Základní vlastnosti ploch

Transkript

1 plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie v 5 v 4 M ( u, v) y M t v 3 z O z M v 2 x M v 1 v 0 k 5 k0 k 1 k 2 k 3 k 4 k u 0 u 1 u 2 u 3 y u 4 u 5 vytváření plochy pomocí pohybu tvořící křivky přirozeně určuje parametrizaci pomocí dvou reálných parametrů parametrizací rozumíme předpis, který hodnotám parametrů spojitě přiřazuje body plochy

2 plocha na plochu můžeme nahlížet jako na sjednocení jednoparametrických křivek v prostoru každému bodu plochy tedy můžeme přiřadit dvojici reálných parametrů nejprve zjistíme, která poloha vytvořující křivky prochází daným bodem, tím určíme hodnotu parametru v parametrizaci trajektorie poté určíme hodnotu parametru v parametrizaci vytvořující křivky v právě zjištěné poloze, která odpovídá danému bodu, tím dostáváme hodnotu druhého parametru x v 5 v 4 M ( u, v) y M t v 3 z O z M v 2 x M v 1 v 0 k 5 k0 k 1 k 2 k 3 k 4 k každým regulárním bodem plochy procházejí dvě parametrické křivky u 0 u 1 u 2 u 3 y u 4 u 5

3 plocha lze popisovat různým způsobem rozlišujeme hlavně neparametrický a parametrický způsob vyjádření plochy požadavky důležitá nezávislost plochy na soustavě souřadnic důležité snadné vyjádření omezení plochy z těchto důvodů nejčastěji parametrické vyjádření modelování ploch použití v počítačové grafice a v souvisejících aplikacích různé aplikace různé požadavky

4 dělení ploch podle typu rovnice explicitní implicitní parametrické dělení ploch podle vlastností průchodu řídícími body interpolační aproximační

5 dělení ploch podle vlastností průchodu řídícími body interpolační aproximační interpolační plocha prochází danými body

6 dělení ploch podle vlastností průchodu řídícími body interpolační aproximační aproximační plocha neprochází danými body, řídící body určují tvar plochy

7 dělení ploch podle výtvarných zákonů matematické algebraické rovnici plochy lze vyjádřit polynomem transcendentní nelze popsat polynomem ale jinak grafické (empirické) topografické plochy dělení podle druhu tvořící křivky přímkové plochy cyklické plochy dělení podle druhu pohybu rotační plochy šroubové plochy translační plochy

8 další rozdělení ploch... dělení ploch v počítačové grafice plochy vzniklé rotací (Revolve) šroubovým pohybem (Screw) vytažením (Extrude) šablonováním křivky po trase (Sweep) potažením (Loft) šablonováním křivky po dvou trasách (Sweep 2 rails) plochy volného tvaru (Freeform Surfaces) plochy zadané okrajovými křivkami plochy zadané sítí bodů

9 Základní vlastnosti ploch Explicitní rovnice z f ( x, y), kde [ xy, ] 2 příklady z ax by c rovina z xy hyperbolický paraboloid

10 Základní vlastnosti ploch Implicitní rovnice F( x, y, z) 0 příklady x y r q rotační válcová plocha q z, 0 2 a x y a rotační kuželová plocha

11 Základní vlastnosti ploch Implicitní rovnice z 2 x y a ; a, c 0 2 c jednodílný rotační hyperboloid q x y z r 2, r 0 kulová plocha q

12 Základní vlastnosti ploch Implicitní rovnice x y z 1; ab, a a b 0 ab q rotační elipsoid protáhlý x y z 1; ab, a a b 0 ba q rotační elipsoid zploštělý

13 Základní vlastnosti ploch Implicitní rovnice 2 2 x y az a, 0 q rotační paraboloid x y z 1; ab, b b a 2 q rotační hyperboloid dvoudílný 1 q

14 Základní vlastnosti ploch Implicitní rovnice x 2 ay, a 0 parabolická válcová plocha k 2 2 x y z 1 ; a, b 0, c a b c 2 V eliptická kuželová plocha k

15 Základní vlastnosti ploch Parametrické rovnice x x( u, v) y y( u, v) z z( u, v) kde ( u, v) M 2 parametrické rovnice vyjadřují vznik plochy pomocí pohybující se křivky bod plochy o souřadnicích prostoru má souřadnice [ x, y, z] [ uv, ] v trojrozměrném kartézském v prostoru parametrickém

16 Základní vlastnosti ploch Parametrické rovnice funkcemi bodová rovnice x( u, v), y( u, v), z( u, v) (tzv. souřadnicové funkce) je určena Q( u, v) x( u, v), y( u, v), z( u, v) parametrický předpis představuje obecnější způsob zadání plochy, který zahrnuje předchozí způsoby a umožňuje popsat složitější tvary ploch souřadnicové funkce jsou obvykle polynomiální, s ohledem na výhodné vlastnosti při modelování a navazování

17 Základní vlastnosti ploch tečný vektor q (, ) u u v ve směru parametru u k ploše Q( u, v) (, ) Q( u, v) x( u, v), y( u, v), z( u, v) qu u v u u u u q ( v u, v ) ve směru parametru v k ploše Q( u, v) tečný vektor (, ) Q( u, v) x( u, v), y( u, v), z( u, v) qv u v v v v v rovnice tečné roviny parametricky T( r, s) Q( u, v) rq ( u, v) sq ( u, v); r, s u v

18 Základní vlastnosti ploch při řešení úlohy navazování plátů mají význam zkruty (zkrutové vektory) charakterizují vyklenutí plochy v místech napojení (, ) Q( u, v) x( u, v), y( u, v), z( u, v) quv u v uv uv uv uv normála k ploše Q( u, v) n qu( u, v) qv( u, v) q ( u, v) q ( u, v) u v u křivky v křivky Q( u, v ), v konst. 0 0 Q( u, v), u konst.

