n je algebraický součet všech složek vnějších sil působící ve směru dráhy včetně

Transkript

1 Konzultace č. 9 dynamika dostředivá a odstředivá síla Dynamika zkoumá zákonitosti pohybu těles se zřetelem na příčiny (síly, silové účinky), které pohyb vyvolaly. Znalosti dynamiky umožňují řešit kinematické a silové poměry u pohybujících se těles na základě uvažování setrvačních sil, které při nerovnoměrném pohybu tělesa vznikají. Základní zákony dynamiky - zákon setrvačnosti - zákon zrychlující síly - zákon akce a reakce Dalšími zákony, které se zde využívají, jsou - zákon o změně hybnosti - zákon o zachování mechanické energie zákon setrvačnosti - Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento stav změnit. zákon zrychlující síly - závislost mezi silami působícími na pohybující se boa a kinematickými veličinami je dána Newtonovým pohybovým zákonem F v = m. a, Síla F v, která je rovna výslednici všech působících sil, je tzv. zrychlující síla Z hlediska kinematiky i dynamiky je nejjednodušším pohybem přímočarý pohyb bodu - rychlost i zrychlení mají směr dráhy bodu - při vedení bodu se jedná z hlediska statiky o nucený pohyb, vedení bodu způsobí odpor proti pohybu, jehož příčinou jsou hnací síly obecně vyjádříme: Fti Fn. m. a, n n i 1 kde Fti je algebraický součet všech složek vnějších sil působící ve směru dráhy včetně i 1 odporu prostředí F. n. smykové tření ( -součinitel smykového tření ) Takto sestavená rovnice se nazývá pohybová rovnice. - svislý pohyb volného bodu při tomto pohybu působí pouze vlastní tíha, kterou v tomto případě považujeme za zrychlující sílu, jež je projevem zemské přitažlivosti a udílí bodu gravitační zrychlení g pohybová rovnice má potom tvar: G = m. g Příkladem je např. svislý vrh vzhůru, který probíhá v atmosféře, proti pohybu působí i odpor prostředí: - G F O = m. a -m.g F O = m.a Je li pohyb ve vakuu, potom F O je rovno nule, potom a = - g, pohyb je s konstantním zrychlením. Pro svislý pohyb dolů s odporem je pohybová rovnice ve tvaru: G F O = m. a m.g F O = m.a

2 Pro pohyb bodu po nakloněné rovině 1)pohybová rovnice: G. sin - F T = m. a, kde F T třecí síla )složková rovnice ve směru kolmém na nakloněnou rovinu: G. cos + F n = 0 F n = G. cos, kde F n je normálová síla Ze statiky je známo: F T = F n. ; G = m. g, kde - součinitel smykového tření upravíme li rovnici: m. g.sin - m. g.. cos = m. a dostaneme: g (sin -.cos ) = a Kromě těchto pasivních odporu je třeba také přihlédnout k odporům prostředí, které označíme F O, které působí proti směru pohybu: pohybová rovnice má následující tvar: n i 1 F F m. a 0 Tato rovnice uvádí, že jsme uvedli bod do rovnovážného stavu tím, že jsme připojili k působícím silám sílu stejné velikosti jako je zrychlující síla, ale opačně orientovanou (zákon akce a reakce). Tato síla se označuje F s a nazývá se setrvačná síla. zákon akce a reakce - působí li jedno těleso na druhé silou, pak působí druhé těleso na první stejně velkou silou, ale opačného směru zákon o změně hybnosti - hybnost H je definována jako součin hmotnosti tělesa a jeho rychlosti: H = m. v - H je vektorová veličina - zrychlující síla způsobí přírůstek hybnosti, který se rovná rozdílu hybností na konci a na počátku pohybu H = H H 0 = m (v v 0 ) - Hybnost těžiště tělesa ( těžišti přisuzujeme celou hmotnost tělesa) je rovna vektorovému součtu hybností všech bodů tělesa a to v každém okamžiku: m. v T = mv i. i, kde v T okamžitá rychlost těžiště v i okamžité rychlosti jednotlivých hmotných bodů tělesa m i hmotnosti jednotlivých hmotných bodů n počet bodů tělesa v Podle. pohybového zákona platí: F i = m i. i, což vyjadřuje časovou změnu hybnosti pro i-tý bod. t n n vi Pro n bodů tělesa: Fi mi, t i 1 i 1 i což vyjadřuje 1. impulsovou větu: Časová změna celkové hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších sil. - impulz síly I je definován jako součin síly a času, po které tato síla působí: I = F.t Grafické znázornění impulzu: 1) Je li působící síla stálá, je velikost impulzu síly rovna ploše vyšrafovaného obdélníka. ti O n i 1

