= = 2368

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368"

Transkript

1 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540 sekund, v jednotlivých případech to bylo 28, 56, 64, 68, 54, 32, 68, 72, 62, 36. Předpokládáme, že doba výroby výlisku má normální rozdělení. Řešení 1 V tomto případě testujeme střední hodnotu a neznáme rozptyl. Použijeme tedy jednovýběrový t-test. Budeme testovat nulovou hypotézu proti jednostranné alternativní hypotéze H 0 : μ = μ 0 = 30, H 1 : μ > μ 0 = 30 Podle charakteru nerovnosti v alternativní hypotéze vidíme, že jde o jednostranný případ. Pro zjištění testovací hodnoty použijeme tabulku kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti. Podle teorie použijeme testovou statistiku T = X μ 0 n S Známe počet prvků výběru n = 10 a střední hodnotu výběru. Tou je X = = 54 Dále potřebujeme směrodatnou odchylku z výběru S. Vypočteme nejprve rozptyl z výběru. S 2 = 1 10 [(28 54)2 + (56 54) 2 + (64 54) 2 + (68 54) 2 + (54 54) 2 + (32 54) 2 + (68 54) 2 + (72 54) 2 + (62 54) 2 + (36 54) 2 ] = ( 26) ( 22) ( 18) = = = 236,8 Odtud směrodatná odchylka výběru je S = 15,38831 Nakonec vypočteme testovou statistiku dle vzorce uvedeného výše T = 15, = 24 3, = 1, , = 4, ,38831 V tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti nalezneme hodnotu t 10 1 (1 0,05) = t 9 (1 0,05) = 1,833 Nyní již jen zbývá učinit závěrečné rozhodnutí. Podle teorie na hladině α pak zamítáme hypotézu H 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1, pokud (pozor testujeme jednostranný případ) T t n 1 (1 α) Hypotézu H 0 nezamítáme, pokud T < t n 1 (1 α) V našem konkrétním případě tedy platí první z uvedených možností, neboť T = 4,93197 = 4,93197 > 1,833 = t 9 (1 0,05) Proto hypotézu H 0 zamítáme a přikláníme se k hypotéze H 1. d b 1

2 Příklad 2 Byl proveden náhodný výběr 144 dodaných odlitků. Byla zjištěna jejich průměrná hmotnost x = 344 kg a směrodatná odchylka σ = 52 kg. Chceme testem prokázat, že průměrná hmotnost dodávaných odlitků je větší než 336 kg. Test má být proveden na hladině významnosti α = 0,05. Řešení 2 Formulujeme nulovou hypotézu tedy lze formulovat proti jednostranné alternativní hypotéze. H 0 : μ = 336, H 1 : μ > 336 Vzhledem k tomu, že n = 144 je splněna podmínka dostatečně velkého výběru n 30. Hladina významnosti α = 0,05. Kvantil u 1 α pro pravostranný test najdeme v tabulce kvantilů N(0; 1) rozdělení, u 1 α = 1,645. Máme tedy zadáno μ 0 = 336, X = 344, σ = 52, n = 144, u 1 α = 1,645 Můžeme tedy použít Z-test jednovýběrový test střední hodnoty při známém rozptylu. Podle teorie pro hypotézu H 0 : μ = μ 0 proti alternativní hypotéze H 1 : μ: > μ 0 lze použít testovou statistiku Z = X μ 0 n σ Na hladině α pak zamítáme hypotézu H 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1, pokud Z Φ 1 (1 α) Hypotézu H 0 nezamítáme, pokud Z < Φ 1 (1 α) Nyní tedy vypočítáme hodnotu testového statistiky, dosadíme Z = X μ n = 144 = 8 σ = = = 1, Při jednostranném testu a dané hladině významnosti je kritický obor dán množinou hodnot vyšších než 1,645. Protože pro hodnotu testového kritéria 1, > 1,645, zamítáme nulovou hypotézu ve prospěch alternativní hypotézy na 5% hladině významnosti. Můžeme tedy s 5% rizikem omylu tvrdit, že průměrná hmotnost přejímaných odlitků je vyšší než 336 kg. Celou situaci lze graficky znázornit tak, jak uvádí obrázek. d b 2

