ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE PRAHA 2012 Magda BENDOVÁ

2 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE ZHODNOCENÍ NÁKLONU OPĚRNÝCH PILÍŘŮ KATEDRÁLY SV. VÍTA VLIVEM TEPLOTY A OSLUNĚNÍ Vedoucí práce: Doc. Ing. Jaroslav PROCHÁZKA, CSc. Katedra speciální geodézie červen 2012 Magda BENDOVÁ

3 č É É č í É í á Á Í Ř É Á í í ý é ří í á í í á í ář é á á ář é á á ář é á é ě í á í á ě ý ířů á í á ý ář é á ě ý č ý ěř ž é ě č ě í ěž á á í ář é á í á í ň é éí ří š é ý ář á č é í č ř í ě ů ě á í ě á í é í á í ář é á š řá ě ě é ž ář á é ř é á ář á č é í č řá ě é í ě á č á Š Ř Č ě š ě í ž ář á ě í ý ý í ž é ý ů ů ř é ář é á í ý é í á í ář é á ř ť ář í š ě ý Ú š á ú ůý í í í ďí í

4 ABSTRAKT Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá sledováním vodorovných náklonů v katedrále sv. Víta, vyhodnocením přesnosti měřených veličin, výpočtem a zhodnocením přesnosti náklonů. Cílem této práce je také zhodnocení posunů hlavní věže katedrály sv. Víta v Praze na základě celodenního geodetického měření. KLÍČOVÁ SLOVA Katedrála sv. Víta Posun Náklon Etapové měření Přesnost Prostorová polární metoda Trigonometrická metoda ABSTRACT This bachelor work deals with monitoring of horizontal tilts in St. Vitus Cathedral, assessing the accuracy of measured values, calculation and evaluation of the accuracy of the tilts. The aim of this work is also evaluation of displacement of main tower the St. Vitus Cathedral in Prague obtained from all-day geodetic monitoring. KEYWORDS St. Vitus Cathedral displacement tilt stage measurement precision spatial polar method trigonometrical method

5 Prohlášení PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že bakalářskou práci na téma Zhodnocení náklonu opěrných pilířů katedrály sv. Víta vlivem teploty a oslunění jsem vypracovala samostatně pouze za odborného vedení vedoucího práce pana Doc. Ing. Jaromíra Procházky, CSc. a s použitím podkladů uvedených v seznamu použité literatury. V Praze dne Magda Bendová

6 Poděkování PODĚKOVÁNÍ Chtěla bych poděkovat vedoucímu práce Doc. Ing. Jaroslavu Procházkovi, CSc. za jeho odborné vedení, poskytnutí cenných rad a připomínek v průběhu zpracování této práce a hlavně za jeho trpělivost a čas, který mi věnoval.

7 Obsah OBSAH 1. Úvod Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha Historie katedrály sv. Víta Popis katedrály sv. Víta Cíle bakalářské práce Etapové měření Použitá metoda pro zjištění vodorovných náklonů Přístroje a pomůcky použité při měření Stanoviska a zaměřované body Rozbory přesnosti etapové měření Rozbory přesnosti před měřením Apriorní přesnost vodorovných směrů Apriorní přesnost vodorovných úhlů Rozbory přesnosti při měření rozbory přesnosti při měření vodorovných směrů Rozbory přesnosti po měření rozbory přesnosti po měření vodorovných úhlů Výpočet náklonů Přesnosti veličin určujících náklony Vyhodnocení náklonů Celodenní měření Použitá metoda Přístroje a pomůcky Stanovisko, zaměřované body a vztažný bod Rozbory přesnosti celodenní měření Rozbory přesnosti před měřením Apriorní přesnost vodorovných směrů Apriorní přesnost zenitových úhlů Rozbory přesnosti při měření Rozbory přesnosti po měření Rozbory přesnosti po měření vodorovných směrů Rozbory přesnosti po měření zenitových úhlů Výpočet posunů... 39

8 Obsah 12. Přesnosti veličin určujících posuny Vyhodnocení celodenního měření Závěr Použité zdroje Seznam příloh A. Přílohy A.1 Etapové měření A.1.1 Přesnosti při měření vodorovné směry A.1.2 Vypočtené příčné vzdáleností a náklony A.2 Celodenní měření A.2.1 Hodnoty pro směrodatné výběrové odchylky délky A.2.2 Měřená data, vypočtené hodnoty a poloha Slunce... 65

9 Úvod 1. ÚVOD Z důvodu bezpečnosti a kulturní hodnoty historických staveb, kterou je beze vší pochybnosti i katedrála sv. Víta, je potřeba provádět měření pro zjištění jejich stability. Tato měření jsou nejčastěji vyvolána zjevnými poruchami stavebních konstrukcí (vznik trhlin) a jejich cílem je zjistit příčiny jejich vzniku. Proto je nutno sledovat v delším časovém úseku svislé a vodorovné posuny či náklony vybraných objektů nebo jejich částí. Přitom je důležité oddělit posuny vratné (nejčastěji způsobené vlivem rozdílů teploty, osluněním, popř. i větrem) a trvalé (způsobené např. vlivem stlačení podloží, provozem, či změnou hladiny spodní vody apod.) Měření a hlavně umístění pozorovaných bodů musí být provedeno v kooperaci s památkáři a správci objektů. Z důvodu nebezpečí poškození jsou některé značky umísťovány na objekty do předem osazených zděří pouze na dobu měření. Pro zjištění nejvhodnější metody a postupu měření je potřeba znát požadovanou přesnost určení velikosti posunů, kterou z pravidla udává statik. Častým požadavkem je prokázání posunu přesahujícího 1 mm. S ohledem na tuto přesnost se volí pro sledování svislých posunů nejčastěji metoda přesné nivelace a pro sledování vodorovných posunů trigonometrická metoda. Trigonometrická metoda byla použita i při měření v katedrále sv. Víta. Za prokázaný posun považujeme pouze ten, jehož hodnota přesáhne mezní odchylku. Pokud tato odchylka překročena není, je bod považován za stabilní. Dodržování stejných postupů a zásad vede k eliminaci systematických chyb stálé velikosti. Použití stejného přístroje by mělo být samozřejmostí. Taktéž je vhodné, aby měření prováděl vždy stejný měřič. Stejná chyba v centraci je zajištěna stejnou polohou optického centrovače. Za předpokladu, že bude ve všech etapách měřeno za identických podmínek, systematické chyby nebudou mít na výsledek vliv. 8

10 Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha 2. KATEDRÁLA SV. Víta, Václava a Vojtěcha Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha je nejvýraznější stavební i duchovní památkou Prahy. Jako národní památce nejvyššího stupně se jí dostává nejvyšší ochrany z hlediska památkové péče a veškerá činnost týkající se stavebních konstrukcí katedrály, tedy včetně osazení měřických bodů, podléhá schválení Ústavu památkové péče Kanceláře prezidenta republiky. 2.1 HISTORIE KATEDRÁLY SV. VÍTA Při příležitosti jmenování prvního pražského arcibiskupa Arnošta z Pardubic, položil 21. listopadu 1344 král Jan Lucemburský se svými syny základní kámen katedrály. Prvním stavitelem byl francouzský stavitel Matyáš z Arrasu. Na stavbě katedrály se podílel pouze osm let, pak zemřel. Za tuto dobu stačil vybudovat osm kaplí umístěných kolem chórového závěru a osm vnitřních pilířů. Dalším stavitelem byl Petr Parléř. Očekávalo se, že se bude držet projektu Matyáše z Arrasu, ale nestalo se tak. Na místo toho vznikala velice dekorativní katedrála s novým způsobem klenby. V roce 1362 byl dostavěn věnec kaplí a roku 1366 byla hotova Svatováclavská kaple. Z kaple vedené schody ústí do komory na korunovační klenoty. Roku 1370 byla katedrála hotova po triforium a začala se stavět horní část. Jak stavba pokračovala, musela se ubourávat původní bazilika a ostatky v ní pohřbených panovníků byly roku 1373 přeneseny do katedrály. O rok později byly přesunuty i ostatky biskupů. Prvním, kdo byl v ještě nedokončené katedrále pohřben, byl Karel IV. Vysvěcena byla stavba až o sedm let později - 1. října Roku 1396 zahájil Parléř stavbu velké věže, která měla být svatovítskou zvonicí. O tři roky později stavitel umírá a i on je pohřben v katedrále. Stavbu po něm převzali jeho synové Jan a Václav. Zbudovali velkou kapli, pokračovali i ve stavbě veliké věže, kterou dostavěli až po ochoz. V roce 1419 však byla stavba důsledkem husitských válek přerušena. Husité se neustále snažili o dobytí hradu. Dne 7. června 1421 Zikmund a jeho posádka kapitulovali a radikální husité začali chrám sv. Víta drancovat. Došlo k poškození téměř všech oltářů, obrazů, soch. Po ukončení husitských válek byl zpustošený hrad opuštěný. K dalšímu obydlení pražského hradu došlo až roku 1485 a to Vladislavem Jagellonským. A 9

