VaFu-T List Grafické riešenie sústav lineárnch rovníc a nerovníc RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Poznáš nejaké metód na riešenie sústav lineárnch rovníc? Ž: Pravdaže, najčastejšie používam dosadzovaciu metódu, ale nieked aj sčitovaciu. U: Dobre, dnes si povieme o ďalšej metóde, ktorú môžeme použiť na vriešenie sústav dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi, a to o grafickej metóde. Ž: Z toho usudzujem, že asi budeme kresliť nejaké graf. To ab som išiel pohľadať pravítko... U: Usudzuješ správne, pravítko sa ti naozaj zíde. Poďme na to. Uvažujme o sústave dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi, ktorú môžeme v základnom tvare zapísať napríklad takto: a + b = c a + b = c, pričom a, b, c, a, b, c sú reálne koeficient. Z každej z týchto rovníc vjadri. Ž: Ak to urobím v prvej rovnici, dostanem vjadrenie Z druhej rovnice dostanem U: Nepripomína to to niečo? = a b + c b. = a b + c b. Ž: Ale áno, vzerá to ako rovnica lineárnej funkcie. U: Presne tak. Zistili sme teda, že jednoduchými ekvivalentnými úpravami dokážeme sústavu dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi prepísať do tvaru sústav dvoch lineárnch funkcií. U: A môžeme prejsť ku grafom, pretože vieme, že... Ž:... grafom lineárnej funkcie je priamka. U: Pre úplnosť dodám, že grafick vieme znázorniť aj rovnice s jednou neznámou. Tie b nám mohli vzniknúť, ak b v našej sústave boli niektoré koeficient nulové. Najprv sa pozrime na prípad rovnice = c. Ž: To je rovnica konštantnej funkcie. Jej grafom je priamka rovnobežná s osou. U: Výborne! Prejdime na rovnicu tpu = c. Ž: Všetk bod, ktoré majú rovnakú -ovú súradnicu ležia na priamke rovnobežnej s osou. Lenže tá nepredstavuje graf funkcie!
VaFu-T List U: Máš pravdu, takáto priamka nie je grafom žiadnej funkcie. Vieme ju však zostrojiť a to nám stačí. Vráťme sa teda naspäť k tomu, že grafick hľadáme riešenie sústav dvoch lineárnch rovníc. Ž: Už sme povedali, že každej rovnici vieme priradiť priamku, teda na obrázku nám vzniknú dve priamk. Aha, mslím, že viem, čo bude nasledovať jednoducho sa pozrieme, kde sa tie dve priamk preťali a budeme mať výsledok! U: Podstatu si celkom dobre vstihol, vskúšajme to najprv na jednom konkrétnom príklade a potom sa ešte vrátime k niektorým detailom. U: Grafick rieš sústavu lineárnch rovníc v R, teda v karteziánskom súčine R R: + = = 5. Ž: Dobre, tak začnem prvou rovnicou, prepíšem si ju do tvaru lineárnej funkcie = + a keďže viem, že jej grafom je priamka, stačí mi na jej zostrojenie poznať dva bod. Pripravím si ich do tabuľk: U: Vidím, že si si šikovne zvolil priesečník s osami. Ž: Podobne to bude aj s druhou rovnicou, kde Aj tu si pripravím dva bod = 5.,5 5 U: Môžeš do jedného obrázka nakresliť oba graf a vznikne toto:
VaFu-T List 5 = 5 P 5 = + 5 Ž: Priesečník je jasný je to bod P [; ]. U: Je to bod, ktorý leží na oboch grafoch, teda jeho súradnice vhovujú obom daným rovniciam. Pre istotu b sme však mali urobiť skúšku správnosti. Ž: Skúšku? A načo? U: Nepoužívali sme len ekvivalentné úprav, ale sme aj kreslili. Čo keď v skutočnosti nie je riešením [; ], ale [,9;,5]? Ž: To sa mi nepáči, načo mi je potom taká metóda? U: Uznávam, že grafická metóda má isté obmedzenia, nieked však môže dobre poslúžiť, napríklad pri riešení lineárnch optimalizačných úloh. Takže sa nedurdi a urob radšej tú skúšku. Ž: No dobre, tak ju urobím zvlášť pre pravú a ľavú stranu každej z rovníc: Ľ = + = + = ; P = ; Ľ = P Ľ = = = 6 = 5; P = 5; Ľ = P No vidíte, predsa som mal pravdu, je to riešenie. U: Áno, a keďže našou úlohou bolo riešiť sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámmi, výsledok zapíšeme takto: K = {[; ]}.