3 Příklad 3 Chceme ověřit, zda výkon pracovníků v jednom podniku je významně vyšší než v druhém, kde se vyrábí stejný typ výrobků. Je znám rozptyl výkonů v obou podnicích σ 1 2 = 20, σ 2 2 = 18. V obou podnicích byl proveden náhodný výběr o rozsahu n 1 = 60, n 2 = 50 pracovníků a vypočteny průměrné výkony za směnu x 1 = 140, x 2 = 137. Test provedeme na 5% hladině významnosti. Řešení 3 Nulovou hypotézou je předpoklad, že se průměrné výkony pracovníků obou podniků neliší, alternativní hypotéza pak bude, že v prvním podniku je výkon vyšší. H 0 : μ 1 = μ 2, H 1 : μ 1 > μ 2 Hypotézu můžeme přeformulovat takto: H 0 : μ 1 μ 2 = 0, H 1 : μ 1 μ 2 > 0 Je zřejmé, že v úloze jde o dva nezávislé výběry. Pro řešení úlohy tedy použijeme dvouvýběrový t-test. Testovací statistikou bude (jde o jednodušší vyjádření toho, co je v teorii bez snížení stupně výběrů) T = X 1 X 2 0 σ σ 2 2 n 1 n 2 Dosadíme a dostaneme T = = = = = = = 0, = 3 0, = 3, Podle teorie na hladině α zamítáme hypotézu H 0 : μ 1 = μ 2 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1 : μ 1 > μ 2, pokud (nezapomeňme, že jde o jednostranný případ) T t n1 +n 2 2(1 α) Nalezneme tedy v tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti Potřebnou hodnotu (tabulka končí řádky pro 100 a nekonečno, vybereme ten pro 100). t n1 +n 2 2(1 α) = t (1 0,05) = t 108 (1 0,05) 1,660 Jasně vidíme, že platí T = 3, = 3, > 1,660 t 108 (1 0,05) Protože hodnota testového kritéria převyšuje kritickou hodnotu, zamítáme nulovou hypotézu a považujeme alternativní hypotézu, že v prvním podniku je průměrný výkon za směnu vyšší než v podniku druhém, za prokázanou na zvolené 5% hladině významnosti. d b 3

4 Příklad 4 Chceme posoudit přesnost dvou různých měřících metod. Bylo provedeno 16 nezávislých měření jistého objektu první metodou a 10 měření druhou metodou. Byly zjištěny následující hodnoty výběrových rozptylů: s 1 2 = 11,843, s 2 2 = 6,475 Máme ověřit na hladině významnosti 5%, zda existuje shoda v přesnosti obou měřících metod. Řešení 4 Vzhledem k tomu, že jde o výsledky měření, můžeme považovat rozdělení obou metod za normální. Obě sady měření proběhly na tomtéž objektu. Jsou tedy závislé. Pro řešení tedy můžeme použít případ párového t-testu (s jediným párem náhodná veličina X 1 je výsledek první sady měření a náhodná veličina Y 1 je výsledek druhé sady měření). O středních hodnotách obou měření nemáme žádnou informaci, můžeme předpokládat, že jsou stejné. V úloze zřetelně jde o porovnání rozptylů obou měření. Přitom je zřejmé, že za přesnější považujeme metodu, která má menší rozptyl. Budeme testovat nulovou hypotézu, že rozptyly jsou stejné proti alternativní hypotéze, že rozptyly se liší, neboli H 0 : σ 1 2 = σ 2 2, H 1 : σ 1 2 > σ 2 2 Je zřejmé, že v tomto případě jde o oboustrannou situaci. Vzhledem k předpokladu stejné střední hodnoty obou sad měření nemůžeme použít testovou statistiku z teorie (dostali bychom nulový čitatel). Jako statistiku tedy volíme zjednodušení standardní statistiky na podíl obou výběrových rozptylů. T = σ 1 2 σ 2 2 Nyní vypočítáme hodnotu této statistiky T = 11,843 6,475 = 1, Kritickou hodnotu nalezneme v tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α 2 o n stupních volnosti t 1 (1 0,05 2 ) = 12,706 Jelikož hodnota testového kritéria je menší než hodnota kritická, nemůžeme na hladině významnosti 5 % hypotézu H 0 zamítnout. Poznámka Pro testování rozptylu normálního rozdělení na nějakou konkrétní hodnotu se standardně používá metoda uvedená v teoretické části. Na tento konkrétní příklad je ale vhodnější použít statistiku na základě F rozdělení, které je zaměřeno na poměr dvou nezávislých veličin a je velmi často používáno na situaci, kdy má být zkoumána rozdílnost dvou rozptylů. Popis tohoto rozdělení je už ale mimo téma předmětu. d b 4