11 Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha byl to právě on, kdo dal popud k prvnímu pokusu o dostavbu svatovítské katedrály. Byl povolán stavitel z jižního Německa Benedikt Ried. Položil základy druhé - severní věže. Pro nedostatek financí byla však stavba již po dvou letech přerušena. Roku 1541 katedrála vyhořela. Opravy trvaly až do roku 1586, hlavní roli při ní hráli Bonifác Wohlmut a Hans Tirol. Těm se podařilo na velkou věž umístit ochoz a zastřešit ji renesanční bání. Další pohromou, která katedrálu postihla, byla obrazoborecká akce, kterou v roce 1620 zorganizoval Abraham Skultety. Během ní byla katedrály vypleněna, zničeny obrazy a sochy, poškozeny oltáře, náhrobky. Po bitvě na Bílé hoře vrátil císař chrám katolíkům. V následujících letech probíhaly opravy chrámu. Byly ovšem opět přerušeny, tentokráte třicetiletou válkou. Teprve roku 1673 se císař Leopold I. pokusil o dostavbu katedrály. Znovu však došly finanční prostředky. Roku 1757 byla Praha obléhána Prusy a hrad byl ostřelován. Po ukončení obléhání bylo ze zdí katedrály vyndáno 770 dělových koulí. Dalším architektem, který se podílel z pověření císařovny Marie Terezie na stavbě katedrály, byl Nicola Pacassiny. Dal odstranit renesanční báň a nahradil ji barokní, kterou známe dnes. Jeho práce na hradě skončily roku S myšlenkou na dostavbu katedrály v 19. století přišel jako první pražský kněz Václav Michal Pešina. Roku 1832 začal pro svoji ideu získávat další stoupence. O devět let později podal hrabě František Thun - Hohenstein žádost o povolení spolku na dostavbu katedrály. Ferdinand V. dal souhlas až v červenci 1844, předsedou byl zvolen právě F. Thun Hohenstein. Arcibiskup Schwarzenberg na žádost spolku vydal pastýřský list, kterým nabádal věřící, aby přispěli na dostavbu katedrály. Díky této sbírce získala jednota dostatek peněz pro své účely. Josef Kranner byl roku 1861 jmenován stavitelem a architektem chrámu. Během jeho prací na katedrále byly opraveny čtyři kaple závěru, opraven opěrný systém a komora korunovačních klenot. Kranner až do své smrti pracoval na restaurátorských pracích ve staré části katedrály. Dalším stavitelem byl Josef Mocker. Pracovat na katedrále začal v říjnu 1872 a dokončil restaurátorské práce ve staré části. Chrám byl slavnostně otevřen 10

12 Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha a vysvěcen arcibiskupem Schwarzenbergem dne 30. srpna 1873 k oslavě 900. výročí založení pražského biskupství. Základní kámen k nové části katedrály byl položen 1. října Kvůli stavbě musela být zbořena kaple sv. Mořice a dokonce i kaple sv. Vojtěcha. Při jejím bourání byla nalezena schránka s ostatky svatého Vojtěcha s pečetí pravosti od Arnošta z Pardubic. Mocker přišel s vlastním projektem na dostavbu katedrály. Navrhl gotické trojlodí se dvěma věžemi v průčelí. Stavět začal roku 1876 a již roku 1885 stála katedrála do výše galerie, v roce 1892 byly dostavěny obě zamýšlené věže a v roce 1898 byl západní štít kompletně dokončen. Dne 16. ledna 1899 Mocker umírá. Dalším jmenovaným stavitelem byl Kamil Hilbert. Jako první se tento mladý architekt pustil do rekonstrukce velké věže, dále se věnoval oknu Petra Parléře, které bylo doposud prázdné. K jeho osazení došlo roku O rok později dokončil práce na klenbách novostavby. K restaurování Svatováclavské kaple došlo v roce Kamilu Hilbertovi se zde podařilo odkrýt zbytky původní rotundy a část baziliky, zároveň také odkryl hrob svatého Václava. Dalo by se říci, že roku 1923 je stavba katedrály konečně hotova. Přesto ale zůstává katedrála rozdělena na dvě části. Stará část byla od nové části oddělena Parléřovou zdí. Ze strany chóru ke zdi přiléhala Wohlmutova renesanční kruchta. Parléřova zeď byla roku 1926 zbořena a kruchta přemístěna k severnímu rameni příčné lodi. Následně byl doděláván interiér a úprava královské hrobky. Dne 12. května 1929 byl chrám biskupem Janem Sedlákem vysvěcen. Dne 28. září roku 1929 byl chrám biskupem dr. Antonínem Podlahou konečně odevzdán veřejnosti. Stalo se tak u příležitosti tisíciletého výročí smrti sv. Václava. [2], [3], [4] OBRÁZEK 2.1: VZÁJEMNÁ POLOHA ROTUNDY, BAZILIKY A KATEDRÁLY: černě je zobrazena rotunda, červeně bazilika a modře katedrála sv. Víta [5] 11

13 Katedrála sv. Víta, Václava a Vojtěcha 2.2 POPIS KATEDRÁLY SV. VÍTA Katedrála sv. Víta se nachází na III. nádvoří Pražského hradu. Její půdorysné rozměry jsou 124 x 60 metrů. Hlavní věž dosahuje do výšky úctyhodných 96,5 metru. Čelní věže se pnou do výše 82 metrů. OBRÁZEK 2.2: KATEDRÁLA SV. VÍTA A PRAŽSKÝ HRAD [6] Hlavní vchod v západním průčelí, je tvořen třemi bronzovými vraty, která jsou ozdobena reliéfy s výjevy z českých dějin a z historie chrámu. Významnou dominantou této části katedrály je veliké rozetové okno, které má v průměru deset metrů. V jeho barevných sklech je vyobrazeno stvoření světa a člověka. Pod ním můžeme vidět busty stavitelů novodobé části katedrály Josefa Mockera a Karla Hilberta. Na jižní straně katedrály lze poměrně dobře rozlišit novou část od staré. Zde se také nachází původně zamýšlený vchod do katedrály - takzvaná Zlatá brána. Nad ní se vyjímá unikátní gotická mozaika, která zabírá plochu 82 m 2. Uprostřed se nachází postava Krista, která je obklopena anděly, a pod nimi pokorně klečí čeští patroni. V levé skupince je to sv. Václav, sv. Ludmila a sv. Vojtěch, naproti nim pak klečí sv. Prokop, sv. Zikmund a sv. Vít. V levé části mozaiky je zobrazen výjev vstávání mrtvých z hrobů. Na pravé straně archanděl Michael zahání hříšníky do pekla. Vedle oken vidíme klečícího Karla IV. a jeho poslední ženu Alžbětu Pomořanskou. Vnitřek katedrály je lemován kaplemi. [2] 12

14 Cíle bakalářské práce 3. CÍLE BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Hlavním cílem mé bakalářské práce bylo ověřit vliv slunečního záření, způsobujícího teplotní změny částí stavebních konstrukcí katedrály, na vodorovné posuny, resp. náklony opěrných pilířů hlavní lodi v řezu č.2. Pilíře tohoto příčného řezu (obr. 3.1) se nacházejí v těsném sousedství hlavní věže katedrály a výsledky dlouhodobého sledování (kap. 5) vykazují významně větší posuny oproti ostatním pilířům. Proto vzniklo podezření na ovlivnění zmíněných vodorovných posunů působením náklonu hlavní věže katedrály právě osluněním během dne, resp. postupným vychládáním jejího zdiva ve večerních hodinách, kdy etapová měření probíhají. Z uvedených důvodů bylo rozhodnuto uskutečnit a vyhodnotit celodenní sledování chování hlavní věže katedrály vlivem oslunění tak, aby bylo možno zhodnotit oprávněnost předpokládaného působení hlavní věže na posuny opěrných pilířů. Součástí hodnocení bylo tedy i zpracování části převzatých etapových měření. OBRÁZEK 3.1: ROZLOŽENÍ ŘEZŮ A STANOVISEK V KATEDRÁLE SV. VÍTA [13] 13