19 podobně jako se křivky při navazování skládají ze segmentů, tak i plochy se skládají z částí, kterým říkáme pláty (patch) složitější plochy získáváme navazováním plátů, případně dělením plochy na pláty - můžeme podrobněji tvarovat navazování ploch = plátování analogické pojmy jako u křivek uv, 0,1 strana plochy u křivka pro hodnotu v=0 nebo v=1 a v křivka pro hodnotu u=0 nebo u=1 všechny strany plochy dohromady tvoří okraj rohy plochy Q(0,0), Q(1,0), Q(0,1), Q(1,1)

20 Základní vlastnosti ploch spojitost dva pláty mají napojení křivkou třídy alespoň C dva pláty mají napojení, mají-li společnou stranu, která je, mají-li společnou stranu a jsou-li shodné příčné parciální derivace ve všech bodech společné strany prvního a druhého plátu někdy je požadována 0 1 C 0 C C 1 spojitost pouze ve směru napojení spojení dvou plátů,šipky - příčné vektory ve směru napojení

21 dva pláty mají napojení alespoň G 1, mají-li společnou stranu, která je spojitou křivkou a jsou-li parciální derivace obou plátů podél této strany ve směru napojení lineárně závislé s koeficientem k>0, který se spojitě mění podél společné strany G 1 plochy se zadávají řídícími body a bázovými funkcemi většina ploch aproximační interpolace v dimenzích vyšších nežli dvě je překvapivě složitou úlohou proto se k interpolaci řídících bodů obvykle užívá interpolace ploškami, nejčastěji trojúhelníky stejně jako u křivek jsou bázové funkce nejčastěji polynomy (nejčastěji stupeň tři) snadno diferencovatelné a lze je rychle vyčíslit

22 Základní vlastnosti ploch reprezentace př. bikubická plocha 2 T T 3 2 (, ) 1 T Q u v UM BPM BV u u u M BPM B v P v v - matice obsahující řídící body, případně další prvky určující geometrii plochy 3 1 M B - bázová matice, obsahuje koeficienty polynomů bázových funkcí

23 Interpolace polynomiální plochou stupně je dáno 1 n 1 bodů, 0,1,..., ; 0,1,..., interpolační plocha je taková plocha, pro kterou interpolační plocha tedy prochází body, kterými je zadána možným řešením je interpolace polynomy, tj. maticově m Q( u, v) P, i, j Q( u, v) Q( u, v) m ij n i0 j0 ij UBV mn P i m j n i j biju v T třikrát rovnic U u u u m m1,,...,,1 V v v v m1n1 n n1,,...,,1

24 Rotační plochy křivka, která rotuje v rovině (x,z) osa rotace o=z k( v) x( v),0, z( v), vi Q( u, v) x( v)cos u, x( v)sin u, z( v), u 0,2, vi z o q u x( v)cos u O u x( v)sin u p( u, v) y xv ( ) qv ( ) p( u, v) O y x x

25 Základní vlastnosti ploch Rotační plochy křivka, která rotuje v rovině (x,z) osa rotace o=z k( v) x( v), y( v), z( v), vi Q( u, v) x( v)cos u y( v)sin( u), x( v)sin u y( v)cos u, z( v) maticově u 0,2, vi Q( u, v) k( v) R( u) cosu sin u 0 R( u) sin u cosu matice rotace

26 Rotační plochy Qp ( u, uv ) v (, ) anuloid Q( u, v) R rcosv cos u, R rcosv sin u, rsin v u 0,2, v 0,2, R r 0

27 Základní vlastnosti ploch Šroubové plochy křivka, která se šroubuje v rovině (x,z) osa šroubového pohybu o=z - pravotočivý a levotočivý šroubový pohyb křivka, která se šroubuje v rovině (x,z) k( v) x( v),0, z( v), vi Q( u, v) x( v)cos u, x( v)sin u, z( v) v u, u, v I 1 Q( u, v) x( v)cos u y( v)sin( u), x( v)sin u y( v)cos u, z( v) v u u, vi 0 k( v) x( v), y( v), z( v), vi 0

28 Základní vlastnosti ploch Šroubové plochy maticově Q( u, v) k( v) R( u) 0 0 v u 0 cosu sin u 0 R( u) sin u cosu matice rotace

29 Šroubové plochy o přímý šroubový konoid q Q( u, v) vcos u, vsin u, v u u, v 0

30 Přímkové plochy křivka, jejímž pohybem přímková plocha vzniká e k( v) A ve, v A je bod a je nenulový vektor Q( u, v) A( u) ve( u), ui, v přímkové plochy dále dělíme na rozvinutelné a zborcené lze odvodit podmínky z parametrického vyjádření

31 Přímkové plochy hyperbolický paraboloid z l O a y k l q k k 1 x l l 1 l 1 l k Q( u, v) u, av, cuv ; a, c 0 u, v