VaFu-T List U: V predchádzajúcej úlohe sme sa stretli so situáciou, keď grafmi príslušných lineárnch funkcií boli dve rôznobežné priamk, ktoré mali jeden spoločný bod. Skús sa teraz zamslieť nad tým, aké ďalšie možnosti b mohli nastať. Ž: Mohlo b sa stať, že b nám všli dve rovnobežk, tie nemajú spoločný bod, teda to b znamenalo, že sústava rovníc nemá riešenie. U: Súhlasím, a ešte? Ž: Ešte? Rôznobežk boli, rovnobežk tiež... U: Presnejšie b sme mohli povedať, že dve rôzne rovnobežk, pretože treťou možnosťou je situácia, keď obe priamk splnú, sú totožné. Ž: No to je dosť čudná situácia, veď to ako keb som mal len jednu priamku. U: Nezabudni však, že v skutočnosti riešiš sústavu dvoch lineárnch rovníc. Ž: Aha, takže potom má sústava nekonečne veľa riešení, pretože každý bod, ktorý leží na tejto zdvojenej priamke predstavuje riešenie. U: Presne tak, môžeme teda naše úvah zhrnúť takto: Sústava dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi má jediné riešenie práve vted, ak graf príslušných lineárnch funkcií sú rôznobežné priamk nekonečne veľa riešení práve vted, ak graf príslušných lineárnch funkcií sú totožné priamk nemá riešenie práve vted, ak graf príslušných lineárnch funkcií sú rôzne rovnobežk U: Grafick vieme znázorniť aj riešenie lineárnej nerovnice s dvoma neznámmi. Nech je daná jedna z nerovníc < f(), > f(), f(), f(), kde f je lineárna funkcia. Ukážeme si to na príklade nerovnice < +. Najprv zostrojíme graf funkcie = f(). Môžeš to urobiť. Ž: Čiže mám zostrojiť graf funkcie = +. To je ľahké, grafom je priamka prachádzajúca bodmi [; ] a [; 5]. Tu je obrázok:
VaFu-T List 5 = + 5 U: Teraz nájdi niekoľko riešení našej nerovnice. Teda niekoľko bodov, ktorých súradnice spĺňajú podmienku < +. Ž: Napríklad bod [5; ], [; ], [; ]... Mslím, že sú to bod, ktoré ležia pod našou priamkou. Lebo napríklad bod [ ; ], ktorý leží nad priamkou, nám už nevhovuje. U: Máš pravdu. Graf funkcie = f() rozdelil rovinu na dve polrovin. Jedna z nich obsahuje všetk usporiadané dvojice, ktoré sú koreňmi nerovnice. Ž: Ako zistíme, ktorá z polrovín to bude? U: Dosadíme jeden konkrétn bod, ktorý neleží na grafe funkcie, do nerovnice. Výhodné je napríklad dosadzovať bod [; ]. Ž: Skúsim to. Dosadím bod [; ] do mojej nerovnice < + a dostanem <. To platí. U: Teda riešením je tá polrovina, z ktorej si vbral bod. Ž: A keb som dostal nepravdivý výrok, riešením b bola druhá polrovina? U: Presne tak. Ešte doplním, že v prípade ostrých nerovníc tpu < f(), > f() hraničná priamka = f() nepatrí do oboru pravdivosti nerovnice. Preto ju vznačíme čiarkovanou čiarou. V prípade neostrých nerovníc tpu f(), f() je grafickým znázornením riešenia polrovina aj s hraničnou priamkou. Ž: Dokončím teda moju úlohu hraničná priamka je vznačená čiarkovanou čiarou.