15 Etapové měření 4. ETAPOVÉ MĚŘENÍ Vzhledem k identifikaci statických poruch (trhlin) ve stavebních konstrukcích katedrály, probíhá od června roku 2000 sledování svislých a vodorovných posunů (náklonů) opěrných pilířů hlavní lodi katedrály, a to nejprve ve 4 příčných řezech vybraných statikem, později v dalších dvou řezech příčné lodi na styku mezi historickou a novodobou částí katedrály. Měření, která prováděla katedra speciální geodézie FSv ČVUT v Praze, probíhala nejprve ve čtyřech etapách ročně a po stanovení teplotních vlivů na svislé a vodorovné posuny (tzv. vratné posuny) se přešlo na 2 etapy za rok, k podchycení trvalých posunů, se snahou o minimalizaci teplotních vlivů (měřeno na jaře a na podzim, za přibližně podobných atmosférických podmínek). 4.1 POUŽITÁ METODA PRO ZJIŠTĚNÍ VODOROVNÝCH NÁKLONŮ Pro zaměření vodorovných náklonů v katedrále sv. Víta byla použita metoda trigonometrického měření. Měřily se vodorovné a zenitové úhly ve dvou skupinách s dvojím cílením. Ze stanoviska S3 byly měřeny body na pilířích řezu číslo 2 a to v pořadí 21, 21, 23, 23, 22, 22, 24, 24 a ve druhé poloze v opačném pořadí (obr. 3.1). S ohledem na eliminaci chyb délkového měření (směrodatná odchylka dálkoměru je pro krátké délky cca 1 mm) a k obtížné přístupnosti horních pozorovaných bodů na úrovni triforia (trvalé osazení bodů odraznými terčíky nebylo památkáři povoleno), byly délky měřeny jen v základní etapě a v dalších etapách jsou považovány za stejné. Při použití stále stejného přístroje a jeho centraci pouze v jednom, stále stejném směru, lze považovat systematickou složku chyby v centraci přístroje za stálou a náhodnou složku lze uvažovat směrodatnou odchylkou cca 0,3 mm. Při malém vodorovném úhlu mezi horním a dolním pozorovaným bodem na pilíři se pak uvedená chyba v centraci na náklon pilíře prakticky neuplatní (způsobí nepatrnou změnu délky záměry). Vzhledem k vysoké turistické návštěvnosti lze měřit v katedrále až v odpoledních hodinách, prakticky až po jejím uzavření. Osobně jsem se účastnila měření 28. etapy dne , toto měření probíhalo přibližně od 17 do 21 hodiny. Tento čas bohužel nezaručuje dobrou viditelnost (denní světlo) a je tedy zhoršena přesnost cílení. Z tohoto důvodu je při měření nutné umělé osvětlování cílů. 14

16 Etapové měření 4.2 PŘÍSTROJE A POMŮCKY POUŽITÉ PŘI MĚŘENÍ Pro měření náklonů v katedrále sv. Víta byla ve všech etapách použita totální stanice Leica TC 1800 s výrobním číslem Centrace proběhla pomocí optického centrovače totální stanice. Optický centrovač byl vždy natočen ve směru osy chrámu, aby nedocházelo k rozdílným chybám v centraci. Horizontace bylo docíleno pomocí krabicové libely a elektronické libely. Byl použit stativ firmy Leica, který byl pro zajištění stability na kluzké dlažbě katedrály postaven do dřevěného kříže. Vzhledem k příkrým záměrám bylo měřeno s lomeným okulárem. Pro měření vodorovných směrů a zenitových úhlů udává výrobce přesnost 0,3mgon podle ISO Jedná se o přesnost směru měřeného ve dvou polohách dalekohledu. Pro normální měření délek (DIST) je udána přesnost 1mm + 2ppm podle ISO a rychlost měření je 3s [8]. Naměřené hodnoty se vypisují na dvou displejích, nejmenší zobrazovanou jednotkou je 0,1mgon. Měření je možno registrovat na paměťovou kartu. Při měření v katedrále sv. Víta byly ale hodnoty zapisovány do zápisníků, což umožnilo na místě naměřené veličiny kontrolovat - počítat přesnosti při měření. OBRÁZEK 4.1: LEICA TC 1800, V. Č Během měření vodorovných náklonů byla měřena teplota u zaměřovaných bodů. Pro tuto činnost byl použit bezkontaktní teploměr Amir Přesnost je výrobcem udána v rozmezí ±1 C [9]. Laser, kterým je tento teploměr vybaven, umožňuje odečítání teploty z jakéhokoliv místa. 15

17 Etapové měření OBRÁZEK 4.2: BEZKONTAKTNÍ TEPLOMĚR AMIR STANOVISKA A ZAMĚŘOVANÉ BODY Všechna stanoviska jsou v mramorové podlaze chrámu stabilizována mosaznými válečky s dírkou o průměr 1 mm (obr. 4.3). Náklon opěrných pilířů řezu číslo 2 byl zaměřován ze stanoviska číslo S3 (obr. 4.6). OBRÁZEK 4.3: JEDNO ZE STANOVISEK V CHRÁMU SV. VÍTA (S ČÁSTÍ DŘEVĚNÉHO KŘÍŽE) Stanoviska jsou volena tak, aby vzdálenost na zaměřované body byla přibližně stejná. Na každém pilíři jsou umístěny dva pozorované body. Body v horní části jsou trvale umístěny ve výšce triforia. Body v dolní části jsou nasazovány vždy jen 16

18 Etapové měření na měření. V pilířích jsou osazeny zděře ve výšce cca dvou metrů, do kterých jsou modrožluté terčíky umísťovány (obr.4.4). Pro docílení správnosti měření jsou tyto terčíky očíslovány a šroubovány vždy do příslušné zdířky. Je nutno dbát na to, aby byl terčík vždy zcela zašroubován. OBRÁZEK 4.4: ZDÍŘKA A TERČÍK DOLNÍHO BODU Samotný terčík je kruhového tvaru o průměru 20 mm, se žlutým středem o průměru 5 mm (obr.4.4). Pro správné cílení bylo na terčíky svíceno. OBRÁZEK 4.5: VELIKOST A OZNAČENÍ TERČÍKŮ (ZADNÍ STRANA) V katedrále sv. Víta se provádí měření na šesti řezech. Podélná loď zahrnuje řezy 1, 2, 3 a 4, příčná loď pak řezy 5 a 6 (obr.4.6). Terčíky jsou označeny dvoucifernými čísly, první cifra značí číslo řezu a druhá umístění na příslušném pilíři. Na levé straně, ve směru od vchodu, se nalézají čísla lichá a na pravé straně čísla sudá. V dolní části pilířů se tedy nalézají body s čísly X1 (vlevo) a X2 (vpravo), kde X značí číslo řezu. Na obrázku číslo 4.6 je patrno rozvržení jednotlivých řezů v katedrále. 17

19 Etapové měření OBRÁZEK 4.6: ROZLOŽENÍ ŘEZŮ V KATEDRÁLE SV. VÍTA, STANOVISKO S3 [10] 18

20 Rozbory přesnosti etapové měření 5. ROZBORY PŘESNOSTI ETAPOVÉ MĚŘENÍ Rozbory přesnosti jsou nutné zejména pro zvolení vhodné metody, postupu, pomůcek a přístrojů pro měření vodorovných náklonů. Vliv zde hraje také finanční a časová nákladnost jednotlivých metod. Výsledkem rozborů je počet opakování měřených veličin, způsoby kontroly a mezní hodnoty pro měření náklonů. 5.1 ROZBORY PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM Očekávaná přesnost měřených veličin je dána směrodatnou odchylkou. V této kapitole jsou odvozeny směrodatné odchylky pro vodorovné směry a vodorovné úhly. V podkapitole jsou postupně odvozeny směrodatné odchylky pro vodorovné směry měřené v jedné skupině s dvojím cílením (5.4), pro vodorovné směry redukované o počáteční směry (5.8) a pro redukované vodorovné směry měřené ve dvou skupinách s dvojím cílením (5.12). V podkapitole je pak odvozena konečná směrodatná odchylka vodorovného úhlu (5.20). Ta vyplývá ze směrodatné odchylky vodorovného směru měřeného ve dvou skupinách s dvojím cílením (5.16) APRIORNÍ PŘESNOST VOD OROVNÝCH SMĚRŮ Vodorovné směry měřené v katedrále sv. Víta byly měřeny Leicou TC 1800, jejíž směrodatná odchylka vodorovného směru zaměřeného ve dvou polohách s jedním cílením je výrobcem udávána hodnotou. Nejprve je potřeba odvodit přesnost vodorovného směru zaměřovaného v jedné skupině s dvojím cílením. Jedná se tedy o průměr ze dvou cílení. Vycházíme z počátečního vzorce:, (5.1) kde je vodorovný směr zjištěný měřením v jedné skupině s dvojím cílením, vypočtený jako průměr dvou měření a s jedním cílením, jejichž směrodatné odchylky jsou známy. Aplikací zákona hromadění skutečných chyb získáme výraz (5.2). 19

