Úloha 6: Měření povrchového napětí kapalin, Měření vnitřního tření kapalin, Měření vnitřního tření vzduchu FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 19.11.2009 Jméno: František Batysta Pracovní skupina: 11 Ročník a kroužek: 2. ročník, pond. odp. Spolupracovníci: Štěpán Timr Hodnocení: Abstrakt V této úloze jsme třemi metodami měřili povrchové napětí vody a lihu. Provedli jsme nejprve přímě měření síly působící na povrchovou blánu kapaliny, poté jsme povrchové napětí stanovili z měření kapilární elevace. Tímto se podařilo potvrdit tabulkovou hodnotu povrchového napětí lihu. Námi změřená hodnota povrchového napětí vody se však bohužel neshoduje s tabulkovou hodnotou. Dále jsme povrchové napětí vody a lihu jsme vzájemně porovnali kapkovou metodou. S velmi dobrou přesností se podařilo určit dynamickou viskozitu vzduchu a ricinového oleje. 1 Úvod Při popisu reálných kapalin si často nevystačíme s aproximací vlastnostmi ideální kapaliny, která je dokonale nestlačitelná a bez vnitřního tření. Naproti tomu reálná kapalina se brání svému proudění disipativními silami, tj. má nenulové vnitřní tření. Vnitřní tření popisujeme veličinou viskozita. Další nezanedbatelný jev lze pozorovat na povrchu kapaliny. Molekuly nacházející se v tenké povrchově vrstva mají větší potenciální energii, než ty, které jsou uvnitř objemu kapaliny. V důsledku toho se povrch chová jako elastická blána, která se snaží dosáhnout co možná nejhladšího stavu s minimálním rozpětím. K popisu tohoto jevu zavádíme veličinu povrchové napětí. Díky povrchovému napětí vody mohou například vodoměrky klouzat na vodní hladině (obr 1 [1]). Cílem tohoto měření je stanovit několika metodami vnitřní tření a povrchové napětí vybraných kapalin. Pracovní úkoly tedy jsou: Obrázek 1: Vodoměrky mohou díky povrchovému napětí klouzat na vodní hladině. 2 Pracovní úkoly 2.1 Měření povrchového napětí kapalin [3] 1. Stanovte povrchové napětí destilované vody a lihu (při pokojové teplotě) přímým měřením na torzních vahách. 2. Změřte pomocí kapilární elevace povrchové napětí destilované vody a lihu při pokojové teplotě pomocí dvou až tří kapilár různého vnitřního průměru. Pro každou kapiláru určete střední kvadratickou chybu výsledku. Výsledky porovnejte s hodnotami uvedenými v tabulkách. 3. Srovnáním s vodou určete při pokojové teplotě povrchové napětí lihu kapkovou metodou pomocí dvou až tří různých kapilár. Proveďte korekci na těkavost lihu. 1
2.2 Měření vnitřního tření kapalin [4] 1. Stanovte dynamickou viskozitu ricinového oleje při teplotě kolem 25 C. Odhadněte, s jakou přesností měříte jednotlivé dílčí veličiny a pomocí vztahu u f = ( ) 2 f (u xi) 2 (1) x i i z části Chyby měření (soubor chyby-o.pdf) vypočítejte, s jakou přesností můžete změřit viskozitu. 2. Odvoďte vztah pro závislost hustoty ρ ϑ na teplotě ϑ, když ρ ϑ = ρ 0 1 + βϑ, (2) kde β je součinitel objemové teplotní roztažnosti. Objemová teplotní roztažnost ricínového oleje je β 18 = 0,69.10 3 K 1, hustota oleje při 18 C je ρ 0 = 961 kg.m 3. 2.3 Měření vnitřního tření vzduchu [5] 1. Určete viskozitu vzduchu při pokojové teplotě měřením objemu protékajícího vzduchu a úbytku tlaku na kapiláře. Měření proveďte při různých tlacích. 