VaFu-T List 6 U: Na nasledujúcom obrázku je žltou farbou vznačená množina všetkých usporiadaných dvojíc, ktoré sú koreňmi nerovnice < +. < + 5 U: Teraz, keď už vieš grafick znázorniť riešenie jednej lineárnej nerovnice s dvoma neznámmi, hravo zvládneš aj sústavu takýchto nerovníc. Ž: Samozrejme. Najprv do jedného obrázka zostrojím grafické znázornenie riešení jednotlivých nerovníc. To sú isté polrovin. A potom si uvedomím, že hľadám bod, ktoré vhovujú každej z nerovníc, teda vznačím prienik všetkých polrovín. U: Výborne.
VaFu5- List 7 Príklad : Grafick riešte v R sústav rovníc: a) + = 7 b) = 8 c) + = 6 5 + = + = + =. Ž: Začnem prvou sústavou + = 7 5 + =. Najprv z prvej rovnice vjadrím, dostanem = + 7, čo predstavuje lineárnu funkciu. Preto viem, že jej grafom je priamka a na jej určenie mi stačia dva bod, napríklad takéto: 7 To isté spravím s druhou rovnicou, teda najprv vjadrím takto: = 5 + a potom k tomu nájdem dva bod. Nechcem tam veľmi mať štvrtin, tak skúsim... napríklad takto: U: Celkom dobre ti to všlo, môžeš zostrojiť graf. Ž: Tu sú a vidno z toho, že sa obe priamk pretli v bode P [ ; ].
VaFu5- List 8 5 P = + 7 = 5 + U: Nezabudni však na skúšku správnosti. Ž: Čiže dosadím do pôvodných rovníc za číslo a za číslo : Ľ = + = + = + 8 = 7, P = 7, Ľ = P Ľ = 5 + = 5 ( ) + = 5 + 6 =, P =, Ľ = P U: Takže môžeme napísať K = {[ ; ]}. Ž: Môžem prejsť na druhú sústavu = 8 + =. Takisto najprv z prvej rovnice vjadrím, dostanem = a k tomu si pripravím do tabuľk dva bod ležiace na grafe získanej funkcie: U: Zrejme to isté zopakuješ s druhou rovnicou.
VaFu5- List 9 Ž: Samozrejme, dostanem = + a do tabuľk si dám takéto hodnot: U: A tu je obrázok so zostrojenými grafmi: = + 5 5 = Ž: Veď sú to rovnobežk, teda táto sústava nemá riešenie! U: Áno, smbolick zapíšeme K =. To, že sústava nebude mať riešenie si si mohol uvedomiť už skôr z rovníc lineárnch funkcií = = + predsa vidno, že ich graf budú rovnobežk. Vieš prečo? Ž: Keď ste ich napísali takto pod seba, už to vidím aj ja koeficient pri sú v oboch rovniciach rovnaké, preto majú priamk rovnaký sklon. U: Ja pre úplnosť dodám, že absolútne koeficient, čiže čísla a v rovniciach týchto funkcií sú rôzne, preto graf budú rôzne rovnobežk.
VaFu5- List Ž: Tak už mi ostala len posledná sústava rovníc: + = 6 + =. Zopakujem predchádzajúci postup z prvej rovnice vjadrím = + 6. Grafom tejto funkcie je priamka a k tomu si pripravím jej priesečník s osami: 6 No a ešte druhú rovnicu vnásobím tromi a potom vjadrím : No moment, dostal som takú istú funkciu! U: Čo z toho vplýva? = + 6. Ž: Z toho vplýva, že graf nemusím kresliť, lebo to budú dve totožné priamk. U: Ja som to predsa len pre istotu nakreslil, vzerá to takto: 6 5 = + 6 Ako to bude s riešeniami našej sústav? Ž: Bude ich mať nekonečne veľa.
