Dynamika hmotného bodu. Petr Šidlof

Transkript

1 Per Šidlof

2 Úvod opakování () saika DYNAMIKA kinemaika Dynamika hmoného bodu Dynamika uhého ělesa Dynamika elasických ěles Teorie kmiání Aranz/Bombardier (Norwegian BM73) Před Galileem, Newonem: k udržení pohybu je nuná síla Newon: F dp d mv m kons.... F m a

3 Úvod - opakování () Saika algebraické rovnice F i 0 rovnice rovnováhy Dynamika diferenciální rovnice (uhá ělesa ODR, elasická ělesa - PDR) F i mx pohybové rovnice D Alemberův princip: Fikivní servačná síla m a míso pohybových rovnic řeším rovnice rovnováhy jako ve saice F serv Poznámky F = F(), F = F(x), F = F(v)

4 Úvod - opakování (3) Roační pohyb: M dl L.. momen hybnosi Translační pohyb karézské souřadnice Roační pohyb polární souřadnice Řešení úloh dynamiky:. Z Newonových zákonů. Ze zákona zachování energie 3. Ze zákona zachování hybnosi Lagrangeův formalismus Hamilonovy rovnice

5 Příklad řešení z Newonových zákonů (D) Lano o délce L = 0 m a hmonosi m = 0 kg je volně položeno přes okraj podložky ak, že přečnívají 4 mery. V čase = 0 se dá lano vlasní íhou do pohybu (ření a jiné pasivní odpory zanedbáváme). Za jak dlouho dorazí k okraji zadní konec lana? Řešení:. Z Newonových rovnic F = m.a sesavíme pohybovou rovnici.. y g L y 0. Řešení obyčejné diferenciální rovnice s konsanními koeficieny.. y C g L e C e 3. Z rovnice y( ) = L vypočíáme (numericky) čas = 3.7 s g L

6 Příklad ečné a normálové souřadnice () Na sřeše observaoře, kerá má sférický var o poloměru r = 5 m, leží koska ledu. Malým závanem věru se dá led z nulové rychlosi do pohybu. Zjisěe, ve kerém mísě led odléne od povrchu sřechy a bude pokračova volným pádem. Řešení:. Uvolnění pohybové rovnice v ečných a normálových souřadnicích mg sin ma N mg cos ma. Využií známých vzahů pro ečné a odsředivé zrychlení při kruhovém pohybu a r 3. Sesavení a řešení pohybové rovnice a n n r r g sin 0 r

7 Příklad ečné a normálové souřadnice () Nelineární diferenciální rovnice g sin 0 r nelze řeši analyicky

8 Příklad ečné a normálové souřadnice (3) Dynamika hmoného bodu

9 Příklad ečné a normálové souřadnice (4) Dynamika hmoného bodu

10 Zákon zachování energie (ZZE) Řešení úloh dynamiky:. Z Newonových zákonů. Ze zákona zachování energie 3. Ze zákona zachování hybnosi Lagrangeův formalismus Hamilonovy rovnice m v F s s m v ds s W.. práce vnějších sil změna (kineické) energie sysému je rovna práci vykonané působícími silami na odpovídající dráze Pozor: skalární součin práci konají jen síly ve směru pohybu síla F nekoná práci ODVOZENÍ ZZE (D) F m a m x dv dv F dx m dx m v dv ZZE = prosorový inegrál Newonových pohybových rovnic

11 Poenciální energie, konzervaivní síly Konzervaivní síla F U U.. poenciální energie du dx x D: F... Fx dx dx Ux Ux x x x du dx.. práce konzervaivních sil nezávisí na dráze, pouze na počáečním a konečném savu Konzervaivní síly zachovávají energii (počáeční a koncový sav sejný.. ΔU = 0) ΔT ΔU W, n W n.. práce nekonzervaivních sil T U T U W n celková energie na konci děje celková energie na začáku děje práce vnějších nekonzervaivních sil (případně záporně vzaá disipovaná energie)

12 Příklady konzervaivních sil v mechanice. Tíhová síla a poenciální energie íhového pole U mg h F du dh mg. Poenciální energie lineární pružiny z definice lineární pružiny F k x, k.. uhos [N/m] x 0 W F s ds k x U pruž

13 Práce řecích sil W T s x FT 0 kons. dx F T s Pozn.: řecí síly nejsou konzervaivní (práce závisí na dráze), nezachovávají mechanickou energii

14 Příklad 3 řešení úloh dynamiky ze ZZE Po uvolnění pružiny slačené o délku l 0 je ěleso vysřeleno vzhůru po nakloněné rovině. Součiniel smykového ření mezi ělesem a podložkou je f. Jaká bude rychlos ělesa v ve vzdálenosi L? Řešení: A. uvolnění, sesavení pohybových rovnic, řešení ODE. Možné, ale velmi pracné. B. ze zákona zachování energie: Sav : U k l0 0, T 0 Sav : U Práce řecích sil: α, T m 0 mgl sin v W T F T ds mg cos αf L Energeická bilance: U T U W T kl0 mgl sin α mv mgl f cosα v...

15 Zákon zachování hybnosi m v m v F Impuls sil Změna hybnosi sysému mezi časy a je rovna impulsu působících sil v omo časovém inervalu ODVOZENÍ (D) dv F m a m F m dv mv m v zákon zachování hybnosi = časový inegrál Newonových pohybových rovnic