3.2 Jednoduchý polh utný d uchod

3.2. JEDNODUCHÝ POLH UTNÝ D UCHOD 45 3.2 Jednoduchý polh utný d uchod 3.2.1 Budoucí hodnota Vztahy: Pro budoucí hodnotu j-té platby R platí vztah pro sloµzený úrok za n j období R j = R (1 + ) n j Pro budoucí hodnotu všech n plateb platí P n = R((1 + ) n 1 + + (1 + ) 2 + (1 + ) 1 + 1) Budoucí hodnota poslední platby na konc n-tého období a zároveµn na konc d uchodu je shodná s velkostí platby. V uvedeném vztahu lze pouµzít vzorec pro souµcet koneµcné geometrcké µrady s koe centem q = 1 +. P n = R (1 + )n 1 (1 + ) 1 = R (1 + )n 1 Budoucí hodnotu jednotkové platby oznaµcujeme následujícím zp usobem: s nj = (1 + )n 1 S tímto znaµcením vyjádµríme pouµzívaný vztah pro budoucí hodnotu jednoduchého d uchodu polh utného. P n = R s nj (3.1) Uvedený výraz s nj se také oznaµcuje jako akumulaµcní faktor pro n plateb. Z uvedeného vyjádµríme hodnotu platby v závslost na budoucí hodnotµe. R = P n = P n s nj (1 + ) n 1 (3.2) Pµríklady 3.1. Urµcete budoucí hodnotu jednoduchého polh utného d uchodu s platbou $2000 roµcnµe po dobu 5 let, jestlµze roµcní úroková sazba je (a) 1 = 9%, (b) 12 1 2 % úroµcené roµcnµe. (a) R = 2000, = 0:09, n = 5

46 OBSAH P 5 = 2000s 5j:09 = 2000 (1:09)5 1 0:09 (b) R = 2000, = 0:125, n = 5 = 11969:42 P 5 = 2000s 5j:125 = 2000 (1:125)5 1 0:125 = 12832:52 3.2. Obchodník chce splácet p ujµcku pravdelným mµesíµcním splátkam $250. Jestlµze nezaplatí své splátky za µcervenec, srpen, záµrí a µríjen, jak velkou splátku musí zaplatt v lstopadu, aby mohl dále splácet podle kalendáµre? Uvaµzujeme úrokovou sazbu 12 = 14:4% Obchodník musí zaplatt budoucí hodnotu 4 splátek plus splátku za lstopad. P 5 = 250s 5j:012 = 250 (1:012)5 1 0:012 = 1280:36 Obchodník musí zaplatt najednou $1280.36. 3.3. Jana ukládá 300 Kµc kaµzdé 3 mµesíce na spoµrící úµcet úroµcený 4 = 8%. Jak velká µcástka bude na tomto úµctu po platbµe 1.bµrezna 1997, jestlµze první platba byla provedena 1.bµrezna 1993? Poµcítáme s jednoduchým polh utným d uchodem tzn. první období zaµcíná 3 mµesíce pµred 1.bµreznem 1993 tj. 1.prosnce 1992 a konµcí 1. bµrezna 1997. Hledáme tedy budoucí hodnotu po 17 obdobích (4 roky = 48 mµesíc u tj. 16 tµrímµesíµcních období + 1). P 17 = 300s 17j:02 = 300 (1:02)17 1 0:02 = 6003:62 1.bµrezna 1997 bude na úµctu 6003.62 Kµc. 3.4. Klent ukládal $1000 na konc kaµzdého roku po dobu posledních 10 let. Uloµzené peníze byly úroµceny 1 = 8% první 3 roky, 1 = 10:25% další 4 roky a 1 = 9% poslední 3 roky. (a) Jaká je aktuální hodnota uloµzených penµez? (b) Jaký je celkový úrok za 10 let? (a) Budoucí hodnota se skládá z budoucích hodnot plateb za kaµzdé z uvedených období, které jsou úroµceny po zbytek celého období odpovídající sazbou

