ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra speciální geodézie DIPLOMOVÁ PRÁCE Zhodnocení etapových měření svislých posunů a vodorovných náklonů v katedrále sv. Víta na Pražském hradě Vedoucí diplomové práce Ing. Lenka Línková, Ph.D. Bc. Iveta Valentová
Prohlášení Prohlašuji, ţe jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s pouţitím citovaných pramenů za odborného vedení Ing. Lenky Línkové, Ph.D. Souhlasím se zveřejněním práce podle zákona č. 111/ 1998 Sb., o vysokých školách, ve znění pozdějších předpisů. V Praze dne Bc. Iveta Valentová
PODĚKOVÁNÍ Na tomto místě bych ráda poděkovala panu Doc. Ing. Jaromíru Procházkovi CSc. a paní Ing. Lence Línkové Ph.D., za umoţnění moji účasti na projektu sledování posunů a náklonů v chrámu sv. Víta na Praţském Hradě, který pro mě byl velmi cennou zkušeností. Zejména bych chtěla poděkovat vedoucí diplomové práce paní Ing. Lence Línkové, PhD. za její odborné vedení, cenné připomínky a především za trpělivost a konzultace, které mi byly poskytovány v průběhu zpracování celé diplomové práce. Rovněţ patří můj dík Ing. Anetě Raszykové za poskytnutí její diplomové práce a kvalitní vyhodnocení chovaní svislých posunů a vodorovných náklonů v závislosti na teplotě a čase, na které bylo moţné navázat mojí diplomovou prací.
ABSTRAKT Název práce: Zhodnocení etapových měření svislých posunů a vodorovných náklonů v katedrále sv. Víta na Praţském hradě. Autor: Bc. Iveta Valentová Email autora: iveta.valentova@seznam.cz Katedra: Katedra speciální geodézie Vedoucí diplomové práce: Ing. Lenka Línková, Ph.D. Email vedoucí diplomové práce: lenka.linkova@fsv.cvut.cz Abstrakt: Diplomová práce se zabývá sledováním vodorovných náklonů a svislých posunů v katedrále sv. Víta. Vodorovné náklony jsou vyhodnocovány na základě výsledků měření z trigonometrické metody a svislé posuny pomocí metody přesné nivelace a trigonometrie. V práci jsou porovnány metody měření svislých posunů a vyhodnoceny přesnosti měřených a určovaných veličin. Klíčová slova: vodorovný náklon, svislý posun, trigonometrická metoda, přesná nivelace, zenitový úhel a vodorovný úhel.
ABSTRACT Title: Evaluation of measurements of vertical displacements and horizontal tilts in St. Vitus Cathedral in the Prague Castle. Author: Bc. Iveta Valentová Author s e-mail: iveta.valentova@seznam.cz Department: Department of Special Geodesy Supervisor: Ing. Lenka Línková, Ph.D. Supervisor s email: lenka.linkova@fsv.cvut.cz Abstract: This thesis describes monitoring of horizontal tilts and vertical displacements in St. Vitus Cathedral. The thesis deals with evaluation size of horizontal tilts from trigonometrical method and vertical displacements from method of precise levelling and trigonometry. It compares both methods for measuring vertical displacements and evaluates accuracy of measured and determined values. Key words: horizontal tilts, vertical displacements, trigonometrical method, precise levelling, zenithal angle and horizontal angle.
OBSAH OBSAH... 1 1 ÚVOD... 4 1.1 SLEDOVÁNÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE GEODETICKÝMI METODAMI... 4 2 KATEDRÁLA SV. VÍTA... 6 2.1 HISTORIE STAVBY KATEDRÁLY SV. VÍTA... 6 2.2 POPIS CHRÁMU SV. VÍTA... 8 3 MĚŘENÍ V KATEDRÁLE SV. VÍTA... 12 3.1 MĚŘICKÉ PŘÍSTROJE A POMŮCKY... 12 3.2 MĚŘENÍ SVISLÝCH POSUNŮ A VODOROVNÝCH NÁKLONŮ... 14 3.2.1 Vztaţné body... 15 3.2.2 Pozorované body... 17 3.2.3 Přesná nivelace pro určení svislých posunů... 19 3.2.4 Trigonometrické měření svislých posunů a vodorovných náklonů... 20 3.2.5 Měřické chyby a jejich eliminace u metody přesné nivelace... 21 4 PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN... 23 4.1 APRIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN... 23 4.1.1 Apriorní přesnost redukovaného vodorovného směru... 23 4.1.2 Apriorní přesnost vodorovného úhlu určeného z rozdílu dvou směrů... 26 4.1.3 Apriorní přesnost zenitového úhlu... 27 4.1.4 Apriorní přesnost určení nivelačního převýšení... 28 4.2 ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ... 30 4.2.1 Vodorovný redukovaný směr... 30 4.2.2 Zenitový úhel... 31 4.2.3 Nivelace... 31 4.3 APOSTERIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN... 32-1 -
4.3.1 Aposteriorní přesnost vodorovného úhlu... 32 4.3.2 Aposteriorní přesnost zenitového úhlu... 34 4.3.3 Aposteriorní přesnost měřeného převýšení... 37 5 VÝPOČET POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA... 40 5.1 VÝPOČET VODOROVNÉHO NÁKLONU Z TRIGONOMETRICKÉ METODY 41 5.2 VÝPOČET RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ Z TRIGONOMETRICKÉ METODY... 43 5.2.1 Relativní svislý posun mezi horním a dolním bodem na jednom sloupu... 45 5.2.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body dvou protilehlých sloupů na severní a jiţní straně chrámu... 47 5.2.3 Relativní svislý posun III mezi prvním a čtvrtým řezem v podélné lodi chrámu48 5.3 VÝPOČET SVISLÝCH POSUNŮ Z PŘESNÉ NIVELACE... 49 5.3.1 Svislý posun pozorovaných bodů na sloupu... 52 5.3.2 Relativní svislý posun II mezi dvěma body na sloupech severní a jiţní strany chrámu... 54 5.3.3 Relativní svislý posun III mezi body prvního a čtvrtého řezu v podélné lodi chrámu... 55 6 PŘESNOST VYPOČTENÝCH VELIČIN... 57 6.1 PŘESNOST URČOVÁNÍ NÁKLONŮ Z TRIGONOMETRICKÉ METODY... 57 6.2 PŘESNOST URČOVÁNÍ RELATIVNÍCH SVISLÝCH POSUNŮ Z TRIGONOMETRICKÉ METODY... 61 6.2.1 Přesnost určení relativního svislého posunu pro dva body umístěné na jednom sloupu... 61 6.2.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II mezi dvěma body na sloupech severní a jiţní strany chrámu... 66 6.2.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III... 67 6.3 PŘESNOST URČOVÁNÍ SVISLÝCH POSUNŮ Z METODY PŘESNÉ NIVELACE... 69 6.3.1 Přesnost určení svislého posunu pozorovaných bodů... 69 6.3.2 Přesnost určení relativního svislého posunu II... 71-2 -
6.3.3 Přesnost určení relativního svislého posunu III mezi body prvního a čtvrtého řezu v podélné lodi chrámu... 72 7 VYHODNOCENÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA... 73 7.1 VYHODNOCENÍ VODOROVNÝCH NÁKLONŮ URČENÝCH Z TRIGONOMETRICKÉ METODY... 73 7.2 VYHODNOCENÍ RELATIVNÍHO SVISLÉHO POSUNU Z TRIGONOMETRICKÉ METODY... 75 7.3 VYHODNOCENÍ SVISLÉHO POSUNU Z METODY PŘESNÉ NIVELACE... 81 7.4 POROVNÁNÍ SVISLÉHO POSUNU URČENÉHO ZE DVOU GEODETICKÝCH METOD... 84 7.4.1 Porovnání relativního posunu z trigonometrické metody a absolutního posunu zjištěného přesnou nivelací... 84 7.4.2 Porovnání relativního svislého posunu II mezi oběma geodetickými metodami 86 7.4.3 Porovnání relativního svislého posunu III obou geodetických metod... 89 8 ZÁVĚR... 93 SEZNAM POUŢITÉ LITERATURY... 97 PŘÍLOHY... Chyba! Záložka není definována. - 3 -
