Petra Klapková Dymešová Ivo Volf NA ROZHRANÍ MEZI FYZIKOU A ZEMĚPISEM. (Soubor fyzikálních úloh se zeměpisnou tématikou)

Petra Klapková Dymešová Ivo Volf NA ROZHRANÍ MEZI FYZIKOU A ZEMĚPISEM (Soubor fyzikálních úloh se zeměpisnou tématikou) 1

OBSAH Měření poloměru Země... 4 Měření kvadrantu zemského... 7 Stanovení délky rovníku... 8 Určení vzdálenosti dvou míst... 9 Rybník Svět v Třeboni... 10 Severní polární kruh... 11 Výpočet hmotnosti Země... 13 Fotograf časopisu Vogue... 15 Foucaultovo kyvadlo... 16 Slapové síly... 17 Gorges du Verdon... 19 Podmořské sluneční hodiny... 20 Tíhové zrychlení... 21 Jezero Lac Léman... 23 Porovnání velikosti tíhové síly na rovníku a na pólu... 24 Stavba kosmodromů... 25 Výpočet zrychlení způsobeného rotací Země... 26 Nápis v poušti... 27 Vikingové... 28 Cesty Vikingů... 30 Slapové jevy... 31 Teplo ze zemského nitra... 32 Wilkinsův ledovec... 33 Sedm starověkých divů světa... 34 Mořské větry... 35 Atmosférický tlak... 36 Magnetické pole Země... 37 Zkreslení mapy... 38 Roztátí ledovců... 39 Pýtheás z Massalie... 40 Vlakové spojení Praha Ostrava... 41 Přílivová elektrárna... 42 Druţice Meteosat... 43 Messeturm ve Frankfurtu nad Mohanem... 45 Hod oštěpem... 46 Nejdeštivější místo na Zemi... 47 Dopravní letadla... 48 Nejdelší silniční most světa... 50 Zatmění Slunce... 51 Letíme na Mallorcu... 52 Honza cestovatel... 53 Tunguzská záhada... 54 Lodí kolem ostrova Mallorca... 56 Cestujeme po Mallorce... 56 Nosiči ve Vysokých Tatrách... 58 Severní pól... 58 Plastický globus... 59 Měření na satelitních mapách... 60 Sopka v souostroví Tonga... 61 2

Povrch, objem a hustota Země... 62 Ledovcová pokrývka Grónska... 63 Jumbo Jet přistává... 65 Přehrada Tři soutěsky... 65 Let horkovzdušným balónem... 66 Mnoţství sráţek... 67 Vzdálenosti ve vesmíru... 68 Přelet Austrálie... 69 Obvod Země... 71 Plachetnicí na jiţní pól... 72 Volvo Ocean Race... 73 Mohyla Silbury Hill... 74 Let z Moskvy do Vilniusu... 74 Sluneční kámen... 76 Druţice s polární drahou letu... 77 Odhad povrchové teploty na Zemi... 78 Slunce... 79 Rozloha Antarktidy... 80 Kinetická energie rotačního pohybu Země... 81 Pravé poledne... 81 Saharský písek... 83 Rybník Roţmberk... 83 Londýnské kolo... 84 Hydroelektrárna na Volze... 85 Ultralehké letadlo... 86 Druţice... 87 Pravidelný let z Londýna do Singapuru... 89 Kameraman na cestách... 89 Ohřívání atmosféry... 91 Děti kapitána Granta... 92 Nedaleko severního pólu... 93 Polárníci driftují na osamělé kře... 94 Mapa Turecka... 95 Atmosférický tlak... 97 Práce s fotomapou... 98 Kolumbova první výprava... 99 Elektrárna na vodopádech... 99 Důl Mirnyj na Sibiři... 100 Rychlovlak v Číně... 101 Elektrárna v Bratsku... 101 Šerpové v Nepálu... 102 Vzletová rychlost letadla... 103 Ledovce v Arktidě... 104 Pohyb těles kolem Země... 105 Stoţárová anténa vysílače... 106 Odpolední rychlíky... 107 Planety sluneční soustavy... 109 Saturnův měsíc Titan... 110 Trpasličí planety... 111 Sibiřské jezero Bajkal... 112 3