3.2. JEDNODUCHÝ POLH UTNÝ D UCHOD 47 P 10 = 1000s 3j:08 (1:1025) 4 (1:09) 3 + 1000s 4j:1025 (1:09) 3 + 1000s 3j:09 = 15521:97 Aktuální hodnota uloµzených penµez je $15521.97. (b) Celkový úrok lze urµct jako rozdíl 15521.97-10000=5521.97 3.5. Karel s otevµre spoµrící úµcet s poµcáteµcním vkladem $2000 1.února 1993 a mµesíµcnµe ukládá $200 po dobu 5 let, poµcínaje 1.bµrezna 1993. Od 1.bµrezna 1998 vybírá mµesíµcnµe $400 po dobu 3 let. Urµcete výš tohoto konta po posledním výbµeru (1.února 2001), jestlµze uvaµzujeme úrokovou sazbu 12 = 6% Urµcíme poµcet období - pro úroµcení poµcáteµcních $2000 (1.2.1993-1.2.2001)=96 - pro ukládání $200 (1.2.1993-1.2.1998)=60 - pro výbµer $400 (1.2.1998-1.2.2001)=36 Výš konta urµcíme jako budoucí hodnotu uvaµzovaných 3 proces u P 96 = 2000(1:005) 96 + 200s 60j:005 (1:005) 36 400s 36j:005 = 4192:34 1.února 2001 bude na kontµe $4192.34. 3.6. Stroj musí být nahrazen za 10 let. Jeho cena bude $80000. Kolk musí spoleµcnost ukládat roµcnµe pµr úrokové sazbµe 1 = 8%, aby tento stroj mohla po uvedené dobµe poµrídt? P 10 = 80000, = 0:08, n = 10 R = 80000 0:08 = 80000 s 10j:08 (1:08) 10 1 = 5522:36 Spoleµcnost musí roµcnµe uloµzt $5522.36. 3.7. Poµcínaje 1.µcervnem 1995 do 1.prosnce 2000 spoleµcnost potµrebuje $250000 kaµzdého p ulroku, aby mohla vyplatt oblgace. Jak velkou µcástku musí spoleµcnost ukládat kaµzdého p ulroku do rezervního fondu s úrokovou sazbou 2 = 10% od 1.µcervna 1990 do 1.prosnce 2000, aby mohla vyplatt všechny uvedené oblgace

48 OBSAH Hledáme µcástku, kterou budeme ukládat kaµzdého p ulroku v období 1.12.1989-1.12.2000 tj. 22 p ulroku a z takto akumulovaného kaptálu musí být vyplaceno kaµzdého p ulroku $250000 v období 1.12.1994-1.12.2000 tj. 12 p ulroku. Tato úvaha vede k následující rovnc. Rs 22j:05 = 250000s 12j:05 R = 250000 s 12j:05 s 22j:05 = 103343:97 Spoleµcnost musí v uvedeném období ukládat kaµzdý p ulrok µcástku $103343.97 3.2.2 Souµcasná hodnota Vztahy: Souµcasná hodnota budoucích plateb je sumou souµcasných hodnot tµechto plateb. Stejnµe jako u budoucí hodnoty je souµctem koneµcné geometrcké µrady s koe centem (1 + ) 1 1 P 0 = R( (1 + ) + + 1 (1 + ) n ) P 0 = R 1 (1 + ) n n 1 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) 1 = R 1 a nj = 1 n (1 + ) P 0 = Ra nj (3.3) Uvedený výraz a nj se také oznaµcuje jako dskontní faktor pro n plateb. Stejný vztah 3.3 m uµzeme odvodt následující úvahou. Souµcasnou hodnotu lze odvodt dskontováním budoucí hodnoty dle následujícího vztahu. P 0 = P n (1 + ) n = R (1 + )n 1 (1 + ) n n 1 (1 + ) = R Z uvedeného vyplývá vztah pro urµcení velkost platby R = P 0 = P 0 a nj 1 (1 + ) n (3.4) Pµríklady

3.2. JEDNODUCHÝ POLH UTNÝ D UCHOD 49 3.8. Urµc souµcasnou hodnotu d uchodu s platbou $380 na konc kaµzdého mµesíce po dobu 3 let, pµr úrokové sazbµe (a) 12 = 12%, (b) 12 = 10:38%. (a) R=380, =0.01, n=36 Pouµzjeme vztah 3.3 36 1 (1:01) P 0 = 380a 36j:01 = 380 = 11440:85 0:01 (b) R=380, =0.1038/12=0.00865, n=36 Pouµzjeme vztah 3.3 36 1 (1:00865) P 0 = 380a 36j:00865 = 380 = 11711:81 0:00865 3.9. Pµr koup auta zaplatl zákazník $1500 hned a $182.50 mµesíµcnµe po dobu 3 let. (a) Jaká byla cena auta, jestlµze poµcítáme s úrokovou sazbou p ujµcky 12 = 18%? (b) Jaký je celkový úrok z p ujµcky? (a) Cena auta je rovna souµctu hned zaplacených $1500 a souµcasných hodnot budoucích splátek. 36 1 (1:015) P 0 = 1500 + 182:50a 36j:015 = 1500 + 182:50 = $6548:07 0:015 Cena auta je $6548.07. (b) Úrok získáme jako rozdíl celkové platby a velkost p ujµcky, kterou získáme jako cenu auta bez poµcáteµcních $1500. u = 36 182:50 (6548:07 1500) = 1521:93 Celkový úrok z p ujµcky bude $1521.93.