1 ÚVOD Diplomová práce se zabývá sledováním vodorovných náklonů a svislých posunů v katedrále sv. Víta, které budou vyhodnoceny na základě dvaceti etapových měření. Nejprve budou zpracovány zápisníky měření, ze kterých se vypočte dosaţená přesnost měřených veličin. Následně bude odvozena základní směrodatná odchylka měřených veličin a dojde k posouzení přesnosti měření. Dále se přistoupí k výpočtu vodorovného náklonu v daných etapách vzhledem k základní etapě měření zjištěného trigonometrickou metodou, změny výšek sledované metodou přesné nivelace a změny převýšení určené trigonometrickou metodou pro jednotlivé etapy vůči základní etapě. Následně bude odvozena přesnost určovaných veličin. Pomocí směrodatných odchylek se vypočte mezní hodnota, která se následně porovná s hodnotami dosaţených veličin. V případě překročení mezní hodnoty dojde k prokázání posunu vůči základní etapě, v opačném případě nebude posun prokázán, ale ani vyloučen. Na závěr práce budou vzájemně porovnány svislé posuny zjištěné metodou přesné nivelace a trigonometrie. 1.1 SLEDOVÁNÍ POSUNŮ A NÁKLONŮ V KATEDRÁLE GEODETICKÝMI METODAMI Měření posunů stavebních objektů je podle ČSN 73 0405 [3] měřením změn polohy a výšky objektů vzhledem k jejich poloze zaměřené v základní nebo předchozí etapě měření, která je realizována od vztaţné soustavy tvořené geodetickými body. Poloha vztaţných bodů je volena mimo pozorovaný objekt a vlivů, které by mohly přímo ovlivnit stálost jejich polohy. Důvodem zahájení geodetických měření v chrámu sv. Víta bylo zjevné poškození historického objektu, které se projevilo trhlinami v klenbě chrámu, na vnějších schodištích objektu a jiných místech. Pro stanovení příčin posunů a následných opatření k jejich zamezení byla provedena rekognoskace daného objektu, které se zúčastnil statik Ing. Dobeš, geotechnik Ing. Záleský a geodet Doc. Ing. Procházka, CSc. Na základě tohoto šetření a vzhledem k trhlinám v klenbě, byla navrţena dlouhodobá opatření: 1. Sledování náklonů nosných pilířů uvnitř chrámu ve čtyřech příčných řezech (dva řezy v historické části chrámu a dva řezy v části novodobé), 2. sledování náklonů středních pilířů vnějších schodišť a hlavní chrámové věţe a 3. sledování sedání nosných pilířů uvnitř chrámu (v příčných řezech). [10] - 4 -
Statik stanovil očekávanou přesnost určení posunů, ze které se vycházelo při volbě vhodné měřické metody. Protoţe očekávaná přesnost není obvykle známá, bývá často poţadovaná přesnost zvolena tak, aby bylo moţné prokázat posun přesahující 1 mm, pokud lze takové přesnosti geodetickými metodami dosáhnout. Pro měření svislých posunů v chrámu sv. Víta byla zvolena metoda přesné nivelace, která byla přizpůsobena konkrétním podmínkám daného objektu. Bylo stanoveno, ţe nivelační pořad bude veden přes pozorované body při patách nosných pilířů a napojen na vztaţnou síť bodů umístěných vně objektu. [10] Podle [3] se k tomuto účelu osazují nejméně tři vztaţné výškové body, za body vztaţné soustavy bylo vyuţito bodů místní nivelační sítě. Nivelační pořad vedený v chrámu sv. Víta byl vztaţen k výškovému bodu 100, který je napojen na tři hloubkové vrty (podkap. 3.2.1). Pro měření vodorovných náklonů v chrámu sv. Víta byla zvolena trigonometrická metoda. Bylo stanoveno, ţe budou měřeny vodorovné a zenitové úhly elektronickým teodolitem Leica TC 1800 ve všech etapách měření a délky pouze v základní etapě. [10] Po pečlivém zváţení poţadavků statika a pracovníků památkové péče byl zvolen způsob rozmístění a označení pozorovaných bodů a stanovisek (podkap. 3.2.1 a 3.2.2). Dále byl stanoven harmonogram etapového měření vzhledem k podchycení předpokládaných vlivů, které způsobují posuny konstrukčních prvků chrámu (podkap. 3.2). [11] Od počátku sledování posunů v červenci 2000 do konce roku 2010 bylo zaměřeno celkem 26 etap, osobně jsem zúčastnila měření 25. etapy dne 3. 5. 2010, kdy jsem asistovala při měření Doc. Ing. J. Procházkovi, CSc. - 5 -
2 KATEDRÁLA SV. VÍTA 2.1 HISTORIE STAVBY KATEDRÁLY SV. VÍTA Podle archeologických výzkumů byl chrám sv. Víta zaloţen kolem roku 925 kníţetem Václavem v podobě předrománské rotundy. V roce 1060 byla rotunda přestavěna v trojlodní baziliku se dvěma věţemi. Hlavní dobou rozkvětu pro Praţský hrad byla doba za vlády Karla IV. a na základě jeho rozhodnutí měla stát nejkrásnější kaple nového chrámu nad místem ostatků sv. Václava, prvního českého světce, kterému měla být nejvýznamnější kaple Svatovítské katedrály zasvěcena. [8] Karel IV. chtěl, aby se nový chrám postavil podle francouzských vzorů, proto pověřil k vypracování plánů a řízení stavby architekta Matyáše z Arrasu. Základní kámen byl poloţen 21. listopadu r. 1344. Nejprve bylo nutné zbourat románskou baziliku a další stavby, které doposud stály na pozemku. Pak z lomového kamene byly vyzděny základy 300-350 cm hluboké. Matyáš v plánech chrámu sv. Víta uplatnil zkušenosti ze staveb katedrál v jiţní Francii. Stihl uskutečnit jen část svých záměrů, postavil část chóru (osm kaplí) aţ do výše ochozu nad přízemními okny a obvodové zdi svatováclavské kaple. [6] Po jeho smrti v roce 1352 se ještě několik let stavělo podle jeho plánů. Nových architektem po smrti Matyáše se stal Petr Parléř, který původní návrhy přizpůsobil svým představám. Chtěl vybudovat chrám moderně, jak se v té době stavělo v Evropě, jeho hlavní inspirací byla katedrála v Kolíně nad Rýnem a katedrála ve Štrasburku. Parléř postavil východní část katedrály s chórem a věncem kaplí po příčnou loď. Roku 1392 byl poloţen základní kámen ke stavbě lodi a v roce 1396 byla započata stavba Velké věţe. Za doby Parléře se postavilo severovýchodní vnější schodiště, Velká věţ do výšky 55 m a jiţní stěna transeptu (příčná loď), která spojila Velkou věţ vnějším schodištěm. Během vlády Vladislava II. Jagelonského byli stavitelé chrámu Hanuš Spiess a pak Benedikt Ried, za jejich působení byla vystavěna královská oratoř propojená krytým mostem s královským palácem. [9] - 6 -