5 Příklad 5 Byly získány přesné hmotnosti jednotlivých prvků souboru z náhodného výběru (na jednotce hmotnosti nijak nezáleží): 243,2; 244,8; 253,1; 247,5; 251,0; 251,7; 254,0; 252,5; 252,8; 250,1; 247,3; 250,9; 253,2; 252,7 Máme na 5% hladině významnosti prokázat, že a) před seřízením stroje střední hodnota hmotnosti překračovala 250, b) před seřízením stroje překračovala směrodatná odchylka hodnotu 1, Řešení 5a V tomto případě jde o náhodný výběr z normálního rozdělení. Budeme testovat střední hodnotu a přitom neznáme rozptyl. Pro tuto úlohu tedy uplatníme t-test jednovýběrový test střední hodnoty při neznámém rozptylu. Budeme testovat nulovou hypotézu proti jednostranné alternativní hypotéze H 0 : μ = μ 0 = 250, H 1 : μ > μ 0 = 250 Podle charakteru nerovnosti v alternativní hypotéze vidíme, že jde o jednostranný případ. Pro zjištění testovací hodnoty použijeme tabulku kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti. Podle teorie použijeme testovou statistiku T = X μ 0 n S Známe počet prvků výběru n = 14. Střední hodnotu výběru si vypočteme. n X = 1 n x i i=1 = 1 (243, , , , , , , , , , , , , ,7) = ,8 = 250, ,3 14 Dále potřebujeme směrodatnou odchylku z výběru S. Vypočteme nejprve rozptyl z výběru. S 2 = 1 14 [(243,2 250,3)2 + (244,8 250,3) 2 + (253,1 250,3) 2 + (247,5 250,3) 2 + (251,0 250,3) 2 + (251,7 250,3) 2 + (254,0 250,3) 2 + (252,5 250,3) 2 + (252,8 250,3) 2 + (250,1 250,3) 2 + (247,3 250,3) 2 + (250,9 250,3) 2 + (253,2 250,3) 2 + (252,7 250,3) 2 ] = ( 7,1)2 + ( 5,5) 2 + 2,8 2 + ( 2,8) 2 + 0, , , ,22 + 2,5 2 + ( 0,2) 2 + ( 3,0) 2 + 0, , , , ,25 + 7,84 + 7,84 + 0,49 + 1, ,69 + 4, ,5 + 0, ,36 + 8,41 + 5,76 = 14 = 147,14 = 10,51 14 Odtud směrodatná odchylka výběru je S = 10,51 = 3, Nakonec vypočteme testovou statistiku dle vzorce uvedeného výše 250,3 250 T = 3, = 0,3 3, = 0, , = 0, , V tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti nalezneme hodnotu d b 5

6 t 14 1 (1 0,05) = t 13 (1 0,05) = 1,771 Nyní již jen zbývá učinit závěrečné rozhodnutí. Podle teorie na hladině α pak zamítáme hypotézu H 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1, pokud (testujeme jednostranný případ) T t n 1 (1 α) Hypotézu H 0 nezamítáme, pokud T < t n 1 (1 α) V našem konkrétním případě tedy platí první z uvedených možností, neboť T = 0, = 0, < 1,771 = t 13 (1 0,05) Proto hypotézu H 0 nemůžeme zamítnout. Nulová hypotéza v tomto případě patří do oboru přijetí. Řešení 5b V tomto případě máme testovat hypotézu o hodnotě rozptylu vůči dané hodnotě, v tomto případě konkrétně máme nulovou hypotézu a jednostrannou alternativní hypotézu H 0 : σ 2 = σ 2 0 = 1, H 1 : σ 2 > σ 2 0 = 1 Podle teorie použijeme statistiku (s 2 je výběrový rozptyl) χ 2 (n 1)s2 = σ 2 0 Na hladině α pak zamítáme hypotézu H 0 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1, pokud (pracujeme s jednostrannou alternativní hypotézou) χ 2 2 > χ 1 α (n 1) nebo χ 2 < χ 2 α (n 1) V tomto případě pro nalezení kritických hodnot využíváme tabulku kvantilů χ 2 1 α rozdělení. Výběrový rozptyl s 2 = 10,51 jsme vypočítali v řešení odstavce a tohoto příkladu. Ostatní hodnoty pro výpočet statistiky máme k dispozici přímo. Můžeme tedy dosadit a dostaneme χ 2 (n 1)s2 (14 1) 10, ,51 = = = = 136,63 = 136,63 σ V tabulce kvantilů χ 2 1 α rozdělení nalezneme pro zvolenou hladinu významnosti hodnotu odpovídající n = 14 1 = 13. Tou je 22,36. Zcela zřejmě platí 136,63 > 22,36. Proto můžeme zamítnout nulovou hypotézu a s pravděpodobností 0,95 tvrdit, že variabilita hmotnosti před seřízením byla větší než 1. d b 6

