kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková

Transkript

1 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla dvojčata od učitelky obdržet, jestliže víme, že dvojčata nedostala stejnou známku? (Kolik dvojic různých známek připadá v úvahu?) 20

2 2) Ve školní jídelně jsou dnes v nabídce tato jídla: Polévka: slepičí vývar zeleninová Hlavní chod: špagety rizoto guláš Salát: rajčatový zelný Kolik existuje různých obědů, má li každý obsahovat polévku, hlavní jídlo a jeden salát? 12 3) Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. 81

3 Kombinatorické pravidlo součinu: Počet všech uspořádaných k tic, jejichž 1. člen lze vybrat n 1 způsoby, druhý člen po výběru prvního n 2 způsoby,, až k tý člen po výběru všech předcházejících členů n k způsoby, je roven n 1 n 2 n k. Kombinatorické pravidlo součtu: Jsou li A 1, A 2,, A n konečné množiny, které mají po řadě p 1, p 2,, p n prvků a jsou li každé dvě disjunktní, pak počet prvků množiny A 1 U A 2 U U A n je roven p 1 + p p n. 4) Čtverec (ozn. A) o straně 3 cm je rozdělen na 9 stejných čtverečků o straně 1 cm. Určete, kolik je v daném čtverci A všech čtverců. 14

4 5) Je dán čtverec ABCD a na jeho každé straně n vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků XYZ, jejichž vrcholy leží v daných bodech (4n) a na různých stranách čtverce ABCD. [4n 3 ] 6) Maminka koupila svým 3 dcerám tři různé míče. Kolika způsoby je může mezi dcery rozdělit tak, aby každá dostala právě jeden? [6]

5 7)Z místa A do místa B vedou čtyři různé turistické cesty, z místa B do místa C tři. Určete a) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C, [12] b) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět, [144] c) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát, [72] d) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát, [60] e) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát. [12] 8) Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. [648]

6 9) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 8 vybrat dvě různobarevná políčka tak, aby obě neležela v téže řadě ani v témže sloupci. [768] 10) Určete počet všech nejvýše trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se může vyskytovat pouze číslice 1,2,3,4 a každá nejvýše jednou. [40]

7 11) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou. [3024] Kolik z těchto čísel je větších než 9 000? [336] Kolik menších než 3 000? [672] 12) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, jejichž dekadický zápis je složen z číslic 1,2,3,4,5 (každá z nich se může opakovat), která jsou dělitelná: a) pěti, [125] b) dvěma, [250] c) čtyřmi. [125]

8 Zavedení pojmu n! = n (n 1) (n 2) (pro každé přirozené číslo n) 4! = 24 n! = n (n 1)! 0! = 1 Výsledek: 13)S připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentě vystoupit 6 poslanců A, B, C, D, E, F. Určete počet: a) všech možných pořadí jejich vystoupení, [720] b) všech pořadí, v nichž vystupuje A po E, [360] c) všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po E. [120]

9 Permutace bez opakování Permutace z n prvků je každá uspořádaná n tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje právě jednou. Ozn.: P(n) 14) Kolika způsoby může 12 členů organizace zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, kulturního referenta a sportovního referenta? [11 880]

10 Variace bez opakování k členná variace z n prvků ( ) je každá uspořádaná k tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. Ozn.: V(k,n) 15)Kolika způsoby můžeme rozdat mezi 10 dětí 4 různé míče tak, aby každý měl nanejvýš jeden? [5 040]

11 16) U výtahu, do něhož můžou nastoupit nejvýše tři osoby, stojí 5 osob. Označme je A, B, C, D, E. Kolik je všech různých trojic osob, které mohou do výtahu nastoupit? (Všechny trojice napište). [10] 17) Ve skladu je 8výrobků, mezi nimi jsou 2 vadné. Kolika způsoby z nich můžeme vybrat kolekci 3 výrobků, aby a) všechny byly dobré, [20] b) byl právě jeden vadný, [30] c) byl nejvýš jeden vadný? [50]

12 Kombinace bez opakování k členná kombinace z n prvků ( ) je každá neuspořádaná k tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. Ozn.: K(k,n) Zavedení kombinačního čísla Pro všechna celá nezáporná čísla n, k, k n, je Určuje nám počet k prvkových podmnožin n prvkové množiny.

13 18) Je dán pravidelný pětiúhelník KLMNO. Kolik různých trojúhelníků je určeno těmito body? [10] 19) Určete, kolika způsoby je možno ze 7 mužů vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou: a) právě dvě ženy b)aspoň dvě ženy 20) Určete, kolika způsoby je možno ze 20 osob vybrat 10, požadujeme li, aby mezi vybranými nebyl pan A. [92378]

14 Variace s opakováním k členná variace s opakováním z n prvků ( ) je každá uspořádaná k tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše k krát. Ozn.: V'(k,n) 21) Určete počet všech trojciferných přirozených čísel. [900]

15 22) Platební karta má 4 místný PIN. Kolik existuje různých kódů? [10000] Permutace s opakováním k členná permutace s opak z n prvků ( ) je každá uspořádaná k tice sestavená z těchto n prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje alespoň jednou. Ozn.: P' (k 1, k 2,, k n )

16 23) Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých? [55, 46] Kombinace s opakováním k členná kombinace s opakováním z n prvků ( ) je každá neuspořádaná k tice sestavená z těchto n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše k krát. Ozn.: K'(k,n)

17 24) V sáčku jsou bílé, modré a zelené kuličky. Kolika způsoby lze vybrat 5 kuliček, jestliže v sáčku je a) pět kuliček každé barvy? b) 5 bílých, 4 modré a 4 zelené kuličky? [a) 21, b) 19] Pascalův trojúhelník je schéma, které dobře znázorňuje některé vlastnosti kombinačních čísel

18 25) Vyjádřete jediným kombinačním číslem: Binomická věta Pro všechna čísla a, b a kaž přirozené číslo n platí: k tý člen binomického rozvoj Př. Vypočtěte užitím binomické v (1,01) 4