MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

Podobné dokumenty
Matematika test. 1. Doplň do štvorčeka číslo tak, aby platila rovnosť: (a) 9 + = (b) : 12 = 720. (c) = 151. (d) : 11 = 75 :

Matematika test. Cesta trvala hodín a minút.

1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69

D- 1.strana D- 2.strana D- 3.strana D. - SPOLU TEST I. ČASŤ TEST

Matematika test. Mesačne zaplatí. Obvod obdĺžnikovej záhrady je. Jedna kniha stojí Súčet

M úlohy (vyriešené) pre rok 2017

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

Obvod štvorca a obdĺžnika

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4

1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava A. 2 B. 6 C. 9 D. 14 A. 21 B. 36 C. 24 D. 33

SK skmo.sk. 68. ročník Matematickej olympiády 2018/2019 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z5

Test z matematiky na prijímacie skúšky do 1. ročníka osemročného štúdia

MANUÁL K PROGRAMU MATEMATIKA 2.0 STIAHNUTIE A INŠTALÁCIA PROGRAMU:

Súbor úloh z matematiky

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy.

Imagine. Popis prostredia:

Pangea predpis postupu

Matematika pre tretiakov. Ako reaguje séria učebných materiálov M. Belica a J. Striežovskej na zmeny v išvp

MATEMATICKA OLYMPIADA

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, "Súmernosti" 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná

Zvyškové triedy podľa modulu

8. Relácia usporiadania

Matematika (platný od )

Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č Pracovný list č.

Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.

Starogrécky filozof Demokritos ( pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov

REBRÍČKY. Predaj CD za mesiac 4U2Rock. Počet CD predaných za mesiac. K-Band D. A. R. Metalfolk. Mesiac

Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky

Skákalka. Otvoríme si program Zoner Callisto, cesta je Programy Aplikácie Grafika Zoner Callisto.

Textový editor WORD. Práca s obrázkami a automatickými tvarmi vo Worde

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU

3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc

15. Príkazy vetvenia

11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

Nová maturita - zmeny v maturite 2013

DOBROPISY. Dobropisy je potrebné rozlišovať podľa základného rozlíšenia: 1. dodavateľské 2. odberateľské

Gymnázium P.O.Hviezdoslava Dolný Kubín Hviezdoslavovo nám. č. 18, Dolný Kubín

Iracionálne rovnice = 14 = ±

Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

Ako započítať daňovú licenciu


Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ. Verzia B

Výstupný test projektu KEGA pre 7. roč. ZŠ. Verzia A

(Text s významom pre EHP)

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011

Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky

CVIČENIE 1 : ZÁKLADNÉ VÝPOČTY PRAVDEPODOBNOSTI

Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky. Informácia k výpočtu preddavkov na daň z príjmov fyzických osôb

Ako funguje stav účtu - prehľad o platbách na zdravotné odvody

Kvadratické funkcie, rovnice, 1

KOMISNÝ PREDAJ. Obr. 1

3D origami - tučniak. Postup na prípravu jednotlivých kúskov: A) nastrihanie, alebo natrhanie malých papierikov (tie budeme neskôr skladať)

Pracovné prostredie MS EXCEL 2003.

Program "Inventúra program.xlsm"

Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky. Informácia k výpočtu preddavkov na daň z príjmov fyzických osôb

2. Vyslovte negáciu nasledujúcich výrokov, určte pravdivostnú hodnotu pôvodných výrokov aj negácií: a. Súčin dvoch kladných reálnych čísel je kladný.

Test z matematiky. Príprava na T5-2017

EG Informácie okolo nás 2. ročník

Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar

Popis kontrol vykonávaných pri OVEROVANÍ zúčtovacích dávok na Elektronickej pobočke

Preprava lítiových batérií. Začať

V nej je potrebné skontrolovať správnosť prenesených a prepočítaných zostatkov z roku 2008.

Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu. Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu

Tematický výchovno vzdelávací plán Matematika

Počet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut

Spracovanie informácií

PODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu.

8 OPATRENIE Národnej banky Slovenska z 1. decembra 2009,

Začínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ

7.1 Návrhové zobrazenie dotazu

Inventúra účtov- základný popis.

Želáme Vám veľa úspechov a naďalej veľkú zábavu s matematikou.

Bezdrôtová sieť s názvom EDU po novom

Pokročilé funkcie Word-u MGR. LUCIA BUDINSKÁ,

Zdravotné postihnutie verzus kúpa osobného motorového vozidla

tipov pre kvalitnú tlač Na jednoduchých príkladoch Vám ukážeme ako postupovať a na čo si dávať pozor pri príprave podkladov na kvalitnú tlač.

