Přehled. Motivace Úvod. Křivky a plochy počítačové grafiky. Závěr. Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie

Podobné dokumenty
Aproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming

Aproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU

Křivky a plochy technické praxe

Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta

Kristýna Bémová. 13. prosince 2007

Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta

Bézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26

KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od

NURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE

Plochy počítačové grafiky II. Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA - PGR PROGRAM PŘEDNÁŠEK. Po 9:00-10:30, KN:A-214

Plochy zadané okrajovými křivkami

3. SB 3. SC. Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá žádný nevlastní bod. Tímto obrazem je křivka zvaná elipsa.

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování

Počítačová grafika RHINOCEROS

Základní vlastnosti křivek

5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)

Rhino - základní příkazy

15. listopadu Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Hermitovská interpolace

Základní vlastnosti ploch

Zobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3

Počítačová geometrie I

4. Digitální model terénu.

Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020

KMA/GPM Barycentrické souřadnice a

Rekonstrukce ploch: Polygonální a analytická reprezentace Vybrané metody aproximace ploch

Singularity rotačních obalových ploch

Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika Obor reálných čísel

Metodické listy pro kombinované studium předmětu. B_PPG Principy počítačové grafiky

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

VY_32_INOVACE_INF.10. Grafika v IT

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

PARAMETRICKÉ MODELOVÁNÍ V ARCHITEKTUŘE

Datové formáty grafiky, jejich specifika a možnosti využití. L u b o š T o m e š e k U M T M a n a ž e r s k á i n f o r m a t i k a 2015/ 16

Od Pythagora ke geometrickému modelování. Miroslav Lávička 1

Tento materiál byl vytvořen vrámci projektu. Inovace ve vzdělávání na naší škole V rámci OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Téma: Vektorová grafika. Určete pravdivost následujícího tvrzení: "Grafická data jsou u 2D vektorové grafiky uložena ve voxelech."

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Diplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

Základy 3D modelování a animace v CGI systémech Cinema 4D C4D

Voronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M M PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M M

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Počítačová geometrie. + algoritmy DG

CZ 1.07/1.1.32/

Křivky a plochy I. Petr Felkel. Katedra počítačové grafiky a interakce, ČVUT FEL místnost KN:E-413 na Karlově náměstí

PARAMETRICKÉ MODELOVÁNÍ A KONSTRUOVÁNÍ ÚVOD DO PARAMETRICKÉHO MODELOVÁNÍ A KONSTRUOVÁNÍ

Vyplňování souvislé oblasti

Maturitní témata profilová část

GIS Geografické informační systémy

9 Prostorová grafika a modelování těles

FORMÁTY UKLÁDÁNÍ OBRAZOVÝCH INFORMACÍ VÝMĚNA DAT MEZI CAD SYSTÉMY

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Matematika v proměnách věků. III

Grafická data jsou u 2D vektorové grafiky uložena ve voxelech NEPRAVDA Grafická data jsou u rastrové grafiky uložena v pixelech PRAVDA Grafická data

Geometrické transformace

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1

SROVNÁNÍ KVALITATIVNÍCH VLASTNOSTÍ INTERPOLAČNÍCH NURBS KŘIVEK

Obsah A ROVINNÁ GRAFIKA 17

GIS Geografické informační systémy

Křivky a plochy. Pavel Strachota. FJFI ČVUT v Praze

DATOVÉ FORMÁTY GRAFIKY, JEJICH SPECIFIKA A MOŽNOSTI VYUŽITÍ

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

Matematika pro real-time grafiku

Základy tvorby výpočtového modelu

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

UNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek

Úvod 7 1. Než začneme Technická normalizace Technické zobrazování Kótování 73

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Netradiční výklad tradičních témat

FERGUSONOVA KUBIKA. ( u) ( ) ( ) X s X s. Kubický spline C 2 má dva stupně volnosti Q 1 Q 2

Počítačová grafika 2 (POGR2)

1. Úvod do Systémů CAD

PŘEDMLUVA 11 FORMÁLNÍ UJEDNÁNÍ 13

Fraktály. Kristina Bártová. Univerzita Karlova v Praze 9.prosince

Elementární křivky a plochy

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy

Fakulta elektrotechniky a informatiky Počítačová grafika. Zkouška ústní

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Lucie Zrůstová HISTORIE DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA VUT V BRNĚ. 1 Deskriptivní geometrie na VUT do 2. světové války

TEORIE TVAROVÝCH PLOCH

PRINCIPY POČÍTAČOVÉ GRAFIKY

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce

Obr.1 Zařazení CAD do oblasti CA technologií

Subdivision křivky a plochy

Inovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

9 Vybrané rovinné křivky

23-41-M001 Strojírenství. Celkový počet týdenních vyučovacích hodin za studium: 4 Celkový počet vyučovacích hodin: 136 Platnost od: 1.9.