50 OBSAH 3.10. Obchodník podepsal kontrakt, kterým se získal $2000 hned a $250 mµesíµcnµe po dobu 5 let. Peníze jsou úroµceny 12 = 12%. (a) Jaká je hodnota kontraktu? (b) Jestlµze kontraktor nezaplatl prvních 6 splátek, kolk musí zaplatt v 7.mµesíc, aby zaplatl celý kontrakt? (c) Jestlµze na poµcátku 3.roku (po 24 realzovaných platbách) je kontrakt prodán pµr úrokové sazbµe 12 = 15%, jakou cenu zaplatí kupující. (a) Souµcasnou hodnotu kontraktu urµcíme následujícím vztahem 60 1 (1:01) P 0 = 2000 + 250a 60j:01 = 2000 + 250 = 13238:76 0:01 Souµcasná hodnota kontraktu je $13238.76. (b) Hledáme budoucí hodnotu po 7 mµesících spolu s dskontovanou hodnotou za zbývaící 53 mµesíc u. P = 250s 7j:01 + 250a 53j:01 = 250 (1:01)7 1 0:01 Kontraktor musí zaplatt $12049.47. 53 1 (1:01) + 250 = 12049:47 0:01 Podobnµe jsme mohl urµct souµcasnou hodnotu 60 plateb a úroµct j za 7 mµesíc u. P = 250a 60j:01 (1:01) 7 = 12049:47 (c) Cena, kterou je tµreba zaplatt je dskontovanou hodnotou 36 zbývajících plateb s úrokovou sazbou 12 = 15%. P = 250a 36j:0125 = 7211:82 Kupující zaplatí za kontrakt $7211.82. 3.11. Dluh s úrokovou sazbou 12% úroµcených p ulroµcnµe má být splacen 15 splátkam $400 na konc kaµzdého p ulroku a koneµcnou platbou $292.39 o 6 mµesíc u pozdµej. Jak velký je dluh? Hledáme souµcasnou hodnotu 15 budoucích plateb spolu se souµcasnou hodnotou koneµcné platby po 16 obdobích. P 0 = 400a 15j:06 + 292:39(1:06) 16 = 4000 Velkost dluhu je $4000.

3.2. JEDNODUCHÝ POLH UTNÝ D UCHOD 51 3.12. D uchod je vyplácen na konc kaµzdého mµesíce µcástkou $200 po dobu 2 let, poté $300 v dalším roce a $400 v následujících 2 létech. Urµcete souµcasnou hodnotu tµechto plateb pµr úrokové sazbµe 12 = 10%. Hledáme dskontovanou hodnotu pro jednotlvé platby k poµcátku uvedených období (dnes, 2.rok, 3.rok) a získané hodnoty dskontujeme na souµcasnou hodnotu. P 0 = 200a 24j:0083 + 300a 12j:0083 (1:0083) 24 + 400a 24j:0083 (1:0083) 36 = 13559:93 Souµcasná hodnota uvedených plateb je $13559.93 3.13. Spoleµcnost uvaµzuje o moµznost obnovt zaµrízení za $40000. Zbytková hodnota na konc 6 roku je $5000. Náklady na údrµzbu jsou $400 mµesíµcnµe, placené na konc kaµzdého mµesíce. Spoleµcnost by mohla zaµrízení poµrídt na leasng za $1200 mµesíµcnµe, které jsou placeny na konc kaµzdého mµesíce. Uzavµrením leasngové smlouvy se leasngová spoleµcnost zavazuje platt náklady na údrµzbu. Jestlµze spoleµcnost je schopna zhodnott sv uj kaptál úrokovou sazbou 12 = 18% doporuµcíte jí zaµrízení koupt nebo poµrídt na leasng. Pro kaµzdý z uvedených projekt u ( nanµcních tok u) urµcíme NPV. NP V k = 5000(1:015) 72 (40000 + 400a 72j:015 ) = 55826:22 NP V l = 1200a 72j:015 = 52613:60 Uvedené hodnoty jsou náklady spoleµcnost a proto hledáme menší náklady. Spoleµcnost doporuµcíme poµrídt zaµrízení na leasng. 3.14. Cena televze je $780. Televz je moµzné zaplatt $80 hned a zbytek doplatt v mµesíµcních splátkách po dobu 2 let. Urµcete mµesíµcní splátku, jestlµze prodejce p ujµcku úroµcí sazbou 15% úroµcených mµesíµcnµe a první splátka je uskuteµcnµena na konc 1. mµesíce. P 0 = 780 80 = 700, = 0:0125, n=24 R = 700 0:0125 = 700 a 24j:0125 1 (1:0125) 24 = 33:94 Mµesíµcní splátka $33.94.

52 OBSAH 3.15. Jan s ukládá jednou za p ul roku 500 Kµc na spoµrící úµcet po dobu 5 let. Úroková sazba úµctu je 2 = 6 1 4 %. Jakým p ulroµcním platbam po dobu dalších 2 let dosáhneme na úµctu 10000 Kµc. Hledáme budoucí hodnotu plateb pro prvních 5 let (10 období) a tuto úroµcíme po dobu dalších dvou let. Tato budoucí hodnota spolu s budoucí hodnotou hledaných plateb po dobu 2 let (4 období) bude shodná s µcástkou 10000. To je dáno následující rovncí. 500s 10j:003125 (1:003135) 4 + Rs 4j:003125 = 10000 R = 3479:83 s 4j:003125 = 830:22 Výpoµcet lze také provést k datu zmµeny velkost plateb. To je dáno následující rovncí. 500s 10j:003125 + Ra 4j:003125 = 10000(1:003125) 4 R = 3076:82 a 4j:003125 = 830:22 P ulroµcní platby budou 830.22 Kµc.