Písomné hlasovanie sedem dní vopred Ak sa rozhoduje písomným hlasovaním pod

7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny

Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky. Informácia k výpočtu preddavkov na daň z príjmov fyzických osôb

MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM

Vytvorenie používateľov a nastavenie prístupov

TVVP Matematika 2. Ročník 1. Časť ( Repáš, Jančiarová )

Matematika pre 4. ročník ZŠ 1.časť

1.5 Spoločné a rozdielne vlastnosti kvapalín a plynov PL KEGA 130UK/2013

Užívateľská príručka systému CEHZ. Základné zostavy Farmy podľa druhu činnosti

Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok

Hromadná korešpondencia v programe Word Lektor: Ing. Jaroslav Mišovych

DOTAZNÍK STARÉ MESTO BEZ BARIÉR! kaviareň/pub/bar reštaurácia galéria múzeum kino iné... ulica...

Kreslenie vo Worde Chceme napríklad nakresliť čiaru priamku. V paneli ponúk klikneme na Vložiť a v paneli nástrojov klikneme na Tvary.

Řešení příkladů na procvičení pravděpodobnosti 1

VYSPORIADANIE PREHRADENÝCH ZÁVÄZKOV A POHĽADÁVOK

ROVNOMERNÉ DAŇOVÉ ODPISY od ROK

Želáme Vám veľa úspechov a naďalej veľkú zábavu s matematikou.

Formuláre PowerPoint MGR. LUCIA BUDINSKÁ,

Karate Grand Prix Žilina 2018

ONLINE MARKETING VZDELÁVACÍ VÝSTUP ZO ŠTUDENTSKEJ STÁŽE V PROJEKTE BE READY FOR REAL BUSINESS

Uvoľnené úlohy v medzinárodných testovaniach a ich využitie vo vyučovaní

Transkript:

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategórie Z4, Z5 59. ročník Školský rok 2009/2010

KATEGÓRIA Z4 Z4 I 1 Doplňte čísla do súčinovej pyramídy. Každé číslo v tehličkách (od druhého riadku) je rovné súčinu čísel v tehličkách bezprostredne nad ním. V prvom riadku sú iba jednociferné čísla. 14 24 3 (M. Kollár) 7 2 2 3 14 4 6 56 24 1344 Z4 I 2 Janka delila lentilky sebe a sestre Danke. Sebe dala 11 lentiliek, Danke 2. Potom sebe 10 a Danke 4. Potom sebe 9 a Danke 6... týmto spôsobom sebe dala vždy o 1 menej a Danke o 2 viac ako predtým. V delení pokračovala, až sa jej lentilky minuli. Na svoje i Dankino počudovanie dievčatá zistili, že majú lentiliek rovnako. Koľko bolo všetkých lentiliek? (M. Dillingerová) Janka Danka Rovnako? 11 11 2 2 nie 10 21 4 6 nie 9 30 6 12 nie 8 38 8 20 nie 7 45 10 30 nie 6 51 12 42 nie 5 56 14 56 áno 4 60 16 72 môže byť Janka mohla mať 112 lentiliek a minuli sa jej po tom, akodala Danke 14. Alebo mala 120 lentiliek, sebe dala naposledy 4 a Danke miesto 16 tiež už len posledné 4. (Predpokladáme, že deti prídu iba na číslo 112. Takéto riešenie ohodnoťte stupňom 2 dobre.) Z4 I 3 Doplň čísla od 1 do 12 (každé práve raz) do tabuľky. V jednotlivých riadkoch sú príklady na sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie a tie musia byť všetky splnené. Navyše v každom riadku sú dopĺňané čísla usporiadané zľava doprava od najväčšieho po najmenšie.