Obr. 2.1 Rozsah práce významných stavitelů chrámu [9] Roku 1541 došlo na Hradě k poţáru, který zasáhl i katedrálu, došlo ke zničení dřevěných částí a zvonů. Oprava katedrály probíhala zejména za vlády Ferdinanda I. pod dohledem Paolo della Stella a pak Bonifáce Wolhmuta. K definitivní dostavbě chrámu došlo na přelomu 19. a 20. století. Podle projektu Josefa Mockera bylo vystavěno trojlodí, které po jeho smrti dokončil Kamil Hilbert. Katedrála byla dostavěna roku 1929. [9] - 7 -
2.2 POPIS CHRÁMU SV. VÍTA Katedrála sv. Víta je jednou z nejvýraznějších památek hlavního města. Nachází se na třetím nádvoří Praţského hradu. Celková délka chrámu je 124 m a šířka kolem 60 metrů. Podélná osa chrámu svírá s místním poledníkem úhel 69,6. Střed půdorysu chrámu má GPS souřadnice 50 05'27,14''N, 14 24'02,00''E. [9] Obr. 2.2 Katedrála sv. Víta na Pražském hradě [9] Interiér chrámu Půdorys katedrály je ve tvaru kříţe, po vstupu do katedrály vidíme neogotickou hlavní loď s klenbou vysokou 33,2 metru, v polovině stavby se nachází jižní část transeptu neboli příčná loď, která je dělítkem mezi gotickou a neogotickou částí chrámu. Před příčnou lodí je po pravé straně vstup do Velké věže katedrály vysoké 96,5 m a za ní je kaple svatého Václava s jeho hrobkou. Z kaple vedou schody do korunní komory určené pro korunovační klenoty. [9] Zvýrazněné části jsou zobrazeny na obr. 2.3. - 8 -
Obr. 2.3 Pohled na interiér jižní a západní část [9] Uprostřed hlavní lodi je vyvýšené místo obdélníkového tvaru, pod kterým je hrobka sv. Vojtěcha. Ze středu hlavní lodi vidíme vítězný oblouk a vysoký chór. V chóru je umístěn oltář a královské mauzoleum (hrobka v podobě chrámku na vysokém podstavci). Nad věncem kaplí je vnitřní triforium, kde se nachází reliéfy (sochařská díla) osob s ţivotopisnými údaji osob, které se zaslouţili o stavbu chrámu a plastiky osob pokračující v novodobé výstavbě. V katedrále je kolem lodí umístěno celkem 19 kaplí např. Kaple sv. Ondřeje, Kaple sv. Kříže, za ní je Královské oratorium, Kaple sv. Zikmunda. [9] Zvýrazněné části zobrazeny na obr. 2.4. Obr. 2.4 Pohled na interiér východní část [9] - 9 -
Exteriér chrámu Na vnějším ochozu chrámu se nachází tzv. vnější triforium, kde jsou umístěny plastiky Krista, Panny Marie, českých světců a středověkých postav. Vnější triforium nelze vidět z chrámu ani zvenku. Pouze část jedné plastiky lze spatřit z Velké věţe. Avšak na opěrném systému katedrály lze pozorovat řadu plastik, reliéfy a chrliče na přepad vody, které zpodobňují draky, zvířata a lidské postavy. V pilíři opěrného systému na jiţní straně chóru je zvětšená kopie sochy sv. Václava s kopím, jejíţ originál je uvnitř kaple. [9] Obr. 2.5 Chrlič na přepad vody [9] Na Zlaté bráně je umístěna krásná barevná mozaika o ploše 82 metrů čtverečních, která zobrazuje Poslední soud a postavy českých patronů a Karla IV. s Eliškou Pomořanskou. Byla vytvořena v roce 1370-1371. Autor mozaiky je neznámý, předpokládá se, ţe ji vytvořili benátští umělci z českého skla. Vedle Zlaté brány stojí 96,5 metrů vysoká Velká věž, na které je zavěšeno několik zvonů. Na věţi upoutá pozornost renesanční Zlatá mříž a orloj s dvěma ciferníky nad sebou, horní ciferník ukazuje hodiny a dolní čtvrthodiny a minuty. Neogotické věţe dosahují délky 82 m. Z pravé strany od Velké věţe je Trubačské schodiště, které se skládá ze tří částí umístěných nad sebou. [9] - 10 -
Obr. 2.6 Exteriér chrámu sv. Víta [9] - 11 -
3 MĚŘENÍ V KATEDRÁLE SV. VÍTA 3.1 MĚŘICKÉ PŘÍSTROJE A POMŮCKY Pro trigonometrické měření vodorovných a zenitových úhlů ve všech etapách a délek jen v základní etapě byl pouţit elektronický teodolit Leica TC 1800 (obr. 3.1), v. č. 413982. Přístroj je horizontován podle krabicové a elektronické libely a centrován pomocí optického centrovače vestavěného do trojnoţky přístroje. Elektronický teodolit je vybaven dvěma páry ustanovek. Naměřené veličiny se zobrazují na displeji přístroje a jsou registrovány na paměťovou kartu. Při měření v chrámu sv. Víta byly hodnoty současně zapisovány do zápisníku, aby bylo moţné provést kontrolu měřených veličin přímo v terénu (rozbory přesnosti při měření). Výrobce udává přesnost měřených délek 1mm + 2 ppm do 2,5 km a přesnost vodorovných směrů a zenitových úhlů zaměřených v jedné skupině 0,3 mgon. Elektronický teodolit má vestavěné programy, které umoţňují zpracování měřených veličin, výpočet odhadu přesností, vyrovnání MNČ, tím se sniţují kancelářské práce na minimum, tyto programy nebyly v našem měření vyuţity. [2] Obr. 3.1 Leica TC 1800[15] Metoda přesné nivelace byla zaměřena nivelačním přístrojem Zeiss Ni 007 (obr. 3.2) s automatickým urovnáním kompenzátoru, který po hrubém urovnání přístroje podle krabicové libely nastaví záměrnou přímku do vodorovné polohy. Kompenzátor je urovnán vlivem zemské tíţe a díky tomu není potřeba urovnávat přístroj podle nivelační libely. Při měření byla pouţita jedna invarová nivelační lať se dvěma stupnicemi vzájemně - 12 -
posunutými o známou konstantu 60650, s půlcentimetrovým dělením. Lať je celistvá o délce 1,85 m a vybavená krabicovou libelou, v. č. latě 49743. Nivelační přístroj měří převýšení s přesností jednoho čtení 0,1 mm. [4] Obr. 3.2 Zeiss Ni 007[15] V průběhu měření byla také měřena teplota vzduchu a sloupů. K měření povrchové teploty sloupů byl pouţit bezkontaktní teploměr s laserovým zaměřovačem Ahlborn AMIR 7811 s přesností ±2 C (obr. 3.3). Výhoda teploměru oproti dříve pouţívanému kontaktnímu teploměru je především v rychlosti získání měřené teploty a jeho mobilitě. Jeho nevýhodou je niţší přesnost, která je však pro účely měření a sledování deformací objektu dostačující. [15] Obr. 3.3 Alhborn Amir 7811 [15] - 13 -
3.2 MĚŘENÍ SVISLÝCH POSUNŮ A VODOROVNÝCH NÁKLONŮ V katedrále sv. Víta jsou svislé a vodorovné posuny sledovány od března roku 2000. Původně byly etapy měřeny po čtvrt roce, ale od roku 2002 se etapy začaly měřit v půlročních intervalech. Vzhledem k tomu, ţe katedrála sv. Víta je kulturní památkou navštěvovanou mnoha turisty, není moţné provádět měření v době, kdy je objekt přístupný veřejnosti. Měření tedy probíhá po 17. hodině, kdy v katedrále nejsou zcela optimální měřické podmínky, a je nutné, aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala pozorované body. Všechny etapy byly měřeny jednou osobou se stejným přístrojem, tato zásada byla porušena pouze v páté etapě kvůli dlouhodobé nepřítomnosti měřiče. Měření na pozorované body probíhalo z vhodně zvolených stanovisek, rozmístěných v podélné lodi chrámu. V kaţdé etapě se měřila teplota venku i uvnitř katedrály pro moţné sledování závislosti posunů na teplotě. Předmětem měření je osm nosných pilířů uvnitř chrámu sv. Víta rozdělených na čtyři příčné řezy v hlavní lodi a na dva podélné řezy v příčné lodi. Kaţdý sloup je vyhodnocován samostatně vzhledem k nulté etapě bez návaznosti na ostatní pozorované body [11]. Rozmístění jednotlivých řezů je zobrazeno na následujícím obr. 3.4. Obr. 3.4 Schéma rozmístění řezů v hlavní a příčné lodi katedrály [14] - 14 -