21 Rozbory přesnosti etapové měření (5.2) Po přechodu na směrodatné odchylky získáváme výraz (5.3), v němž platí. (5.3) (5.4) Vyčíslením výrazu (5.3) získáváme směrodatnou odchylku vodorovného směru měřeného ve dvou polohách (v jedné skupině) s dvojím cílením. Dále je potřeba zjistit směrodatnou odchylku vodorovného směru, opraveného o počáteční čtení. Základní vzorec, z kterého vycházíme je:, (5.5) kde je směr redukovaný o počáteční čtení. je vodorovný směr měřený v jedné skupině s dvojím cílením, je hodnota opravy o počáteční čtení. Jako v předchozím případě aplikujeme zákon hromadění skutečných chyb. (5.6) Přechodem na směrodatné odchylky dostáváme tvar (5.7). (5.7) Z uvážení, že, vyplývá vzorec (5.8). Dosazením výsledku rovnice (5.4) do rovnice (5.8) získáváme směrodatnou odchylku vodorovného směru zaměřeného v jedné skupině s dvojím cílením opraveného o počáteční čtení. (5.8) 20

22 Rozbory přesnosti etapové měření Konečný směr je definován jako průměr směrů měřených ve dvou skupinách s dvojím cílením redukovaných o počáteční čtení. (5.9) značí výsledný redukovaný směr získaný průměrem směrů měřených v jedné skupině s dvojím cílením. Aplikací zákona hromadění skutečných chyb, dojdeme ke vzorci (5.10). (5.10) Rovnici (5.11) získáme přechodem na směrodatné odchylky. Platí - li podmínka, že, dostáváme konečný výsledek (5.12). (5.11) (5.12) Hodnota výsledného redukovaného směru získaného ze dvou skupin s dvojím cílením je tedy 0,21 mgon. Pozn.: V následujících odvozeních byl použit zákon hromadění skute ných chyb a směrodatných odchylek s analogickými předpoklady. Jsou uváděny však jen výsledné vzorce APRIORNÍ PŘESNOST VOD OROVNÝCH ÚHLŮ Vodorovné úhly, s kterými bylo počítáno při vyhodnocování vodorovných náklonů v katedrále sv. Víta, byly vypočteny jako rozdíl dvou vodorovných směrů. Abychom zjistili jejich směrodatnou odchylku, je nejprve potřeba zjistit odchylku vodorovného směru, který byl měřen ve dvou skupinách ( ). Ten je definován jako průměr za dvou skupin ( ). 21

23 Rozbory přesnosti etapové měření (5.13) (5.14) (5.15) (5.16) Ze směrodatné odchylky směru, kterou jsme zjistili z rovnice (5.16), lze vypočíst směrodatnou odchylku úhlu. Ten je roven rozdílu dvou směrů měřených ve dvou skupinách. (5.17) (5.18) (5.19) (5.20) Hodnota směrodatné odchylky úhlu získaného jako rozdíl dvou směrů měřených ve dvou skupinách s dvojím cílením je tedy 0,21 mgon. 5.2 ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ Rozbory přesnosti při měření nám umožňují přímo v terénu zhodnotit přesnost měřených veličin. Slouží především k zajištění přesnosti, která byla stanovena rozbory před měřením. Toto testování se provádí pomocí známé směrodatné odchylky jednoho měření a zvolené hladině významnosti. Předmětem testování je odlehlost měření. Počet opakovaní je rovem dvěma a odlehlost testujeme pomocí mezního rozdílu (5.21). 22

24 Rozbory přesnosti etapové měření (5.21) Ve vzorci (5.21) volíme koeficient spolehlivosti pro hladinu významnosti, je směrodatná odchylka jednoho měření, například vodorovného úhlu měřeného v jedné skupině s dvojím cílením ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ VODOROVNÝCH SMĚRŮ Vodorovné směry byly v katedrále sv. Víta měřeny elektronickým tachymetrem Leica TC 1800 ve dvou skupinách s dvojím cílením. Jejich přesnost byla kontrolována porovnáním mezního rozdílu s absolutní hodnotou rozdílu mezi redukovanými směry měřenými v jedné skupině s dvojím cílením. Jak bylo v kapitole odvozeno, směrodatná odchylka redukovaného směru měřeného v jedné skupině s dvojím cílením je 0,3 mgon. Dosazením do výrazu (5.21) a jeho vyčíslením získáváme hodnotu mezního rozdílu pro rozdíl mezi skupinami redukovaných vodorovných směrů (5.22). (5.22) V etapách 19, 22 a 28 byl u bodu číslo 24 mezní rozdíl překročen. Tento bod je umístěn v horní části pilíře. Tyto etapy byly měřeny v podzimních měsících, kdy je viditelnost v katedrále horší a dosažená přesnost měření je touto skutečností ovlivněna. viz příloha A ROZBORY PŘESNOSTI PO MĚŘENÍ Přesnost změřených veličin je dána výběrovou směrodatnou odchylkou, která je spočtena zvlášť pro vodorovné úhly a zvlášť pro zenitové úhly ROZBORY PŘESNOSTI PO MĚŘENÍ VODOROVNÝCH Ú HLŮ Po měření byly vypočteny směrodatné odchylky řádkového průměru a následně kvadratický průměr směrodatných řádkových průměrů sφ. Pro opravení vlivu systematických chyb byl použit druhý výpočet oprav, vypočtený podle vzorce (5.23). Hodnoty těchto výběrových směrodatných odchylek pro řez 2 jsou uvedeny v tabulce (5.1). 23

25 Rozbory přesnosti etapové měření (5.23) (5.24) Ve vzorci (5.24) v značí opravu od průměrné hodnoty, k je počet směrů (bylo měřeno bez uzávěru a tedy ) a s je počet skupin ( ). Tab. 5.1 Kvadratické průměry směrodatných odchylek řádkových průměrů a výběrové směrodatné odchylky pro řez 2 (stanovisko S3) [mgon]. Etapa s φ 0,25 0,17 0,19 0,19 0,09 0,08 0,07 0,12 0,10 0,18 s φ0 0,18 0,14 0,15 0,20 0,11 0,08 0,06 0,08 0,14 0,17 Kvadratickým průměrem směrodatných odchylek sφ0 všech deseti zkoumaných etap byla vypočtena celková výběrová směrodatná odchylka. Její hodnota nepřesahuje směrodatnou odchylku vodorovného úhlu 0,21 mgon, která byla odvozena v kapitole S ohledem na tuto skutečnost lze apriorní přesnost vodorovných úhlů považovat za dodrženou. 24

26 Výpočet náklonů 6. VÝPOČET NÁKLONŮ Předmětem této bakalářské práce je zjištění hodnot vodorovných náklonů pro řez 2 v katedrále sv. Víta. Jedná se o měření získané za období od 3. září 2007, kdy proběhla v pořadí již 19. etapa, do , kdy se uskutečnila 28. etapa. Vyhodnocení těchto deseti etap je vztaženo právě k 19. etapě. Body umístěné na pilíři řezu dvě byly zaměřovány ze stanoviska S3. V nulté etapě ( ) byly změřeny vodorovné vzdálenosti bodů od stanoviska. V tabulce 6.1 jsou uvedeny měřené délky a průměrné délky, které vstupují do následujících výpočtů. Tab. 6.1 Vodorovné délky na body řezu íslo 2 a jejich průměrné hodnoty [m]. Bod d d 21 26, , , , , ,0120 Výpočet vodorovné vzdálenosti mezi body v dolní a horní části pilíře byl odvozen z trojúhelníku (obr. 6.1). OBRÁZEK 6.1: TROJÚHELNÍKY NA ODVOZENÍ VÝPOČTU NÁKLONŮ Vrcholy trojúhelníků jsou tvořeny stanoviskem S3 a zaměřovanými body na pilířích. Určovanou neznámou jsou na obrázku červeně vyznačené vodorovné délky q mezi horním a dolním bodem. Jak je na obrázku 6.1 patrno, je horní bod 25