Všem, které zajímají naše stránky http://cental.uhk.cz Předkládáme vám novou sbírku úloh, která vznikla v rámci doktorské práce ve studijním programu Specializace v pedagogice Teorie vzdělávání ve fyzice. Často se ţáci ve škole ptají, proč se některé věci musí učit, k čemu je to všechno dobré. Odpověď učitelů bývá lakonická přece se učíte pro ţivot. Ale v době školní docházky neví ţák, kam ho ţivot zanese, co bude v budoucnosti dělat, čemu se věnuje. A má se učit pro budoucí ţivot hlavně důleţité poznatky nebo metody, jak se k novým poznatkům dopracovat a jak je pouţívat při řešení problémů, s nimiţ se bude postupně setkávat? Takové otázky dostává učitel např. v hodinách fyziky, pokud není fyzikální učivo ve škole vykládáno v přímé souvislosti se ţivotem, který ţáka obklopuje, nebo alespoň s problémy, které ho mohou zaujmout po stránce obsahové. Fyzika se můţe ţákům zdát obtíţnou teoretickou disciplínou, plnou vzorců a grafů, kterým je těţko porozumět a k nimţ nedostávají vţdy hned moţnost praktického vyuţití. Často se také stává, ţe učitelé ţákům neřeknou zcela zřetelně, ţe ţivot kolem nás je velmi sloţitý a komplikovaný a ţe popsat ho v úplnosti je pro ţáka základní nebo i střední školy zcela nemoţné. V těchto případech sahá školní fyzika k postupu zvanému zjednodušování, jehoţ výsledkem je potom vytvoření modelu reálné situace, v níţ lze problémy řešit také zjednodušeným způsobem; získané řešení potom konfrontujeme zpět s realitou. To je proces velmi sloţitý a dlouhodobý, který musejí ţáci zvládnout ne na základě jen teoretického poučování, ale především během řešení mnoha reálných problémů v konkrétních situacích. A právě odtud si odnášejí ţáci moţná ten nejdůleţitější výsledek výuky fyziky vytváření matematických a fyzikálních modelů, které slouţí nejen ve fyzice, ale v přírodních vědách vůbec i v technice k vysvětlování jevů a dějů. Tato sbírka úloh vychází z problematiky, která pravděpodobně zajímá většinu populace z geografických problémových situací. Mnoho jevů a dějů sami zeměpisci zařazují do oblasti fyzické geografie, a je tedy zřejmé, ţe k jejich vysvětlení je nutno dobře ovládat fyzikální poznatky i metody studia, případně i přístrojové vybavení, kterého se běţně v praxi uţívá. Naše sbírka tedy vyplňuje mezeru, která se často ve vzdělávání na základních i středních školách objevuje a to je vyuţití fyzikálních poznatků v disciplínách zeměpisných a současně moţnosti aplikací tohoto poznání při řešení fyzikálních úloh se zeměpisnou tematikou. Pro jsme ji nazvali Na rozhraní mezi fyzikou a zeměpisem. Nedá se však číst jako zábavný příběh, i kdyţ takových příběhů zřejmě několik obsahuje. Je nutno, abyste ji studovali s papírem a tuţkou, případně i s kalkulačkou, a mnohdy s pouţitím atlasu či internetových zdrojů. Takţe: mnoho hezkých záţitků. Snad dospějete ke stejnému závěru jako autoři, ţe nejen zeměpis, ale i fyzika je zajímavá (ale to samozřejmě autoři vědí). A u t o ř i 4

Měření poloměru Země První měření rozměrů Země, které se dochovalo, vykonal Eratosthenes z Kyrény (276-195 př. n. l.). Vyšel ze skutečnosti, ţe v určitý den v roce svítí Slunce v egyptské Syeně (dnes Asuán) po několik minut aţ na dno hluboké studně, tedy ţe v Syeně dopadají sluneční paprsky kolmo na povrch Země. Je tomu proto, ţe Syena leţí v blízkosti obratníku Raka. Dále zjistil, ţe v Alexandrii, leţící na sever od Syeny, se odchylují v tutéţ Obr. č. 1 dobu sluneční paprsky od kolmice k povrchu Země, a pomocí stínu vrţeného svislou tyčí stanovil, ţe se tato odchylka rovná jedné padesátině plného úhlu 360. Tím určil středový úhel průvodičů těchto dvou míst: 360 = 7,2 0,125 7 rad. A tak k výpočtu poloměru Země stačilo znát vzdálenost 50 mezi Syenou a Alexandrií, kterou Eratosthenes odhadl podle doby cestování karavany na 5 000 stadií, tj. 820 km. Po dosazení do vzorce r s vypočetl, ţe délka poloměru Země je 6 523 km, coţ je v porovnání s dnes platnou hodnotou R Z = 6 370 km překvapivá shoda, neboť se liší 2,4 %. Obr. č. 2 1. Na internetu s pomocí mapy GoggleEarth najdi zeměpisné souřadnice obou míst. V Alexandrii zvol za výchozí bod Alexandrijskou knihovnu, v Syeně (dnes Asuánu) 5