3 ) Při proměnné síle je impulz síly znázorněn plochou nepravidelného tvaru; vypočteme li střední (průměrnou) sílu F s, je grafickým znázorněním obdélník o stranách t a F s. - tento zákon stanoví, ž změna hybnosti za určitý čas je rovna impulzu síly působící na toto těleso za stejný čas - matematické vyjádření: m. v m. v 1 = F. t m. (v v 1 ) = F. t, kde v 1 počáteční rychlost tělesa, resp. rychlost tělesa v určitém bodě 1*m.s -1 ] v konečná rychlost tělesa, resp. rychlost tělesa v určitém bodě *m.s -1 ] F síla stálé velikosti působící na těleso po čas t *N+ t čas působení síly F na těleso *s+ pozn.: tento vztah platí za předpokladu neměnné hmotnosti, na které působí ve směru pohybu síla stálé velikosti a jehož rychlost na počátku působení síly je v 1 a na konci v. Př. 1) Střela o hmotnosti m 1 = 8 kg opouští hlaveň rychlostí v 1 = 600 m.s -1. Jakou zpětnou rychlostí se pohybuje hlaveň děla o hmotnosti m = 400 kg? mv 1. 1 m 1. v 1 = m. v v = m tj. v = v = 1 ms. Př.) Nákladní automobil o hmotnosti kg jedoucí rychlostí 36 km.h -1 zabrzdí na dráze 0 m. Vypočtěte střední brzdní sílu. mv. Střední brzdná síla F s.t = m. v F s = t Doba brzdění t: t = v a v platí: s = a a = v s Střední brzdící síla F s = v t = v s m. v m. v m. v t s s v s v F s = F s = N = 0 kn Odstředivá a dostředivá síla - při rovnoměrném otáčivém pohybu bodu kolem pevné osy je směr rychlosti v bodu v libovolném místě trajektorie tohoto bodu totožný se směrem tečny v tomto bodě. Má li se bod pohybovat po kružnici, musí na něj působit síla, která jej udržuje na kruhové trajektorii a působí do středu O. Ve směru normály působí dostředivé zrychlení a n.

4 v - víme, že an, kde v obvodová rychlost R v = R., kde - úhlová rychlost tj. a R. n dostředivá síla je dána vztahem: F Cd = m. a n = m. R. Tato síla vyvozuje podle 3. pohybového zákona reakční sílu odstředivou stejné velikosti jako je dostředivá, ale opačného smyslu. odstředivá síla je dána vztahem F C = m. a n = m. R. Jednotkou je 1 N. Stejně jako odstředivou sílu hmotného bodu můžeme vypočítat odstředivou sílu tělesa, dosadíme li za poloměr R vzdálenost e těžiště T tělesa od osy otáčení a za hmotnost m hmotnost celého tělesa. F C = m. e. Kde se setkáme s odstředivou sílou? Např. při jízdě na kole, při odstřeďování prádla v pračce, roztočením kuličky upevněné na motouzu, atd. Př. 3 Lopatka parní turbíny má hmotnost 0,08 kg. Turbína koná 50 otáček za sekundu. Vypočtěte odstředivou sílu lopatky, pohybuje li se její těžiště po kruhové trajektorii o průměru 1m. F C = m. R. = n F C = m. D. 4. n F C = 0,08. 1., 3, F C = 0,16. 3, F C = 3 943,8 N Př. 4 Řemenice o hmotnosti 10 kg koná 6 otáček za sekundu. Jaká je nevyvážená odstředivá síla, leží li těžiště řemenice ve vzdálenosti mm od osy otáčení. F C = m. e. = n F C = m.e. 4. n F C = 10. 0, ,14.6 F C = 0, , F C = 340,75 N

5 IV. Dynamika 1.1 Dynamika přímočarého pohybu IV 1. Určete, jak velká hnací síla F musí působit na vozidlo tíhy G a jaké bude jeho zrychlení, jestliže za čas t dosáhne rychlosti v. (G = N, t = 0s, v = 100 km.h -1, v (t = 0) = 0) Platí zde pohybová rovnice přímočarého pohybu zrychleného:, protože neuvažujeme odpor, dostáváme formulaci d Alembertova principu o setrvačné síle zrychlované hmoty(, kde F s je setrvačná d Alembertova síla působící proti smyslu zrychlení resp. zpoždění. F = ma = m. = F = Zrychlení na základě vztahu: a = dostaneme hodnotu 1,39 m. s - IV. Určete velikost zrychlení a konečnou rychlost vozidla tíhy G, na které působí po dobu t síla F. (G = 000 N, t = 30 s, F = 800 N, v (t = 0) = 0) v = at F = m. a = m. = v = v = = 117,7 [m. s -1 ] a = a = IV 3. Určete zrychlení a rychlost vozidla v bodě podle obr. ( m = 100 kg, v 1 = 0 m.s -1, F = 100 N, F od = 5 N, L = m) F F od = m. a a = a = = 0,95 [m.s - ] L = t = v = a.