VaFu5- List U: Takže zapíšeme Ž: Áno. U: Nie. K = R? Ž: Prečo zase? U: Porozmýšľaj podľa teba vhovuje každá usporiadaná dvojica reálnch čísel. Teda aj [; ] alebo [; 5]? Pozri sa na graf. Ž: Nesedí to. Ale aj tak je predsa nekonečne veľa riešení! U: To som nepoprel. Ide len o to, ako šikovne zapísať, že nám vhovujú iba tie usporiadané dvojice, ktorých obraz ležia na našej priamke. Ž: Tak to neviem, ako to zapísať. U: Jednoducho, -ová súradnica sa môže meniť ľubovoľne, ale každému odpovedá jediné podľa vzťahu, ktorý si sám našiel: Preto výsledok zapíšeme takto: Prípadne použijeme zápis = + 6. K = {[; + 6], R}. K = {[ ] } 6 ;, R. Ten vstihuje situáciu, ak -ovú súradnicu ľubovoľne meníme, ale každému odpovedá jediné podľa vzťahu = 6. Úloha : Grafick riešte v R sústav rovníc: a) + + = b) = c) = 8 + = = = +. Výsledok: a) [ ; 9 ], b), c) {[ ; + ] }, R
VaFu- List Príklad : Riešte grafick v R sústavu rovníc: ( + ) ( ) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) = ( + 7) ( ). Ž: Asi niet inej pomoci, než to začať upravovať. Takže najprv roznásobím zátvork a dostanem: + = + + 8 = + 7. U: Výraz na oboch stranách síce nie sú lineárne, ale práve nelineárn člen môžeme od oboch strán odčítať. Ž: Aj ostatné člen môžem z pravej stran odčítať. Dostanem + = 6 9 + 6 = a tú druhú rovnicu ešte predelím tromi, ab som mal menšie čísla. Teda + = + =. U: A to už je celkom pekná sústava dvoch lineárnch rovníc, ktorú máme riešiť grafick. Ž: Najprv z oboch rovníc vjadrím : = + = +. Tým som získal vjadrenia lineárnch funkcií. Ich graf sú priamk, pripravím si po dva bod, ktoré nanesiem do grafu: Môžem to hneď nakresliť, tu je výsledok:
VaFu- List P 5 5 = + = + U: Dobre, teda podľa teba je riešením... Ž:... usporiadaná dvojica [5; ]. Ale pre istotu to overím skúškou, predsa len na tom grafe to nie je až také jednoznačné. U: Súhlasím. Ž: Takže dosadzujem do rovníc v zadaní za číslo 5 a za číslo : Všlo to! U: Výborne, môžeme teda zapísať, že Ľ = (5 + )( ) = 8 = P = (5 )( + ) = 6 = Ľ = P Ľ = (5 )( + ) = 8 = P = (5 + 7)( ) = = Ľ = P K = {[5; ]}.
VaFu- List Úloha : Riešte grafick v R sústavu rovníc: + = Výsledok: K = {[ ; ] }, R,5 = 5
VaFu- List 5 Príklad : Spotrebiteľ chce kúpiť väčšie množstvo istého druhu tovaru, najviac však 7 kg. Má dve možnosti nákupu:. Tovar kúpi v predajni v bezprostrednej blízkosti svojho bdliska, kde za kg zaplatí,.. Zájde svojím autom k výrobcovi, u ktorého kg tohto tovaru stojí iba,9. Musí však navše zaplatiť za benzín dopredu si spočítal, že to bude,5. Pri akom množstve tovaru bude pre spotrebiteľa finančne výhodnejšie nakúpiť tovar priamo u výrobcu? (Nepočítame stratu času ani amortizáciu auta.) Úlohu riešte grafick aj výpočtom. Ž: Celkom zaujímavá úloha, tipoval b som, že je výhodnejšie ísť tam, kde je to lacnejšie, najmä pri väčšom nákupe. U: Znie to logick, otázne je však práve to, ked to začne bť výhodnejšie. Ž: Tak sa do toho pusťme. Najprv si zavediem označenie keďže zaplatená suma závisí od množstva kúpeného tovaru, urobím to takto:... množstvo tovaru v kilogramoch... celkové náklad v eurách Teraz ešte nájsť závislosť. Začnem tým jednoduchším prípadom, ak b sa tovar nakupoval v predajni. Tam sa za kilo zaplatí,, teda za kilogramov to bude,. U: Áno, dostávame teda rovnicu prvej funkcie f : =,, čo je rovnica priamej úmernosti. Ako bude vzerať jej graf? Ž: Grafom priamej úmernosti je priamka, na jej zostrojenie si pripravím hoci aj takéto dva bod: U: S tými dvoma bodmi súhlasím, ale s tou priamkou veru nie. Ž: Čo zase... Aha, spotrebiteľ chce kúpiť najviac 7 kilogramov a zrejme nebude kupovať záporné množstvá. Teda definičný obor je D(f ) = ; 7. Preto grafom nie je priamka, ale len úsečka. U: Teraz to je v poriadku, skús ešte druhú možnosť nákupu.
