Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Transkript

1 Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro argument > 0 a sudá odmocnina je definovaná pouze z nezáporných hodnot. Ted ln( + ) 0 + > 0 0. Soustavu nerovnic řešíme tak, že vřešíme každou nerovnici zvlášť a potom určíme průnik jednotlivých částí rovin. Každou nerovnici upravíme na tvar, z něhož určíme křivku tvořící hranici a rozhodneme o tom, která polorovina nerovnici vhovuje. Například tak, že zvolíme libovolný bod, který neleží na hraniční křivce a dosadíme jeho souřadnice do nerovnice. Pokud nerovnost platí, je řešením polorovina, ve které bod leží, kdž ne, je řešením polorovina opačná. ) ln( + ) 0 platí, pokud + + Této podmínce vhovují všechn bod [ ] středem v počátku a poloměrem r =., R kromě těch, které leží na kružnici se ) + > 0 + > Hraniční křivkou je kružnice se středem v bodě [ 0,0] a poloměrem r =. Ještě je třeba rozhodnout, jestli nerovnici vhovují bod uvnitř nebo vně kružnice. Kdž do nerovnice dosadíme například bod [ 0,0], dostaneme 0>. Protože vztah neplatí, znamená to, že střed kružnice nevhovuje, proto je řešením vnějšek kruhu. Můžeme ted říct, že této podmínce vhovují všechn bod [, ] R ležící vně kruhu se středem v počátku a poloměrem r =. (Bod na kružnici tvořící hranici nevhovují.)

2 0 3) 0 Hraniční křivkou je parabola s vrcholem v bodě [ 0,0] a osou v ose. Zvolíme si například bod [,0], který leží na ose vně parabol a dosadíme jeho souřadnice do nerovnice. Dostaneme nerovnost 0, která neplatí, což znamená, že zvolený bod nevhovuje. Podmínku ted splňují všechn bod [, ], které leží nad parabolou s vrcholem v počátku a osou v ose ( uvnitř ). 0 Na závěr určíme průnik vhovujících částí rovin: 0 Příklad. z = 4 + arcsin( + ) Řešení: Omezující podmínk pro jednotlivé části funkce jsou dvě: Výraz pod odmocninou musí být nezáporný a funkce arkussinus je definovaná na intervalu,.

3 Ted: ) a poloměrem r =, podmínce Hraniční křivkou je kružnice se středem v bodě [,0] vhovují bod uvnitř. (Dosadíme-li například [ 0,0], potom 0 4, což platí.) ) Nerovnost + si rozepíšeme na dvě části a obě upravíme. + + Hranici tvoří přímk. První podmínce vhovují bod polorovin ležící nad přímkou = (včetně hranice), druhé podmínce bod ležící pod přímkou = + (včetně hranice). Celkem jde ted o pás mezi těmito přímkami. D(f): 0 Příklad 3. z = + 4 Řešení: Protože sudá odmocnina je definovaná pouze pro nezáporný argument, musí platit ) 0 Hranici tvoří parabola s v vrcholem v bodě[ 0,0] a osou totožnou s osou. Zvolíme například bod [,0] a dosadíme do nerovnice. Potom 0. Protože nerovnost neplatí, řešením jsou bod ležící napravo od parabol ( uvnitř ). ) Nerovnici odmocníme (!!) Víme, že při odstraňování absolutní hodnot je třeba rozlišit dva případ. Je-li výraz v absolutní hodnotě nezáporný, jeho znaménko se nemění, je-li výraz záporný, bude mít po odstranění absolutní hodnot znaménko opačné. V našem případě ted musíme uvažovat dvě možnosti: a) Je-li 0 b) Je-li < 0, ted.

4 Hranici tvoří dvě přímk: = a =. Podmínce vhovují bod vně pásu ohraničeného těmito přímkami, bod ležící na přímkách také. Definičním oborem je - 0 Příklad 4. z = log( 3+ 6) Řešení: Logaritmická funkce je definovaná pro argument > 0 a sudá odmocnina je definovaná pro nezáporné hodnot. Takže podmínk, které musí platit jsou 3+ 6> 0 0. ) 3+ 6> 0 Hraniční křivkou bude parabola, ale nejdříve musíme upravit abchom určili její vrchol a parametr. Připomeňme si rovnici ( n) = p( m). Člen obsahující ponecháme na levé straně nerovnice, ostatní převedeme > 3 6 Vtkneme konstantu u > 3( ) Jde ted o parabolu s vrcholem v bodě V = [,0], její osa je totožná s osou, ohnisko leží vpravo od vrcholu. Nerovnosti vhovují bod vně (nalevo), což ověříme například dosaze- 0,0. Potom 0> 3(0 ), což platí. ním bodu [ ] ) 0 Platí pro všechn bod ležící pod přímkou = včetně bodů na přímce. Definiční obor: 0

5 Příklad 5. z = arctg( ) + ln( + ) + 3 Řešení: Musí platit + > ) + > 0 Hraniční křivkou je kružnice. Nerovnici upravíme na středový tvar, abchom určili střed a poloměr. Středová rovnice kružnice je ( m) + ( n) = r. Proto doplníme na ( + ) + ( ( ) + ) > + + ( ) Jde ted o kružnici se středem = [,] ) > S a r =. Bod splňující nerovnost leží vně. Hranici tvoří kubická parabola. Dosazením například bodu [,3] vhovují bod nad křivkou (včetně). Definičním oborem je 0 zjistíme, že nerovnici 0 Příklad 6. z = ( + ) arccos ln(4 ) Řešení: 0 4 > 0. ) První podmínku si rozepíšeme na dvě nerovnice Křivkami tvořícími hranici jsou ted parabol s vrchol v počátku a osami v ose, nerovnostem vhovují bod vně parabol. ) 0 0. Platí pro všechn bod rovin, kromě bodů ležících na ose. 3) 4 > 0 > 4 + < 4 platí pro bod ležící uvnitř kružnice se středem S = [ 0,0] a poloměrem r =.

6 D(f) : 0 Příklad 7. z = 4 + sin( + ) + + Řešení: > 0. ) 0 platí pro všechn bod rovin kromě těch, které leží na ose. ) , kdž tuto nerovnici odmocníme, bude. Musíme ted uvažovat dvě možnosti: c) Je-li 0 d) Je-li < 0, ted. Hranici tvoří přímk = a =, podmínk splňují bod ležící v pásu mezi nimi. 3) + + > 0 upravíme tak, abchom určili střed a poloměr kružnice tvořící hranici. + ( + ) > 0 + ( + ) > S = [ 0, ], poloměr r =. Podmínce vhovují bod ležící vně kružnice. - 0