3.2.1 Vztažné body Výšková síť Vztaţný výškový bod č. 100 byl stabilizován nivelační čepovou značkou na budově umístěné naproti chrámu. Tento bod je napojen na hloubkové vrty MPD01, MPD02 a VB011, jejich poloha je zobrazena na obr. 3.5. Stabilita vztaţného bodu je ověřována metodou přesné nivelace ke geotechnickému vrtu č. MPD01. Tento vrt je veden přes základy aţ na skalnaté podloţí do hloubky 10 m. Výšková stabilita MPD01 je kontrolována geotechnickým měřením klouzavým mikrometrem s přesností 0,003 mm/m a na základě výsledků měření lze konstatovat, ţe je bod stabilní. Polohu vztaţného bodu vzhledem k bodu MPD01 lze z dosaţených výsledků metody přesné nivelace povaţovat rovněţ za stabilní. Měření splňují přesnost danou směrodatnou odchylkou vůči vztaţné soustavě, která byla stanovena v projektu h 0,3 mm a 0,4 mm. Ověřovací měření probíhají etapově od března roku 2002. Geodetické měření bylo napojeno na bod MPD01 pomocí přípravku, kterým lze realizovat bod vrtu pro postavení nivelační latě. [12] [14] Obr. 3.5 Hloubkové vrty na Pražském hradě [13] - 15 -
Polohová síť Dále bylo zvoleno pět bodů vztaţné polohové sítě (obr. 3.6), které byly trvale stabilizovány mosazným válečkem s dírkou o průměru 1 mm do dlaţby v lodi chrámu sv. Víta. Jejich poloha byla volena tak, aby záměry byly přibliţně kolmé na určovaný směr náklonu. Stanovisko S1 bylo umístěno v průsečíku podélné a příčné lodi chrámu pro zaměření prvního a čtvrtého řezu. Stanovisko S2 bylo zvoleno v přední části v podélné lodi chrámu pro zaměření druhého řezu, v roce 2001 (4. etapa) bylo nahrazeno stanoviskem S4, z důvodu zakrytí stanoviska novými lavicemi, stejně tak i čtvrté stanovisko bylo nahrazeno v roce 2005 (17. etapa) stanoviskem S7. Pro zaměření bodů třetího řezu bylo zvoleno stanovisko S3. V roce 2004 (10. etapa) byla zvolena další dvě stanoviska S5 a S6 v příčné lodi chrámu. Horní body 53,54,63 a 64 jsou trvale osazeny v horní části sloupů třetího řezu tak, aby záměry z daných stanovisek byly přibliţně kolmé na určovaný směr náklonu (pro přehlednost obrázku nebudou body v polohopisné síti graficky znázorněny). Dolní body jsou signalizovány značkami, které se přemístí z bodů 31 a 32. Značka bodu 31 se pouţívá pro body 51 a 61 a značka bodu 32 pro body 52 a 62. Obr. 3.6 Rozmístění stanovisek a bodů v chrámu sv. Víta [14] - 16 -
3.2.2 Pozorované body Kvůli sledování vodorovných náklonů a svislých posunů nosných pilířů chrámu byly zvoleny pozorované body, na kterých se provádí etapové měření. Body umístěné při patě pilířů slouţí pro měření výšková a body v dolní části sloupu ve výšce kolem 2 metrů od podlahy a horní body ve výšce zhruba 17 m pro úhlové a délkové měření. Signalizace pozorovaných bodů Pozorované body při patách sloupů byly na základě poţadavků pracovníků památkové péče osazeny mosaznými zděřemi, které byly zapuštěny do sloupu. Tyto zděře jsou opatřeny vnitřním závitem pro našroubování mosazného nástavce pro měření výšek. Nivelační značky o délce 60 mm jsou zašroubovány před zahájením měření na jednotlivých sloupech, zobrazeno na obr. 3.7. Pro zachování stejné polohy značek ve všech etapách měření jsou značky opatřeny číslem a zašroubovány na doraz. [11] Obr. 3.7 Šroubovací nivelační značka U trigonometrického měření byly pouţity kruhové značky modré barvy o průměru 20 mm se ţlutým středem (obr. 3.8). Značky pro dolní body sloupu jsou zašroubovány do mosazných zděří pouze po dobu měření. Stejná poloha značek ve všech etapách je zaručena očíslováním terče a zašroubováním na doraz. Body v horní části sloupu jsou osazeny trvale od nulté etapy značkami stejných rozměrů. [11] - 17 -
Obr. 3.8 Signalizace trigonometrických bodů Označení pozorovaných bodů Body pro výšková měření jsou označeny číslem řezu (první číslice) a polohou v řezu (druhá číslice). Body v severní části lodi jsou značeny číslicí 5 a body v jiţní části číslicí 6 (obr. 3.9). Obr. 3.9 Schéma bodů zaměřených přesnou nivelací [14] Pozorované body pro úhlové a délkové měření jsou číslovány podle čísla řezu (první číslice) a podle polohy bodu v řezu (druhá číslice). Body umístěné na sloupech na severní straně katedrály jsou značeny lichými číslicemi pro dolní bod č. 1 a horní bod č. 3 a pozorované body na sloupech v jiţní části sudými číslicemi pro dolní bod č. 2 a pro horní bod č. 4., zobrazeno na předchozím obr. 3.6. - 18 -
3.2.3 Přesná nivelace pro určení svislých posunů Před zahájením měření se vyrovnala teplota přístroje s okolní teplotou a nivelační znaky se zašroubovaly do zděří všech pozorovaných sloupů. Body byly zaměřeny přístrojem Zeiss Ni 007 a byla pouţita jedna invarová lať dlouhá 1,85 m s půlcentimetrovým dělením a dvěma stupnicemi. Nivelace byla zahájena před katedrálou sv. Víta, kde došlo k připojení k ověřenému výškovému bodu č. 100 se známou výškou h100 258,13700 m. První měřené převýšení bylo mezi body 100 a 16, následovalo měření uvnitř katedrály, kde se pak měřilo mezi body 16 a 26. Dále pak z jednoho postavení přístroje se měřily čtyři body č. 15, 16, 26, 25 dvou sousedních řezů, z dalšího postavení body 25, 26, 36, 35. Mezi 3. a 4. řezem bylo potřeba zaměřit body ze dvou postavení přístroje kvůli překáţce, tzn. z jednoho postavení byly zaměřeny body 35, 45, 46 a z druhého postavení body 36, 45, 46. Schéma bodů zaměřených metodou přesné nivelace je na obr. 3.9 v podkap. 3.2.2. Současně s měřením nivelace byla měřena teplota vzduchu venku a uvnitř katedrály digitálním teploměrem, pro moţné vyhodnocení vlivu teploty na určované posuny. Měření se z kaţdého postavení opakovalo dvakrát. Jelikoţ při měření nebyly všude dodrţeny stejné délky záměr, tak se na závěr nivelace provedlo měření pro zjištění chyby z nevodorovnosti záměrné přímky, které je popsáno v podkap. 3.2.5. Vzhledem k obtíţné dostupnosti některých bodů nebylo vţdy moţné stavět lať přímo na střed patky, proto byla lať na určitých bodech stavěna na krajní body patky. Z toho důvodu bylo na závěr měření v katedrále provedeno měření na střed a jednotlivé rohy patky nivelační latě, ze kterého se pak vypočítaly opravy, o které byla upravena příslušná čtení, popsáno v podkap.3.2.5. Pro zpracování zápisníků přesné nivelace jsem vytvořila vlastní program v Microsoft Excel 2007, ve kterém jsem zpracovala celkem dvacet etapových měření (6. - 26. etapa), které byly zaměřeny v období od ledna 2002 do října 2010. Osobně jsem se účastnila měření 25. etapy, které trvalo přibliţně 1,5 hodiny (zápisník přesné nivelace 25. etapy je zobrazen v příloze I). Dosaţené výsledky byly ověřeny vedoucí diplomové práce Ing. Lenkou Línkovou, Ph.D. - 19 -
