7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok

Transkript

1 7. Finanční matematika 7.. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok Základní pojmy : Dlužník osoba nebo instituce, které si peníze půjčuje. Věřitel osoba nebo instituce, která peníze půjčuje. Jistina částka, která byla půjčena a budeme ji označovat J 0. J částka po roce J = J 0 + ú J 2 částka po drou letech J 2 = J + ú a podobně Úroková míra udává výši úroku za určité období v procentech, označujeme ji p. Úroková sazba vyjádření úrokové míry desetinným číslem, které označujeme i. p i = Jestliže úroková míra p = 7 %, potom úroková sazba i = 0,07. Úrok úroková hodnota je částka v Kč, kterou obdrží věřitel po uplynutí určité doby ( úrokovací doby ), značíme ú. Úroková doba je časový úsek, po kterou je jistina půjčena nebo uložena v peněžním ústavu, označujeme ji t. Udává se v letech, měsících a dnech. Úrokovací období je časový úsek, na který je vázána úroková míra. Zpravidla rok, ale může být např. pololetí, čtvrtletí, měsíc. Základní vztahy : Úrok za jedno úrokovací období ú = J 0. i Úrok za úrokovací dobu t ú = ú. t ú = J 0. i. t p J0 Použijeme-li vztah i = ú =. p. t 7.2. Jednoduché úrokování Úrokovací doba bude kratší nebo rovna úrokovacímu období. Příklad : Určete výši úroku, kterou požaduje banka za půjčení částky Kč na šest měsíců při úrokové míře 3 % za rok Zápis : J 0 = Kč p = 3 % t = 0,5 roku Řešení : a) % %. x x = 560 ú = , 5 = Kč J0 b) ú =. p. t Úrok činí Kč. ú = , ú = Kč Příklad : Jak velký úrok musí splatit podnikatel, který si půjčil na 9 měsíců částku Kč při

2 4,5 % za rok? Příklad 2 : Podnikatel J. K. si půjčil v bance částku Kč na doplnění prostředků k nákupu sezónních zásob. Ve smlouvě s bankou se dohodl, že půjčku splatí za půl roku a úrok bude činit 4 % ročně. Příklad : Podnikatel uložil jako termínovaný vklad na půl roku částku Kč při úrokové míře 7 % za půl roku. Určete úrok, který získá po uplynutí této doby. Zápis : J 0 = Kč i = 0,07 t = ú = J 0. i. t ú = ,07. ú = Kč Podnikatel získal na úrocích Kč Poznámka : při výpočtu jsme dosadili t =, protože úrokovací doba půl roku byla rovna úrokovacímu období. Zapamatujte si : Při výpočtu úroku musíme za t dosadit vždy zlomek z daného úrokovacího období. Například za 5 měsíců při ročním úrokovacím období t = 5 2 za 5 měsíců při půlročním úrokovacím období t = 5 6 Příklad 3 : Obchodník si vzal na osm měsíců úvěr 000.-Kč při roční úrokové míře %. Kolik korun bude muset obchodník bance vrátit? Příklad 4 : Vypočítejte úrok, který vynese jistina Kč při roční úrokové míře 5 % za tři měsíce. Příklad 5 : Tetička darovala Pavlovi k narozeninám spořitelní knížku s vkladem Kč uložených na roční úrok %. Kolik Kč bude mít Pavel na knížce za půl roku? V peněžních ústavech úrok narůstá nejen po letech, ale i po měsících a dokonce i po dnech. Pro tyto výpočty má úrokovací měsíc 30 dnů a tedy úrokovací rok dnů. Ze dvou dnů den vložení a den výběru počítáme vždy jen jeden den. Příklad : 4. března 2002 si pan Novák půjčil Kč na roční 4 % úrok. Kolik Kč bude muset zaplatit 25. srpna 2002? Řešení : ) určení počtu dní půjčky březen : 7 dní ( počítáme den půjčky ) duben, květen, červen, červenec = 20 dní srpen : 24 dní ( nepočítáme den zaplacení ) = 6 dní Jiný způsob : t počet dnů úrokovací doby d den vkladu d 2 den splátky m měsíc vkladu m 2 měsíc splátky t = 30. ( m 2 m ) + ( d 2 d ) VÝPOČET : t = 30. ( 8 3 ) + ( 25 4 ) t = ) zápis J 0 = Kč i = 0,4 t = 6 2 t = 6 dní