+ + = 33 - - = 0.. = 35 : : = 1 (M. Kollár) Pre prvý riadok (súčet 33) existuje jediná možnosť doplnenia: čísla 12,11 a 10. Potom sa treba zamyslieť nad druhým riadkom. Sem môžeme dopísať iba čísla 7, 5, 1. Do posledného treba dosadiť zložené číslo, ktorým by mohla byť 9, 8, 6, 4. Ak sa má dať deliť dvomi rôznymi číslami (a jednotku už nemôžeme použiť), ostane nám 8 a 6. Skúsime 8. Do druhého riadka ostali čísla 9, 6, 3, ktoré sa tam doplniť dajú. 12 + 11 + 10 = 33 9-6 - 3 = 0 7. 5. 1 = 35 8 : 4 : 2 = 1 Ak skúsime 6, použijeme do posledného riadka ešte 3 a 2. Do druhého riadka ostali čísla 9, 8, 4, ktoré sa tam doplniť nedajú. Existuje jedno riešenie (viď vyššie). Z4 I 4 Jurko chodí domov zo školy okolo školského latkového plota. V pondelok sa rozhodol, že cestou zo školy bude na každú druhú latku robiť značku bielou kriedou. V utorok, stredu i štvrtok to zopakoval s každou druhou ešte neoznačenou latkou. V piatok ráno zistil, že mu ostalo už iba 7 latiek neoznačených. Koľko najmenej a koľko najviac latiek mohol mať plot školy? (M. Dillingerová) Aby ostalo 7 neoznačených, musel najmenej 6 a najviac 7 označiť. Teda vo štvrtok ráno bolo buď 13 alebo 14 latiek neoznačených. Podobne v stredu ráno mohlo byť 25, 26, 27 alebo 28 neoznačených. V utorok už to bolo od 49 do 56 a v pondelok od 97 do 112. Najmenej mohol mať plot 97 a najviac 112 latiek. Z4 I 5 Samo má tri staršie sestry. Každá robí niečo iné a každá chová jedno zvieratko. Ľudka hrá tenis. Najmladšia je klaviristka. Ivana neštuduje jazyky. Mária nie je prostredná. Na klavíri sedáva veľká čierna mačka. Prostredná má papagája. Tretím zvieraťom je pes. Vypíš, ako sa volá najstaršia sestra, čo robí a aké zviera chová. (M. Dillingerová) Najmladšia je Ivana, hrá na Klavíri a chová mačku. Prostredná je Ľudka, hrá tenis a má papagája. Najstaršia je Mária, študuje jazyky a má psa.

Z4 I 6 Martin má vystrihnutý z papiera jeden obdĺžnik s rozmermi 2 cm a 6 cm. Okrem toho má ešte jeden obdĺžnik a jeden štvorec. Zo všetkých troch útvarov vie bez prekrývania a dier zložiť jeden veľký štvorec. Aké rozmery môžu mať jeho útvary? Nájdi dve riešenia. (M. Dillingerová) Riešení je viac ako vyžaduje úloha. Jedno možné riešenie je napríklad štvorec 4x4 a obdĺžnik 2x4, alebo štvorec 6x6 a obdĺžnik 2x8, alebo štvorec 2x2 a obdĺžnik 6x8. (Každý rozmer v cm). (Žiaci by mali spolu s rozmermi odovzdať aj nákres zloženého štvorca.)

KATEGÓRIA Z5 Z5 I 1 Húsenica Leona spadla doprostred štvorcovej siete. Rozhodla sa, že polezie do špirály tak, ako je naznačené na obrázku; na žiadnom štvorčeku nebude dvakrát a žiaden štvorček nevynechá. Z prvého štvorčeka na druhý liezla smerom na východ, z druhého na tretí smerom na sever, z tretieho na štvrtý smerom na západ, zo štvrtého na piaty tiež na západ, z piateho na šiesty na juh... Ktorým smerom liezla z 81. na 82. štvorček? (M. Petrová) Celú situáciu si môžeme predstaviť tak, že húsenica Leona oblieza štvorce. Budeme sledovať, na ktorom políčku takého štvorca skončí a koľkými štvorčekmi už preliezla. Dôležité je zistiť, ktorý z týchto štvorcov obsahuje 81. štvorček. 1. kolo: 3tvorček s číslom 1 oblezie Leona dokola. Tým prelezie cez 8 štvorčekov a celkovo už bola na 9 štvorčekoch tvoriacich väčší štvorec 3x3. Nachádza sa juhovýchodne od štvorčeka s číslom 1 a lezie ďalej na východ. 2. kolo: Teraz oblezie dokola štvorec 3x3. To znamená že lezie po okrajových štvorčekoch štvorca 5x5. Celkovo prelezie aj s novými štvorčekmi 5.5 = 25 štvorčekov a opäť bude pokračovať východným smerom. 3. kolo: Veľký štvorec sa opäť zväčší. Čiže bude sa pohybovať po okrajových políčkach štvorca 7x7. Celkovo prelezie aj s novými štvorčekmi 7.7 = 49 štvorčekov a opäť bude pokračovať východným smerom. 4. kolo: Veľký štvorec sa opäť zväčší. Čiže bude sa pohybovať po okrajových políčkach štvorca 9x9. Celkovo prelezie aj s novými štvorčekmi 9.9 = 81 štvorčekov. Ďalší jej pohyb z 81. na 82. štvorček by bol východným smerom.