libovolné místo leţící na obratníku Raka (obratník Raka leţí jiţněji neţ dnešní Asuán). 2. Zapiš, ve který den v roce dopadají sluneční paprsky kolmo na zemský povrch na obratníku Raka. 3. Zapiš, zda je moţné, aby v obou místech vrcholilo Slunce ve stejný okamţik. Pokud ne, ve kterém z těchto míst nastává později poledne? Urči o kolik minut. 4. Podobně jako Eratosthenes urči vzdálenost obou míst a z rozdílu zeměpisných délek vypočítej poloměr Země. K řešení pouţij satelitní mapu GoogleEarth. 5. Vypočítej, o kolik procent se tvůj výsledek liší od střední hodnoty 6 371 km. 6. Napiš, jaké nepřesnosti provázejí Eratosthenovo měření. 1. Souřadnice Alexandrijské knihovny jsou 31 12 s. š., 29 47 v. d., libovolně zvolené místo leţící na obratníku Raka poblíţ Asuánu 23 27 s. š., 33 03 v. d. 2. Je to v den letního slunovratu 20. anebo 21. června. 3. Slunce vrcholí ve stejný okamţik na stejném poledníku, jelikoţ daná místa neleţí na stejném poledníku, ale rozdíl zeměpisných délek je přibliţně 3 (podle toho, jaké místo zvolí ţáci v Asuánu), bude časový rozdíl přibliţně 12 minut (pokud budeme uvaţovat střední sluneční den). Poledne nastane později v Alexandrii. 4. Pro zadaná dvě místa je naměřená vzdálenost 914 km. Rozdíl zeměpisných šířek je 7 45 = 7,75. Jednomu úhlovému stupni tak odpovídá 118 km, celá kruţnice má délku 42 480 km. Vypočteme-li poloměr této kruţnice, získáme hodnotu 6 760 km. 5. Námi vypočtená hodnota je přibliţně o 6 % větší. 6. Poměrně velmi přesné stanovení poloměru Země Eratosthénem je do určité míry výsledkem šťastných náhod. Náhodou je odhad vzdáleností pomocí délky putování karavan a volba délky stadia. Stadion byl název řecké délkové jednotky, jejíţ délka byla rovna délce tehdejší běţecké dráhy na olympijském stadionu, přičemţ nejpouţívanější řecký stadion měřil 164 m, egyptský 157,7 m, ale také například 185 m, kdy poloměr Země vychází 7 306 km. Další nepřesnost je v úvaze, ţe na obou místech nastává poledne ve stejný okamţik. 6

Měření kvadrantu zemského V květnu 1790 přijalo Národní shromáţdění Francie dekret o reformě soustavy měr, v březnu 1791 pak také dekret, jímţ byl schválen návrh skupiny matematiků, aby za jednotku délky byla zvolena desetimilióntá část kvadrantu zemského poledníku. Aby bylo moţné změřit délku kvadrantu zemského, bylo nutné co nejpřesněji Obr. č. 3 změřit alespoň oblouk části poledníku v dostatečně velkém rozsahu zeměpisných šířek. Jako nejvhodnější byla zvolena část paříţského poledníku mezi Dunkerquem a Barcelonou, která od sebe leţela v úhlové vzdálenosti 9 40 24,75 obloukové míry. Mezi těmito městy byla vytvořena triangulační síť ze 120 trojúhelníků. Triangulací bylo zjištěno, ţe vzdálenost mezi městy Dunkerque a Barcelona měří 551 584,72 toise (1 francouzský sáh = 1 toise = 1,949 m), a ţe tedy délka celého kvadrantu poledníku měří 5 130 739,8 toise. Desetimilióntá část této délky, přibliţně 0,513 toise byla zvolena za novou délkovou jednotku metr. 1. Ověř výpočtem, zda je desetimilióntá část paříţského poledníku rovna délce 1 m. 2. Na vhodných internetových stránkách zjisti, jakou zeměpisnou délku určuje Paříţský poledník. 3. V aplikaci GoogleEarth zvol libovolná dvě místa v oblasti měst Dunkerque a Barcelona tak, aby leţela přesně na Paříţském poledníku, a zapiš jejich zeměpisné souřadnice. Na mapce je příslušná část Paříţského poledníku zobrazena červeně 7

(v případě černobílého tisku se jedná o tmavou čáru v síti rovnoběţek a poledníků, které jsou znázorněny bíle). 4. Změř vzdálenost mezi těmito místy. Z rozdílu zeměpisných šířek urči délku kvadrantu Paříţského poledníku. 5. Najdi, jak je v současné době definována jednotka délky metr. 6. Zapiš, které další jednotky patří do soustavy jednotek SI. 1. Při zaokrouhlení s přesností na desetitisíciny výsledek platí. 2. Paříţský poledník leţí 2 20 14 východně od nultého poledníku. 3. Ve městě Dunkerque zvolíme například místo o souřadnicích 51 02 26 s. š., 2 20 14 v. d., v okolí Barcelony pak 41 29 04 s. š., 2 20 14 v. d. 4. Vzdálenost těchto míst je 1 063 km. Rozdíl zeměpisných šířek je 9 33 22 = 9,556. Délka kvadrantu je tedy 10 011,5 km = 10 011 500 m. 5. Jeden metr je délka dráhy, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy. 6. Dalšími jednotkami soustavy SI jsou kilogram, sekunda, kelvin, mol, ampér a kandela. Stanovení délky rovníku Průsečnice povrchu Země a rovin kolmých k ose rotace se nazývají rovnoběţky. Mají různé poloměry a délky, nejdelší rovnoběţka se nazývá rovník. Prochází územím nebo teritoriálními vodami čtrnácti států, jeho délka je přibliţně 40 075 km. Na obrázku je La Mitad del Mundo, místo v Ekvádoru leţící blízko rovníku, označované jako střed světa. 1. Stanov délku rovníku. Pouţij vhodnou mapu z Nového atlasu světa nebo ze Školního atlasu Obr. č. 4 světa. 8