2. Z naměřených výsledků vypočtěte součinitel vnitřního tření η. 3. Naměřené výsledky vyneste do grafu ve tvaru (p 1 p 2 ) = f(v t ) 3 Experimentální uspořádání a metody 3.1 Měření povrchového napětí kapalin [3] Povrchové napětí je v soustavě SI definováno jako síla, kterou povrch působí na jednotce své délky: σ = F l. (3) Povrchové napětí můžeme určovat buď přímo změřením síly, kterou povrchové napětí působí na známou délku nebo užitím kapilárních efektů (elevace a deprese). K určení povrchového napětí lze také použít tvoření kapek při odkapávání kapaliny z kapiláry. 3.1.1 Měření povrchového napětí přímým měřením Přímě měření spočívá v tom, že vytahujeme z kapaliny rovný drátek délky l a s ním i blanku kapaliny, která působí na drátek povrchovou silou z každé strany, tedy F = 2l σ. (4) Sílu F jsme měřili na torzních vahách jako rozdíl síly působící na drátek v okamžiku přetržení vodní blanky síly na drátek ponořený těsně pod hladinou. Torzní váhy byly cejchované v milipondech: 1 mp = 9,806 65 10 6 N. Váhy jsme před měřením museli zkalibrovat. Závaží o hmotnosti m z = 398mg vážilo na torzních vahách 405, 5mg. Všechny naměřené hmotnosti jsme tedy násobili koeficientem k = 398 405,5. 3.1.2 Určení povrchového napětí z kapilární elevace V této metodě využijeme toho, že námi měřené kapaliny lnou ke skleněnému povrchu. Voda i líh lne ke sklu tak, že úhel ϑ sklonu povrchu kapaliny podél svislé stěny trubice vzhledem k trubici je velmi malý (ϑ 0). Podmínka rovnováhy v kapiláře pak znamená rovnost gravitační síly působící na vodní sloupec a povrchové síly ke stěnám kapiláry: πr 2 hρg = 2πrσcosϑ, (5) 2
kde r je vnitřní poloměr kapiláry, ρ hustota kapaliny a h je velikost kapilární elevace. Odtud pak povrchové napětí: σ = rhρg 2. (6) 3.1.3 Určení povrchového napětí kapkovou metodou Kapalina pomalu vytékající ze svislé trubice se (po kapkách) odtrhne, když pro hmotnost tvořící se kapky: mg = 2πRσ. (7) Hmotnost však nelze měřit přímo, neboť část kapky je zpětně zachycena trubicí. Předpokládáme, že poměr mezi hmotností zachycenou a ukáplou je stejný pro všechny kapaliny. Potom můžeme určit relativní povrchové napětí, tj. povrchové napětí vzhledem k nějaké známé kapalině (např. voda). Pro povrchová napětí dvou kapalin a příslušné hmotnosti kapek M 1, M 2 (stejného počtu u obou kapalin) pak platí σ 1 = M 1. (8) σ 2 M 2 Ze znalosti první kapaliny pak můžeme vyjádřit σ 2 jako 3.2 Měření vnitřního tření kapalin [4] σ 2 = σ 1 M 2 M 1. (9) V tomto experimentu jsme určovali viskozitu ricinového oleje Stokesovou metodou. Malé kuličky o hustotě ρ a poloměru r byly vhazovány do skleněného válce naplněného olejem o hustotě ρ p (při dané teplotě). Pro hustotu ricinového oleje jsme v závislosti na teplotě odvodili vztah ρ ϑ = ρ 18 1 + β (ϑ 18), (10) kde je β 18 = 0,69.10 3 K 1, hustota oleje při 18 C je ρ 18 = 961 kg.m 3. V případě pohybu koule o poloměru r, rychlostí v v prostředí o viskozitě η, platí následující Stokesův vzorec pro odporovou sílu F : F = 6πηrv. (11) Přitom předpokládáme pouze takové rychlosti, aby obtékání kuličky bylo laminární. Zároveň působí na kuličku tíhová síla (v