3.2.4 Trigonometrické měření svislých posunů a vodorovných náklonů Po měření přesné nivelace následovalo trigonometrické zaměření bodů na sloupech katedrály sv. Víta. Nejdříve byly zašroubovány modré znaky do zděří pro body v dolní části sloupu a byla provedena temperace elektronického teodolitu Leica TC 1800. Tento přístroj byl centrován nad stanovisky, která jsou stabilizována v dlaţbě mosazným válečkem s jemnou dírkou o průměru 1 mm. Vţdy stejnou orientací optického dostředovače přístroje ve všech etapách se dosahuje vysoké přesnosti v dostředění. Při tomto postupu a vhodně zvolené poloze stanoviska přístroje se vyloučí systematická sloţka odchylky v dostředění, díky tomu pak přesnost výsledných posunů není zatíţena touto odchylkou. Stanoviska byla zvolena s ohledem na určovaný směr náklonu, aby záměry na něj byly přibliţně kolmé a úhel mezi horním a dolním bodem sloupu byl velmi malý. Rozmístění bodů a stanovisek je zobrazeno na obr. 3.6. Předpokládá se, ţe vzdálenost mezi stanovisky a pozorovanými body je konstantní, proto byly délky měřeny pouze v nulté etapě. [11] Ze všech stanovisek byla měřena osnova vodorovných směrů za současného měření zenitových úhlů ve dvou skupinách s dvojím cílením na všechny pozorované body. Naměřené hodnoty byly registrovány na paměťovou kartu přístroje a zároveň ručně zapsány do zápisníků. Nejprve se měřilo ze stanoviska S1 na body čtvrtého řezu a prvního řezu, dále ze stanoviska S3 byly zaměřeny body druhého řezu, ze stanoviska S7 body třetího řezu. Na závěr byly zaměřeny body pátého a šestého řezu ze stanoviska S5 a body stanoviska S6. Zápisníky měření byly zpracovány vlastním programem vytvořeným v Microsoft Excel 2007. Stejně jako u nivelace bylo zpracováno dvacet etapových měření (6. - 26. etapa), která byla zaměřena ve stejném období (leden 2002 aţ říjen 2010). Osobně jsem se zúčastnila měření 25. etapy, měření trvalo přibliţně 3 hodiny (zápisník vodorovných směru, zenitových vzdáleností, dálkoměrných úhlů a délek 25. etapy je zobrazen v příloze I). Výsledné hodnoty byly ověřeny vedoucí diplomové práce nezávislým výpočtem. - 20 -
3.2.5 Měřické chyby a jejich eliminace u metody přesné nivelace Chyba z nekolmosti patky nivelační latě Pokud patka latě není kolmá na stupnici a zejména není-li krabicová libela latě zrektifikována, tak následně postavení latě na různé body patky určuje různé čtení. Z toho důvodu bylo potřeba opravit příslušná převýšení o opravy, které se vypočítaly rozdílem měření na střed patky latě a její rohy, hodnoty oprav dosahovaly cca 0,0001 mm. Chyba z nevodorovnosti záměrné přímky Při měření geometrické nivelace ze středu se přístroj postaví doprostřed mezi body, takţe záměra vzad je stejně dlouhá jako záměra vpřed a chyba z nevodorovnosti záměrné přímky se vyloučí při výpočtu převýšení podle vzorce (3.1) 1 1 1 1 1 1 1 1 hij z p z p z p (3.1) V případě našeho měření, záměry vzad a vpřed nejsou vţdy stejně dlouhé. Bylo tedy provedeno měření pro zjištění opravy z nevodorovnosti záměrné přímky na bodech 16 a 26 při dvojím postavení přístroje (obr. 3.10). Přístroj byl nejprve postaven doprostřed mezi body 16 a 26 a následně za bod 26 a změřilo se převýšení. Chyba z nevodorovnosti se vypočte pro 1 m délky záměrné přímky podle vzorce (3.2) 2 h h h h 2s d A, B A, B 16,26 16,26 (3.2) kde h 16,26 je správné převýšení mezi body, h 16,26 je převýšení změřené při excentrickém postavení přístroje, d je vzdálenost mezi body při centrickém postavení přístroje. Velikost chyby vypočtené podle vzorce 3.2 se přepočte v závislosti na rozdílné délce záměr, o které je opraveno příslušné převýšení. o d d 2 ij z p (3.3) - 21 -
vpřed. kde o ij je oprava pro dané převýšení, d z je délka záměr vzad a d p je délka záměr Obr. 3.10 Určení chyby z nevodorovnosti záměrné přímky [1] - 22 -
4 PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN 4.1 APRIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN Před měřením v chrámu sv. Víta byla stanovena očekávaná přesnost měřených veličin, která je charakterizována základní směrodatnou odchylkou. Směrodatná odchylka pro vodorovný redukovaný směr zaměřený ve dvou skupinách s dvojím cílením je odvozena v následující podkapitole 4.1.1 vzorec (4.12), pro vodorovný úhel určený rozdílem dvou směrů v podkapitole 4.1.2 vzorec (4.20), pro zenitový úhel rovněţ změřený ve dvou skupinách s dvojím cílením je odvozena v podkapitole 4.1.3, výsledný vzorec (4.26). Na závěr byla vypočtena očekávaná přesnost převýšení určeného nivelací, charakterizována směrodatnou odchylkou průměrného převýšení z měření tam a zpět, odvozeno v podkapitole 4.1.4 vzorec (4.38). 4.1.1 Apriorní přesnost redukovaného vodorovného směru Vodorovné směry na jednotlivých stanoviscích umístěných v chrámu sv. Víta byly zaměřeny elektronickým teodolitem TC 1800 se základní směrodatnou odchylkou vodorovného směru měřeného v jedné skupině (ve dvou polohách dalekohledu) s jedním cílením 0 = 0,3 mgon [10]. Pro odvození směrodatné odchylky redukovaného vodorovného směru určeného aritmetickým průměrem ze dvou měřických skupin s dvojím cílením (4.12), bylo nejprve potřeba odvodit směrodatnou odchylku vodorovného směru vypočteného průměrem ze dvou cílení v jedné skupině (4.4) a směrodatnou odchylku výsledného redukovaného směru zjištěného z jedné skupiny (4.8). Odvození směrodatné odchylky vodorovného směru zaměřeného v jedné skupině, který je určen průměrem ze dvou cílení: sk,2c 1 1 1 2 0 sk, c 0 sk, c 2 (4.1) kde, je vodorovný směr určený v jedné skupině (dvě polohy 1 1 1 2 0 sk, c 0 sk, c dalekohledu) při jednom cílení a sk,2c je průměrná hodnota vodorovného směru v jedné skupině ze dvou cílení. - 23 -