2. Stanov délku rovníku z rozdílu zeměpisných délek dvou libovolných míst s nulovou zeměpisnou šířkou. K řešení pouţij satelitní mapy volně dostupné na internetu. 1. Ke stanovení délky rovníku musíme změřit vzdálenost dvou míst s nulovou zeměpisnou šířkou. Pokud pouţijeme zeměpisný atlas, vybereme libovolný úsek rovníku, v zeměpisné síti změříme vzdálenost dvou poledníků, které daný úsek vymezují, a přepočítáme podle měřítka. Při pouţití Nového atlasu světa s měřítkem mapy 1:4 500 000 vypočteme vzdálenost 39 690 km. 2. Z měření na mapě GoogleEarth vybereme například část rovníku procházející přes Viktoriino jezero. Souřadnice jednoho břehu jsou 32 18 23,71 v. d.; souřadnice druhého břehu 33 59 54,21 v. d.; naměřená vzdálenost 188 149 m. Rozdíl v zeměpisných délkách je 6 090,5 (1,69 ). Úhlové vteřině odpovídá vzdálenost 30,9 m, úhlovému stupni 111,24 km. Délka rovníku potom je 40 046 km, coţ je v porovnání s udávanou hodnotou v literatuře 40 075 km velmi dobrá shoda. (Jelikoţ jsou v těchto satelitních mapách vzdálenosti určené s přesností na setinu úhlové vteřiny, je velikým uměním umístit značku přesně na rovník.) Určení vzdálenosti dvou míst Zadání úlohy: Určete vzdálenost moldavského Kišiněva a švýcarského Bernu. Řešte úlohu třemi způsoby: nejprve pracujte s tištěnou mapou v atlase světa, poté řešte numerickým výpočtem a nakonec výsledek ověřte pomocí satelitní mapy na internetu. Při výpočtu vyuţijte toho, ţe města leţí přibliţně na stejné rovnoběţce. Obr. č. 5 9

Řešení úlohy: Nejprve zvolíme měření podle atlasu světa. Pouţijeme mapu v Novém atlase světa s měřítkem 1:4 500 000. Vzdálenost naměřená na mapě je 35,5 cm, přepočteno na skutečnou vzdálenost 1 598 km. Další moţností je výpočet. Jelikoţ obě města leţí přibliţně na 47. rovnoběţce, určíme hledanou vzdálenost z rozdílu zeměpisných délek: pro město Bern 7 26 v. d. a Kišiněv 28 50 v. d., rozdíl zeměpisných délek 21,6. Délka 47. rovnoběţky je: d 2 R cos 47 27 300,5 km. Na jeden úhlový stupeň tak připadá vzdálenost 75,83 km, na jednu úhlovou minutu 1,26 km. Rozdílu zeměpisných délek 21 24 tedy odpovídá vypočtená vzdálenost 1 613 km. Ověříme-li nyní vypočtenou vzdálenost na satelitní mapě, získáme údaj 1 621 km (měřeno přibliţně od středu města). Naměřené vzdálenosti se liší z toho důvodu, ţe měřená místa neleţí přesně na 47. rovnoběţce. Nejpřesnější vzdálenost získáme na Google Earth, který pro měření vzdálenosti pouţívá ortodromu, coţ je průsečnice povrchu Země a roviny, proloţené oběma uvaţovanými místy a středem Země. Rybník Svět v Třeboni Rybník Svět je sedmým největším rybníkem Třeboňska. Na jeho hrázi si můţeme prohlédnout sochu Jakuba Krčína z Jelčan a Sedlčan. Ten se podílel na výstavbě rybníku na Třeboňsku, kromě rybníku Svět, kvůli kterému nechal zbourat část Třeboně, stavěl i největší rybník Roţmberk. Podle vyprávění průvodce místem, na kterém stojí pomník, prochází 49. rovnoběţka. 1. Ověř na satelitní mapě, zda je tvrzení o poloze pomníku správné. Obr. č. 6 2. Vypočítej délku 49. rovnoběţky. 10