7 Příklad 6 Je známo, že IQ má normální rozdělení. Za střední hodnotu se považuje IQ 100 bodů. Při testu inteligence, kterého se zúčastnilo 10 náhodně vybraných jedinců, byly naměřeny následující hodnoty IQ 65, 98, 103, 77, 93, 102, 102, 113, 80, 94 Ověřte čistým testem významnosti hypotézu, že ve vybraném vzorku je střední hodnota IQ podprůměrná. Řešení 6 Pro jednovýběrový t-test, neboli test o střední hodnotě normálního rozdělení s neznámým rozptylem, používáme testové kritérium T = X μ 0 n S Toto kritérium má v případě platnosti nulové hypotézy Studentovo rozdělení s n 1 stupni volnosti. Jelikož je v zadání příkladu uvedeno, že lze předpokládat normalitu IQ, nemusíme normalitu ověřovat. Budeme testovat nulovou hypotézu proti jednostranné alternativní hypotéze nastavené dle očekávaného výsledku. H 0 µ = 100, H 1 µ < 100 Průměrné IQ 10 testovaných jedinců je Po dosazení X = 1 n x i X = ( ) = = 92,7 Zjištěné průměrné IQ (92,7) je menší než testovaná hodnota (100), což je v souladu s očekáváním, že IQ výběru jedinců bude nižší než průměrné IQ. Alternativní hypotéza tedy byla zvolena vhodně. Proto, abychom mohli určit pozorovanou hodnotu testového kritéria, musíme vypočítat výběrovou směrodatnou odchylku S. Tu vypočítáme jako odmocninu výběrového rozptylu. S 2 = n i=1 (x i X ) 2 Po dosazení S 2 d b 7 n i=1 n 1 = (65 92,7)2 +(98 92,7) 2 +(103 92,7) 2 +(77 92,7) 2 +(93 92,7) (102 92,7)2 +(102 92,7) 2 +(113 92,7) 2 +(80 92,7) 2 +(94 92,7) = ( 27,7)2 +5, ,3 2 +( 15,7) 2 +0, ,3 2 +9, ,3 2 +( 12,7) 2 +1, , , , ,49 + 0, , , , ,29 + 1,69 = 9 = 1896,1 = 210, Odtud vypočteme směrodatnou odchylku výběrového souboru S = 210,6778 = 14,51474 Nyní máme všechny hodnoty pro dosazení do testové statistiky

8 92, ,3 T = 10 = 3, = 0, , = 1, , ,51474 Nyní v tabulce kvantilů Studentova t rozdělení t 1 α o n stupních volnosti nalezneme t n 1 (1 α) = t 10 1 (1 0,05) = t 9 (1 0,05) = 1,833 Vidíme, že T = 1,59043 = 1,59043 < 1,833 = t n 1 (1 α 2 ) Proto podle teorie hypotézu H 0 nezamítáme. S tím souvisí závěr testování, že hypotéza H 0 může platit. Jinak řečeno, rozdíl mezi předpokládanou střední hodnotou IQ a pozorovaným průměrným IQ je statisticky nevýznamný. d b 8

9 Příklad 7 Předpokládejme, že pevnost betonu je normální náhodná veličina. Norma předepisuje v daných podmínkách a) minimální průměrnou pevnost 25 MPa b) minimální průměrnou pevnost 24 MPa Určete, zda beton vyhovuje normě. Přípustné riziko omylu je maximálně 1 %. Naměřené hodnoty jsou v příkladu Naměřené hodnoty z příkladu jsou 27,0 24,7 21,4 24,9 28,2 30,9 27,2 25,0 21,9 22,6 27,0 32,3 25,4 27,7 25,6 26,0 23,8 23,1 25,1 31,0 27,2 22,1 18,9 29,5 18,2 26,7 27,0 25,3 22,2 22,5 20,6 30,3 25,3 25,6 28,1 23,2 23,3 18,6 20,0 25,2 22,2 27,9 25,6 22,9 31,6 27,5 21,6 24,5 19,7 26,6 26,5 24,1 29,6 17,6 27,3 24,5 31,0 25,2 27,6 19,8 23,2 23,8 25,6 28,6 29,1 25,7 23,2 23,6 25,6 27,7 28,7 22,5 19,6 29,1 26,8 26,6 24,3 26,3 24,7 26,3 24,6 26,2 23,7 26,0 28,1 28,2 25,9 23,0 21,0 24,0 24,2 23,5 30,5 29,7 26,9 24,4 26,2 23,8 26,0 27,0 Řešení 7 Máme náhodný výběr rozsahu n = 100 z rozdělení N(μ, σ 2 ). Parametry tohoto rozdělení neznáme. Máme určit na hladině významnosti α = 0,01, zda střední hodnota překračuje 25, respektive 24. Budeme postupovat podle teorie. Naším úkolem je tedy testovat střední hodnotu normálního rozdělení při neznámém rozptylu. Budeme testovat hypotézu H 0 μ = μ 0 proti hypotéze H μ > μ 0 Za testovou statistiku volíme statistiku T = X μ 0 n S Tato statistika má za platnosti μ = μ 0 rozdělení t(n 1). Za kritický obor pro tento jednostranný test na hladině významnosti α volíme množinu W = {t; t > t(n 1; 1 α)} Řešení a V našem příkladu tedy konkrétně budeme testovat hypotézu H 0 μ = 25 proti hypotéze H μ > 25 Při řešení příkladu jsme nalezli x = 25,37, s = 3, Můžeme tedy vypočítat realizaci t zvolené testové statistiky T t = x μ 0 25,37 25 n = s 3, = 0,37 3, = 3,7 3, = 1, Kritický obor pro tento test na hladině významnosti α = 0,01 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > t(n 1; 1 α)} = {t; t > t(100 1; 1 0,01)} = {t; t > t(99; 0,99)} = {t; t > 2,326} Protože t W, nelze na hladině významnosti 0,01 zamítnout hypotézu H 0 μ 25. Naměřené hodnoty neumožňují rozhodnout, zda materiál vyhovuje normě. d b 9