VaFu- List 6 Ž: Pri druhej možnosti, keď pôjde po tovar k výrobcovi, zaplatí za každé kilo tovaru,9, teda za kilogramov to bude,9, ale ešte musíme pripočítať náklad na benzín, teda dostávam rovnicu f : =,9 +,5. A to je rovnica lineárnej funkcie, teda jej grafom je priamka. Opravujem sa, úsečka, pretože D(f ) = ; 7. U: Na jej zostrojenie budeš opäť potrebovať dva bod. Ž: Napríklad takéto: 5,5 59 A môžem sa pustiť do kreslenia grafov. Tu je výsledok: 6 8 6 f f 5 6 7 8 9 U: Dobre, a teraz skús interpretovať, čo vidíš. Ž: Zdá sa, že sa graf pretínajú niekde okolo hodnot = 8, ale úplne presné to nie je. U: Tak to skúsme overiť výpočtom.
VaFu- List 7 Ž: Dobre, chcem vedieť, ked je to cenovo rovnako, či kúpi doma alebo pôjde k výrobcovi. Takže má platiť, =,9 +,5. Odtiaľ mi vjde = 8. U: Výborne, teda pre spotrebiteľa je výhodnejšie zájsť po tovar k výrobcovi, ak ho chce kúpiť viac ako 8 kilogramov. Ž: Čím viac pritom nakúpi, tým to bude výhodnejšie, pretože graf sa od seba vzďaľujú. Najvýhodnejšie to bude pre = 7. Úloha : Nákladné auto všlo po ceste o 8 hodine ráno z mesta M smerom do mesta N. Išlo priemernou rýchlosťou 5 km/h. O 9 hod za ním všlo tiež z mesta M osobné auto priemernou rýchlosťou 8 km/h. a) Ked a v akej vzdialenosti od mesta M dostihne osobné auto nákladné auto? b) Zistite, či to bude pred alebo za mestom N, ktoré je od mesta M vzdialené 5 kilometrov. Úlohu riešte grafick. Výsledok: a) o. hodine vo vzdialenosti km, b) za mestom N
VaFu- List 8 Príklad : V roku 7 si domáci odberatelia elektrickej energie v Slovenskej republike mohli vbrať jednu z týchto sadzieb (cen sú uvedené bez DPH): ŠTANDARD MINI pozostáva z pevnej mesačnej platb Sk na mesiac a z platb,5 Sk za kwh spotrebovanej energie. ŠTANDARD MAXI pozostáva z pevnej mesačnej platb 9 Sk na mesiac a z platb, Sk za kwh spotrebovanej energie. Určte grafick, ktorá sadzba je výhodnejšia pri ročnej spotrebe 7 resp. kwh. U: Zaujímal si sa nieked o to, koľko doma platíte za elektrinu? Ž: Pravdu povediac, ani nie. Samozrejme viem, že keď nechám všade rozsvietené, budeme platiť viac. To mi mama stále pripomína, ale koľko presne, to neviem. U: Tak potom asi nevieš ani to, že si môžeš vbrať z viacerých možností a je dobré vedieť vpočítať, ktorá je pre vašu domácnosť výhodnejšia. Ž: To znie zaujímavo, žeb predsa tie funkcie na niečo boli? U: Isteže, tak poďme na to. Ž: Najprv si ešte raz prečítam tet... Niečo mi tu nesedí. Hovorí sa o poplatkoch za mesiac, ale v otázke je ročná spotreba. Tak ako? U: Presne tak, ako to v prai funguje každý mesiac platíte určitý poplatok za