1. Socha leţí s přesností na úhlové minuty na 49. rovnoběţce. 2. K určení délky libovolné rovnoběţky je nutné znát její poloměr. K jeho výpočtu musíme mít základní znalosti o goniometrických funkcích. Vzhledem k tomu, ţe platí: r R cos, kde R je poloměr Země 6 371 km, je délka 49. rovnoběţky: d 2 r 2 R cos 49 26 262 km. Obr. č. 7 Severní polární kruh 1. Urči délku polárního kruhu pomocí satelitní mapy. Vyber si libovolná dvě místa na něm leţící, z rozdílu zeměpisných délek a naměřené vzdálenosti obou míst vypočítej délku této rovnoběţky. Obr. č. 8: Polární záře na polárním kruhu Yukon, Kanada 2. Kriticky se zamysli nad zeměpisnou definicí severního polárního kruhu. Následující definice byla převzata z české verze Wikipedie [2]: Severní polární kruh je myšlená kružnice, která protíná všechna nejjižnější místa na severní polokouli, z nichž lze vidět po 24 hodin Slunce za letního slunovratu - tedy, kde Slunce za letního slunovratu nezapadne za obzor, a na nichž Slunce za zimního slunovratu nevyjde nad obzor. Odpověz na následující otázky: Je severní polární kruh určen stejnou zeměpisnou šířkou jako jiţní polární kruh? Je poloha polárních kruhů neměnná? Je hranice polárního dne a polární noci stejná? Své tvrzení vysvětli, popřípadě podloţ výpočtem. 11

1. Pro určení délky polárního kruhu vybereme na satelitní mapě místo na břehu Ruska (66 32 s. š., 171 01 z. d.) a Kanady (66 32 s. š.,164 38 z. d.). Rozdíl v zeměpisných délkách je 6 23 = 6,38, čemuţ odpovídá naměřená vzdálenost 283,29 km. Na jeden stupeň zeměpisné délky tedy připadá vzdálenost 44,4 km. Pro délku polárního kruhu vychází vzdálenost 15 984 km. Výsledek můţeme ověřit i známým výpočtem d 2 R cos 66 33,6 15 923 km. 2. Poloha polárních kruhů je určena sklonem zemské osy k rovině ekliptiky. Musíme tedy brát v úvahu i to, ţe poloha zemské osy není stálá, ale podléhá díky gravitačnímu působení Slunce, Měsíce a ostatních planet precesi a nutaci. Hranice polárního dne a polární noci nemůţe být stejná z důvodu, ţe Slunce osvětluje větší část Země neţ je její polovina. Jde o tzv. astronomickou refrakci, kdy Obr. č. 9 při průchodu slunečních paprsků atmosférou dochází k jejich zakřivení vlivem nehomogenity atmosféry. Úhel, pod nímţ dopadají sluneční paprsky na Zemi, RS RZ můţeme vyjádřit vztahem: tg. (Následující obrázek není d v odpovídajícím měřítku.) Obr. č. 10 Takto jednoduše by to platilo v případě, ţe by dopadaly sluneční paprsky přímo na pól. My ale musíme vzít v úvahu nejen sklon zemské osy, ale i tvar Země, který není přesně kulový. Vzdálenost d v předchozím vztahu je určena vzdáleností Země Slunce. V době letního slunovratu je 152 033 300 km, v době zimního slunovratu 12

147 168 100 km. Dodejme, ţe okamţik slunovratu se mění, přesné údaje lze nalézt na internetu (lze použít odkaz: http://cs.wikipedia.org/wiki/slunovrat). Vypočítejme nyní, jaký vliv má změna vzdálenosti Země Slunce na úhel dopadu slunečních paprsků: 696 000 6 371 tg ; 0,259 9 pro zimní slunovrat, 152 033 300 696 000 6 371 tg ; 0,268 5 pro letní slunovrat. 147 168 100 Z těchto vypočtených hodnot můţeme přičtením či odečtením od hodnoty úhlu 66 33 38,59 určit polohu hranice polárního dne a polární noci na severní a jiţní polokouli. Zjistíme, ţe hranice polární noci leţí ve vyšší zeměpisné šířce neţ udávaných 66 33, hranice polárního dne pak v niţší zeměpisné šířce. Toto tvrzení platí pro obě polokoule. Z rozdílu zeměpisných šířek mezi hranicí polárního dne a noci, lze určit, ţe obě hranice jsou od sebe vzdáleny přibliţně 60 km. Severní a jiţní polární kruh tak nejsou na Zemi umístěny symetricky. Toto jsou však hranice určené matematicky. Skutečně pozorovatelné hranice však budou jinde. Musíme vzít ještě v úvahu refrakci světla v zemské atmosféře. V roce 2011 začal polární den na severním pólu jiţ 18. března, polární noc na jiţním pólu pak 23. března. Tady je vidět, ţe ne vţdy je jednoduše vypadající zadání úlohy snadno a jednoznačně řešitelné. Výpočet hmotnosti Země V roce 1798 britský fyzik a chemik Henry Cavendish vypočítal hmotnost Země. Pouţil k tomu torzní váhy, s jejichţ pomocí změřil gravitační sílu působící mezi dvěma olověnými koulemi. Současný odhad 24 5,973 10 kg se od jeho výpočtu liší zhruba o 1 %. Hmotnost libovolné planety lze určit i výpočtem ze známé doby oběhu jejího satelitu a poloměru oběţné dráhy tohoto satelitu. Obr. č. 11 1. Vypočítej hmotnost Země, znáš-li střední poloměr oběţné dráhy Měsíce r = 384 400 km a dobu, za kterou Měsíc Zemi oběhne T = 27,32 d. 13