10 Řešení b V našem příkladu tedy konkrétně budeme testovat hypotézu H 0 μ = 24 proti hypotéze H μ > 24 Při řešení příkladu jsme nalezli x = 25,37, s = 3, Můžeme tedy vypočítat realizaci t zvolené testové statistiky T t = x μ 0 25,37 24 n = s 3, = 1,37 3, = 13,7 3, = 4, Kritický obor pro tento test na hladině významnosti α = 0,01 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > t(n 1; 1 α)} = {t; t > t(100 1; 1 0,01)} = {t; t > t(99; 0,99)} = {t; t > 2,326} Protože t W, zamítáme na hladině významnosti 0,01 hypotézu H 0 μ = 24 ve prospěch alternativní hypotézy H μ > 24. Lze konstatovat, že materiál vyhovuje normě. d b 10

11 Příklad 8 Pro určení přesnosti dálkoměru byla desetkrát změřena vzdálenost, jejíž skutečná hodnota je 20 km. Získali jsme následující výsledky v km: 21,1 21,2 20,9 21,0 21,5 21,5 21,0 20,8 20,9 21,0 Zjistěte na hladině významnosti 0,05, zda je přesnost dálkoměru vyjádřená směrodatnou odchylkou menší než 0,5 km. Předpokládáme, že chyba měření je normální náhodná veličina se střední hodnotou 1 km. Řešení 8 Ze zadaných dat vytvoříme výběrový soubor zachycující jednotlivé odchylky v měření. 1,1 1,2 0,9 1,0 1,5 1,5 1,0 0,8 0,9 1,0 Máme náhodný výběr rozsahu n = 10 z rozdělení N(μ = 1, σ 2 = 1). Máme zjistit na hladině významnosti α = 0,05, zda přesnost dálkoměru vyjádřená směrodatnou odchylkou je menší než 0,5. Tomuto požadavku odpovídá situace, zda přesnost dálkoměru vyjádřená rozptylem je menší, než 0,25 na hladině významnosti α = 0,05 (rozptyl je druhou mocninou směrodatné odchylky). Budeme postupovat podle teorie. Naším úkolem je tedy testovat rozptyl normálního rozdělení při známé střední hodnotě. Budeme testovat hypotézu H 0 σ 2 2 σ 0 proti hypotéze H σ 2 2 > σ 0 Za testovou statistiku volíme statistiku T = ns 0 2 σ 2 0 Tato statistika má za platnosti σ 2 2 = σ 0 rozdělení χ 2 (n). Za kritický obor pro tento test volíme množinu W = {t; t > χ 2 (n; 1 α)} V našem příkladu tedy konkrétně budeme testovat hypotézu H 0 σ 2 0,5 2 proti hypotéze H σ 2 > 0,5 2 2 Máme n = 10, μ = 1.Vypočítáme s 0 podle vzorce Po dosazení a krátkém výpočtu dostaneme n s 0 2 = 1 n (x i μ) 2 i=1 s 0 2 = 1 10 [(1,1 1)2 + (1,2 1) 2 + (0,9 1) 2 + (1 1) 2 + (1,5 1) 2 + (1,5 1) 2 + (1 1) 2 + (0,8 1) 2 + (0,9 1) 2 + (1 1) 2 ] = 1 10 [(0,1)2 + (0,2) 2 + ( 0,1) 2 + (0) 2 + (0,5) 2 + (0,5) 2 + (0) 2 + ( 0,2) 2 + ( 0,1) 2 + (0) 2 ] = 1 10 [0,01 + 0,04 + 0, ,25 + 0, ,04 + 0,01 + 0] = ,61 = 0,061 Realizace t zvolené testové statistiky T po dosazení a jednoduchém výpočtu je 10 0,061 t = 0,5 2 = 0,61 0,25 = 2,44 Kritický obor na dané hladině významnosti α = 0,05 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > χ 2 (n; 1 α)} = {t; t > χ 2 (10; 1 0,05)} = {t; t > χ 2 (10; 0,95)} = {t; t > 18,31} d b 11