6 v = = 10 [m. s -1 ] IV 4. Určete zrychlení a rychlost vozidla v bodě podle obr. ( m = 300 kg, v 1 = 5 m.s -1, F = 00 N, F od = 10 N, L = 0,5 km, =45 ) F x F od = m. a F. cos - F od = m. a F y G = 0 F y = G a = a = = [m. s - ] v = v 1 + a.t = t L = L = a.l = v v 1 v = v = = = 1,5 [m. s -1 ] IV 5. Určete velikost zatížení lan výtahu při rozjezdu se zrychlením a, rovnoměrném pohybu rychlostí v a dojezdu se zpožděním a. Výpočet proveďte pro pohyb směrem nahoru i dolů. ( G 1 = N, G = 800 N, a = 4m. s -, v = 0,5 m.s -1 ) Pohyb směrem nahoru: F (G 1 + G ) = m. a Pohyb směrem dolů: F + G 1 + G = m. a F = m.a + G 1 + G F = m.a G 1 G F = m. a + m 1. g + m. g F = (m 1 + m ) (a g) F = (m 1 + m ) (a + g) F = ,81 = * N+. Při rozjezdu F = ( ). (9,81 + 4) F = ,81 = 8 04 *N+. Při rozjezdu F = N při rovnoměrném pohybu (vzhůru i dolů) F + G 1 + G = m. a F (G 1 + G ) = m. a F = m.a G 1 G F = m.a + G 1 + G F = (m 1 + m ) (a g) F = m. a + m 1. g + m. g F = ,81 = * N+. Při dojezdu F = (m 1 + m ) (a + g) F = ,81 = 8 04 *N+.Při dojezdu

7 IV 6. Určete velikost zákluzové rychlosti hlavě děla podle obr. (m h = 500 kg, m s = 10 kg, v s = 800 m.s -1 ) m h. v h = m s. v s v h = v h = [m. s -1 ] IV 7. Určete velikost síly F, kterou působí proud vody na pevnou desku podle obr. (v = 10 m. s -1, d = 0 mm, v = kg. m -3 ) F. t = m. v F = F = [N] IV 8. Určete sílu, jíž působí člověk o hmotnosti m na podlahu kabiny výtahu, která se rozjíždí se zrychlením a. (m = 80 kg, a = 0,7 m.s -1 ) F G = m. a F = m (a + g) F = 80. (0,7 + 9,81) = 840,8 [ N] IV 9. Určete čas t, po který musí působit síla F na těleso o hmotnosti m, má li se jeho počáteční rychlost v 1 zdvojnásobit. (F = 00 N, m = 75 kg, v 1 = 16 m. s -1 ) F. t = m (v 1 v 1 ) t = t = =6 [s] IV 10. Určete velikost tažné síly automobilu o hmotnosti m a tíze G, dosáhne li z klidu za čas t rychlosti v při odporu proti pohybu F od. (m = 1 00 kg, v = 7, 8 m.s -1, t = 0 s, F od = 0,010 G) F F od = m a F = F od + m. F = m (0,010 g + )

8 F = 1 00.(0,010. 9,81 + ) = [N] IV 11. Určete průměrnou velikost brzdící síly F b automobilu o hmotnosti m jedoucího rychlostí v, jestliže zabrzdí na dráze s. (m = kg, v = 10 m.s -1, s = 0 m) F = F = [N] IV 1. Určete brzdnou dráhu s automobilu o tíze G jedoucího rychlostí v, působí li na něj brzdná síla F b. ( G = 1, N, v = 18,9 m.s -1, F b = 4, ) F b. t = m. v F. = m. v s = = s = = = 51, 9 [m] IV 13. Určete velikost zrychlení a tělesa o hmotnosti m, působí li na něj dvě síly podle obr. F = F = (m = 40 kg, F 1 = 430 N, F = 55 N, = 11 ) F = m. a a = a = 1,54 m.s - IV 14. Určete velikost rychlosti v tělesa o hmotnosti m, na které působí síla F po čas t. (m = 50 kg, F = 700 N, t = 4s) F. t = m. v v = v = 56 m. s -1 IV 15. Určete velikost hnací síly F, která působí na těleso o hmotnosti m a za čas t mu udělí rychlost v. (m = 1 10 kg, t = 1 s, v = 16,9 m.s -1 )