elektrinu, je to vlastne záloha. A raz za rok sa zisťuje celková ročná spotreba, na základe ktorej sa urobí vúčtovanie. A buď vám vrátia preplatok, alebo od vás pýtajú nedoplatok. Ž: To mi niečo hovorí. U: To som rád a teraz už poďme úlohu matematick zapísať. Aké premenné v nej vstupujú? Ž: Spotreba energie v kwh, ak som dobre pochopil tak za rok, tú si označím písmenom. No a písmenom si označím sumu, ktorú treba zaplatiť za mesiac... alebo za rok? Zase neviem. U: Za rok, budeme sa na to dívať z pohľadu ročného zúčtovania. Ž: No dobre. Takže pri prvej sadzbe ŠTANDARD MINI zaplatíme každý mesiac Sk, čiže za rok 6 Sk a k tomu ešte,5 Sk za kwh. Teda za kwh to bude,5 a spolu dostávam vzťah = 6 +,5. U: Veľmi dobre, pokračuj. Ž: Pri sadzbe ŠTANDARD MAXI zaplatíme každý mesiac 9 Sk, čiže za rok 9 = 788 Sk a k tomu ešte, Sk za kwh. Bude to podobná rovnica = 788 +,. U: Výborne, v oboch prípadoch to sú lineárne funkcie, ich grafmi sú polpriamk, keďže definičný obor sú len nezáporné čísla. A tu je obrázok:
VaFu- List 9 7 6 5 = 788 +, = 6 +,5 5 6 7 8 9 U: Z grafov máme určiť, ktorá sadzba je výhodnejšia pri spotrebe 7 resp. kwh ročne. Ž: Výhodnejšie je samozrejme zaplatiť menej, pri hodnote = 7 dáva nižšiu hodnotu prvá funkcia = 6 +,5, ale pri spotrebe kwh už dáva menšiu hodnotu druhá funkcia = 788 +,. Takže pri spotrebe 7 kwh je výhodnejšia sadzba ŠTANDARD MINI a pri spotrebe kwh zase sadzba ŠTANDARD MAXI. U: Výborne, ja len dodám, že nie je veľmi ťažké vpočítať, že sadzba ŠTANDARD MINI je výhodnejšia len pri spotrebe do 98 kwh ročne.
VaFu-5 List Príklad 5: Grafick riešte v R sústav: a) b) + < 5 =,5. Ž: V prvej časti mám grafick riešiť sústavu troch jednoduchých lineárnch nerovníc. Pozriem sa na každú z nich zvlášť. Začnem nerovnicou. Zostrojím hraničnú priamku = pomocou bodov [; ] a [; ]. U: Tým sa ti rovina rozdelí na dve polrovin. Ako rozhodneš, ktorá z nich ti vhovuje? Ž: Jednoducho, dosadím do nerovnice bod [; ]. Hops! Bod [; ] leží na hraničnej priamke, takže to nebol najlepší nápad. U: Nič sa nedeje, treba zobrať iný bod. Ž: Tak napríklad bod [; ]. Keď ho dosadím do mojej nerovnice, dostanem. A to platí, teda polrovina, v ktorej leží bod [; ] znázorňuje všetk riešenia prvej nerovnice. Tu je k tomu obrázok: U: Výborne, rovnakým spôsobom zvládneš aj ďalšie nerovnice. Ž: Druhá nerovnica je. Zostrojím hraničnú priamku =. Potom si vezmem nejaký bod, ktorý na nej neleží, napríklad bod [; ]. Dosadím jeho súradnice do nerovnice a dostanem. To neplatí, teda polrovina, z ktorej som vbral bod mi nevhovuje. Riešením bude druhá polrovina.