Aplikací zákona hromadění skutečných chyb přejdeme na tvar (4.2) s platností vztahu 0 1 1 1 2 0 sk, c 0 sk, c sk,2c 1 1 1 2 0 sk, c 0 sk, c 2 (4.2) Následnou aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek a za předpokladu získáme výsledný vztah: 0 1 1 1 2 0 sk, c 0 sk, c sk,2c 1 1 1 2 sk c sk c 2 2 2 0, 0, 4 (4.3) 2 0 sk,2c 0,21mgon (4.4) Odvození směrodatné odchylky redukovaného vodorovného směru (oprava směru o počáteční čtení) zaměřeného v jedné skupině podle následujícího vztahu: c,2,2 r sk,2 sk c op sk c (4.5) kde sk,2c je průměrná hodnota vodorovného směru určeného z jedné skupiny, op sk,2 je hodnota opravy směru o počáteční čtení, rsk,2c výsledná hodnota redukovaného vodorovného směru zjištěného v jedné skupině. Přechodem na skutečné chyby s daným předpokladem,2,2 získáme následující vztah: r sk,2c sk c opsk c c c,2,2 r sk,2 sk c op sk c (4.6) S pouţitím zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah (4.8) za předpokladu, ţe platí,2,2 sk c op sk c,2 sk,2 c r sk c opsk,2c 2 2 2 (4.7) 2 0,3 r sk,2c c mgon sk,2 (4.8) - 24 -
Odvození směrodatné odchylky výsledného redukovaného vodorovného směru získaného průměrem ze dvou skupin za platnosti vztahu: r 2 sk,2c 1,2 2,2 r sk c r sk c 2 (4.9) kde r1 sk,2c je výsledná hodnota redukovaného vodorovného směru určeného z první skupiny, r1 sk,2c hodnota téhoţ směru zjištěného z druhé skupiny a následně r2 sk,2c je průměrná hodnota redukovaného směru vypočteného z obou skupin. S pouţitím zákona hromadění náhodných odchylek přejdeme na tvar (4.10) za předpokladu 2,2 1,2 r sk c r sk c r2 sk,2c r 2 sk,2c 1,2 2,2 r sk c r sk c 2 (4.10) Dále aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek získáme vztah (4.11) za předpokladu, ţe platí r 1 sk,2c r2 sk,2c r 2 sk,2c r sk c r sk c 2 2 2 1,2 2,2 4 (4.11) r 2 sk,2c 2 r sk,2c = 0,21 mgon (4.12) Pozn.: Při odvození zbývajících odchylek byl rovněţ pouţit zákon hromadění náhodných a směrodatných odchylek se stejným předpokladem. Dále jsou uváděny jen výsledné vztahy po aplikaci toho zákona. - 25 -
4.1.2 Apriorní přesnost vodorovného úhlu určeného z rozdílu dvou směrů Odvození směrodatné odchylky vodorovného úhlu vychází ze základního vztahu: 2 sk,2c 2 sk,2c 1 2 (4.13) kde 1 2,2, sk c 2 2 sk,2c je hodnota vodorovného směru určeného průměrem ze dvou skupin a je vodorovný úhel určen z rozdílu dvou směrů. Nejprve je potřeba odvodit směrodatnou odchylku vodorovného směru zaměřeného ve dvou skupinách: 2 sk,2c 1 sk,2c 2 sk,2c 2 (4.14) kde 1 sk,2c je průměrná hodnota směru určeného z jedné skupiny, 2 sk,2c hodnota téhoţ směru zjištěného z druhé skupiny a 2 sk,2c je průměrná hodnota směru vypočteného z obou skupin. 2 sk,2c 2 sk,2c 2 1 sk,2c 2 sk,2c 2 1 sk,2c 2 sk,2c 2 2 4 (4.15) (4.16) 2 sk,2c 0,21 2 = 0,15 mgon (4.17) Odvození směrodatné odchylky úhlu vychází ze vzorce (4.18) 2 sk,2c 2 sk,2c 1 2 1 2 sk,2c 22 sk,2c 2 2 2 (4.18) (4.19) 2 sk,2c 2 0, 21mgon (4.20) - 26 -
4.1.3 Apriorní přesnost zenitového úhlu Zenitové úhly byly zaměřeny elektronickým teodolitem TC 1800 se směrodatnou odchylkou zenitového úhlu měřeného v jedné skupině (ve dvou polohách dalekohledu) s jedním cílením z0 = 0,3 mgon [10]. Pro odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu určeného ze dvou měřických skupin při dvojím cílením (4.26), bylo nejprve potřeba odvodit směrodatnou odchylku zenitového úhlu vypočteného průměrem ze dvou cílení v jedné skupině (4.23) Odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu zaměřeného v jedné skupině při dvojím cílení dalekohledu z sk,2c z z 1 1 1 2 0 sk, c 0 sk, c 2 (4.21) z sk,2c z 1 1 z 1 2 sk c sk c 2 2 2 0, 0, 4 (4.22) z z 2 0 sk,2c 0,21 mgon (4.23) kde z, z je zenitový úhel určený v jedné skupině (dvě polohy dalekohledu) 1 1 1 2 0 sk, c 0 sk, c při jednom cílení a zsk,2c je zenitový úhel určený průměrem ze dvou cílení v jedné skupině. Odvození směrodatné odchylky zenitového úhlu zaměřeného ve dvou skupinách při dvojím cílení dalekohledu z 2 sk,2c z z 1 sk,2c 2 sk,2c 2 (4.24) z1 sk,2c z2 sk,2c 2 2 2 z 2 sk,2c z z 2 sk,2c 0,15 2 sk,2c 4 mgon (4.25) (4.26) z, z 2 sk,2c je zenitový úhel určený z jedné skupiny a z 2 sk,2c výsledný zenitový kde 1 sk,2c úhel zjištěný průměrem ze dvou skupin. - 27 -
4.1.4 Apriorní přesnost určení nivelačního převýšení Přesná nivelace byla měřena přístrojem Zeiss Ni 007 a jednou latí se dvěma stupnicemi s danou základní směrodatnou odchylkou jednoho čtení h0 = 0,1 mm [4]. Pomocí této směrodatné odchylky byla zjištěna směrodatná odchylka převýšení určeného z jedné stupnice latě (4.30), následně směrodatná odchylka převýšení určeného z měření jedním směrem (4.34) a nakonec směrodatná odchylka převýšení určeného z měření tam a zpět v jedné sestavě (4.38). Směrodatná odchylka převýšení z jedné stupnice latě vychází ze vzorce (4.27) h h h Z T 1st 1st 1st (4.27) h h h Z T 1st 1st 1st 2 Z T h1 st h1 st h1 st 2 2 h1 st 2 ho 0,14mm (4.28) (4.29) (4.30) Z T kde h 1st je čtení na stupnici vzad, h 1st je čtení na stupnici vpřed a h 1st je převýšení určené z jedné stupnice. Směrodatná odchylka průměrného převýšení určeného z měření jedním směrem z obou stupnic h 1 st,2st h h 2 1st 2st (4.31) h h h 1 st,2st 2 1st 2st (4.32) h h 2 2 2 1st 2st h 1 st,2st 4 (4.33) h h 2 1st 1 st,2st 0,1 mm (4.34) kde h 1st, h 2st je převýšení určené z jedné a druhé stupnice a h 1 st,2st průměrné převýšení z obou stupnic určené jedním směrem. - 28 -
Směrodatná odchylka průměrného převýšení z měření tam a zpět v jedné sestavě h h h T Z 1 st,2st 1 st,2st 2 (4.35) h h h h T Z 1 st,2st 1 st,2st 2 T Z h st st h st st 2 2 2 1,2 1,2 4 (4.36) (4.37) h1 st,2st h 2 0,07mm (4.38) Z h, h 1 st,2st je průměrná hodnota převýšení určeného z měření tam a z měření T kde 1 st,2st zpět a h je výsledná hodnota převýšení. - 29 -