3 3) výpočet úroku ú = J 0. i. t ú = ,4. 6 ú = Kč 4) výpočet částky, kterou bude pan Novák platit x = x = Kč 5) odpověď Pan Novák 25. srpna 2002 zaplatí za půjčku Kč. Příklad 6 : Vypočítejte výši úroku pana X.Y., který měl od 2. dubna do 8. října 2002 půjčku v bance na roční 8 % úrok ve výši Kč. Příklad 7 : Vypočtěte 9 % roční úrok z částky Kč za dobu od 2. května do 30. července Příklad 8 : Podnikatel si půjčil 6. ledna Kč, 2. února Kč a 8. března Kč na roční 2 % úrok. Kolik Kč bude muset zaplatit 3. prosince 999? Příklad : Pan Adam splatil úvěr a úroky částkou Kč. Půjčka byla splacena po 270 dnech a to při ročním úroku 5 %. Jak velký úvěr si vzal pan Adam? Zápis : J = Kč t = 270 i = 0,5 neznámá J 0 ú = J 0. i. t J = J 0 + ú J = J 0 + J 0. i. t = J 0. ( + i. t ) J = J 0. ( + i. t ) = J 0. ( + 0, ) J 0 = Kč Pan Adam si vzal půjčku ve výši Kč. Příklad 9 : Na vkladní knížce, která byla zřízena 4. května 2000 na roční úrok 9 % bylo 3. prosince částka Kolik byla původní jistina? Příklad 0 : Půjčka i s ročními úroky ve výši 2 % byla splacena po 327 dnech. Kolik činily vlastní úroky? Příklad : Pan Novinka si půjčil 2. ledna Kč při roční úrokové míře 2 %. Který den musel zaplatit dluh, jestliže s bankou se vyrovnal částkou Kč. Příklad 2 : Paní Mrázková si půjčila. března 2000 částku Kč v bance na 2 % roční úvěr.. srpna 2000 splatila Kč a. října dalších Kč. Kolik dlužila bance. ledna 200? 7.3. Složené úrokování Složené úrokování je takové úrokování, kdy úroková doba je rovna aspoň dvěma celým úrokovacím obdobím. Nejdříve vypočítáme příklad na složené úrokování za pomoci našich znalostí jednoduchého úrokování. Příklad : Pan Pavel si uložil na vkladní knížku do banky částku Kč s roční úrokovou mírou ve výši 5 %. Kolik Kč bude mít na knížce za tři roky? 3