VaFu-5 List U: Na nasledujúcom obrázku to máme znázornené. Ž: Ešte mi ostala posledná nerovnica. Hraničná priamka = je kolmá na os -ovú a pretína ju v bode. Všetk bod, ktoré majú -ovú súradnicu menšiu ako ležia od nej naľavo, teda grafické znázornenie tretej nerovnice je takéto: U: Veľmi dobre, ostáva už len dokončiť riešenie sústav. Ž: To znamená, že nájdem prienik troch polrovín, ktoré som zakreslil pri jednotlivých nerovniciach. Výsledkom je takýto trojuholník:
VaFu-5 List 6 5 U: Riešením našej sústav nerovníc sú teda všetk usporiadané dvojice čísel, ktorých obraz ležia v danom trojuholníku, vrátane jeho hranice. Ž: Môžem sa pustiť do druhej úloh. Opäť začínam nerovnicou, teraz je to + < 5. Takže najprv zostrojím hraničnú priamku = 5 pomocou bodov [ ; ] a [ ; ]. Potom dosadím bod [; ] do nerovnice. Dostal som vzťah < 5, čo neplatí. Teda vznačím tú polrovinu, ktorá neobsahuje bod [; ]. U: Podotýkam, že hraničná priamka do množin riešení nepatrí, keďže sme pracovali s ostrou nerovnicou. Ž: Pokračujem ďalej. Tu však nemám ďalšiu nerovnicu, ale rovnicu =,5. Grafick znázorním priamku s rovnicou =,5 a hľadám jej prienik s polrovinou. Tu je to nakreslené riešením je červená polpriamka bez krajného bodu:
VaFu-5 List =,5 + < 5 Úloha 5: Grafick riešte v R sústav: a) + b) = + > 5 +. Výsledok: a) + = + = 5
VaFu-5 List b) = + =
VaFu-6 List 5 Príklad 6: Grafick riešte v R sústavu nerovníc: + +. U: Na úvod si pripomeňme, ako grafick riešime sústavu nerovníc. Najprv grafick znázorníme množinu riešní každej z nerovníc a potom vznačíme prienik týchto množín. Ž: Tie nerovničk vzerajú celkom jednoducho, hneď sa pustím do prvej. Chcem teda grafick znázorniť riešenie nerovnice +. Začnem zostrojením priamk s rovnicou + =. Tá mi rozdelí rovinu na dve polrovin. O tom, ktorá z nich mi vhovuje, rozhodnem pomocou hocijakého bodu neležiaceho na priamke. Najľahšie sa pracuje s bodom [; ]. Takže do nerovnice + dosadím za aj za nul a dostanem. Toto je pravda, takže polrovina obsahujúca bod [; ] je grafickým vjadrením prvej nerovnice. U: Ukážeme si to hneď aj na obrázku: + Ž: Rovnako budem postupovať s druhou nerovnicou. Zostrojenie hraničnej priamk = zvládnem ľahko pomocou bodov [; ] a [; ]. Potom napríklad pomocou bodu [; ] zistím, že riešením je polrovina, ktorá ho obsahuje.