9 F. t = m. v F = 901,3 N IV 16. Určete brzdnou dráhu s a dobu brzdění t, jestliže vlak o tíze G jedoucí rychlostí v je brzděn silou F b. (v = 7 km.h -1, F b = 0,1 G) F b. t = m. v t = t = 0,4 s s = s = 04 m IV 17. Určete brzdnou dráhu s a dobu brzdění t, jestliže vlak o tíze G jedoucí rychlostí v je brzděn silou F b. (v = 7 km.h -1, F b = 0,1 G) F b = m. a F b = 0,1 G = 0,1 g. t = v t = t = s = = 0,4 [s] s = 04 [m] II 1 Zjistěte, jak velká hnací síla F musí působit na vozidlo a jaké bude mít zrychlení a, požadujeme li, aby za čas t dosáhlo vozidlo rychlosti v. Odpory vozidla proti pohybu neuvažujte. (G = N; t = 0s; v = 100 km.h -1 ) Potřebnou hnací sílu vypočteme ze vztahu: F F s = 0 F m.a = 0 F = m. a F = F = 44,7 N Zrychlení vozidla: v = at a = a = 1,39 m.s - II Zjistěte velikost zrychlení a konečnou rychlost vozidla, jestliže na něj po čas t působí ve směru pohybu síla F. Tíha vozidla je G.

10 (G = 000 N; t = 10 s; F = 800 N) Vyjdeme ze vztahu: F F s = 0 tj. F m.a = 0, potom a = a = 3, 9 m.s - konečnou rychlost vyjádříme ze vztahu: v = a. t v = v = 39, m.s -1 II 3 Zjistěte rychlost a rychlení vozidla v bodě, působí li na dráze L na vozidlo hnací síla F a odpor proti pohybu F od.(viz obr.) (m = kg; F = N; F od = 50 N; L = m; v 1 = 0) Výpočet zrychlení: F F od F s = 0 F F od = m.a a = Výpočet rychlosti v v bodě : Změna energií kinetických je rovna vykonané práci, protože v 1 = 0, potom kinetická energie v bodě 1 je nulová, tedy v bodě je práce rovna kinetické energii v bodě a. L m.a. L a = 0,95 m.s - v = 43,59 m.s -1 II 4 Jak velká musí být tažná síla rakety, požaduje li se, aby za čas t dosáhla první kosmickou rychlost v 1k? Průměrná hmotnost rakety je m. (m = kg; v 1k = 7,8 km.s -1 ; t = 300 s) Za předpokladu, že se raketa pohybuje ve vzduchoprázdnu, působí na raketu pouze tažná síla F a setrvačná síla F s. Podle d Alembertova principu musí být obě síly v rovnováze F F s = 0 F = m. a

11 Zrychlení rakety vypočteme ze vztahu v 1k = a. t a =, potom tažná síla rakety F : F = m. F = 1, N 1. Dynamika rotačního pohybu IV 18 Určete velikosti maximálních a minimálních vazbových sil hřídele setrvačníku podle obr., je li následkem nepřesné výroby a montáže těžiště posunuto mimo osu hřídele o hodnotu r. Hřídel koná n otáček. (G = 3 00 kg, a = 1, m, b = 0,8 m, r = mm, n = 40 min -1 ) Vazbové síly od tíhy setrvačníku určíme ze statických podmínek rovnováhy. F A1 (a + b) G.b = 0 F A1 = F A1 = 1 80 N F A1 G + F B1 = 0 F B1 = G F A F B1 = 1 90 N Analogicky určíme velikosti vazbových sil od odstředivé síly: F A (a + b) F 0. b = 0 F A = 165 N F A F 0 + F B = 0, kde F 0 = m. r. a = n F B = 47 N Maximální vazbové síly Minimální vazbové síly F Amax = F A + F A1 = [N] F Amin = F A1 - F A = [N] F Bmax = F B + F B1 = 167 [N] F Bmin = F B1 - F B = [N] IV 19. Určete velikost odstředivé síly nevývažku setrvačníku podle obr. (m = 10 kg, r = 0,5 m, = 10s -1 ) F odstř. = m. r. F odstř. = 10. 0, = 500 [N]