27 Výpočet náklonů na levém pilíři oproti dolnímu orientován jinak, než je tomu na pilíři vpravo. Pro výpočet vzdálenosti q byl odvozen vzorec (6.1). (6.1) Velikost úhlu ω je potřeba převést na úhlovou míru. Dosahuje maximální hodnoty 0,1377 gon, a proto je možné rovnici (6.1) zjednodušit na tvar (6.2). (6.2) ρ je radián a jeho hodnota je rovna výrazu. Úhel ω je získán z měřených vodorovných směrů. Pro levý pilíř platí vzorec (6.3) a pro pravý (6.4). (6.3) (6.4) Konečná hodnota náklonu je vypočtena jako rozdíl náklonu v dílčí etapě a náklonu v 19. etapě podle (6.5). (6.5) Pokud je výsledná hodnota náklonu kladná, jedná se o pohyb od osy chrámu, záporná znamená náklon k ose. V tabulce 6.2 jsou uvedeny hodnoty náklonů vztažených k 19. etapě. Vzhledem ke skutečnosti, že v 19. etapě byla teplota nejvyšší jsou náklony převážně kladné. Tab. 6.2 Hodnoty náklonů sloupů řezu 2 v katedrále sv. Víta. Etapa teplota [ C] 19 19, , , , , , , , , ,9 body náklon [mm] ,00 1,45 0,81 1,06 0,58 0,81 0,02 1,26 0,24 1, ,00 1,56 0,84 0,93-0,57 1,32 0,35 0,97 0,25 0,99 Podrobné vypočtené hodnoty příčných vzdáleností a náklonů vztažených k 19. etapě jsou uvedeny v příloze A

28 Přesnosti veličin určujících náklony 7. PŘESNOSTI VELIČIN URČUJÍCÍCH NÁKLONY Přesnost náklonů je závislá na přesnosti měřených vodorovných úhlů a délek. Jejich přesnost závisí na chybě v dostředění přístroje a cíle a na chybě v cílení a čtení [11]. V odvození přesnosti vycházíme ze vzorce pro výpočet náklonu:, (7.1) kde je příčná vzdálenost horního a dolního bodu v n-té etapě je příčná vzdálenost horního a dolního bodu v 19. etapě je průměrná vodorovná délka ze stanoviska na body v n-té etapě je průměrná vodorovná délka ze stanoviska na body v 19. etapě je vodorovný úhel mezi horním a dolním bodem v n té etapě je vodorovný úhel mezi horním a dolním bodem v 19. etapě. Při zpracování měření v katedrále pracujeme se vztahem, výraz (7.1) můžeme tedy zjednodušit na tvar (7.2). (7.2) (7.3). Po aplikaci zákona hromadění skutečných chyb dostaneme rovnici ve tvaru (7.3) Předpokládáme-li, že odchylky úhlů v sobě obsahují vliv měřeného úhlu a zároveň vliv dostředění přístroje na stanovisku, pak můžeme do vzorce (7.3) dosadit výrazy (7.4) a (7.5) pro n-tou a 19. etapu. (7.4) 27 (7.5)

29 Přesnosti veličin určujících náklony Vzhledem k pevné stabilizaci měřených bodů můžeme vyloučit chyby z dostředění cílů. Vliv dostředění přístroje je odvozen v [11] a má tvar (7.6). (7.6) Veličina značí excentricitu, náhodnou odchylku v dostředění přístroje. Po dosazení do předchozích výrazů získáváme rovnici (7.7). (7.7) Ve vzorci (7.7) rozlišujeme excentricitu v jednotlivých n-tých etapách a v 19. etapě, ke které měření vztahujeme. Z tohoto výrazu přejdeme na směrodatné odchylky pomocí zákona hromadění směrodatných odchylek. (7.8) Rovnici (7.8) lze zjednodušit za použití předpokladu, že úhly byly měřeny se stejnou přesností, tedy, pak platí. Ze vzorce (7.2) získáváme výraz. Zároveň můžeme ještě položit, jelikož byl po celou dobu měření jednotlivých etap kladen důraz na shodné postavení přístroje a postup centrace. Dosazením do (7.8) a jednoduchou úpravou získáváme výsledný výraz (7.9). (7.9) Tento vzorec vyjadřuje vliv přesnosti jednotlivých kroků na měřené náklony. První ze sčítanců vyjadřuje vliv přesnosti měření délek, druhý vliv 28

30 Přesnosti veličin určujících náklony přesnosti měření vodorovných úhlů a třetí sčítanec vyjadřuje vliv dostředění přístroje na stanovisku. Maximální náklon dosahuje hodnoty 1,56 mm a průměrná délka záměry je 26 m. Po dosazení těchto hodnot do vzorce (7.10) dostáváme hodnotu vlivu přesnosti měření délek v řádu. V jednotlivých etapách bylo počítáno se stejnými délkami, a tudíž tento vliv můžeme zanedbat. (7.10) Jak bylo popsáno v kapitole 4.2, byl optický centrovač vždy směrován do osy katedrály. Tím byla prakticky vyloučena systematická složka odchylky v dostředění přístroje. Tímto postupem se podle [12] docílí přesnosti cca 0,4 mm. Maximální hodnota úhlu je pouze 0,1377 gon. Po dosazení do (7.11) zjistíme, že vliv dostředění přístroje na stanovisku dosahuje hodnoty 0,008 mm. Náklony se pohybují v desetinách milimetrů a hodnotu tohoto vlivu také můžeme zanedbat. (7.11) S ohledem na předchozí poznatky závisí přesnost měřených náklonů jen na přesnosti měřeného vodorovného úhlu. Vztah (7.9) se tedy zjednoduší na (7.12). (7.12) Po dosazení směrodatné odchylky úhlu získaného jako rozdíl dvou směrů měřených ve dvou skupinách s dvojím cílením, která byla odvozena v kapitole 5.1.2, získáme očekávané mezní hodnoty pro levý a pravý pilíř druhého řezu. Vzhledem k téměř shodné hodnotě délky záměry na body levého a pravého pilíře, je v tabulce 7.1 uvedena jedna hodnota pro oba pilíře. Abychom mohli náklony považovat za prokázané, byla podle (7.13) vypočtena mezní hodnota náklonu. je koeficient spolehlivosti pro hladinu významnosti, dosahuje hodnoty. Pokud náklony překročí mezní hodnotu, jsou pokládány za prokázané. Když tuto hodnotu nepřekročí nelze je považovat za prokázané, ale ani je nelze vyloučit. Mezní hodnota pro zkoumaný řez 2 je uvedena v tabulce

31 Přesnosti veličin určujících náklony (7.13) Tab. 7.1 O ekávaná směrodatná odchylka a mezní hodnota náklonů druhého řezu [mm]. řez σδq Δmet 2. řez 0,12 0,24 Dosažené přesnosti a jim odpovídající mezní hodnoty jsou uvedeny v tabulce 7.2. Dosažená přesnost byla vypočtena podle (7.14), tam je místo směrodatné odchylky úhlu dosazena celková výběrová směrodatná odchylka vypočtená v kapitole Mezní odchylka je vypočtena stejně jako u přesností požadovaných podle (7.13). (7.14) Tab. 7.2 Dosažená směrodatná odchylka a mezní hodnota náklonů druhého řezu [mm]. řez σδq Δmet 2. řez 0,08 0,16 Dosažené přesnosti jsou počítány z přesnějších vstupních hodnot, a proto jsou náklony porovnávány s těmito hodnotami. Pro přehlednost jsou náklony, které můžeme považovat za prokázané, označeny v tabulce 7.3 červeně. Tab. 7.3 Hodnoty náklonů sloupů řezu 2, ervené hodnoty jsou prokázané. Etapa teplota [ C] 19 19, , , , , , , , , ,9 body náklon [mm] ,00 1,45 0,81 1,06 0,58 0,81 0,02 1,26 0,24 1, ,00 1,56 0,84 0,93-0,57 1,32 0,35 0,97 0,25 0,99 30

32 náklon [mm] náklon [mm] Vyhodnocení náklonů 8. VYHODNOCENÍ NÁKLONŮ Hodnoty náklonů vztažené k devatenácté etapě jsou uvedeny v tabulce 7.3. Záporné znaménko znamená, že se pilíř naklání k ose chrámu, kladné pak značí náklon od osy. Jak bylo odvozeno v kapitole 7, je přesnost náklonů závislá především na měření vodorovného úhlu. Předmětem této bakalářské práce jsou pouze náklony druhého řezu v katedrále sv. Víta. Na grafech 8.1 a 8.2 jsou zobrazeny náklony a teploty během těchto etap. Z uvedených hodnot vyplývá souvislost teploty a směru náklonu. S rostoucí teplotou se pilíře naklání směrem k ose chrámu a s klesající naopak od osy. V grafu 8.4 je vidět závislost náklonu na teplotě, proložené vyrovnávací přímky dokazují předchozí tvrzení. Graf 8.1 Náklon mezi body 21 23, řez 2, severní pilíř Náklony mezi body ,00 1,50 1,00 10,8 C 11,5 C 13,7 C 12,6 C 13,9 C 0,50 0,00-0,50-1,00 11,9 C 19,3 C 16,9 C 15,3 C 13,4 C etapa Graf 8.2 Náklon mezi body 22 24, řez 2, jižní pilíř Náklony mezi body ,00 1,50 10,8 C 13,7 C 1,00 11,5 C 12,6 C 13,9 C 0,50 0,00-0,50-1,00 11,9 C 15,3 C 19,3 C 13,4 C ,9 C etapa 31