12 Vzhledem k tomu, že t W, není možno zamítnout nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05. Z toho plyne, že přesnost dálkoměru vyjádřená směrodatnou odchylkou je menší než 0,5 km. Dálkoměr tedy vyhovuje požadavku přesnosti. Riziko omylu je maximálně 5%. d b 12

13 Příklad 9 Při odběru 30 vzorků posypového materiálu na dálnici byl získán následující soubor poměrných hodnot obsahu určité chemikálie vzhledem k normovanému předpisu: 0,91 1,08 0,72 1,07 1,14 0,62 1,06 1,20 0,76 1,19 0,96 0,73 0,83 0,55 0,79 1,34 0,60 1,19 1,35 1,13 0,67 0,77 0,48 0,83 1,78 2,25 1,21 0,89 0,83 1,07 Předpokládáme, že realizace pochází z normálního rozdělení. Ověřme na hladině významnosti 0,01, zda: a) střední hodnota obsahu je menší než 0,9 b) směrodatná odchylka obsahu je menší než 0,4 Řešení 9 Máme náhodný výběr rozsahu n = 30 z rozdělení N(μ, σ 2 ) jehož parametry neznáme. Máme zjistit na hladině významnosti α = 0,01, zda: a) střední hodnota obsahu je menší než 0,9 b) směrodatná odchylka obsahu je menší než 0,4 Pro obě úlohy budeme postupovat podle teorie. Řešení a Prvním naším úkolem je testovat střední hodnotu normálního rozdělení při neznámém rozptylu. Budeme testovat hypotézu H 0 μ = μ 0 proti hypotéze H μ > μ 0 Za testovou statistiku volíme statistiku T = X μ 0 n S Tato statistika má za platnosti μ = μ 0 rozdělení t(n 1). Za kritický obor pro tento jednostranný test na hladině významnosti α volíme množinu W = {t; t < t(n 1; 1 α)} Konkrétně tedy budeme testovat hypotézu H 0 μ = 0,9 proti hypotéze H μ < 0,9 Vypočítáme střední hodnotu výběru podle vzorce n Dosadíme a vypočteme x = 1 n x i i=1 μ = x = 1 [0,91 + 1,08 + 0,72 + 1,07 + 1,14 + 0,62 + 1,06 + 1,20 + 0,76 + 1,19 + 0,96 + 0, ,83 + 0,55 + 0,79 + 1,34 + 0,60 + 1,19 + 1,35 + 1,13 + 0,67 + 0,77 + 0,48 + 0,83 + 1,78 + 2,25 + 1,21 + 0,89 + 0,83 + 1,07] = = 1 Výběrový rozptyl vypočteme podle vzorce Dosadíme s 2 = 1 n 1 (x i X ) 2 n i=1 d b 13

14 s 2 = [(0,91 1)2 + (1,08 1) 2 + (0,72 1) 2 + (1,07 1) 2 + (1,14 1) 2 + (0,62 1) 2 + (1,06 1) 2 + (1,20 1) 2 + (0,76 1) 2 + (1,19 1) 2 + (0,96 1) 2 + (0,73 1) 2 + (0,83 1) 2 + (0,55 1) 2 + (0,79 1) 2 + (1,34 1) 2 + (0,60 1) 2 + (1,19 1) 2 + (1,35 1) 2 + (1,13 1) 2 + (0,67 1) 2 + (0,77 1) 2 + (0,48 1) 2 + (0,83 1) 2 + (1,78 1) 2 + (2,25 1) 2 + (1,21 1) 2 + (0,89 1) 2 + (0,83 1) 2 + (1,07 1) 2 ] Odtud = 1 29 [( 0,09)2 + (0,08) 2 + ( 0,28) 2 + (0,07) 2 + (0,14) 2 + ( 0,38) 2 + (0,06) 2 + (0,20) 2 + ( 0,24) 2 + (0,19) 2 + ( 0,04) 2 + ( 0,27) 2 + ( 0,17) 2 + ( 0,45) 2 + ( 0,21) 2 + (0,34) 2 + ( 0,40) 2 + (0,19) 2 + (0,35) 2 + (0,13) 2 + ( 0,33) 2 + ( 0,23) 2 + ( 0,52) 2 + ( 0,17) 2 + (0,78) 2 + (1,25) 2 + (0,21) 2 + ( 0,11) 2 + ( 0,17) 2 + (0,07) 2 ] = 1 [0, , , , , , , , , , , , , , , , ,16 + 0, , , , , , , , , , , , ,0049] = ,9222 = 0, σ = s = σ n 1 = s 2 = 0, = 0, Můžeme tedy vypočítat realizaci t zvolené testové statistiky T t = x μ 0 n = 1 0,9 s 0, = 0,1 0, , = 0, , = 1, Kritický obor pro tento test na hladině významnosti α = 0,01 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > t(n 1; 1 α)} = {t; t > t(30 1; 1 0,01)} = {t; t > t(29; 0,99)} = {t; t > 2,462} Protože t W, nelze na hladině významnosti 0,01 zamítnout hypotézu H 0 μ = 0,9 ve prospěch alternativní hypotézy. Můžeme tedy na hladině významnosti 0,01 konstatovat, že střední hodnota obsahu je menší než 0,9. Řešení b Druhým naším úkolem je testovat zda směrodatná odchylka obsahu je menší než 0,4. Tento test budeme realizovat prostřednictvím testu, zda rozptyl obsahu je menší než 0,16 (směrodatná odchylka je odmocninou rozptylu). Budeme tedy testovat rozptyl normálního rozdělení při neznámé střední hodnotě. Postupovat budeme podle teorie. Budeme testovat hypotézu H 0 σ 2 2 = σ 0 proti hypotéze H σ 2 2 > σ 0 Za testovou statistiku volíme statistiku (n 1)S2 T = σ 2 0 Tato statistika má za platnosti σ 2 2 = σ 0 rozdělení χ 2 (n). Za kritický obor pro tento test volíme množinu W = {t; t > χ 2 (n 1; 1 α)} V našem příkladu tedy konkrétně budeme testovat hypotézu H 0 σ 2 = 0,4 2 proti hypotéze H σ 2 > 0,4 2 Máme n = 30.Vypočítali jsme s 2 = 0, již v řešení první úlohy d b 14