kapalině). F = 4 3 πr3 (ρ ρ p )g. (12) Po určité době se Stokesova odporová síla vyrovná s tíhovou silou (v kapalině) a kulička dále padá rovnoměrně přímočaře rychlostí u. Lze tedy psát F = F (13) Obrázek 2: Trubice naplněná ricinovým olejem. (Stokesův viskozimetr) odkud dosazením a úpravou η = 2 9 g(ρ ρ p) r2 u. (14) 3.3 Měření vnitřního tření vzduchu [5] 3.3.1 Schéma aparatury Měřící aparatura je uspořádána podle obrázku 3. Pomocí lahve ML 2 vytváříme přetlak v lahvi L. Tím vháníme vzduch do kapiláry K, která klade proudění vzduchu odpor. Tomu odpovídající pokles tlaků měříme manometrem M. Vzduch, který vychází z kapiláry K, vháníme do lahve ML 1, odkud 3
vytlačuje vodu trubicí T 1, jejíž zakončení je ve stejné výšce, jako zakončení trubice T 2. Tím je zajištěn atmosferický tlak za kapilárou. Objem vody V vytlačené vzduchem za čas t měříme pomocí stopek a odměrného válce. Obrázek 3: Schéma aparatury při měření vnitřního tření vzduchu. Vztah pro proudění plynu v kapiláře udává Hagen Poiseuillova rovnice: V t p 2 = π 8η r 4 l p 1 + p 2 (p 1 p 2 ), V t = V 2 t, (15) kde V t je objemová rychlost proudění vzduchu, p 1, p 2 tlak vzduchu před, resp. za kapilárou, η je viskozita plynu, r, l poloměr a délka kapiláry. Viskozita plynu je tedy 3.4 Výpočet chyby měření η = Shrneme použité metody pro výpočet chyby měření [2]. π r 4 p 1 + p 2 p 1 p 2. (16) 8V t l 2 p 2 Chybu vážení jsme podle použitého přístroje stanovili na u m = 0, 1g. Chybu stanovení rychlosti jsme vinou nefunkčního startovacího modulu nemohli určit statisticky. Protože však nelze pokládat naměřenou rychlost za přesnou, položili jsme její odchylku paušálně rovnu u v = 2, 5mm s 1. Chyby měřících přístrojů y odhadujeme velikostí dílku příslušného měřícího přístroje. Chyby opakovaně měřených veličin vypočítáme jako směrodatnou odchylku aritmetického průměru sā = 1 N (a i ā) 2 (17) N(N 1) Celkovou chybu přímého měření pak vyjádříme jako uā = s 2 ā + yp 2 (18) Pro nepřímo měřené veličiny f = f(x 1, x 1,, x k ) stanovíme chybu jako u f = k ( ) 2 f (u xi x )2 (19) i i=1 Vlastní výpočet nepřímo měřených veličin včetně výpočtu chyby nepřímého měření jsme provedli v Matlabu, který umožňuje provádět symbolické výpočty. Popis funkce, kterou jsme naprogramovali, a její zdrojový kód je k dispozici v [7] i=1 4
4 Výsledky 4.1 Měření povrchového napětí kapalin 4.1.1 Měření povrchového napětí přímým měřením Povrchové síly kapaliny působící na drátek dlouhý 19,3 mm jsou uvedeny v tabulce 1. F 1 síla působící na drátek ponořený těsně pod hladinou, F 2 síla působící na drátek při odtržení blanky kapaliny. voda líh F 1 [mp] F 2 [mp] σ v [Nm 1 ] F 1 [mp] F 2 [mp] σ l [Nm 1 ] 45 283 0,059 26 119 0,02325 30 267 0,059 24 121 0,02425 29 273 0,061 24 121 0,02425 40 273 0,058 25 120 0,02375 29 280 0,063 25 118,5 0,02337 30 279 0,062 26 272 0,061 27 278 0,063 29 277 0,062 22 284 0,065 Tabulka 1: Měření povrchového napětí vody a lihu přímou metodou. Celkově pak z (4) dostáváme tyto hodnoty povrchového napětí vody σ v a lihu σ l : 4.1.2 Určení povrchového napětí z kapilární elevace σ v = (62 ± 1) 10 3 Nm 1, (20) σ l = (24 ± 1) 10 3 Nm 1. (21) Během měření jsme používali tři