2. Vypočítej hmotnost Slunce. Planetu, jejíţ parametry pouţiješ k výpočtu, zvol libovolně. Poloměry drah a oběţné doby planet najdeš na internetu nebo v Matematicko-fyzikálních tabulkách. 3. Napiš, zda stejným způsobem můţeme určit hmotnost Měsíce. 1. Uvaţujme řešení v neinerciální soustavě spojené s planetou. Země působí na Měsíc gravitační silou o velikosti: F g M z M r 2 m. Zároveň na Měsíc působí při pohybu po kruţnici setrvačná odstředivá síla o velikosti: F 4 2 2 T r M m. Setrvačnou odstředivou silou je síla gravitační, z čehoţ můţeme vyjádřit hmotnost Země: M z 2 4 3,14 384 400 000 2 2 360 448 6,67 10 2 3 3 4 r 24 kg 6,03 10 2 11 T kg. 2. Podobně lze určit hmotnost Slunce ze známé periody oběhu Země a poloměru oběţné dráhy. Vzdálenost Země Slunce je přibliţně 11 1,5 10 m, doba oběhu 365 dní 5 hodin 48 minut 45,6 sekund, coţ je 31 556 925 sekund. Po dosazení do předcházejícího obecného vztahu dostaneme výsledek: 2 11 3,14 1,5 10 M 2 31 556 925 6,67 10 3 4 30 kg 2,01 10 11 kg. 3. Výše uvedený postup lze pouţít pouze pro případ, ţe těleso o větší hmotnosti povaţujeme za nehybné v dané inerciální soustavě a těleso o menší hmotnosti obíhá kolem něho. Toto není tedy případ Měsíce, protoţe kolem něho neobíhá druţice. K výpočtu lze však vyuţít informace o oběţném modulu Apollo 10, který v roce 14

1969 s trojčlennou posádkou obletěl více neţ třicetkrát Měsíc. Bliţší informace mohou studenti dohledat na internetu. Fotograf časopisu Vogue Fotograf časopisu Vogue letí pracovně na ostrovy Fidţi, Tonga a Samoa. Na ostrov Fidţi přilétá z Austrálie, zdrţí se zde pár dní, aby získal fotografické snímky pro kalendář a 15.10. v 9:00 odlétá z města Suva na ostrově Viti Levu na ostrov Tongatapu (souostroví Tonga). Ve městě Nuku alofa se zdrţí pouze dvě Obr. č. 12 hodiny a pokračuje v cestě na ostrov Tutuila Island ze souostroví Americká Samoa, kde přistane na letišti ve městě Pago Pago. Na mapce jsou všechna místa znázorněna. 1. Pomocí atlasu světa urči vzdálenost jednotlivých měst. 2. Vypočítej, jak dlouho bude trvat cesta z ostrova Fidţi na ostrov Tonga, pokud uvaţujeme, ţe malé letadlo letí průměrnou rychlostí 250 km/h. 3. Urči, v kolik hodin místního času přistane letadlo s fotografem na letišti v Nuku alofa. Přesné údaje o časových pásmech, ve kterých leţí jednotlivá města, vyhledej na internetu (lze využít odkaz http://en.wikipedia.org/wiki/time_zone). 4. Jaké datum a čas si bude muset fotograf nastavit na svém mobilním telefonu po příletu do města Pago Pago? 5. Po příletu do města Pago Pago se rozhodne zavolat své ţeně do Paříţe. Nemůţe ji vzbudit, protoţe bude v Paříţi noc? 15

1. K řešení pouţijeme Nový atlas světa. Na str. 10-11 je mapa v měřítku 1:50 000 000, ze které změříme tyto vzdálenosti: vzdálenost měst Suva a Nuku alofa je 1 000 km, vzdálenost Nuku alofa a Pago Pago je 850 km, a vzdálenost Pago Pago a Suva je 1 350 km. 2. Vzhledem k změřené vzdálenosti 1 000 km je doba letu 4 hodiny. 3. Pokud letadlo odstartuje v 9:00 z města Suva, přistane ve městě Nuku alofa za 4 hodiny, coţ vzhledem k časovému posunu o hodinu dopředu je v 14:00 místního času. Z města odlétá za dvě hodiny, tedy v 16:00 na ostrov Americká Samoa. 4. Při přeletu na ostrov Americká Samoa překročí datovou hranici, přičemţ při přechodu přes datovou čáru na východ se počítá jeden den dvakrát, tj. čas se vrátí o 24 hodin zpět. Na mobilní telefon bude tedy muset nastavit datum 14. 10. 19:24. 5. Paříţ leţí v časovém pásmu UTC + 1 hod, Americká Samoa v pásmu UTC - 11 hod, v Paříţi bude tedy 7:24. Je třeba ţáky upozornit na to, ţe ne vţdy jsou časová pásma ohraničena přesně příslušnými poledníky. Například zeměpisná délka Paříţe se liší od Londýna přibliţně o 2, přesto se v Paříţi pouţívá středoevropský čas (UTC + 1). Foucaultovo kyvadlo Aţ pojedete někdy na výlet do Kroměříţe, zajděte do zámeckých zahrad, kde v kupoli rotundy najdete zavěšené Foucaultovo kyvadlo. Foucault provedl svůj pokus s koulí těţkou 30 kg, zavěšenou na ocelovém drátě dlouhém 67 m v kupoli Pantheonu v Paříţi jiţ v roce 1851. Provedl tak důkaz rotace Země. Pokud se totiţ takové kyvadlo kýve po delší dobu, pozorujeme stáčení Obr. č. 13 roviny kyvu ve smyslu denního pohybu Slunce. Pozorovatel v soustavě spojené se Zemí tento jev přisuzuje Coriolosově síle, vzhledem k soustavě spojené s hvězdami zachovává kyvadlo stejnou rovinu kyvu. 16