15 Realizace t zvolené testové statistiky T po dosazení a jednoduchém výpočtu je (30 1) 0, t = 0,4 2 = 3,9222 0,16 = 24,51375 Kritický obor na dané hladině významnosti α = 0,01 je po vyhledání v tabulkách množina W = {t; t > χ 2 (n 1; 1 α)} = {t; t > χ 2 (30 1; 1 0,01)} = {t; t > χ 2 (29; 0,99)} = {t; t > 49,59} Protože t W, nelze na hladině významnosti 0,01 zamítnout hypotézu H 0 σ 2 0,4 2 ve prospěch alternativní hypotézy. Můžeme tedy na hladině významnosti 0,01 konstatovat, že směrodatná odchylka obsahu je menší než 0,4. d b 15

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test

Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 11. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 27 Obsah 1 Testování statistických hypotéz 2

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Jednostranné intervaly spolehlivosti

Jednostranné intervaly spolehlivosti Jednostranné intervaly spolehlivosti hledáme jen jednu z obou mezí Princip: dle zadání úlohy hledáme jen dolní či jen horní mez podle oboustranného vzorce s tou změnou, že výraz 1-α/2 ve vzorci nahradíme

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests)

Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests) Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, např. hmotnost a pohlaví narozených dětí. Běžný statistický postup pro ověření závislosti dvou veličin je zamítnutí jejich

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

NEPARAMETRICKÉ TESTY

NEPARAMETRICKÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ TESTY Neparametrický jednovýběrový Jeden výběr jehož medián srovnáváme s nějakou hodnotou Wilcoxonův jednovýběrový test 1) Máme data z družice Hipparcos pro deklinaci (obdoba zeměpisné šířky)

Více

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Hypotézy o populacích Příklad IQ test: Předpokládejme, že z nějakého důvodu ministerstvo školství věří, že studenti absolventi středních škol v Hradci Králové

Více

12. prosince n pro n = n = 30 = S X

12. prosince n pro n = n = 30 = S X 11 cvičení z PSI 1 prosince 018 111 test střední hodnoty normálního rozdělení při známém rozptylu Teploměrem o jehož chybě předpokládáme že má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 3 jsme provedli

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Testy statistických hypotéz Statistická hypotéza je jakýkoliv předpoklad o rozdělení pravděpodobnosti jedné nebo několika náhodných veličin. Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem

Více

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Obecný postup 1. Určení statistické hypotézy 2. Určení hladiny chyby 3. Výpočet

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

PARAMETRICKÉ TESTY. 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU 10.