Transkript:

Vývoj výpočetní geometrie Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz

Přehled Motivace Úvod Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie Křivky a plochy počítačové grafiky Vývoj konstruování křivek a ploch Příklady křivek a ploch počítačové grafiky Závěr

Motivace Podat přehled ve vývoji výpočetní geometrie a počítačové grafiky Zaměříme se na konstruování křivek a ploch metody vyvinuté pro lodní, letecký a automobilový průmysl Rozvoj výpočetní techniky tvorba matematického aparátu, který přinesl nové metody konstruování křivek a ploch (do té doby konstrukce spočívaly na metodách deskriptivní geometrie)

Rozvoj počítačové grafiky 60. léta 20. století - základy počítačové grafiky zpracování grafické informace na počítači otázky výstupu z počítače, vstup grafické informace do počítače vytváření, manipulace a popis grafické informace rychle vyvíjející se vědní obor 70. léta 20. století z počítačové grafiky se oddělují nové podobory př. výpočetní geometrie (Computational Geometry)

Výpočetní geometrie I Pojem výpočetní geometrie poprvé (1971) zavedl Archibald Forest absolvent strojního inženýrství na University of Edinburgh, zakládající člen Computer-aided Design Group, později profesor na University of East Anglia konzultant u Rolls-Royce, Boeing, General Motors a dalších Výpočetní geometrie zahrnovala geometrické teorie zabývající se transformacemi zobrazením prostoru do roviny týkající se konstruování křivek a ploch pomocí počítače a grafického výstupu

Výpočetní geometrie II V dnešním pojetí návrhy a analýza efektivních algoritmů pro řešení geometrických problémů určování vlastností a vztahů objektů v rovině a ve vícerozměrném prostoru tyto problémy mohou vycházet z aplikací například v počítačové grafice nebo v prostorovém modelování Hlavní oblasti kombinatorická výpočetní geometrie (Combinatorial Computational Geometry) numerická výpočetní geometrie - častěji známá pod pojmem geometrické modelování nebo Computer Aided Geometric Design (CAGD) předmětem našeho pojednání

Křivky a plochy I Vývoj konstruování křivek a ploch počátky geometrického modelování velmi staré kořeny (římské impérium) z počátku především v lodním stavitelství techniky používané při stavbě lodí nejvíce se zdokonalovaly ve 13. 16. století (hlavně v Itálii) k uchování základní geometrie lodi se používaly malé dřevěné modely žádné výkresy popisující tvar lodi první známé zmínky o konstruktivní geometrii, pomocí níž se definovaly křivky užité v lodním průmyslu r. 1752

Křivky a plochy II Novodobá historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace povrchu letounů

Křivky a plochy III v knize Analytical Geometry with Application to Aircraft poprvé klasické konstruování kombinované s výpočetními metodami poprvé zavedl mnohem účinnější metody jako první začal popisovat křivky numericky (konstruování křivek a ploch v minulosti spočívalo na metodách DG) nesporné výhody interpretace matematického popisu (na rozdíl od kresby) vždy správná veliký ohlas - brzy se rozšířilo do dalších amerických společností pro výrobu letadel

Křivky a plochy IV v lodním i leteckém průmyslu postupně se začínaly využívat kubiky (do té doby kružnice, kuželosečky) plochy se rozdělily na části (tzv. pláty) vše definováno pomocí matematických rovnic 60. léta 20. století James C. Ferguson analytik u amerického výrobce letadel Boeing matematicky popsal plochu s kubickými parametrickými křivkami, na místo ploch vytvářených do té doby graficky na základě oblouků kuželoseček

Křivky a plochy V Steven Anson Coons profesor na Massachusetts Institute of Technology (MIT) ve strojním inženýrství, zaměstnanec u amerického výrobce letadel Chance Vought matematizace povrchů letounů popisy obecných plátů ploch zadávány libovolnými okrajovými křivkami jeho teorie základ pro definice ploch, které se dnes běžně užívají př. B-spline nebo NURBS plochy 60. léta 20. století výroba prvních počítačů, které se využívají ve strojírenství k řízení strojů, postupně se rozšiřují do dalších odvětví ještě však nejsou známy metody, jak počítačům předávat data v numerické podobě (Limingova metoda používána zpočátku jen v leteckém průmyslu)

