3 Plochy riesor E
Nech je na súislej oblasi remenných R efinoaná ekoroá fnkcia och = x y y korej skalárne súranicoé fnkcie x y y sú asoň raz iferencoaeľné na oblasi. Hoografom ekoroej fnkcie je jenocho súislá locha riesor E 3. Pre kažú soriaanú ojic reálnych čísel je fnkčno honoo olohoý ekor = x y y bo lochy P korého kareziánske súranice sú Dojic čísel P = [x y z ]. nazýame kriočiare súranice bo na loche.
Ak je oblasť R reglárno oblasťo korej hranico je zareá reglárna krika E oom loch nazýame elemenárna locha alebo lis. Všeky boy lochy rčené kriočiarymi súranicami = cons. res. = cons. ležia na krike lochy korú nazýame aramerická -krika lochy - = x y z res. aramerická -krika lochy - = x y z. Paramerické kriky lochy eených och súsa kriiek oria kriočiar sieť lochy korá sa nazýa aramerická sieť kriiek lochy. Kažá krika jenej súsay reína šeky kriky rhej súsay. Kažým boom lochy recháza jena krika kažej zo súsa laí P =
Bo lochy P sa nazýa reglárny bo lochy ak nejakom okolí bo exisjú sojié ré arciálne eriácie ekoroej fnkcie a laí V oačnom ríae keď sú ekory lineárne záislé hooríme o singlárnom boe lochy. Vekoroé fnkcie x x y y z z efinjú smeroé olia ekoro oyčníc aramerických kriiek lochy recházajúcich reglárnym boom P lochy.
V kažom reglárnom boe lochy P exisjú lineárne nezáislé ekory - ekor oyčnice aramerickej -kriky a ekor oyčnice aramerickej -kriky z y x z y x koré rčjú jeinú oykoú roin lochy anom boe P ronica oykoej roiny ] [ P z y x z y x z Z y Y x X
Vekor n sa nazýa ekor normály lochy reglárnom boe P. Priamka rčená smeroým ekorom n a recházajúca boom P je normála lochy kolmá na oykoú roin lochy anom boe. Vekoroá fnkcia n efinje smeroé ole normál lochy reglárnych booch a rčje orienáci lochy. Honoa fnkcie n je jenokoý ekor korého súranice sú smeroé kosíny normály lochy jej reglárnom boe laí n cos i cos j cos ke sú hly ekora n s jenokoými ekormi i j k. k
Nech I je krika na loche R. Doykoý ekor kriky je ekor yjarený omoco iferenciál Pre šorec iferenciál laí Označme E F G Výraz E + F + G nazýame rá záklaná iferenciálna forma lochy res. rý enzor lochy označjeme iež. Prá záklaná forma lochy oisje núorné lasnosi geomerie lochy ĺžky a hly oblúko kriiek lochy. Výraz D = EG - F nazýame iskriminan rej záklanej formy.
Prá záklaná forma lochy je kažom reglárnom boe lochy oziíne efininá symerická forma laí:. E =. EG - F = G = - = 3. symerická = skalárny súčin je komaíny Dĺžka oblúka kriky na loche Nech a b je krika na loche R korej rá záklaná forma je s = E + F + G Poom re ĺžk oblúka sa B ke A = a a B = b b laí s A B b a s b a E F G
Uhol och kriiek lochy Nech sú kriky k a k ané sojimi aramerizáciami a a b na loche R a nech sa reínajú boe P lochy korého kriočiara súranica na krike k je a na krike k je. Uhol kriiek yočíame ako hol ekoro oyčníc kriiek laí.. cos G F E G F E G F E Pre hol aramerických kriiek boe P laí EG F.. cos
Obsah jenochého lis lochy Plošný elemen na loche rčenej ekoroo fnkcio iferencoaeľno na oblasi R je ronobežník oykoej roine lochy rčený ekormi a zierajúcimi hol F EG S. sin. Obsah lis lochy efinoaného na oblasi yočíame omoco ojného inegrál lošného elemen lochy D S
Drhá záklaná iferenciálna forma lochy rhý enzor lochy súisí s kriosťo lochy reglárnom boe lochy a označje sa = n. = L + M + N ričom re koeficieny rhej záklanej formy lochy laí L M N n. n. n.... [ [ [ D D D ] ] ] Výraz D = LN M lochy. nazýame iskriminan rhej záklanej formy
Číslo K LN EG sa nazýa úlná alebo Gassoa kriosť lochy anom boe. M F Bo korom K sa nazýa eliický bo lochy. V omo boe má oykoá roiny lochy soločný s locho iba bo oyk ričom locha sa nacháza jenom olriesore rčenom oykoo roino a ekorom normály lochy anom boe. Bo korom K sa nazýa hyerbolický bo lochy. V omo boe oykoá roiny lochy reína loch krike korá má boe oyk ojnásobný bo. Bo korom K = je arabolický bo lochy oykoá roina sa lochy oýka krike ričom locha sa nacháza jenom olriesore rčenom oykoo roino a ekorom normály lochy anom boe. Theorema egregim - Gassoa kriosť lochy sa á yjariť iba omoco koeficieno rej záklanej formy lochy a ich eriácií. D D
Plochy obsahjúce iba eliické boy gľoá locha elisoi araboloi Plochy obsahjúce iba arabolické boy roina alcoá locha kžeľoá locha Plochy obsahjúce iba hyerbolické boy hyerboloi seosféra
Plocha obsahjúca šeky yy boo anloi