4.2 ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ Rozbor přesnosti při měření umoţňuje v terénu hodnotit přesnost měřených veličin. Dodrţení přesnosti měřených veličin je důleţité pro zajištění předpokládané přesnosti měření. Při známé směrodatné odchylce 0 měření odlehlá. Testování se provádí pomocí mezního rozdílu Základní vztah pro výpočet mezního rozdílu: a zvolené hladině významnosti α testujeme, zda nejsou met. [7] 2 u met p 0 (4.39) cílením). u p koeficient spolehlivosti, který volíme 2 pro hladinu významnosti α = 5%. σ 0 směrodatná odchylka jednoho měření (např. úhel v jedné skupině s dvojím 4.2.1 Vodorovný redukovaný směr Při měření byla dosaţená přesnost výsledného vodorovného redukovaného směru kontrolována výpočtem rozdílu redukovaných směrů mezi dvěma skupinami, který byl pak porovnán s mezním rozdílem. Vodorovné směry v katedrále sv. Víta byly měřeny elektronickým tachymetrem TC1800 ve dvou skupinách s dvojím cílením. Ze zadané směrodatné odchylky vodorovného směru měřeného v jedné skupině (dvě polohy dalekohledu) s jedním cílením 0 = 0, 3 mgon, byla vypočtena směrodatná odchylka redukovaného směru zjištěného v jedné skupině s dvojím cílením rsk,2c = 0,3 mgon, která byla odvozena v podkapitole 4.1.1 (4.8) Mezní rozdíl pro 2 skupiny: u 2 2 2 0, 3 0,84 mgon met p 0 (4.40) - 30 -
4.2.2 Zenitový úhel Přesnost zenitových úhlů byla kontrolována výpočtem rozdílu zenitového úhlu mezi dvěma skupinami, který byl pak porovnán s mezním rozdílem. Zenitové úhly byly zaměřeny ve dvou skupinách s dvojím cílením, se zadanou směrodatnou odchylkou zenitového úhlu měřeného v jedné skupině (dvě polohy dalekohledu) s jedním cílením z0 = 0,3 mgon. Pomocí této směrodatné odchylky byla odvozena směrodatná odchylka zenitového úhlu určeného v jedné skupině s dvojím cílením 0 = z sk,2 c 0,21 mgon, odvození viz kap. 4.1.3 (4.23). Mezní rozdíl pro 2 skupiny: u 2 2 2 0, 21 0, 59 mgon met p 0 (4.41) 4.2.3 Nivelace Dosaţená přesnost nivelace byla ověřena rozdílem čtení dvou stupnic, které se má rovnat známé konstantě 60650. Z daného rozdílu čtení dvou stupnic a známé konstanty byl vypočten rozdíl, který byl porovnán s mezním rozdílem čtení dvou stupnic od konstanty. Hodnota mezního rozdílu u jednotlivých záměr je rovna 0,1 mm [1]. - 31 -
4.3 APOSTERIORNÍ PŘESNOST MĚŘENÝCH VELIČIN Po měření v chrámu sv. Víta byla ze zápisníků vypočtena přesnost všech měřených veličin. Dosaţená přesnost je charakterizována výběrovou směrodatnou odchylkou, která pro vodorovný úhel je odvozena v podkap. 4.3.1 vzorec (4.44), pro zenitový úhel, v podkap. 4.3.2, vzorec (4.47) a pro nivelační převýšení v podkap. 4.3.3, vzorec (4.49). U nivelace byla kromě výběrové směrodatné odchylky provedena kontrola přesnosti pomocí výpočtu hodnot uzávěrů, která byla porovnána s mezním uzávěrem. 4.3.1 Aposteriorní přesnost vodorovného úhlu Výběrová směrodatná odchylka řádkových průměrů vodorovných směrů změřených na jednotlivých stanoviscích v chrámu sv. Víta byla vypočtena ze vzorce (4.42), dosaţené hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.1 pro podélnou a příčnou loď. Hodnoty, které překračují základní směrodatnou odchylku, jsou v tabulce označeny červeně. ww s k l l 0 1 ww v 2 2 v k (4.42) (4.43) kde v je oprava redukovaného vodorovného směru od průměrné hodnoty směru vypočteného z obou skupin, k je počet směrů měřených na jednotlivých stanoviscích a l je počet skupin. Následně byl vypočten kvadratický průměr výběrových směrodatných odchylek řádkových průměrů pro jednotlivé etapy podle vztahu (4.44), výsledné hodnoty jsou uvedeny v posledním řádku tab. 4.1. s s 2 0i 0 n (4.44) kde n je počet stanovisek v dané etapě. - 32 -
Tab. 4.1 Přehled výběrových směrodatných odchylek vodorovného úhlu v jednotkách mgon. Podélná loď Řezy Stanovisko 6 7 8 9 10 12 15 17 18 1.řez S1 0,52 0,07 0,09 0,08 0,05 0,28 0,22 0,07 0,10 2.řez S3 0,09 0,12 0,07 0,04 0,09 0,19 0,16 0,08 0,08 3.řez S4,S7 0,14 0,12 0,15 0,04 0,12 0,06 0,05 0,11 0,13 4.řez S1 0,25 0,05 0,04 0,11 0,25 0,07 0,12 0,11 0,19 Kvadr. pr. s 0,30 0,10 0,10 0,07 0,15 0,18 0,15 0,10 0,13 0 Řezy Stanovisko 19 20 21 22 23 24 25 26 1.řez S1 0,20 0,09 0,13 0,12 0,03 0,21 0,15 0,21 2.řez S3 0,05 0,07 0,12 0,14 0,13 0,28 0,05 0,05 3.řez S4,S7 0,18 0,14 0,14 0,20 0,13 0,08 0,07 0,08 4.řez S1 0,10 0,11 0,06 0,18 0,15 0,12 0,37 0,15 Kvadr. pr. s 0,15 0,10 0,12 0,16 0,12 0,19 0,20 0,14 0 Příčná loď Řezy Stanovisko 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.řez S5 0,21 0,15 0,14 0,09 0,19 0,17 0,17 0,13 0,10 6.řez S6 0,17 0,13 0,08 0,06 0,12 0,14 0,13 0,11 0,14 Kvadr. pr. 0,19 0,14 0,11 0,08 0,16 0,16 0,12 0,12 0,12 s 0 Řezy Stanovisko 19 20 21 22 23 24 25 26 5.řez S5 0,17 0,03 0,09 0,11 0,14 0,10 0,14 0,16 6.řez S6 0,09 0,06 0,10 0,09 0,10 0,10 0,12 0,10 Kvadr. pr. s 0,13 0,05 0,10 0,10 0,12 0,10 0,13 0,13 0 Na závěr byla vypočtena celková výběrová směrodatná odchylka vodorovného úhlu jako kvadratický průměr ze všech etap pro podélnou loď 0,15 mgon a příčnou loď 0,12 mgon. Tyto hodnoty odpovídají, resp. jsou ještě menší neţ základní směrodatná odchylka 0,21mgon. V některých etapách došlo k překročení apriorní přesnosti, v těchto případech bylo provedeno testování nulové hypotézy, ţe výběrová směrodatná odchylka - 33 -
odpovídá základní směrodatné odchylce. Testovacím kritérium byla veličina 2, která je daná vzorcem (4.45) s n 1 stupni volnosti a pro hladinu významnosti 5% byla nalezena 2 tabelovaná hodnota. 2 s 2 2 n 1 (4.45) Tab. 4.2 Testování redukovaných vodorovných směrů Stanovisko s mgon 0i 2 2 n 1 6 S1 (řez 1) 0,52 18,39 3 7,81 6 S1 (řez 4) 0,25 4,25 3 7,81 10 S1 (řez 4) 0,25 4,25 3 7,81 12 S1 (řez 1) 0,28 5,33 3 7,81 15 S1 (řez 1) 0,22 3,29 3 7,81 24 S3 (řez 3) 0,28 5,22 3 7,81 V šesté etapě došlo k překročení kritické hodnoty a zamítnutí nulové hypotézy. Je to patrně z důvodu, ţe měření této etapy proběhlo v zimním období (dne 23. 1. 2002), kdy nejsou v chrámu sv. Víta zcela optimální podmínky měření kvůli niţší viditelnosti na měřické body a navíc kvůli velkému mnoţství turistů musí měření probíhat v pozdějších hodinách aţ po uzavření katedrály pro veřejnost. Při měření je potřebné, aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala horní pozorované body. Toto patrně způsobilo horší kvalitu měření v prvním řezu v šesté etapě. 4.3.2 Aposteriorní přesnost zenitového úhlu Výpočet výběrové směrodatné odchylky zenitového úhlu byl proveden podle vzorce (4.46), výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.3 pro podélnou a příčnou loď. s 0 2 dd lk (4.46) kde d je rozdíl zenitových úhlů mezi měřenými skupinami, k je počet měřených úhlů na stanovisku a l počet skupin. - 34 -
