Základní vlastnosti křivek

Transkript

1 křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky ploch lze popisovat různým způsobem rozlišujeme hlavně neparametrický a parametrický způsob vyjádření křivek požadavky důležitá nezávislost křivky na soustavě souřadnic důležité snadné vyjádření omezení oblouku křivky z těchto důvodů nejčastěji parametrické vyjádření

2 modelování křivek použití v počítačové grafice a v souvisejících aplikacích modelování ve 2D i ve 3D různé aplikace různé požadavky dělení křivek rovinné prostorové dělení křivek podle typu rovnice explicitní implicitní parametrické

3 dělení křivek podle vlastností průchodu řídícími body interpolační aproximační interpolační křivka prochází danými body aproximační křivka neprochází danými body, řídící body určují tvar křivky

4 Rovinné křivky Explicitní rovnice y = f( x), kde x a, b f( x) je funkce definovaná na intervalu ab, = I, která každému I jednoznačně přiřazuje f( x) x a, b omezíme-li nezávisle proměnnou na interval, je tím na křivce určen oblouk nad tímto intervalem s krajními body A a B křivku někdy orientujeme, většinou souhlasně s rostoucí souřadnicí x, pak je bod A počátečním a bod B koncovým bodem oblouku I =

5 Rovinné křivky Explicitní rovnice y = f( x), kde x a, b A B explicitně zadanou křivku zobrazujeme tak, že pro dostatečný počet x k hodnot vyjádříme y = f ( x ), k = 1,2... [ x, y ] dvojice jsou souřadnice bodů křivky y = [ a, f( a)] = [, b f()] b A B k k k k křivka je funkce a b x

6 Rovinné křivky Explicitní rovnice y = f( x), kde x a, b příklady lineární funkce, kvadratické funkce, mocninné funkce, exponenciální funkce, logaritmické funkce, goniometrické funkce příklady křivek y x x a a a = e + e = acosh 2 řetězovka x a

7 Rovinné křivky 2n+ y x 1, n = y x 2 n, n =

8 Rovinné křivky (2n+ 1) y x n 0 x =,, 0 2 n y = x, n, x 0

9 Rovinné křivky y = a x + a x + a x+ a parabola třetího stupně (kubická parabola)

10 Rovinné křivky Implicitní rovnice F( x, y ) = 0 pokud tento tvar neumíme nebo nechceme převádět na explicitní, zobrazíme křivku tak, že volíme postupně konstantní hodnoty jedné proměnné a počítáme hodnoty druhé proměnné řešením rovnic F( α, y) = 0 F( x, α) = 0 α

11 Rovinné křivky Implicitní rovnice příklady F( x, y ) = 0 kuželosečky vlastnosti, rovnice, tečny příklady algebraických křivek 2 ( 2 2) 2( 2 2 x + y = 2a x y ) Bernoulliova lemniskáta

12 Rovinné křivky 3 3 x y axy a + 3 = 0, > 0 Descartesův list x= a y = x a Dioklova kisoida 2 3 y a x x a ( ) =, > 0

13 Rovinné křivky Parametrické rovnice x = x() t y = y(), t t a, b parametrické rovnice vyjadřují vznik křivky jako dráhy pohybujícího se bodu tento bod má v čase t souřadnice x(t) a y(t) počáteční bod křivky koncový bod křivky A[ xa ( ), y( a)] B[ xb ( ), y( b)]

14 Rovinné křivky Parametrické rovnice funkcemi (tzv. souřadnicové funkce) je určena bodová rovnice xt (), y() t nebo vektorová rovnice [ ] Qt () = xt (), yt () ( ) qt () = xt (), yt () qt () = Qt () [0,0] Qt () vektor se nazývá polohový vektor, jeho velikost je rovna vzdálenosti bodu od počátku výhoda parametrického zápisu je závislost na jediném parametru oproti explicitnímu vyjádření výhoda - lze vyjádřit i takové křivky, které nejsou funkcemi, např. kružnice

15 Prostorové křivky Parametrické rovnice výhoda parametricky lze zapisovat rovinné tak prostorové křivky analogie pojmů bodová rovnice vektorová rovnice x= x() t y = y() t z = zt (), t ab, [ ] Qt () = xt (), yt (), zt () ( ) qt () = xt (), yt (), zt ()