33 náklon [mm] náklon [mm] Vyhodnocení náklonů Srovnáním těchto grafů je vidět, že náklony obou pilířů se vzájemně podobají. Vzhledem ke skutečnosti, že řez číslo 2 je na úrovni velké věže, je pravděpodobné, že její konstrukce druhý řez ovlivňuje. Tento fakt vysvětluje i to, že jižní pilíř vykazuje větší hodnoty náklonů. Zároveň je tato strana chrámu vystavena většímu slunečnímu záření a jižní pilíř je tedy teplotou ovlivňován více než severní pilíř. Graf 8.3 Porovnání náklonů severního a jižního pilíře 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-0,50-1,00 Srovnání náklonů obou pilířů etapa severní pilíř jižní pilíř Graf 8.4 Závislost náklonů na teplotě 2,00 Závislost náklonů na teplotě 1,50 1,00 0,50 0,00-0, ,00 teplota [ C] severní pilíř jižní pilíř 32

34 Celodenní měření 9. CELODENNÍ MĚŘENÍ Dne proběhlo celodenní měření velké věže katedrály sv. Víta. Předmětem této práce je zhodnocení vlivu slunečního záření na vodorovné a svislé posuny věže během jednoho dne. Měření jsem prováděla v hodinových intervalech, nultá etapa byla zaměřena v osm hodin ráno a poslední desátá etapa v 18 hodin. 9.1 POUŽITÁ METODA K zaměření bodů byla použita prostorová polární metoda. Vodorovné úhly, zenitové úhly a šikmé délky byly měřeny v jedné skupině s dvojím cílením. 9.2 PŘÍSTROJE A POMŮCKY Měření bylo prováděno stejnou totální stanicí Leica TC 1800 jako etapové měření v katedrále sv. Víta. Opět bylo z důvodu příkrých záměr měřeno s lomeným okulárem. Měřené hodnoty byly registrovány na paměťovou kartu a zároveň byly zapisovány do zápisníků. Během měření byla měřena teplota, tlak a vlhkost pro zavedení fyzikálních redukcí a zjištění hodnot ppm. Teplota a vlhkost byly měřeny pomocí digitálního teploměru a vlhkoměru GFTH 95. Přesnost měření teploty je výrobcem uváděna jako ±0,1 C, přesnost určování vlhkosti je ±2%. Tlak byl měřen barometrem GPB 2300, jehož přesnost je ±0,25%. OBRÁZEK 9.1: TEPLOMĚR A VLHKOMĚR GFTH 95, BAROMETR GPB

35 Celodenní měření 9.3 STANOVISKO, ZAMĚŘOVANÉ BODY A VZTAŽNÝ BOD Vzhledem k celodennímu měření byl přístroj po celou dobu stabilizován na zvoleném stanovisku. To bylo voleno s ohledem na viditelnost a bezpečné postavení přístroje s ohledem na velký počet turistů, kteří se na nádvoří hradu pohybují. Pro možnost kontroly centrace přístroje během dne, byla na dlažbu dočasně umístěna lepicí páska s křížkem. Zaměřované body byly dočasně signalizovány odraznou folií o velikosti 5x5 cm. Na velké věži jich bylo po souhlasu památkářů umístěno pět. Body v horní části věže byly umístěny na plíšky, které svíraly s osou věže úhel 45. Tím bylo docíleno přibližně kolmé záměry. Štítky s body 1, 2 a 3 byly na katedrálu připevněny pomocí drátu. Dolní body byly na stěny katedrály nalepeny. OBRÁZEK 9.2: ROZLOŽENÍ BODŮ [15] Vztažný bod byl umístěn na zeď vchodu do zahrad u nového paláce. Stejně jako zaměřované body byl signalizován odrazným terčíkem nalepeným přímo na zeď do výšky cca 2,5 metru, tím bylo zajištěno, že záměra bude vždy nad hlavami návštěvníků Pražského hradu. Rozložení bodů vůči stanovisku je patrné na obrázku 9.2. Číslem 4001 je označeno stanovisko, vztažný bod byl pro lepší odlišení od zaměřovaných bodů opatřen číslem 101. Body na velké věži byly číslovány od shora dolů, jak je vidět na obrázku

36 Celodenní měření OBRÁZEK 9.3: ROZLOŽENÍ BODŮ NA VELKÉ VĚŽI A POHLED NA NĚ LOMENÝM OKULÁREM 35

37 Rozbory přesnosti celodenní měření 10. ROZBORY PŘESNOSTI CELODENNÍ MĚŘENÍ 10.1 ROZBORY PŘESNOSTI PŘED MĚŘENÍM APRIORNÍ PŘESNOST VOD OROVNÝCH SMĚRŮ Rozbor přesnosti vodorovného směru před měřením je u celodenního měření obdobný jako u etapového měření, viz kapitola Na rozdíl od etapového měření bylo ale z časových důvodů měřeno pouze v jedné skupině s dvojím cílením. Výsledná směrodatná odchylka redukovaného vodorovného směru je rovna výrazu (10.1). (10.1) APRIORNÍ PŘESNOST ZENITOVÝCH ÚHLŮ Zenitové úhly byly stejně jako vodorovné směry měřeny přístrojem Leica TC Směrodatná odchylka zenitového úhlu měřeného ve dvou polohách (v jedné skupině) s jedním cílením je výrobcem udávána jako. Zenitové úhly byly měřeny v jedné skupině s dvojím cílením (10.5). Úhel měřený v jedné skupině s dvojím cílením vychází ze základního vzorce (10.2). Aplikací zákona hromadění skutečných chyb a přechodem na směrodatné odchylky získáváme výslednou hodnotu. Úhel je měřený v jedné skupině s dvojím cílením, úhly a jsou měřeny v jedné skupině s jedním cílením. (10.2) (10.3) (10.4) (10.5) 36

38 Rozbory přesnosti celodenní měření 10.2 ROZBORY PŘESNOSTI PŘI MĚŘENÍ Vzhledem k měření jen v jedné skupinně nebyly rozbory přesnosti při měření počítány pro vodorovné směry ani pro zenitové úhly ROZBORY PŘESNOSTI PO MĚŘENÍ ROZBORY PŘESNOSTI PO MĚŘENÍ VODOROVNÝCH SMĚRŮ Rozbor přesnosti po měření je vtažen ke vztažnému bodu 101 (uzávěr), u něhož předpokládáme, že k posunům nedochází. Počet etap nahrazuje v následujících výpočtech počet skupin. Výběrovou směrodatnou odchylku redukovaného vodorovného směru spočteme podle vzorce (10.6), kde v je odchylka od průměru a s je počet skupin, resp. počet etap. Počet skupin je roven jedenácti, byla měřena nultá etapa a deset dílčích etap. (10.6) Tuto odchylku porovnáváme s mezní směrodatnou odchylkou vodorovného směru, která se vypočte podle vzorce (10.7). (10.7) Hodnoty obou odchylek jsou uvedeny v tabulce Tyto hodnoty bychom zároveň mohli považovat za směrodatné odchylky stanoviska, jelikož vztažný bod byl pouze jeden. Tab Směrodatné odchylky redukovaného vodorovného směru na bod 101 [mgon]. s φ0 s metφ0 odpovídá s φ0 < s metφ0 0,21 0,43 ANO 37

39 Rozbory přesnosti celodenní měření ROZBORY PŘESNOSTI PO MĚŘENÍ ZENITOVÝCH ÚHLŮ Rozbor přesnosti po měření pro zenitové úhly je obdobný jako pro vodorovné směry. Je vztažen k bodu 101, je vyčíslen pro počátek i pro uzávěr. Výběrová směrodatná odchylka zenitového úhlu se vypočte podle vztahu (10.8), kde v značí odchylku od průměru a s počet skupin (etap). Porovnáváme ji s mezní směrodatnou odchylkou, jejíž hodnotu získáme ze vzorce (10.9). (10.8) (10.9) Dosažené hodnoty a jejich porovnání je uvedeno v tabulce 10.2, kde je uvedena i společná směrodatná odchylka, spočtená jako kvadratický průměr. Tab Směrodatné odchylky zenitového úhlu na bod 101 [mgon]. Bod s z0 s metz0 odpovídá s z0 < s metz0 společná sm. odchylka počátek uzávěr 0,19 0,30 0,13 0,30 ANO ANO 0,16 38