VaFu-6 List 6 U: Ide ti to ako po masle, vidím, že tomu rozumieš. Ž: Rovnaký postup zvolím aj pri posledných dvoch nerovniciach + a. Hraničné priamk sú + = a =. V oboch prípadoch bod [; ] patrí do hľadanej polrovin. Takže ak to všetko nakreslím aj s predchádzajúcimi dvoma polrovinami, ich prienikom je takýto útvar:
VaFu-6 List 7 U: Áno, teda riešením našej sústav štroch nerovníc sú všetk usporiadané dvojice, ktorých obraz vtvoria takýto štvorec. Pre zaujímavosť dodám, že sústavu nerovníc v zadaní možno nahradiť jedinou nerovnicou Úloha 6: Grafick riešte v R sústavu: +. Výsledok: = ; ; = = =
VaFu-7 List 8 Príklad 7: Nájdite sústav lineárnch nerovníc s dvoma neznámmi, ktorých riešenia sú znázornené na obrázkoch: a) b) U: Najprv si zopakujme, čo je grafickým vjadrením množin koreňov lineárnej nerovnice s dvoma neznámmi. Ž: Je to polrovina, pričom pri neostrej nerovnici do nej patrí aj hraničná priamka, ale pri ostrej nerovnici tam nepatrí. U: A ako nájdeš tú hraničnú priamku? Ž: Ako grafické vjadrenie zodpovedajúcej rovnice. U: Výborne. Pozrime sa teda na prvý obrázok. Je na ňom znázornený trojuholník ako výsledok grafického riešenia nejakej sústav nerovníc. Koľko asi bolo tých nerovníc? Ž: Zrejme tri, lebo trojuholník vznikne ako prienik troch polrovín. U: Tvojou úlohou je teda nájsť tie tri polrovin a im zodpovedajúce nerovnice. Pre ľahšiu orientáciu navrhujem označiť vrchol trojuholníka. Ž: Dobre, tak nech sa trojuholník volá UFO, pričom U [; ], F [; ] a O [; ]. F O U
VaFu-7 List 9 Najľahšie bude vjadriť polrovinu OUF. Jej hraničnou priamkou je os a všetk bod ležiace nad ňou majú kladnú -ovú súradnicu. Takže prvá nerovnica je. U: Skús pokračovať polrovinou OF U. Ž: Začnem hraničnou priamkou. Ležia na nej bod O [; ] a F [; ]. Z toho usudzujem, že jej rovnica je jednoduchá: =. Lenže ja potrebujem nerovnicu. Preto si skúsim tipnúť, že b to mohlo bť. A overím to pomocou bodu U. Takže dosadím jeho súradnice a dostanem. Hm, nevšlo. Teda som si zle tipol a nerovnica má bť opačne:. U: Ide ti to výborne, ostala posledná polrovina UF O. Ž: Najprv potrebujem zistiť rovnicu hraničnej priamk UF. To ale nebude také ľahké. U: Ale zase ani ťažké. Priamka U F predstavuje graf nejakej lineárnej funkcie a t na nej poznáš dva bod. Ž: Poznám, ale čo s nimi? U: Spomeň si na rovnicu lineárnej funkcie. Ž: Tá je = a + b. Aha, už rozumiem. Dosadím do tejto rovnice za a súradnice bodov U a F. Takže pre bod U [; ] dostanem A pre bod F [; ] dostanem rovnicu = a + b. = a + b. U: Tým si dostal jednoduchú sústavu dvoch lineárnch rovníc s dvoma neznámmi.
VaFu-7 List Ž: A hravo ju vriešim. Z prvej rovnice vjadrím Dosadím do druhej rovnice odkiaľ b = a. = a a, a =. Potom b =, teda priamka UF má rovnicu = +. Ja ale potrebujem nerovnicu. Vezmem si na pomoc bod O [; ]. Keďže tento bod má patriť mojej polrovine a <, tak jej nerovnica bude +. U: Súhlasím, len možno krajší zápis b bol +. V rámčeku je zhrnuté riešenie úloh. + U: Keď si tak dobre zvládol trojuholník, nebude ti snáď robiť problém ani štvorec, ktorý máme na ďalšom obrázku:
VaFu-7 List Ž: Mslím, že nie. Je jasné, že teraz potrebujem štri nerovnice. Ak sa však dobre pozriem na ten štvorec, tak vidím, že všetk jeho bod majú ohraničené súradnice. A to tak, že -ové súradnice sú len medzi a. Teda prvé dve nerovnice sú U: OK,. Tiež -ové súradnice sa menia od po, preto ďalšie dve nerovnice sú A je to.,. Úloha 7: Nájdite sústavu lineárnch nerovníc s dvoma neznámmi, ktorej riešenie je znázornené na obrázku: Výsledok: + < ; < ; + < ; <