16 Základní vlastnosti křivek derivace parametricky vyjádřené křivky po složkách tečný vektor v bodě rovnice tečny v bodě Qt ( 0) je určen dx( t0) dy( t0) dz( t0) q ( t0) = ( x ( t0), y ( t0), z ( t0) ) =,, dt dt dt Qt ( 0) Qt ( ) + sq ( t), s 0 0 výhoda parametrické reprezentace snadné vyjádření tečny ke křivce, lze využít zejména při navazování křivek a skládání složitých tvarů z jednodušších částí

17 Základní vlastnosti křivek bod Qt ( ) je inflexním bodem křivky 0 křivka, jejíž všechny body jsou inflexní přímka nebo část přímky změna parametrizace nahrazení parametru t jiným parametrem, který je zadán jako funkce s = st () nové vyjádření q ( t ) = kq ( t ); k [ ] Rs () = xs (), ys (), zs () popisuje tutéž křivku s tím rozdílem, že tečný vektor v nějakém bodě křivky má stejný směr, ale jinou velikost, případně orientaci říkáme, že tečný vektor je závislý na parametrizaci (tečna na parametrizaci závislá není)

18 Základní vlastnosti křivek µ q ( t ) 0 b Qt ( 0) q ( t ) 0 ν n Qt () τ p n b τ ν µ -tečna - hlavní normála - binormála - oskulační rovina - normálová rovina - rektifikační rovina p v bodě Qt ( 0) - není inflexní (normála každá přímka v normálové rovině)

19 Základní vlastnosti křivek oskulační rovina v bodě Qt ( 0) µ q ( t ) 0 b Qt ( 0) q ( t ) 0 ν n Qt () τ určena tečnou p a vektorem q ( t ) hlavní normála v bodě je přímka kolmá na tečnu p leží v oskulační rovině binormála v bodě je přímka kolmá na 0 Qt ( 0) Qt ( 0) p oskulační rovinu

20 Základní vlastnosti křivek normálová rovina v bodě Qt ( 0) µ q ( t ) 0 b Qt ( 0) q ( t ) 0 ν n Qt () τ určena přímkami b, n rektifikační rovina v bodě určena přímkami b, p Qt ( 0) p

21 Základní vlastnosti křivek Q t Q t -dvěčásti (segmenty) jediné křivky Qt () 1(), 2() Q (1) = Q (0) - spojené v bodě - tzv. uzel 1 2 Q () t 2 Q () t 1 Q (1) = Q (0) 1 2

22 Základní vlastnosti křivek Q1(), t Q2() t - důležité - způsob napojení, spojitost v uzlu řekneme, že křivka je třídy, má-li ve všech bodech spojité derivace do řádu n C n Qt () označení se nazývá parametrická spojitost C n Q () t 2 Q () t 1 Q (1) = Q (0) 1 2

23 Základní vlastnosti křivek dva segmenty jsou spojitě navázány, mají spojení třídy, pokud je koncový bod prvního segmentu = počátečnímu bodu druhého segmentu dva segmenty mají spojení, pokud je tečný vektor v koncovém bodě prvního segmentu = tečnému vektoru druhého segmentu v jeho počátečním bodě dva segmenty mají spojen - rovnost vektoru první a druhé derivace zkráceně C C q (1) = q (0); i = 0,1... n () i () i C 0

24 Základní vlastnosti křivek platí C n + 1 C n 2 C 0 C 1 C q (1) = q (0); i = 0,1... n () i () i 1 2

25 Základní vlastnosti křivek geometrická spojitost dva segmenty jsou spojité, pokud je koncový bod prvního segmentu = počátečnímu bodu druhého segmentu dva segmenty jsou spojité, pokud je tečný vektor v koncovém bodě prvního segmentu lineárně závislý s tečným vektorem druhého segmentu v jeho počátečním bodě, tj. tj. totožnost tečen, nikoli tečných vektorů platí C n G n G G 0 1 n G q (1) = kq (0); k > G 1 C