslo 4 leží v Gaussově rovině na ose v bodě o souřadnicích 4; 0, proto bez dlouhého počítání víme, že argument. 4 4 Nyní hledáme všechny druhé odmocniny komplexního čísla 4 Použijeme vzorec 2 2 ; 0; 1;, 1 Takže
28 28 Komplexní čísla Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:a) ; b), 2 Příklady k procvičení: 1.) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru Řešení: 2 2.) Užitím Moivreovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru 1 Řešení: 8 3.) Vypočítejte všechny páté komplexní odmocniny z čísla 32. Řešení:,,,, 2, 0; 1; 2; 3; 4 4.) Vypočítejte součet všech třetích komplexních odmocnin z čísla 2. Řešení: 0
29 Komplexní čísla 29 Rovnice v oboru komplexních čísel Binomická rovnice Binomická rovnice je rovnice ve tvaru 0, kde je komplexní číslo, je neznámá z oboru a je přirozený exponent. Kořeny binomické rovnice získáme jako -té odmocniny komplexního čísla. Binomická rovnice 0 má v oboru komplexních čísel právě různých kořenů: 2 2, 0;1; ;1 Kvadratické rovnice s reálnými kořeny a záporným diskriminantem 0,,,,0 tato rovnice má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny, a to komplexně sdružená imaginární čísla: ; 2 2 Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty 0,,,,0 tato rovnice má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny pro diskriminant 0, a to čísla, kde je argument jejího diskriminantu, a pouze jeden kořen 2 pro 0.
30 30 Komplexní čísla Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta A Řešte rovnice a), 22 b) 3 c) a) upravíme pravou stranu rovnice a budeme porovnávat (dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud mají stejnou reálnou a stejnou imaginární část) Odtud plyne Z první rovnice plyne 0 1 Úloha má tedy dvě řešení b) roznásobíme členy c) do rovnice dosadíme,
31 Komplexní čísla 31 Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud se rovnají jejich reálné části i jejich imaginární části. Proto platí Řešení rovnice tedy je 1 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:a) b) 3, c) 1 Příklady k procvičení: 1.) Určete reálná čísla, tak, aby platilo Řešení: ) Řešte rovnici s neznámou Řešení: 3.) Řešte rovnici s neznámou ,5 Řešení: ) Řešte rovnici s neznámou Řešení: 12;
32 32 Komplexní čísla Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta B Řešte kvadratickou rovnici s neznámou 3 3 Roznásobíme levou stranu a převedeme všechny členy rovnice doleva 330, Vyřešíme nejprve odmocninu Rovnici umocníme a dále budeme řešit porovnáváním dvou komplexních čísel Dvě komplexní čísla se sobě rovnají, pokud mají stejnou reálnou část a stejnou imaginární část Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Z druhé rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do rovnice první Zavedeme substituci a dostaneme rovnici 340 4; 1
33 Komplexní čísla 33 Protože,, přichází v úvahu pouze řešení 4. Dopočítáme tedy,. 1, 2 1, 2 Dosadíme tedy do vzorce pro výpočet kořenů, 31 2, Varianta A Varianta B Výsledek řešení: 2; 1 Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou Řešení: 2.) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou Řešení: 1 2; ) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou Řešení: 4; ) Řešte kvadratickou rovnici s neznámou Řešení: 3 ;
34 34 Komplexní čísla Rovnice v oboru komplexních čísel Varianta C Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. 3 0 Vyjádříme z rovnice 3 Hledáme tedy všechny čtvrté komplexní odmocniny z čísla 3. Převedeme toto komplexní číslo na goniometrický tvar ; 3 2 ; Čtvrté komplexní odmocniny z tohoto čísla jsou Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:,,, 2 ; 0; 1; 2; 3
35 Komplexní čísla 35 Příklady k procvičení: 1.) Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru Řešení:,, 4 ; 0; 1; 2 2.) Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. 270 Řešení:,, 3 ; 0; 1; 2 3.) Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru. 10 Řešení:,, 2 ; 0; 1; 2 4.) Řešte rovnici s neznámou. Výsledky zapište v goniometrickém tvaru Řešení:,,,, 1 ; 0; 1; 2; 3; 4
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní
Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a
Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
M - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol BINOMICKÉ
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Algebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
M - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky
Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky A. Informace o zkoušce Písemná maturitní zkouška z matematiky v profilové části se
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
CZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
Maturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011
Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.
Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
Název: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel
Název: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její
Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)
Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Variace. Číselné výrazy
Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108
ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární
KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,
MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
ARITMETIKA - TERCIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ARITMETIKA - TERCIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků
Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Opakovací test. Komlexní čísla A, B
VY_32_INOVACE_MAT_195 Opakovací test Komlexní čísla A, B Mgr. Radka Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Tematická oblast: matematické vzdělávání Předmět: matematika, příprava k maturitě,
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání
ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
Matematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose
Matematika - 6. ročník desetinná čísla - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - zaokrouhlování a porovnávání des. čísel ve výpočtových úlohách - zobrazení na číselné ose MDV kritické
Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí