f ( x) = ψϕ ( ( x )). Podle vět o derivaci složené funkce

Transkript

1 Funkce daná paramerick polárně a implicině 4 Funkce daná paramerick polárně a implicině Výklad Definice 4 Nechť jsou dán funkce ϕ() ψ () definované na M R a nechť ϕ () je prosá na M Složená funkce ψϕ definovaná na H ϕ se nazývá funkce daná paramerick f ( ) ( ( )) rovnicemi ϕ() ψ() M Poznámk Funkce ϕ ( ) inverzní k prosé funkci ϕ () eisuje Derivace funkcí ϕ() ψ () podle parameru budeme znači & ϕ() ψ& () Řešené úloh Příklad Rovnicemi rcos rsin < > r > je dána funkce r < r r > jejímž grafem je horní polovina kružnice + r Umocníme obě rovnice paramerického zadání a dosaneme r cos r sin To rovnice sečeme: + r (cos + sin ) r Všimněme si že & rsin < pro < > a je ed rze monoónní (klesající) Příklad Funkce daná paramerick rovnicemi e + ln+ sin R není elemenární proože z rovnice e + nedovedeme vjádři Funkce ϕ ( ) R však eisuje proože & e + > pro R j 76 e + je rosoucí pro R

2 Funkce daná paramerick polárně a implicině Poznámka Zejména pro případ kd z rovnic ϕ() ψ() nelze vjádři ψϕ ( ( ) ) musíme umě urči derivaci podle následující vě Výklad Věa 4 Nechť je funkce f ( ) dána paramerick rovnicemi ϕ() ψ() M a nechť na M eisují derivace & ϕ() ψ& () kde & ϕ() na M Pak v bodě H ϕ eisuje derivace ψ ( ) f ( ) & & ϕ( ) kde ϕ ( ) Důkaz: Podle definice 4 je f ( ) ψϕ ( ( )) Podle vě o derivaci složené funkce () a inverzní funkce () dosaneme ψ ( ) f ( ) ( ( ( ))) ( ( ))( ( )) ( ) & ( ) ( ) ψϕ ψϕ & ϕ ψ& & ϕ & ϕ Řešené úloh Příklad: Vpočěe derivaci funkce dané paramerick rovnicemi e + ln + sin Řešení: Podle vě 4 plaí cos ψ& + () cos ( ) + f & ϕ() e + ( e + ) kde e + 77

3 Funkce daná paramerick polárně a implicině Poznámka Derivace f ( ) je funkce daná paramerick rovnicemi vě 4 můžeme urči druhou derivaci ψ& () ϕ() M & ϕ() Podle () ( ) ( ) ( ) ( ) ψ ψ ϕ ψ ϕ & && & & && () & ϕ() & ϕ (& ϕ( )) kde ϕ() Podobně bchom mohli podle vě 4 urči všší derivace funkce dané paramerick Řešené úloh Příklad: Určee druhou derivaci funkce cos sin < > & cos Řešení: cog cos & sin kde cos & sin & & sin sin Příklad Určee rovnici ečn k půlkružnici cos sin < > v bodě 4 Řešení: Rovnice ečn je f ( )( ) Dosaneme cos sin a f ( ) cog 4 4 f ( ) cog ( ) j Dosadíme do rovnice ečn a dosaneme + j viz obr 4 78

4 Funkce daná paramerick polárně a implicině - - Obr 4 Výklad Definice 4 Nechť je dána funkce g( ϕ) > ϕ M aková že funkce g( ϕ)cos ϕ kde ϕ M je prosá Pak funkce f ( ) daná paramerick rovnicemi g( ϕ)cos ϕ g( ϕ)sin ϕ ϕ M je dána polárně rovnicí ρ g( ϕ) ϕ M Řešené úloh Příklad: Určee rovnici ečn ke grafu funkce f ( ) kerá je dána polárně rovnicí ρ ϕ ϕ ϕ v bodě ϕ 4 Řešení: Paramerické rovnice jsou cos sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 79

5 Rovnice ečn je Dále určíme derivaci Funkce daná paramerick polárně a implicině f ( )( ) Vpočíáme hodno 8 a 8 sinϕ ϕ ϕ cosϕ ϕ ϕ sinϕ ϕ f ( ) sinϕ ϕ ϕ cosϕ ϕ cosϕ ϕ ϕ Nní určíme f ( ) Dosaneme f 4 6 Rovnice ečn má var 8 8 j 6 + Poznámka O derivaci funkce dané implicině rovnicí F ( ) kde F ( ) je výraz obsahující proměnnou a funkci ( ) budeme hovoři v eu Diferenciální poče funkcí více proměnných (Maemaika II) Nní si způsob jak derivova funkci danou implicině ukážeme pouze na příkladech Musíme mí na paměi že ve výrazu F ( ) je funkce proměnné kerá není z rovnice vjádřena a její derivaci ed označíme jako obvkle Řešené úloh Příklad: Určee derivaci funkce + sin 8

6 Řešení: + ( ) ( sin ) + + sin cos (+ cos ) sin sin + cos Funkce daná paramerick polárně a implicině Příklad: Určee rovnici ečn ke křivce + + v bodě T () Řešení: Rovnice ečn má var f ( )( ) Určíme derivaci funkce dané implicině rovnicí + Dosaneme + () Rovnice ečn je j + viz obr Obr 44 Konrolní oázk Funkce f ( ) je dána paramerick rovnicemi ϕ() ψ() Označení & ϕ() ψ& () znamenají derivace podle 8