Zadání úlohy: Napiš, jak by se kyvadlo chovalo, kdybychom ho umístili na různá místa Země (pól, rovník, místa se zeměpisnou šířkou 30 a 50 ). Řešení úlohy: Kdyţ bychom kyvadlo umístili přesně na severní pól, rovina kyvu zůstává stálá a Země se pod kyvadlem otočí o 360 za 24 hodin. Pokud bychom kyvadlo zavěsili na rovníku, rovina kyvu se vzhledem k Zemi měnit nebude (na rovníku je Coriolisova síla nulová). V ostatních zeměpisných šířkám musíme uvaţovat to, ţe se rovina kyvu otáčí kolem svislého směru menší úhlovou rychlostí. Dle obrázku sin. Potom v zeměpisné šířce 30 nedojde za 24 hodin k otočení o 360, ale pouze o 180, neboť sin 15 sin 30 7, 5 za hodinu. V naší zeměpisné šířce, tj. 50, se kyvadlo otočí za den o 276. Obr. č. 14 Slapové síly Mnoho lidí se mylně domnívá, ţe slapové síly působí jen na mořskou vodu. Pravdou je, ţe periodickému dmutí podléhá nejen voda v oceánech a mořích, ale i pevnina. Stejně jako stoupá a klesá hladina moře, pohybuje se i zemská kůra. Nejvíce se příliv projevuje v zálivu Fundy v Kanadě, kde hladina stoupá aţ o 20 metrů. V Evropě se s největším rozdílem hladin 13 metrů setkáme ve Francii v zátoce Mont Saint Michel. Obr. č. 15 1. Vypočítej velikost intenzity gravitačního pole Měsíce v místě na povrchu Země, které je nejblíţe Měsíci, a v místě na povrchu Země, které je nejdále od Měsíce. 17

2. Z vypočtených hodnot urči, jaká slapová síla působí na 1 m 3 vody. Urči, o kolik procent tato síla zmenšuje sílu přitahující vodu ke středu Země. 3. Vypočítej dobu, která uplyne mezi dvěma přílivy na libovolném místě na Zemi. K výpočtu pouţij vzorce pro úhlovou rychlost oběhu Měsíce kolem Země a úhlovou rychlost rotace Země. 1. Intenzita gravitačního pole Měsíce ve vzdálenosti d od středu je mm K ag, 2 d kde m M je hmotnost Měsíce. Za r budeme dosazovat průměrnou vzdálenost středů Země a Měsíce, tj. r = 384,4 10 6. V místě, které je nejblíţe Měsíci, je Obr. č. 16 d 1 = r R Z = 378,029.10 6 m. Pro intenzitu gravitačního pole tedy platí: K a g 6,67 10 22 7,35 10 378 029 000 m s 3,43 10 m s 11 2 5 2 2. V místě, které je nejvíce vzdálené od Měsíce, je 6 d2 390,778 10 m. Platí tedy: K a g 6,67 10 22 7,35 10 390 778 000 m s 3,21 10 m s 11-2 5 2 2. Při d = 0, tedy ve středu Země je g M = 3,32.10-5 m s -2. V obou případech tedy působí Měsíc změnu tíhového zrychlení o g M = 0,11 10 5 m s -2 = 10-7 g, kde g je tíhové zrychlení na zemském povrchu. 2. Z předchozího výpočtu plyne, ţe na 1 000 kg vody působí slapová síla 0,000 1 N, coţ je stomilióntina tíhové síly, která působí na stejný objem vody. I tato nepatrná síla však způsobuje vzdutí mořské hladiny. Na volném moři je to asi o 0,8 m, při pobřeţí, v zálivech a při ústí řek tato hodnota stoupá aţ na několik metrů. 2 3. Měsíc obíhá Zemi úhlovou rychlostí: M, T M 18