různé kapiláry o těchto vnitřních průměrech: 2r 1 = 0, 65 10 3 mm 2r 2 = 1, 48 10 3 mm 2r 3 = 1, 64 10 3 mm Naměřené výšky hladin kapaliny v nádobě h 1 a výšky hladin v kapiláře h 2 jsou uvedeny pro líh v tabulce 2 a pro vodu v tabulce 3. Povrchové napětí vody jsme pomocí první kapiláry neměřili, neboť vodní sloupec dosáhl výš, než byl rozsah mikrometrického šroubu. LÍH kapilára 1 kapilára 2 kapilára 3 h 1 [mm] h 2 [mm] σ 1 [Nm 1 ] h 1 [mm] h 2 [mm] σ 2 [Nm 1 ] h 1 [mm] h 2 [mm] σ 3 [Nm 1 ] 7,0 23,13 0,020 6,50 15,25 0,025 8,25 14,6 0,020 7,5 24,05 0,021 7,15 15,05 0,023 7,9 14,55 0,021 7,6 24,1 0,021 7,10 14,75 0,022 7,75 14,45 0,021 7,2 23,7 0,021 6,95 14,45 0,021 7,55 14,15 0,021 7,2 23,95 0,021 6,95 14,45 0,021 7,55 14,05 0,021 Tabulka 2: Měření povrchového napětí lihu metodou kapilární elevace. 5
VODA kapilára 2 kapilára 3 h 1 [mm] h 2 [mm] σ 2 [Nm 1 ] h 1 [mm] h 2 [mm] σ 3 [Nm 1 ] 4,0 22,7 0,068 4,1 17,3 0,053 4,4 22,4 0,065 4,2 17,4 0,053 4,0 22,2 0,066 4,2 16,8 0,051 4,0 22,2 0,066 4,4 16,5 0,049 4,0 22,2 0,066 4,0 16,2 0,049 Tabulka 3: Měření povrchového napětí vody metodou kapilární elevace. Po zpracování dat z tabulek 2 a 3 můžeme psát konečné výsledky měření pro jednotlivé kapiláry. LÍH σ l,1 = (21 ± 1) 10 3 Nm 1 σ l,2 = (23 ± 2) 10 3 Nm 1 σ l,3 = (21 ± 2) 10 3 Nm 1 V ODA σ v,2 = (66 ± 2) 10 3 Nm 1 σ v,3 = (51 ± 2) 10 3 Nm 1 4.1.3 Určení povrchového napětí kapkovou metodou Kapkovou metodu jsme provedli pouze s nejtenčí kapilárou o vnitřním průřezu 2r 1 = 0, 65 10 3 mm. Širšími kapilárami voda i při maximálním zaškrcení kapala příliš rychle, až tekla proudem. Získaná data jsou v tabulce 4. počet kapek m voda [g] m líh [g] 20 1,6 0,43 20 1,59 0,44 20 0,45 Tabulka 4: Hmotnosti odkapaného množství kapaliny Použijeme - li tabulkovou hodnotu povrchového napětí pro vodu σ v = 66, 10 3 Nm 1, obdržíme z (9) povrchové napětí lihu σ l = (19, 9 ± 0, 5) 10 3 Nm 1 (22) 4.2 Měření vnitřního tření kapalin Měření probíhalo při teplotě 25 C. Tomu odpovídá hustota ricinového oleje ρ p = 956, 4 kg m 3. Vzdálenost mezi ryskami na válci s olejem byla (318 ± 1) mm, průměr kuliček jsme změřili jako (1, 49 ± 0, 01)mm, a jejich hmotnost m = (13, 8 ± 0, 1) mg V tabulce 5 jsou uvedeny doby padání deseti měření. číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s 40,15 40,39 40,85 40,3 40,69 40,48 39,98 40,19 39,96 40,56 Tabulka 5: Doby padání kuliček v ricinovém oleji mezi dvěma ryskami Dosazením do vzorce (14) a vypočtením příslušné chyby nepřímého měření dostáváme viskozitu ricinového oleje jako η = (1, 08 ± 0, 09)Pa s. (23) 6
4.3 Měření vnitřního tření vzduchu Měření probíhalo za vnějšího atmosferického tlaku (100390±10) Pa. Průměr kapiláry byl (0, 39 ± 0, 01) mm, její délka (91, 6 ± 0, 1) mm. Hustotu vody jsme brali jako ρ v = 1000 kgm 3, tíhové zrychlení g = 9, 81 ms 1. Specifická data pro jednotlivá měření naleznete v tabulce 6. delta h [mm] Vt delta h [mm] Vt 33,5 1,62 22 1,20 103 4,98 66,5 3,39 65 3,16 67 3,36 39 2,03 64,5 3,00 54 2,77 42,5 2,19 24 1,25 42 1,98 36 1,82 110 5,24 57,5 2,93 Tabulka 6: Objemová rychlost plynu V t v závislosti na rozdílu vodních hladin h v manometru Závislost rozdílu tlaků p na