40 Výpočet posunů 11. VÝPOČET POSUNŮ Vztažná soustava byla zvolena přibližně ve směru světových stran. Osa +y je vložena do spojnice stanoviska 4001 a vztažného bodu 101. Počátek je v bodě Při této volbě os vede osa y přibližně ve směru západ východ, osa x ve směru sever jih. OBRÁZEK 11.1: VZTAŽNÁ SÍŤ Souřadnice určíme podle následujících vzorců: (11.1), (11.2) kde je vodorovná délka na bod vypočtená podle (11.3). je redukovaný vodorovný směr na příslušný bod, značí směrník na počáteční bod 101 a je radián, jehož hodnota je rovna výrazu. Souřadnice, jsou souřadnice počátku. (11.3) - šikmá délka na příslušný bod - zenitový úhel na příslušný bod 39

41 Výpočet posunů Výšky bodů se vypočtou z výrazu (11.4), kde je příslušný zenitový úhel. (11.4) Byly vypočteny souřadnice všech bodů ve všech etapách. Tabulky s naměřenými daty a vypočtenými hodnotami pro jednotlivé etapy jsou uvedeny v A.2.2. V tabulce 11.1 je uveden souhrn všech vypočtených souřadnic. Tab Vypo tené souřadnice bodů v jednotlivých etapách [m]. etapa X X X X X X X X X X X Bod Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, , , , , , , , , , , ,0349 0,4483 0,4478 0,4477 0,4479 0,4479 0,4476 0,4476 0,4477 0,4481 0,4482 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4828 2,7192 2,7192 2,7187 2,7185 2,7186 2,7188 2,7185 2,7190 2,7188 2,7187 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5155 1,2978 1,2977 1,2974 1,2973 1,2974 1,2979 1,2974 1,2980 1,2976 1,2980 1, uzávěr 0,0000 0,0002 0,0001 0,0002-0,0001 0,0000 0,0000-0,0005 0,0000-0,0001 0, , , , , , , , , , , ,0349 0,4481 0,4484 0,4477 0,4481 0,4478 0,4478 0,4481 0,4482 0,4482 0,4480 0,

42 Výpočet posunů Všechny posuny jsou vztaženy k nulté etapě. Velikost posunů se vypočte jako rozdíl mezi dílčí a nultou etapou. (11.5) (11.6) (11.7) 41

43 Přesnosti veličin určujících posuny 12. PŘESNOSTI VELIČIN URČUJÍCÍCH POSUNY Vztahy pro výpočet posunů je potřeba vyjádřit pomocí měřených veličin. Pro zjištění přesnosti posunu na ose x se do vztahu (11.5) dosadí hodnoty ze vzorců (11.3) a (11.1). Po úpravě pak získáme výraz (12.1). (12.1) Aplikací zákona hromadění skutečných chyb, tedy derivací podle jednotlivých proměnných, dostaneme rovnici ve tvaru (12.2). (12.2) V rámci celodenního měření se centrace nemění, a proto vliv centrace uvažovat nemusíme. Z rovnice (12.2) přejdeme umocněním na směrodatné odchylky. (12.3) Za předpokladu, že,, a toho, že hodnoty v nulté a dílčí etapě jsou přibližně stejné, můžeme výraz (12.3) zjednodušit na výraz (12.4). 42

44 Přesnosti veličin určujících posuny (12.4) Směrníky na pozorované body dosahují hodnoty cca 50 g a funkce a se tedy rovnají. Dosazením této hodnoty do rovnice (12.4) a jejím odmocněním získáváme konečný výraz pro přesnost určení posunu ve směru osy x, (12.5). (12.5) Posun ve směru osy y vychází ze vzorce (12.6), stejnými úpravami a za stejných předpokladů dojdeme ke vzorci (12.7). (12.6) (12.7) Jak je ze vzorců (12.5) a (12.7) vidět, přesnost posunů ve směru osy x a ve směru osy y se rovná. Přesnost posunu ve směru osy z se vypočte obdobným postupem. Vychází se z výrazu (11.7), jeho úpravou dostaneme výraz (12.8). (12.8) Aplikací hromadění skutečných chyb dostáváme rovnici (12.9) a jejím umocněním pak výraz se směrodatnými odchylkami (12.10). Využijeme přitom výše uvedených předpokladů. 43 (12.9)

45 Přesnosti veličin určujících posuny (12.10) osy z. Úpravou dostáváme konečný výraz pro přesnost určení posunu ve směru (12.11) Do výpočtů přesností byly dosazeny hodnoty získané v kapitole 10, za přesnost délek byla dosazena hodnota 1mm, kterou uvádí výrobce totální stanice. Z naměřených hodnot byla použita data z nulté etapy. V tabulce 12.1 jsou uvedeny směrodatné odchylky posunů ve směru os x, y a z. Přičemž odchylka v ose x a y se rovná. Tab Směrodatné a mezní odchylky pro zaměřované body [mm]. Bod σq x,y σq z σ met q x,y σ met q z 1 1,41 1,35 2,82 2,70 2 1,37 1,18 2,74 2,36 3 1,43 1,17 2,86 2,34 4 1,36 0,40 2,72 0,80 5 1,40 0,42 2,80 0,84 Vzhledem k předpokladu, že měřené délky byly měřeny s větší přesností, než je přesnost udávaná výrobcem, byla vyčíslena vnitřní přesnost dálkoměru. Tato přesnost je vztažena k neměnnému vztažnému bodu 101. Měření na počátek a na uzávěr jsou brána jako dvě nezávislá měření. Byla spočtena směrodatná výběrová odchylka podle vzorce (12.12), kde v je oprava od průměru, s je počet skupin (11) a n počet nezávislých měření (2). (12.12) 44

46 Přesnosti veličin určujících posuny Tento výraz dosahuje hodnoty 0,28 mm. Hodnoty, z kterých bylo počítáno, jsou uvedeny v příloze A.2.1. Je patrné, že délky byly měřeny přesněji, než udává výrobce (při měření posunů se systematická složka směrodatné odchylky v délce v rozdílu eliminuje). Proto byly vypočteny nové směrodatné a mezní odchylky pro pozorované body. Do vzorců (12.5), (12.7) a (12.11) byla za výraz dosazena hodnota 0,28 mm, za 0,21 mgon a za 0,3 mgon. Z naměřených dat byla opět použita data z nulté etapy. V tabulce 12.2 jsou uvedeny směrodatné a mezní odchylky. Tab Směrodatné a mezní odchylky pro zaměřované body [mm]. Bod σq x,y σq z σ met q x,y σ met q z 1 0,88 0,67 1,76 1,34 2 0,77 0,59 1,54 1,18 3 0,82 0,62 1,64 1,24 4 0,64 0,36 1,28 0,72 5 0,68 0,40 1,36 0,80 Porovnáním uvedených tabulek je vidět, že dosazením nově vypočtené přesnosti délek se odchylky zmenšují a měření můžeme považovat za přesnější. Pro určení prokázaných posunů jsou použity mezní odchylky z tabulky

47 Vyhodnocení celodenního měření 13. VYHODNOCENÍ CELODENNÍHO MĚŘENÍ Měření probíhalo od 8:00 a poslední etapa byla měřena v 18 hodin. Před začátkem každé etapy byla zaznamenána teplota, tlak a vlhkost. Tyto naměřené hodnoty jsou uvedeny v tabulce Z časových důvodů bylo měřeno pouze v jedné skupině, aby byly dodrženy začátky etap měření v hodinových intervalech. Po skončení každé etapy byla zaznamenána poloha Slunce vzhledem ke stanovisku. Poloha Slunce v nulté etapě je znázorněna na obrázku 13.1, polohy u jiných etap jsou uvedeny v příloze A.2.2 u tabulek naměřených dat a vypočtených hodnot. Tab Teplota, tlak a vlhkost v jednotlivých etapách. Etapa čas 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 teplota [ C] 9,4 9,5 10,8 13,3 14,0 15,0 15,9 16,2 15,2 15,6 14,0 tlak [mbar] vlhkost [%] 67,5 70,4 66,8 59,5 56,9 52, ,5 45,5 45,5 52 OBRÁZEK 13.1: POLOHA SLUNCE V NULTÉ ETAPĚ VZHLEDEM KE STANOVISKU Teplota se pohybovala od minimální 9,4 C v nulté etapě do maximální sedmé etapě 16,2 C. Počasí během dne bylo převážně slunečné bez oblačnosti, v nulté a první etapě byl mírný opar, mezi hodinou, tedy v 7. a 8. etapě, bylo polojasno. V odpoledních hodinách byly osvíceny pouze body v horní části věže. V průběhu 9. etapy bylo Slunce za budovou a věž tedy nebyla 46