PARAMETRICKÉ TESTY. 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU 10. PARAMETRICKÉ TESTY Testujeme rovnost průměru - předpokladem normální rozdělení I) Jednovýběrový t-test 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU

Více

Náhodné veličiny, náhodné chyby

Náhodné veličiny, náhodné chyby Náhodné veličiny, náhodné chyby Máme náhodnou veličinu X, jejíž vlastnosti zkoumáme. Pokud známe její rozložení (např. z nějaké dřívější studie) nebo alespoň předpokládáme znalost rozložení, můžeme ji

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013 Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2014/2015 Tutoriál č. 6: ANOVA Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Testování hypotéz opakování ANOVA Testování hypotéz (opakování) Testování

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

6. Testování statistických hypotéz. KGG/STG Zimní semestr 6. Testování statistických hypotéz

6. Testování statistických hypotéz. KGG/STG Zimní semestr 6. Testování statistických hypotéz 6. Testování statistických Testování statistických Princip: Ověř ěřování určit itého předpokladu p zjišťujeme, zda zkoumaný výběr r pochází ze základnz kladního souboru, který mám určit ité rozdělen lení

Více

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

DVOUVÝBĚROVÉ A PÁROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica

DVOUVÝBĚROVÉ A PÁROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica DVOUVÝBĚROVÉ A PÁROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Úloha A) koncentrace glukózy v krvi V této části posoudíme pomocí párového testu, zda nový lék prokazatelně snižuje koncentraci

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 1: Opakování ze statistiky LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Z čeho studovat 1) Z KNIHY Krkošková,

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Jednovýběrové testy. Komentované řešení pomocí MS Excel

Jednovýběrové testy. Komentované řešení pomocí MS Excel Jednovýběrové testy Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data V dalším budeme předpokládat, že tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:C23 (viz. obrázek) Základní statistiky vložíme vzorce

Více

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin EuroMISE Centrum Kontakt: Literatura: Obecné informace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicínskéobory I. Vydavatelství

Více

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin EuroMISE Centrum I. ÚVOD vv této přednášce budeme hovořit o jednovýběrových a dvouvýběrových testech týkajících se střední hodnoty

Více

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Obecný postup 1. Určení statistické hypotézy 2. Určení hladiny chyby 3. Výpočet

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Vzorová prezentace do předmětu Statistika

Vzorová prezentace do předmětu Statistika Vzorová prezentace do předmětu Statistika Popis situace: U 3 náhodně vybraných osob byly zjišťovány hodnoty těchto proměnných: SEX - muž, žena PUVOD Skandinávie, Středomoří, 3 západní Evropa IQ hodnota

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

STATISTICA Téma 6. Testy na základě jednoho a dvou výběrů

STATISTICA Téma 6. Testy na základě jednoho a dvou výběrů STATISTICA Téma 6. Testy na základě jednoho a dvou výběrů 1) Test na velikost rozptylu Test na velikost rozptylu STATISTICA nemá. 2) Test na velikost střední hodnoty V menu Statistika zvolíme nabídku Základní

Více

Statistika pro každého. Párový test Test shody dvou rozptylů Dvouvýběrový t-test Porovnání středních hodnot při nestejných rozptylech

Statistika pro každého. Párový test Test shody dvou rozptylů Dvouvýběrový t-test Porovnání středních hodnot při nestejných rozptylech Statistika pro každého Párový test Test shody dvou rozptylů Dvouvýběrový t-test Porovnání středních hodnot při stejných rozptylech Testovací kuchařka 1 2 Párový t-test 1 2 Párový t-test -test užijeme v

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 12 Testování hypotéz Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test Párový Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 motivační příklad Párový Příklad (Platová diskriminace) firma

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrické testy hypotéz čast 1 Neparametrické testy hypotéz - úvod Neparametrické testy statistických hypotéz se používají v případech, kdy neznáme rozdělení pozorované

Více

Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 10. Neparametrické y Mann-Whitney U- Wilcoxonův Znaménkový Shrnutí statistických ů Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický Neparametrický 1 skupina dat vs. etalon Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu.

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Př. : Ve vjezdové skupině kolejí byly sledovány počty přijíždějících vlaků za hodinu. Za 5 dní (tedy 360 hodin) přijelo celkem 87 vlaků. Výsledky sledování jsou uvedeny v tabulce.

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Regrese. 28. listopadu Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly:

Regrese. 28. listopadu Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly: Regrese 28. listopadu 2013 Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly: 1. Ukázat, že data jsou opravdu závislá. 2. Provést regresi. 3. Ukázat, že zvolená křivka

Více

5. Závislost dvou náhodných veličin různých typů (kategoriální a metrická veličina)

5. Závislost dvou náhodných veličin různých typů (kategoriální a metrická veličina) 5. Závislost dvou náhodných veličin různých typů (kategoriální a metrická veličina) Cílem tématu je správné posouzení a výběr vhodného testu v závislosti na povaze metrické a kategoriální veličiny. V následující

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 7. Testování statistických hypotéz Mgr. David Fiedor 30. března 2015 Osnova 1 2 3 Dělení testů parametrické - o parametrech rozdělení základního souboru (průměr, rozptyl,

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme motivační příklad Párový Párový Příklad (Platová diskriminace) firma provedla šetření s cílem zjistit, zda dochází k platové diskriminaci žen Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více