kde T M = 27,32 d = 2 361 000 s je oběţná doba Měsíce. Země se otáčí úhlovou rychlostí:, Z 2, T Z kde T z = 23 h 56 min 4s je doba rotace Země. Pro pozorovatele, který na povrchu Země rotuje se Zemí, tedy Měsíc postupuje po obloze relativní úhlovou rychlostí = Z - M a zdánlivě oběhne Zemi za dobu T splňující rovnici: 360. T Z těchto rovnic dostáváme vztah: 1 1 T T Z 1 T M. Po dosazení vyjde T = 89 420 s = 24 h 50 min. Doba mezi dvěma přílivy je tedy 12 hodin a 25 minut, protoţe vyvrcholení Měsíce na jednotlivých polednících závisí nejen na oběhu Měsíce kolem Země, ale také na rotačním pohybu Země kolem osy. Proto Měsíc, aby zaujal stejné postavení vůči Slunci, musí při svém oběhu urazit větší úhlovou dráhu. Gorges du Verdon Kaňon Gorges du Verdon ve Francii je nejdelším kaňonem v Evropě. Začíná za městečkem Castellane a táhne se mezi skalními stěnami k přehradnímu jezeru Lac de Sainte-Croix. V některých místech je aţ 700 metrů hluboký. Významným místem na řece je městečko Point Sublime. Obr. č. 17 19

1. Najdi v satelitní mapě zeměpisné souřadnice městečka Castellane a Point Sublime. 2. Pomocí pravítka v aplikaci Google Earth zjisti co moţná nejpřesněji délku kaňonu. 3. Na mnoha místech v okolí si můţeš půjčit loďku, šlapadlo nebo raft a vydat se na cestu přímo po vodě. Vypočítej, jak dlouho ti bude trvat cesta z Castellane do Point Sublime, kdyţ pojedeš na raftu rychlostí 2 m/s. Jak bude dlouho trvat cesta zpět? Počítej s rychlostí proudu 0,5 m/s. 4. Nad ústím řeky do přehradního jezera Lac de Sainte-Croix je most, zjisti jeho délku. Urči, za jak dlouho přejede přes most nákladní automobil délky 12 m, jede-li rychlostí 50 km/h. 1. Zeměpisné souřadnice městečka Castellane jsou přibliţně 43 50 s. š., 6 30 v. d. (pro naše účely tato přesnost postačuje). Point Sublime má souřadnice 43 47 s. š., 6 23 v. d. 2. Pomocí pravítka v Google Earth vychází délka kaňonu od městečka Castellane k jezeru Lac de Sainte-Croix 37,8 km. 3. Délka řeky z Castellane k Point Sublime je přibliţně 16,5 km. Pojdeme-li rychlostí 2 m/s, tak vezmeme-li v úvahu rychlost proudu, urazíme za hodinu 9 km, celou vzdálenost ujedeme za 1 h 50 min. Pokud pojedeme nazpátek, musíme rychlost proudu odečíst, za hodinu tedy ujedeme vzdálenost 5,4 km, cesta zpět bude trvat 3 h a 4 min. 4. Most u ústí jezera je dlouhý 113,6 m, automobil jej zadanou rychlostí přejede za 9 s. Podmořské sluneční hodiny Jachtař a potápěč Josef Dvorský a jeho kamarád profesionální sluneční hodinář Petr Weiss podnikli v roce 2007 expedici, která měla za cíl umístit do hloubky 38 m pod hladinu moře první funkční podmořské hodiny na světě. Jak se jim to podařilo, můţete vidět na fotografii. Zeměpisné souřadnice tohoto místa jsou 33 52,8 v. d. a 27 33,4 s. š. 20

1. Pomocí Google Earth 3D najdi toto místo a zapiš, jak se jmenuje ostrov, u kterého jsou hodiny umístěny. Zjisti vzdálenost mezi ostrovem a blízkým turistickým letoviskem a vypočítej, jak dlouho by ti trvala cesta lodí z letoviska, kdybys toto místo chtěl navštívit. Předpokládej, ţe se loď bude pohybovat rychlostí 16 uzlů. Obr. č. 18 2. Celá událost se odehrála 1. 11. 2007 v 1 hodinu a 11 minut odpoledne místního času. Zjisti, v jakém časovém pásmu se hodiny nacházejí, a urči čas v UTC. 1. Hodiny se nacházejí pod hladinou Rudého moře u ostrova Siyul Kebira. Vzdálenost obou míst je 33,5 km. Pokud bychom pluli lodí, trvala by cesta 1 hod a 8 min. 2. Hodiny se nacházejí v časovém pásmu UTC + 2 hodiny, byly tedy umístěny v 11 h 11 min UTC. Samé jedničky v datu a čase mají podle organizátorů akce symbolizovat prvenství v umístění slunečních hodin pod mořskou hladinu. Tíhové zrychlení Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro gymnasia a reálky [1]. Důležitější ještě jest kyvadlo v silozpytu tím, že zákony tíže bezprostředně ukazuje, a sice: Že tíže k rovníku ubývá, k pólům přibývá, též kyvadlem dokázáno, an kyvadlo, které k. p. u nás sekundy tluče, blíž k rovníku kývání své zpožďuje, blíže k pólům zrychluje. Že tíže v převráceném čtverečném poměru dálek od země ubývá, dokazuje kyvadlo též, an na vysokých kopcích zdlouhavěji než dole se kývá. 21