Dále byl vypočten kvadratický průměr výběrových směrodatných odchylek řádkových průměrů pro jednotlivé etapy podle vztahu (4.47), výsledné hodnoty jsou uvedeny v posledním řádku tab. 4.3. Hodnoty výběrových směrodatných odchylek, které překračují základní směrodatnou odchylku, jsou v tabulce vyznačeny červeně. s s 2 0i 0 (4.47) kde n je počet stanovisek v dané etapě. Tabulka 4.3 Přehled výběrových směrodatných odchylek zenitového úhlů v jednotkách mgon Podélná loď. n Řezy Stanovisko 6 7 8 9 10 12 15 17 18 1.řez S1 0,25 0,06 0,36 0,19 0,13 0,12 0,20 0,09 0,05 2.řez S3 0,25 0,06 0,15 0,12 0,38 0,11 0,10 0,15 0,11 3.řez S4,S7 0,19 0,12 0,19 0,08 0,14 0,12 0,13 0,23 0,07 4.řez S1 0,27 0,17 0,14 0,11 0,03 0,19 0,14 0,30 0,22 Kvadr. pr. s 0,24 0,11 0,23 0,13 0,22 0,14 0,15 0,21 0,13 0 Řezy Stanovisko 19 20 21 22 23 24 25 26 1.řez S1 0,19 0,12 0,20 0,20 0,10 0,14 0,11 0,23 2.řez S3 0,14 0,11 0,15 0,14 0,07 0,16 0,19 0,20 3.řez S4,S7 0,11 0,13 0,22 0,20 0,14 0,15 0,16 0,19 4.řez S1 0,14 0,24 0,19 0,09 0,11 0,18 0,08 0,04 Kvadr. pr. s 0,15 0,16 0,19 0,16 0,11 0,16 0,14 0,18 0 Příčná loď Řezy Stanovisko 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.řez S5 0,18 0,06 0,09 0,07 0,11 0,02 0,08 0,09 0,23 6.řez S6 0,15 0,10 0,17 0,10 0,11 0,21 0,12 0,11 0,11 Kvadr. pr. s 0,16 0,08 0,14 0,08 0,11 0,15 0,10 0,10 0,18 0 Řezy Stanovisko 19 20 21 22 23 24 25 26 5.řez S5 0,11 0,11 0,11 0,12 0,14 0,07 0,07 0,11 6.řez S6 0,07 0,15 0,14 0,21 0,15 0,07 0,07 0,11 Kvadr. pr. s 0,09 0,13 0,12 0,17 0,15 0,07 0,07 0,11 0-35 -
Pomocí výběrových směrodatných odchylek vypočtených pro jednotlivé etapy byla vypočtena celková výběrová směrodatná odchylka zenitových úhlů 0,17 mgon pro podélnou loď a 0,12 mgon pro příčnou loď. Při porovnání obou odchylek se základní směrodatnou odchylkou 0,15 mgon, bylo zjištěno, ţe hodnota dosaţené přesnosti zenitových úhlů změřených v podélné lodi neodpovídá očekávané přesnosti, z tohoto důvodu bylo přistoupeno k testování nulové hypotézy pro daná stanoviska. V tab. 4.4 je uvedeno testování hodnot nulovou hypotézou (tzn. ţe výběrová směrodatná odchylka odpovídá základní směrodatné odchylce), k zamítnutí nulové hypotézy došlo v šesté etapě měřené 23. 1. 2002, dále pak etapě osmé, která byla měřena 30. 1. 2003 a v sedmnácté etapě ze dne 19. 10. 2005. Jedná se o etapy, které byly zaměřeny v zimním a podzimním období, kdy je v chrámu měřeno za sníţené viditelnosti, coţ můţe negativně ovlivnit kvalitu měření. K zamítnutí nulové hypotézy došlo ještě v etapě desáté měřené dne 6. 5. 2004. Zde došlo k nesplnění očekávané přesnosti pravděpodobně kvůli překročení mezního rozdílu na stanovisku S1. Podmínky měření jsou v katedrále ztěţovány velkým mnoţstvím turistů, kvůli kterým musí měření probíhat v pozdějších hodinách aţ po uzavření katedrály pro veřejnost. Při měření je potřeba, aby jedna osoba asistovala měřiči a osvětlovala zespoda pozorované body. Tyto okolnosti mohly patrně způsobit zhoršenou kvalitu měření. Tab. 4.4 Testování zenitových úhlů (1. část) Stanovisko s mgon 0i 2 2 n 1 6 1.řez 0,25 8,17 3 7,81 6 2.řez 0,25 8,60 3 7,81 6 3.řez 0,19 4,99 3 7,81 6 4.řez 0,27 9,76 3 7,81 7 4.řez 0,17 4,06 3 7,81 8 1.řez 0,36 17,27 3 7,81 8 3.řez 0,19 4,61 3 7,81 9 1.řez 0,19 4,67 3 7,81 10 2.řez 0,38 19,7 3 7,81 10 5.řez 0,18 4,20 3 7,81 12 4.řez 0,19 5,05 3 7,81 12 6.řez 0,17 5,79 3 7,81 15 1.řez 0,20 5,24 3 7,81 15 6.řez 0,21 5,79 3 7,81 17 3.řez 0,23 7,33 3 7,81 17 4.řez 0,30 12,19 3 7,81-36 -
Tab. 4.4 Testování zenitových úhlů (2. část) Stanovisko s mgon 0i 2 2 n 1 18 4.řez 0,22 6,47 3 7,81 18 5.řez 0,23 7,26 3 7,81 19 1.řez 0,19 4,65 3 7,81 20 4.řez 0,24 7,56 3 7,81 21 3.řez 0,22 6,35 3 7,81 21 4.řez 0,19 4,91 3 7,81 22 1.řez 0,20 5,35 3 7,81 22 3.řez 0,19 4,77 3 7,81 22 6.řez 0,21 6,04 3 7,81 24 3.řez 0,16 3,55 3 7,81 24 4.řez 0,18 4,47 3 7,81 25 2.řez 0,19 5,03 3 7,81 26 1.řez 0,23 6,99 3 7,81 26 2.řez 0,20 5,22 3 7,81 26 3.řez 0,19 5,03 3 7,81 4.3.3 Aposteriorní přesnost měřeného převýšení Výpočet výběrové směrodatné odchylky průměrného nivelačního převýšení byl proveden podle vzorce (4.48) dd s h 4n (4.48) kde d je rovna rozdílu průměrných hodnot převýšení zjištěné z měření TAM a ZPĚT (při měření přesné nivelace Tam byly změřeny dvě převýšení a při měření Zpět rovněţ dvě převýšení, následně byl vypočten průměr pro měření TAM a ZPĚT), n je počet měřených rozdílů. Dále byl vypočten kvadratický průměr výběrové směrodatné odchylky nivelačního převýšení pro jednotlivé etapy podle vzorce (4.49), výsledné hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.5 s 2 h kde n je počet čtyřúhelníků (viz další odstavec) s h n (4.49) - 37 -
Tabulka 4.5 Přehled výběrových směrodatných odchylek měřeného převýšení v jednotkách mm. 6 7 8 9 10 12 15 17 18 sh 0,04 0,03 0,05 0,04 0,04 0,06 0,05 0,04 0,05 19 20 21 22 23 24 25 26 19 sh 0,05 0,07 0,05 0,07 0,05 0,02 0,05 0,05 0,05 Další kontrola nivelačního měření byla ověřena pomocí výpočtu uzávěrů nivelačního pořadu. Nivelační pořad (obr. 3.9) byl rozdělen na dva čtyřúhelníky U1 16 15 25 26 a U2 35 36 45 46. Pomocí směrodatné odchylky pro průměrné převýšení h, byla odvozena směrodatná odchylka uzávěru u (vzorec 4.50). Pro oba čtyřúhelníky byly vypočteny uzávěry v tab. 4.6, které se následně porovnaly s mezním uzávěrem Mezní hodnota uzávěru je dána vztahem (4.50): metu. metu up u up n h 220,07 0,28mm (4.50) kde n je počet převýšení ve čtyřúhelníku a u p je koeficient spolehlivosti. Tabulka 4.6 Přehled hodnot uzávěrů měřeného převýšení v jednotkách mm. Čtyřúhelník 6 7 8 9 10 12 15 17 18 U 16-15-25-26 -0,11 0,01 0,20-0,25 0,10-0,07-0,02-0,08-0,02 U 35-36-45-46 0,15-0,07-0,22-0,20-0,08 0,16 0,08 0,18 0,00 Čtyřúhelník 19 20 21 22 23 24 25 26 U 16-15-25-26 0,08-0,10-0,11 0,13-0,06 0,00 0,05 0,02 U 35-36-45-46 0,00 0,05 0,26 0,03-0,17 0,20 0,05 0,17-38 -
Celková výběrová směrodatná odchylka průměrného nivelačního převýšení je 0,05 mm, v jednotlivých etapách se hodnoty výběrových směrodatných odchylek pohybují v rozmezí od 0,02 do 0,07 mm. Ţádná z hodnot výběrové směrodatné odchylky nepřekročila základní směrodatnou odchylku nivelačního převýšení 0,07 mm. Dosaţená přesnost nivelačního měření tedy odpovídá očekávané přesnosti. Přesnost nivelačního měření byla kontrolována i pomocí výpočtu uzávěrů nivelačního pořadu, jejichţ hodnota byla porovnána s mezním uzávěrem. Ţádná hodnota uzávěru nepřekročila mezní hodnotu 0,28 mm. Nejvyšší dosaţená hodnota byla 0,25 mm v 9. etapě. Lze tedy opět konstatovat, ţe dosaţená přesnost nivelačního měření splňuje očekávanou přesnost. - 39 -