4 Řešení : l. fáze kolik bude mít na knížce po roce J = J 0. ( + i. t ) J = ( + 0,05. ) 2. fáze kolik bude mít na knížce po dvou letech J 2 = J. ( + i. t ) J 2 = ( + 0,05. ) 3. fáze kolik bude mít na knížce po třech letech J 3 = J 2. ( + i. t ) J 3 = ( + 0,05. ) J = Kč J 2 = Kč J 3 = Kč 4. fáze odpověď Za tři roky bude mít na knížce Kč. Pro výpočty tohoto typu můžeme používat vzorce : J n = J 0. r n, kde J 0 je počáteční jistina J n je jistina po n úrokovacích období ( zpravidla letech ) n je počet let r je úročitel, kde r = + i. t J n = J 0. ( + i. t ) n Daný příklad tedy můžeme vypočítat : J n = J 0. ( + i. t ) n J 3 = ( + 0,05. ) J 3 = 3 89,50 Kč Příklad 3 : Na kolik Kč vzroste částka za 5 let při roční úrokové míře 5 %? Příklad 4 : Jakou částku vložil pan Novák do banky při roční úrokovací míře 6 %, jestliže po třech letech mu banka vyplatila 5 955,08 Kč? V životě však není tak jednoduché. Banky, stejně jako ostatní podnikatelé, platí daně státu. Proto i úroky občanů banka musí zdanit. Proto náš vzorec J n = J 0. ( + i. t ) n musíme ještě zkorigovat o zaplacení daně. Například při 5 % dani z úroků platí J * n = J 0. ( 0,5 + 0,85. r ) n, kde r = + i. t Při 2 % dani z úroků platí J * n = J 0. ( 0,2 + 0,88. r ) n, kde r = + i. t Příklad 5 : Vypočtěte jakou částku vyplatí banka klientovi, který si v bance uložil ,- Kč na dva roky při roční úrokové míře 4,5 %, jestliže úrok se daní 5 % daní z příjmu? Příklad 6 : Jakou částku musel klient vložit do banky, která při roční úrokové míře 6 %, za 8 let po odečtení daní 5 % vyplatil částku ,48 Kč? 4

5 7.4. Kombinované úrokování Vzhledem k tomu, že v bankovnictví se nepůjčuje jenom na celá úroková období, ale dosti často na určitý počet let a dní, používáme metodu kombinovaného úrokování. Příklad : 0. dubna 998 jsme si uložil v bance částku Kč na roční % úrokovou míru. Kolik Kč budu mít na kontě 26. září 2002, jestliže : a) nebudu platit daň z příjmů b) budu platit 5 % daň z příjmů. Řešení a) : fáze výpočet výše konta t = 30. ( m 2 m ) + ( d 2 d ) t = 30. ( 2 4 ) + ( 3 0 ) t = t = 26 dní J 0 = ,- Kč i = 0, t = 26 ú = J 0. i. t ú = ,. 26 ú = 4 023,39 Kč J - stav konta J = ,39 J = ,39 Kč 2. fáze výpočet výše konta obecný vzorec upravíme J n = J 0. ( + i. t ) n na J 4 = J. ( + i. t ) 3 J 4 = ,39. ( + 0,. ) 3 J 4 = ,50 Kč 3. fáze výpočet výše konta t = 30. ( m 2 m ) + ( d 2 d ) t = 30. ( 9 ) + ( 26 ) t = t = 265 dní 265 J 4 = ,50 Kč i = 0, t = 265 ú = J 0. i. t ú 5 = ,50. 0,. J 5 - stav konta J 5 = J 4 + ú 5 J 5 = , ,63 ú 5 = 6 009,63 Kč J 5 = ,3 Kč Řešení b) : budeme používat údaje vypočítané v bodě a. fáze výpočet výše konta ú = 4 023,39 Kč * * * ú = 0,85. ú ú = 0, ,39 ú = 3 49,88 Kč J = ,88 J = ,88 Kč 2. fáze výpočet výše konta obecný vzorec J * = J n 0. ( 0,5 + 0,85. r ) n, kde r = + i. t upravíme na J * 4 = J. ( 0,5 + 0,85. r ) 3, kde r = + i. t J * 4 = ,88. ( 0,5 + 0,85., )3 J 3. fáze výpočet výše konta * 4 = ,25 Kč