48 Vyhodnocení celodenního měření přímo osvětlena Sluncem. V poslední etapě měřené od 18. hodiny bylo šero a během měření došlo k nasvícení katedrály. Dále jsou zhodnoceny posuny jednotlivých bodů. Tyto posuny jsou vztaženy k vztažnému bodu 101, který byl pokládán za stabilní. Nejvýraznější vodorovné posuny vykazuje podle očekávání bod 1, který je umístěn nejvýše ze sledovaných bodů na jižní straně. V severním směru je posun více než 4 mm. Ze začátku měření, v osm a devět hodin, byla sluncem zahřívána východní a jižní stěna. Od 10. hodiny byla již jižní stěna osvícena výrazněji a bod 1 se začal stáčet k severu. Od 12 hodin bylo záření na jižní stranu ještě zesíleno a posuny v severním směru jsou výraznější. Posun ve směru osy x je považován za prokázaný. Kolem 15. hodiny začal sluneční svit ztrácet na intenzitě a bod se začal stáčet zpět do své původní polohy. Ještě v 16 hodin je však posun ve směru obou os prokázaný. V 17 hodin je již prokázán posun pouze v ose y. Vzhledem k umístění bodu nejvýše ze všech sledovaných byl tento bod vystaven slunečnímu záření nejvíce. Západní stěna, která je nejvíce ohřátá, udržuje i v pozdějších odpoledních hodinách bod ve výchylce cca 2,5 mm. Mezi 17. a 18. hodinou došlo k posunu ve směru na západ o téměř milimetr, to je pravděpodobně způsobeno tím, že Slunce v tuto dobu již neosvětlovalo ani tento vysoko umístěný bod. Dá se předpokládat, že do ranních hodin se bod navrátí do své výchozí polohy. U bodu 1 je potřeba brát v úvahu i jeho umístění na kovové špici věže, která se teplem ohřívá rychleji než zdivo. Bod 2 je umístěn na ochozu věže, a to zhruba na jihozápadní hraně věže. Bod vykazuje odlišné posuny oproti bodu 1, to může být způsobeno zdivem věže, které se neprohřeje tak rychle jako kovová špice. Posuny bodu 2 považujeme za prokázané v ose x a to od 12. do 15. hodiny. Ve 14. hodin je posun stejně jako u prvního bodu největší. V severním směru dosahuje hodnoty přes 2,5 mm. I tento bod má v odpoledních hodinách tendenci stáčet se k původní poloze, v ranních hodinách lze předpokládat jeho návrat do výchozí polohy. Další pozorovaný bod, bod 3, je umístěn zhruba na jihovýchodní hraně věže. Hodnoty posunů přesahují mezní hodnoty uvedené v tabulce pouze ve 14. hodin v ose x. Tento posun v severním směru je nejvýraznější. Jelikož se jedná o jihovýchodní hranu je posun menší než u bodů 1 a 2. Mezi 14. a 15. hodinou nastal návrat zpět na jih zhruba o 1,4 mm. V další hodině se bod již chová 47

49 Vyhodnocení celodenního měření obdobně jako body předchozí. V poslední etapě byl zaznamenán výrazný posun v západním směru, který signalizuje postupný návrat bodu k výchozí pozici. Svislé posuny bodů překračují mezní odchylky pouze u bodu 3 v 7. etapě v 15. hodin. Bod 3 se zdvíhá již od 10. hodiny, jelikož jihovýchodní stěna byla od rána osvícena více než stěna jižní. Z grafů je patrné, že body na jižní stěně vykazují zdvih až od 12. hodiny, kdy Slunce začalo svítit na jižní stěnu s větší intenzitou. Body v dolní části věže vykazují jen minimální posuny. Z grafu 13.7 je zřejmé, že posuny bodu 4 jsou způsobeny spíše nepřesností měření (jednotlivé etapy náhodně poletují ), zatímco posuny bodu 5 (graf 13.9) vykazují tendenci posunu směrem k východu a zpět, v souladu s teplotními změnami. Na svislých posunech vidíme téměř lineární průběh. Přesto zdvih v 11. hodin u bodu 4 považujeme za prokázaný. Na následujících stranách jsou uvedeny tabulky posunů pro jednotlivé body a grafy vodorovných a svislých posunů. Hodnoty, které jsou v tabulkách vyznačeny červeně, jsou brány za prokázané podle tabulky V grafech jsou uvedeny časy začátku každé etapy. 48

50 Δz [mm] -1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Δx[mm] Vyhodnocení celodenního měření Etapa/ čas Tab Posunu bodu. 1. BOD 1 Δx [mm] Δy [mm] Δz [mm] 0/8:00 0,00 0,00 0,00 1/9:00-0,26 0,62-0,38 2/10:00 0,80 0,38-0,34 3/11:00 2,00 0,89 0,12 4/12:00 2,30 1,98-0,29 5/13:00 2,99 2,26 0,04 6/14:00 4,18 2,77 0,44 7/15:00 3,34 2,50 0,65 8/16:00 2,37 2,51 1,12 9/17:00 1,59 2,68 0,75 10/18:00 1,95 1,79 0,25 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 Graf 13.1 Vodorovné posuny bodu. 1 Vodorovné posuny - bod Δy [mm] ,5 Graf 13.2 Svislé posuny bodu. 1 Svislé posuny - bod 1 1,0 0,5 0,0-0,5-1, čas [hod] 49

51 Δz [mm] -1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Δx [mm] Vyhodnocení celodenního měření Etapa/ čas Tab Posunu bodu. 2. BOD 2 Δx [mm] Δy [mm] Δz [mm] 0/8:00 0,00 0,00 0,00 1/9:00-0,30 0,06 0,18 2/10:00 0,35 0,05-0,19 3/11:00 0,89 0,46 0,27 4/12:00 2,18 0,83-0,39 5/13:00 2,14 1,08 0,42 6/14:00 2,70 0,95 0,68 7/15:00 2,14 1,23 0,60 8/16:00 1,79 0,97 0,58 9/17:00 1,16 1,42 0,61 10/18:00 1,52 0,27 0,99 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 8 Graf 13.3 Vodorovné posuny bodu. 2 Vodorovné posuny - bod Δy [mm] 1,5 Graf 13.4 Svislé posuny bodu. 2 Svislé posuny - bod 2 1,0 0,5 0,0-0,5-1, čas [hod] 50

52 Δz [mm] -1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Δx [mm] Vyhodnocení celodenního měření Etapa/ čas Tab Posunu bodu. 3. BOD 3 Δx [mm] Δy [mm] Δz [mm] 0/8:00 0,00 0,00 0,00 1/9:00 0,23-0,41 0,34 2/10:00-0,05 0,11 0,09 3/11:00 0,67 0,99 0,72 4/12:00 0,76 0,68 0,78 5/13:00 1,53 0,62 0,87 6/14:00 2,35 1,02 1,22 7/15:00 0,96 0,62 1,25 8/16:00 1,44 0,73 0,99 9/17:00 0,85 0,95 1,19 10/18:00 1,30-0,50 0, ,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 Graf 13.5 Vodorovné posuny bodu. 3 Vodorovné posuny - bod Δy [mm] Graf 13.6 Svislé posuny bodu. 3 1,5 Svislé posuny - bod 3 1,0 0,5 0,0-0,5-1, čas [hod] 51

53 Δz [mm] -1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Δx [mm] Vyhodnocení celodenního měření Etapa/ čas Tab Posunu bodu. 4. BOD 4 Δx [mm] Δy [mm] Δz [mm] 0/8:00 0,00 0,00 0,00 1/9:00-0,24-0,45 0,04 2/10:00-0,10 0,21-0,50 3/11:00-0,02 0,23-0,73 4/12:00-0,67 0,07-0,60 5/13:00-0,28-0,09-0,36 6/14:00-0,53-0,09-0,72 7/15:00-0,54 0,20-0,18 8/16:00-0,81 0,28-0,33 9/17:00-0,27 0,03-0,48 10/18:00-0,39-0,15-0,04 9 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5-0,5-1,0-1,5 Graf 13.7 Vodorovné posuny bodu. 4 Vodorovné posuny - bod ,0 Δy [mm] 1,5 Graf 13.8 Svislé posuny bodu. 4 Svislé posuny - bod 4 1,0 0,5 0,0-0,5-1, čas [hod] 52