Křivky a plochy VI Evropa k rozvoji geometrického modelování (a to právě v předávání dat počítači) nezávisle na sobě přispěli Francouzi Paul de Faget de Casteljau a Pierre Etienne Bézier Paul de Faget de Casteljau (*1930) pracoval pro francouzskou automobilovou firmu Citroën k zadávání křivek používal kontrolní polygon do té doby tato metoda nebyla nikdy použita v diferenciální geometrii existuje pojem kontrolního polygonu (od r. 1923) neuplatnilo se v praxi křivka se zadává pomocí blízkých bodů (ne body, které leží na křivce) změna křivky zajištěna změnou poloh bodů kontrolního polygonu, nemanipuluje se přímo s křivkou (totéž pro plochy)

Křivky a plochy VII postup, který používal dnes známý jako de Casteljau algoritmus firma Citroën jeho práci držela v tajnosti Casteljau své postupy navrhoval již v r. 1959, zveřejněny až na konci 70. let 20. století Pierre Etienne Bézier (1910 v Paříži - 1999 v Paříži) pracoval pro francouzskou konkurenční automobilovou firmu Renault začátek 60. let 20. století vedoucí konstrukčního oddělení zabýval se tím, jak počítačově reprezentovat křivky a plochy

Křivky a plochy VIII lze dokázat, že křivky, které vyvinul shodné s těmi, které popsal de Casteljau nezávisle také objevil algoritmus de Casteljau Bézierova práce publikována R. A. Forrestem doplněna také o popis Bézierových křivek pomocí Bersteinových polynomů Casteljau používal Bersteinovy polynomy již v padesátých letech) díky tomu tyto křivky a plochy nesou jméno Béziera, přestože je Casteljau vyvinul mnohem dříve

Křivky a plochy IX většina významných objevů v oblasti geometrického modelování byla až do 70. let 20. století izolována nakonec tyto snahy vyvrcholily vznikem nové vědní disciplíny CAGD bez zavedení počítačů do výroby by se ale tato disciplína jistě nemohla rozvinout

Křivky a plochy X metody počítačového modelování velmi se zdokonalily dnes k dispozici velmi kvalitní matematický aparát výraznou změnu přineslo používání - racionálních Bézierových křivek a ploch a neuniformních racionálních B-spline křivek a ploch tzv. NURBS těmito metodami lze pomocí aproximace generovat klasické geometrické prvky kuželosečky, kulové plochy v posledních letech vývoj v oblasti geometrického modelování přinesl mnoho dalších typů křivek a ploch zaváděných k různým speciálním účelům

Příklady křivek a ploch I křivky a plochy explicitně, implicitně, parametricky volba reprezentace závisí na konkrétním účelu a aplikaci dva základní způsoby zpracování vstupní množiny řídících bodů interpolace a aproximace Bézierova křivka příklad aproximační křivky n - tého stupně zadána n + 1 řídícími body prochází prvním a posledním bodem řídícího polygonu, ostatní body pouze aproximuje nevýhoda - při změně polohy jednoho bodu řídícího polygonu, dojde ke změně tvaru celé křivky to se řeší dělením křivek na segmenty a jejich postupným napojováním P 0 P 1 Bt () P 2 P 3

Příklady křivek a ploch II další aproximační metody Coonsovy kubiky neprocházejí krajními body kontrolního polygonu B-spline křivky skládají se z více segmentů obecnější křivky NURBS (neuniformní racionální B-spline křivky) aparát konstruování křivek rozšiřitelné do vyšší dimenze interpolační (poměrně složité), aproximační plochy plochy modelujeme pomocí zadávání sítě řídících bodů, která tvoří vtrojrozměrném prostoru mnohostěn

Příklady křivek a ploch III Bézierova plocha příklad aproximační plochy m n - tého stupně zadána maticí řídících bodů velikosti okrajovými ( křivkami m+ 1) ( nplochy + 1) jsou Bézierovy křivky další příklady Coonsovy plochy B-spline plochy NURBS

Ukázky ukázky Bézierovy křivky ukázky napojování Bézierových plátů velmi zajímavá oblast týkající se modelování ploch - tzv. plátování přičemž se požadují různé stupně hladkosti plátování se využívá při konstrukci složitějších tvarů a výhody jsou obdobné jako u křivek změny poloh řídících bodů ovlivňují výsledný tvar pouze lokálně

Závěr geometrické modelování obor, který se neustále vyvíjí v současné době využívá počítačové modely prakticky každá oblast výroby rozvoj grafických editorů, tzv. CAD systémů, umožnil projektování na počítači v různých odvětvích průmyslu