Poznámka: Žiaci môžu riešenie aj len nakresliť. Z5 I 2 Miša si z papiera vystrihla dva rovnaké štvorce, jeden obdĺžnik s rozmermi 10 cm 24 cm a ešte jeden obdĺžnik. Aké rozmery mohol mať tento obdĺžnik, ak sa zo všetkých štyroch útvarov dal zložiť štvorec bez toho, aby sa jednotlivé diely prekrývali? Takých obdĺžnikov sa dá nájsť niekoľko, uveď aspoň štyri. (L. Šimůnek) Ak chceme pridávať k obdĺžniku dva štvorce, máme viacero možností ich umiestnenia. Podľa toho, kam ich umiestnime, budeme dopočítavať veľkosť druhého obdĺžnika: Na obrázkoch sú všetky možné riešenia. Rozmery hľadaného obdĺžnika (v cm cm) mohli byť: 2 24,19 29,34 58,34 44,14 17, alebo 24 38.Iné rozmery mať nemohol. Z5 I 3 Vyrieš nasledujúci algebrogram a nájdi všetky riešenia. Rovnaké písmená nahraď rovnakými číslicami, rôzne rôznymi. OSEL SEL EL L 1 0 0 3 4 (M. Volfová)

Diskusiu začnime od jednotiek., ( to je možné iba pre. Keby, tak. To je možné iba pre, ale dve rôzne písmená majú predstavovať dve rôzne čísla. Teda. Potom čiže. To je možné iba pre. Ďalej čiže. To je možné, ak. Ak, tak. Ak, tak 9476 8976 476 976 76 76 6 6 10034 10034 Z5 I 4 Nina dostala od pani učiteľky nasledujúce kartičky: Má z nich zostaviť príklad pre svojich spolužiakov, pričom každú kartičku použije práve raz. Pomôž Nine a zostav jeden taký príklad tak, aby každé delenie vyšlo bezo zvyšku. Aký bude výsledok? (M. Petrová) Príklad musí začínať kartičkou s číslom 17. Preto nesmie byť na druhom mieste kartička s delením. Môžeme postupne skúšať všetky ostatné možnosti taká tabuľka by bola veľmi rozsiahla. Tu uvedieme iba všetky možné riešenia. 17.3 51-4 47 +1 48 :6 8 :4 2 17.3 51-4 47 +1 48 :4 12 :6 2 17.3 51 +1 52-4 48 :6 8 :4 2 17.3 51 +1 52-4 48 :4 12 :6 2

Z5 I 5 Našich 84 žiakov išlo do kina. Lístok síce stál 2, ale každý 12. žiak mal polovičnú zľavu a každý 35. vstup zdarma. Koľko stálo vstupné pre všetkých žiakov? (M. Volfová) Keďže 84 : 12 = 7, malo 7 žiakov polovičnú zľavu, ich lístok stál 1. Boli to: 12., 24., 36., 48., 60., 72. a 84. lístok. Keďže 84 : 35 = 2 (zvyšok 14), mali ďalší dvaja žiaci vstup zadarmo. Boli to 35. a 70. lístok. Spolu stály vstupenky: 7. 1 + 2. 0 + (84 2 7). 2 = 7 + 75. 2 = 157 ( ). Z5 I 6 Chlapci našli starý plán mínového poľa (obrázok). Čísla sú na políčkach, kde žiadne míny nie sú, a udávajú počet zamínovaných susedných políčok. Urči, koľko je v poli mín spolu a kde sú. (Políčka susedia práve vtedy, keď majú spoločný vrchol alebo stranu.) (M. Volfová) Plán môžeme začať jednoznačne dopĺňať jedine od poľa s číslom 3 v prvom stĺpci alebo od poľa s číslom 2 v pravom hornom rohu.v oboch prípadoch musia byť na všetkých číslom neoznačených susedných poliach míny (ozn. ): Postupne doplňme na miesta mín * a na miesta, kde míny nesmú byť. dné rozmiestnenie mín je na obrázku: Výsle

59. ročník Matematickej olympiády Školský rok 2009/2010 Komentáre pre kategórie Z4, Z5 Zodpovedný redaktor: RNDr. Monika Dillingerová Vydala IUVENTA s finančnou podporou MŠ SR Slovenská komisia Matematickej olympiády, 2009