7 a) proměnné b) parameru Funkce daná paramerick polárně a implicině c) proměnné Funkce f ( ) je dána paramerick rovnicemi ϕ() ψ() pak pokud eisuje derivace f ( ) má var ϕ( a) ) ( ) & f ψ& ( ) b) ϕ( ) ψ( ) ϕ( ) ψ( ) f ( ) & & [ ϕ( ) ] ψ ( c) ) ( ) & f & ϕ( ) Funkce f ( ) je dána paramerick rovnicemi ϕ() ψ() Druhá derivace má var a) ( ) & b) ( ) c) && && 4 Funkce f ( ) kerá je dána polárně rovnicí ρ g ( ϕ) má paramerické zadání a) g ( ϕ)sin ϕ g( ϕ)cos ϕ b) g ( ϕ)cos ϕ g( ϕ) c) g ( ϕ)cos ϕ g( ϕ)sin ϕ Odpovědi na konrolní oázk b); c); a); 4 c) Úloh k samosanému řešení Vpočěe první derivace funkcí daných paramerickými rovnicemi: 5 a) b) e sin e cos 8

8 Funkce daná paramerick polárně a implicině c) sin cos d) e) a( sin ) a( cos) f) Sesave rovnice ečn a normál k aseroidě cos 4sin g cos cos sin v bodě Sesave rovnice ečn a normál k ckloidě sin cos v bodě 4 Sesave rovnice ečn a normál ke křivce e e v bodě 5 Sesave rovnice ečn a normál ke křivce sin cos v bodě 6 Najděe směrnici ečn k elipse cos 4sin v bodě 7 Najděe směrnici ečn k elipse cos sin v bodě 8 Najděe směrnici ečn ke křivce 4 v bodě ( ) 9 Ukaže že funkce daná paramerickými rovnicemi rovnici d + ( ) d + d Vpočěe derivaci ( ) funkcí daných implicině rovnicí d vhovuje a) + b) + c) ln d) + a e) cos( ) f) + e g) + h) a b Sesave rovnice ečn a normál ke křivce + a i) + arcg v bodě [ ] T Sesave rovnice ečn k hperbole v bodě [ 9 8] T Sesave rovnice ečen k hperbole kolmých k přímce Znázorněe křivk a vpočěe derivace f ( ) je-li funkce f ( ) dána polárně rovnicí: a) ρ ϕ ϕ ( ) (Archimédova spirála) b) ρ sinϕ ϕ < > (kružnice) c) ρ ϕ ( ) (hperbolická spirála) ϕ 8

9 Funkce daná paramerick polárně a implicině d) ρ ( + cos ϕ) ϕ < > (kardioida) e) ρ e ϕ ϕ ( ) (logarimická spirála) 5 Určee rovnici ečn ke grafu Archimédov spirál kerá je dána polárně rovnicí ρ ϕ ϕ ( ) v bodě ϕ 6 Určee rovnici ečn ke grafu kardioid kerá je dána polárně rovnicí ρ ( + cos ϕ) ϕ < > v bodě ϕ 7 Pro keré ϕ nabývá funkce kerá je dána polárně rovnicí ρ e ϕ ϕ ( ) maimální hodno? 8 Pro kerá ϕ je ečna ke grafu kardioid kerá je dána polárně rovnicí ρ ( + cos ϕ) ϕ < > rovnoběžná s osou? 9 Určee rovnici asmpo grafu hperbolické spirál kerá je dána polárně rovnicí ρ ϕ ϕ ( ) Výsledk úloh k samosanému řešení a) sin 5 ; b) e ; c) ( < < ) ; d) g ; e) ; cos f) sincos + ; + ; ; 5 4+ ; a a) ; b) ( ) e f) e ; g) b ; h) a ; c) + ; i) a ; d) ; e) + sin( ) ; ( + ln ) a sin( ) + + ; 4 a) 4 5 ; 4+ ϕ cosϕ+ sinϕ f ( ) ; cosϕ ϕsinϕ cosϕ sinϕ b) f ( ) cos ϕ ; c) sinϕ ϕcosϕ cos ϕ+ cosϕ f ( ) ; d) f ( ) ; cosϕ + ϕsinϕ sin ϕ(cosϕ+ ) cosϕ + sinϕ e) f ( ) 5 ( + ) ϕ 8 ϕ cosϕ sinϕ 4 5 ϕ ϕ 9 pro ϕ 84

10 Funkce daná paramerick polárně a implicině Konrolní es Vpočěe derivaci funkce dané paramerick rovnicemi asin bcos b b a) cog b) g c) bsin a a Vpočěe derivaci funkce dané paramerick rovnicemi a) ( ) b) ( ) c) ln ( + ) Vpočěe derivaci funkce dané paramerick rovnicemi + cos 4+ sin v bodě 4 a) b) c) 4 Sesave rovnici ečn ke křivce e e v bodě a) b) + c) + 5 Sesave rovnici normál ke křivce 9 + v bodě a) + 5 b) c) Vpočěe derivaci funkce dané paramerick rovnicemi a ( + ) a a) a b) c) 6 a 7 Vpočěe derivaci funkce f ( ) je-li dána polárně rovnicí ρ e ϕ a) cog ϕ b) sin ϕ + cos ϕ cosϕ sinϕ c) sinϕ + cosϕ sinϕ cosϕ 8 Sesave rovnici ečn ke grafu funkce kerá je dána polárně rovnicí ρ sinϕ v bodě ϕ a) b) c) + 9 Vpočěe derivaci funkce dané implicině rovnicí sin + sin a) cos + sin b) cos + sin sin c) sin cos + sin sin 85

11 Funkce daná paramerick polárně a implicině Výsledk esu b); a); c); 4 a); 5 c); 6 c); 7 b); 8 b); 9 a) Průvodce sudiem Pokud jse správně odpověděli nejméně v 6 případech pokračuje další kapiolou V opačném případě je řeba prosudova kapiolu 4 znovu 86