objemové rychlosti V t je znázorněna v grafu 4. Je vidět, že pro malé rozdíly tlaků lze získanou závislost proložit přímkou. Obrázek 4: Závislost rozdílu tlaků p na objemové rychlosti V t. Odhadneme chyby měřených veličin. Rozdíl hladin manometru h měříme s přesností ±2 mm, čas t s přesností ±0, 1 s, chyba objemu přitékajícího do odměrného válce je ±3 mm. Chybu měření atmosferického tlaku odhadujeme 10 Pa. Výpočet celkové chyby nepřímého měření jsme provedli podle odstavce 3.4. Zpracováním naměřených dat dostáváme výsledek η vzd = (19, 5 ± 1) 10 6 Pa s. (24) 7
5 Diskuze 5.1 Měření povrchového napětí kapalin 5.1.1 Měření povrchového napětí přímým měřením Nejprve uvedeme tabulkové hodnoty [6] povrchového napětí vody a lihu. σ (tab) vody = 73 10 3 Nm 1 σ (tab) lihu = 22 10 3 Nm 1 Po srovnání s našimi hodnotami σ v = (62 ± 1) 10 3 Nm 1, σ l = (24 ± 1) 10 3 Nm 1 konstatujeme, že zatímco námi naměřená hodnota povrchového napětí lihu je nepatrně větší než tabulková, naše hodnota povrchového napětí pro vodu je podstatně menší, než tabulková. Větší nepřesnost v případě měření vody mohla být způsobena tím, že povrch kapaliny nasával měřící drátek tak, že se ocitl přesně na hladině pro různé hodnoty síly na ukazováku F 1 (s vyrovnaným vahadlem). To snižuje přesnost měření síly F 1. Případná mastnota na povrchu drátku by díky hydrofobnímu efektu snížila přilnavost vody k drátku, a tedy i velikost měřeného povrchové napětí. 5.1.2 Určení povrchového napětí z kapilární elevace Nejpřesnější Výsledky lze očekávat v případě použití nejtenčí kapiláry. Touto kapilárou získané povrchové napětí lihu činí σ l = (21 ± 1) 10 3 Nm 1, což se v rámci chyby měření shoduje s tabulkovou hodnotou. Povrchové napětí vody jsme touto kapilárou neměřili, protože voda vystoupala výš, než byl rozsah našeho měřidla. Povrchové napětí lihu měřené dalšími dvěma kapilárami se taktéž shodují s tabulkovou hodnotou. Totéž však nelze říci o povrchovém napětí vody. Přesnost výsledku patrně ovlivnilo to, že měření povrchového napětí vody bylo z časových důvodů prováděno bezprostředně po měření povrchového napětí lihu. Kapiláry tudíž nebyly předem smáčeny ve vodě po dostatečně dlouhou dobu a na jejich vnitřním povrchu mohly ulpívat molekuly lihu, které následně zkreslovaly měření. 5.1.3 Určení povrchového napětí kapkovou metodou Náš výsledek σ l = (19, 9 ± 0, 5) 10 3 Nm 1 je nižší, než udávaná tabulková hodnota. I když dílčí veličiny lze měřit s dobrou přesností, výsledná hodnota se od tabulkové hodnoty nejvíce odchyluje. Zamysleme se nad možnými příčinami tohoto faktu. Předpoklad, že na trubici zůstává táž poměrná část kapky kapaliny je pouze přibližný. Další nepřesnosti mohou být způsobeny neideálním prouděním během odkapávání kapaliny. Ačkoli lze všechny dílčí veličiny měřit s dobrou přesností a tedy náhodná chyba tohoto měření je poměrně nízká, nejeví se tato metoda kvůli systematickým chybám jako nejvýhodnější. 5.2 Měření vnitřního tření kapalin Udávaná tabulková hodnota viskozity ricinového oleje je η ric = 0, 985 Pa s, avšak může se podstatně lišit podle konkrétního výrobce. Vzhledem k tomu, že kuličky padaly středem válce velmi pomalu a rovnoměrně, nelze předpokládat žádné významné systematické chyby měření. Naše hodnota viskozity oleje η = (1, 08 ± 0, 09)Pa s se tedy pravděpodobně blíží skutečné viskozitě použitého oleje. 