12 IV 0. Určete, jak velký průměr d musí mít nálitek podle obr., aby byl setrvačník vyvážený. (m = 10 kg, r = 0,5 m, = 10 s -1, r 1 = 0,4 m, b = 100 mm, = 8, kg. m -3 ) d = 0,141 m IV 1. Určete velikost odstředivé síly F 0, která působí na vozidlo v zatáčce podle obr. ( m = 000 kg, v = 100 km.h -1, r = 100 m) F 0 = 1, [N] IV. Určete velikost úhlu sklonu tratě v zatáčce tak, aby výsledná síla působící na vagon směřovala kolmo na trať. (G = N, r = 500 m, v = 80 km.h -1 ) tg = 0, = 5,74 = 5 44 IV 3. Určete velikost síly v laně F a úhel sklonu podle obr., jestliže těleso o hmotnosti m rotuje ve vodorovné rovině. (m = 0 kg, r = m, = 10 s -1 )

13 tg = 0,04905 =,81 tj. 49 IV 4. Určete maximální a minimální velikost síly v laně podle obr., jestliže těleso o hmotnosti m rotuje ve svislé rovině. (m = 0 kg, r = m, v = 10 s -1 ) F max = 196 N F min = N IV 5. Určete velikost odstředivé síly, která působí na člověka hmotnosti m stojícího na rovníku zeměkoule. (m = 7 kg, r = km) F odstř. =, 4 N IV 6. Určete velikost rychlosti letadla, které prolétává kruhovou zatáčkou o poloměru r, jestliže známe odstředivou sílu F 0 působící na pilota, jehož hmotnost je m. (m = 80,8 kg, r = 50 m, F 0 = N) v = 05,1 m. s -1 IV 7. Určete největší velikost rychlosti automobilu, jíž může projíždět zatáčku o poloměru r, známe li součinitel tření f mezi vozovkou a pneumatikami. (r = 10 m, f = 0,6) v = 17,5 m. s -1 = 63 km. h -1 IV 8. Těleso o hmotnosti m uchycené na tyči kruhového průřezu o průměru d koná rotační pohyb podle obr.. Určete napětí, které v tyči vznikne při n otáčkách. (m = 87 kg, d = 1 mm, r = 0,85 m, n = 6 min -1 )

14 t = N = 367 MPa IV 9. Určete minimální velikost rychlosti, kterou musí motocyklista kaskadér projíždět ve svislé rovině po vnitřním povrchu válce. Těžiště soustavy kaskadér motocykl rotuje na poloměru r. ( r = 4,1 m) v = 6, 34 m. s -1 =,8 km.h -1 IV 30. Určete minimální otáčky při rotaci koule upevněné na laně ve svislé rovině podle obr. ( m = 0,4 kg, r = 1, m) n = 0,455 s -1 II 5 Zjistěte velikost setrvačné odstředivé síly F o, která působí na vozidlo hmotnosti m při projíždění zatáčky (viz obr.) (m = 000 kg; v = 100 km.h -1 ; r = 100 m) Odstředivou sílu F 0, která působí na vozidlo hmotnosti m, které projíždí zatáčku o poloměru r rychlostí v, zjistíme na základě vztahu: F 0 = N II 6 Zjistěte maximální a minimální sílu F působící v laně, rotuje li těleso hmotnosti m ve svislé rovině rychlostí v (obr.) (m = 0 kg; r = 1 m; v = 10 m.s -1 ) Bude li se těleso nacházet v bodě, bude na laně působit maximální síla, daná součtem odstředivé síly F 0 a tíhy tělesa G. Naopak, bude li se těleso nacházet v bodě 1, bude v laně působit

15 minimální síla, daná rozdílem odstředivé síly a tíhy tělesa. F max = F 0 + G F max = F max = 196, N = F min = N Pokud chceme mít lano napnuté, musí platit, že Fmin je větší jak nula. Z této podmínky lze vypočítat minimální obvodovou rychlost tělesa: F min 0 0 Z toho plyne: v min V min = 3,13 m.s -1 II 7 Jak velký hnací moment M musí působit na setrvačník (obr.), má li se za čas t rozběhnout na úhlovou rychlost. (D = 0,5 m; b = 0, m; = 7, kg.m -3 ; t = 5s; = 0s -1 ) M M s = 0, : kde I 0 = I 0 = Úhlové zrychlení Potřebný moment: M =. M =. M = 38,3 N.m