6 ú * = 0,85. ú = 0,85. J i. t ú * 5 = 0, ,25. 0,. = 4 829,65 Kč J * 5 = J * 4 + ú * 5 J * 5 = , ,65 J * 5 ú * 5 = ,90 Kč 4. fáze odpověď Jestliže nebudu platit daň z příjmů, tak budu mít na kontě ,3 Kč, budu-li platit daň, tak budu mít na kontě ,90 Kč. Příklad 7 : Pan Novotný uložil 7. května 993 v bance částku ,- Kč na roční 2 % úrokovací míru, které si hodlá vybrat Vypočtěte částku, kterou bude mít na kontě požadovaný den : a) jestliže nebude platit daň z příjmů b) bude-li platit 5 % daň z příjmů. Souhrnná cvičení ) Pan Pátek si půjčil na pět měsíců částku ve výši Kč na roční 3 % úrok. Kolik Kč zaplatí na úrocích? 2) Pan Sobota má v bance účet na roční 4 % úrok.. ledna 2000 měl na účtu Kč.. dubna 2000 vložil Kč.. října 2000 vybral Kč. Kolik Kč měl na účtu. ledna 200 po připsání úroků? 3) Vypočtěte kolik Kč budete mít v bance po 5 letech z Kč při roční úrokové míře 6,75%. 4) Při roční úrokovací míře 4,5 % banka vyplatila Klimentovi částku 39 88,82 Kč. Kolik Kč před 8 lety vložil do banky? 5) Uložil jsem si do banky částku ,- Kč při roční 6 % úrokové míře. Banka mi odečítá z úroků 5 % daň. Budu mít za čtyři roky na zaplacení zájezdu v ceně ,- Kč? Kolik Kč mi zůstane na výměnu valut? 6) Půjčím si v bance ,- Kč při roční 9 % úrokové míře na 4 roky. Kolik zaplatím na úrocích? 7) O kolik Kč vzroste mi v bance konto, jestliže jsem před 0 lety vložil 6 000,- Kč při roční úrokové míře 9 %, jestliže bance musím zaplatit 8 % daň z přijmu. 8) 26. března 99 si podnikatel vypůjčil při roční 5 % úrokovací míře ,- Kč. Jak velkou částkou může splatit dluh ? 9) Kolik Kč bude muset zaplatit dlužník, aby 3. července 995 splatil dluh 0 000,- Kč, které si půjčil. ledna 99 na roční 2 % úrok? 0) 7. dubna 993 uložil občan do spořitelny 8 000,- Kč na vkladní knížku úročenou ročně 9 %. Kolik Kč bude mít na vkladní knížce 9. března 997 a jak velké budou úroky. Daň z příjmu neplatil. ) Pan Novák uložil 2. února 99 v bance částku ,- Kč na roční 3 % úrokovací míru, které si hodlá vybrat 6.září 996. Vypočtěte částku, kterou bude mít na kontě požadovaný den : 6

7 a) jestliže nebude platit daň z příjmů b) bude-li platit 5 % daň z příjmů. 2) Vypočtěte kolik korun naspoříte, budete-li po dobu osmi let při roční úrokové míře 9 % pravidelně ročně střádat Kč : a) počátkem roku b) koncem roku 3) Pravidelně měsíčně střádáte 200,- Kč po dobu tří let při roční úrokové míře 9 %. Kolik Kč ušetříte jestliže budete peníze ukládat : a) začátkem každého měsíce, b) koncem každého měsíce. Výsledky : ) 4 023, 75 Kč,2) Kč,3) , 34 Kč,4) Kč,5) Kč,6) 6.- Kč, 7) 724,80 Kč,8) ,33 Kč,9) Kč,0) úloha nemá řešení pro nedostatek údajů, ). října 9992) Kč,3) 83 57, Kč,4) 5 000,- Kč,5) ,96 Kč,6) 8 000,- Kč, 7) 30 27,03 Kč, Souhrnná cvičení ) Kč,2) Kč,3) ,03 Kč4) Kč,5) ano, na valuty budu mít 39,8 Kč, 6) 6 463, 26 Kč,7) 6 228,84 Kč, 8) 35 6,35 Kč,9) 6 742,24 Kč,0) 232,96 Kč, 3 232,96 Kč, a)59 764,80 Kč, b)54 63,24 Kč,2 a)36 063,0 Kč, b)33 085,42 Kč 3 a)8 250,98 Kč b) 8 9,97Kč 7