5.3 Měření vnitřního tření vzduchu Tabulková hodnota viskozity vzduchu je η tab vzd = 19 10 6 Pa s. Tuto hodnotu jsme potvrdili naším měřením, které vyšlo η vzd = (19, 5±1) 10 6 Pa s. Rozebereme některé možné nepřesnosti použité metody. Systematická chyba vznikala při větším rozdílu tlaků p 1 p 2, neboť v horní lahvi rychleji klesala hladina vody, a tím klesal i vstupní tlak během měření. Za dobu měření došlo k poklesu tlaku zhruba o 2 mm vodního sloupce. Tuto chybu jsme se snažili kompenzovat tím, že jsme rozdíl tlaků měřili zhruba uprostřed měření. Objem odkapané vody byl měřen odměrným válcem, který stál na ne zcela rovné podložce. Proto chybu měřeného objemu odhadujeme ±3ml. Malý vliv na přesnost měřeného objemu měla netěsnost 8
Mariotteovy láhve. Z lahve samovolně odkapávala voda rychlostí asi jedna kapka za dvě sekundy, což dalo ve výsledném objemu maximálně 1ml vody navíc. Přestože bylo měření zatíženo uvedenými chybami, shoduje se výsledek našeho měření s tabulkovou hodnotou. Přitom jsme dosáhli stejné přesnosti, jako je přesnost udávané tabulkové hodnoty. 6 Závěr Změřili jsme několika metodami povrchové napětí vody a lihu. Nejprve jsme k určení povrchového napětí přímo měřili sílu, která působí na drátek ponořený do kapaliny. Dále jsme pro měření téhož jevu využili kapilární elevaci a odkapávání kapaliny z kapiláry. Přímé měření nám dává výsledek σ v = (62 ± 1) 10 3 Nm 1, σ l = (24 ± 1) 10 3 Nm 1. Metodou kapilárního vzestupu jsme získali pro kapiláry(1,2,3): σ l,1 = (21 ± 1) 10 3 Nm 1, σ l,2 = (23 ± 2) 10 3 Nm 1, σ l,3 = (21 ± 2) 10 3 Nm 1, σ v,2 = (66 ± 2) 10 3 Nm 1, σ v,3 = (51 ± 2) 10 3 Nm 1. Měření povrchového napětí vody bylo pravděpodobně ovlivněno předchozím měřením lihu. Kapkovou metodou jsme získali velikost povrchového napětí lihu σ l = (19, 9 ± 0, 5) 10 3 Nm 1. Dále jsme naměřili dynamickou viskozitu ricinového oleje η = (1, 08 ± 0, 09)Pa s a dynamickou viskozitu vzduchu η vzd = (19, 5 ± 1) 10 6 Pa s. Obě tyto hodnoty můžeme pokládat za velmi přesné. Reference [1] WIKIPEDIE :Povrchové napětí [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://cs.wikipedia.org/wiki/povrchové napětí [2] FJFI ČVUT: Chyby měření a zpracování naměřených výsledků [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/provpokyny/chybynav/chyby1n.pdf [3] FJFI ČVUT, Měření povrchového napětí kapalin, [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/povrchnapkap/ [4] FJFI ČVUT, Měření vnitřního tření kapalin, [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/vnitrnitrenikap/ [5] FJFI ČVUT, Měření vnitřního tření vzduchu, [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://praktika.fjfi.cvut.cz/vnitrnitrenivzd/ [6] MACHÁČEK M. :Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce, Prometheus, Praha, 2005, ISBN 80-7196-264-3 [7] BATYSTA F. : Automatický výpočet chyby nepřímého měření [online], [cit. 30. listopadu 2009], http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/ batysfra/praktika/matlab/ 9