7.4.1 Parametrické vyjádření přímky I

Transkript

1 741 Paramerické vyjádření přímky I Předpoklady: 7303 Jak jsme vyjadřovali přímky v rovině? X = + D Ke všem bodů z roviny se z bod dosaneme posním C o vekor Pokd je bod na přímce, posováme se o vekor, E kerý je násobkem vekor Pokd bod není na přímce, posováme se o vekor, kerý není násobkem vekor p F od X leží na přímce p, pokd splňje rovnici X = +, kde R (Do libovolného bod přímky p se dosaneme z bod posním o násobek směrového vekor ) Na našich úvahách se v prosor nic nemění paramerické vyjádření můžeme poží i v prosor Jediný rozdíl: od má v prosor ři sořadnice, vekor ři složky nyní půjde o ři rovnice Rovnice X = +, R se nazývá paramerická rovnice přímky (nebo aké paramerické vyjádření přímky) rčené bodem a směrovým vekorem Proměnná se nazývá paramer Př 1: Jso dány body [ 1;1;3 ] a [ 2;1;1 ] a) Najdi paramerické vyjádření přímky 4;5;0 b) Rozhodni, zda na přímce leží body C [ ] a [ 1;1;7 ] c) Urči zbývající sořadnice bodů E [ 4;?;? ], [?;2;?] D F ak, aby ležely na přímce d) Najdi paramerické vyjádření přímky, kerá je rovnoběžná s přímko a H 0;3;5 prochází bodem [ ] a) = = ( 1;0; 2) X = 1;1;3 + 1;0; 2, R nebo Přímka : [ ] b) od [ 4;5;0] C leží na přímce, když plaí: 4 = 1+ 5 = 1 0 = 3 2 Není řeba ani počía, drhá rovnice rčiě nevyjde bod C neleží na přímce c) x = 1+ y = 1 z = 3 2, R od D[ 1;1;7 ] leží na přímce, když plaí: 1 = 1+ = 2 1 = 1 7 = 3 2 = 2 Rovnice vyšly bod D leží na přímce 1

2 od E [ 4;?;? ] leží na přímce, když plaí: 4 = 1+? = 1? = 3 2 První rovnice: 4 = 1+ = 3 Drhá rovnice se počía nemsí Třeí rovnice: Msíme dosadi = 3 (vypočeno z první rovnice):? = = 3 E 4;1; 3 od E má sořadnice [ ] od F [?;2;?] leží na přímce, když plaí:? = 1+ 2 = 1 d) rovnoběžka s sejný směrový vekor (nebo jeho násobek) = = 1;0; 2 H 0;3;5 [ ] X = 0;3;5 + 1; 0; 2, R nebo Hledaná rovnoběžka: [ ]? = 3 2 Drhá rovnice nemůže bý nikdy splněna není možné dopočía sořadnice bod F ak, aby ležel na přímce x = 0 + y = 3 z = 5 2, R Pedagogická poznámka: Nejvěším problémem v předchozím příklad není vlasní analyická geomerie, ale významy rovnosí jako 2 = 1 nebo 1 = 1 pro řešení příklad Dodaek: Obě přímky můžeme napsa aké jako množiny bodů: {[ 1 ;1;3 2 ], R} rovnoběžka procházející bodem H {[ ;3;5 2 ], R} Př 2: Jso dány body [ 1; 2;2], [ 3;2;0] Napiš paramerické vyjádření: a) přímky b) úsečky c) polopřímek a C 0; 4;3? Na keré čási přímky leží bod [ ] = +, { 1; 2;2 2;4; 2, } = = ( 2;4; 2) pro body na přímce plaí: [ ] a) Přímka {[ 1 2 ; 2 4 ;2 2 ], R} = + + nebo X = + R x = 1+ 2 y = z = 2 2, R V dalších bodech měníme poze množin, ze keré volíme paramer = 1+ 2 ; ;2 2, 0;1 b) Úsečka {[ ] } c) Polopřímka [ 1 2 ; 2 4 ;2 2 ], 0; ) Polopřímka [ 1 2 ; 2 4 ;2 2 ], ( ;1 od C [ 0; 4;3] leží na přímce, když plaí: 0 = 1+ 2 = 0,5 = + + = = = 0,5 bod C leží na přímce na polopřímce opačné k polopřímce 3 = 2 2 = 0, 5 2

3 -0,5 C Pedagogická poznámka: Předchozí příklad požívám čásečně jako synchronizační, aby si všichni zksili samosaně alespoň dva z bodů následjícího příklad Př 3: Rozhodni, zda je možné zapsa výsledky předchozího příklad aké ako: = 1 + ; ;2, R, a) přímka {[ ] } b) úsečka = {[ 1 + ; ;2 ], 0;2 }, c) polopřímka [ 3 2 ;2 4 ; 2 ], 1; ) { 1 ; 2 2 ;2, 2; } = + +, d) polopřímka [ ] ) = + a) přímka = {[ 1 + ; ;2 ], R} body na přímce jso zapsány jako X [ 1; 2; 2] ( 1; 2; 1) 0,5( ) paramerické vyjádření přímky = + = + jde o b) úsečka = {[ 1 + ; ;2 ], 0;2 } body na úsečce jso zapsány jako X = [ 1; 2;2] + ( 1;2; 1) = +, kde = 0,5( ) jde o paramerické vyjádření úsečky, proože plaí = + 2 c) polopřímka = [ ;2 + 4 ; 2 ], 1; ) body na polopřímce jso zapsány jako [ 3;2;0] ( 2;4; 2) X = + = +, kde = ( ) plaí ( 1) = + jde o paramerické vyjádření polopřímky, proože d) polopřímka = [ 1 ; 2 2 ;2 + ], 2; ) 3

4 body na polopřímce jso zapsány jako [ 1; 2; 2] ( 1; 2;1) X = + = +, kde = 0,5( ) proože plaí ( 2) = + jde o paramerické vyjádření polopřímky, Pedagogická poznámka: U velké věšiny sdenů je řeba, aby si nakreslili obrázek a eprve poé se rozhodovali, zda je zápis správný Př 4: Jaké jso možnosi vzájemné polohy dvo přímek p(, ) a (, ) q v v prosor? Jaké změny je nné provés v diagram pro rčování vzájemné polohy přímek v rovině, aby jej bylo možné poží pro přímky v prosor? Možnosi vzájemné polohy dvo přímek v prosor: oožné přímky (všechny body společné), rovnoběžné přímky (sejný směr, žádné společné body), různoběžné přímky (různé směry, jeden společný bod), mimoběžné přímky (různé směry, žádný společný bod), diagram pro rčování vzájemné polohy přímek msíme doplni pro přímky s různým směrem o es exisence průsečík, kerým rozlišíme různoběžné a mimoběžné přímky plaí v= k? NO leží bod na přímce q? mají přímky p, q průsečík? NO NO oožné přímky rovnoběžky různoběžky mimoběžky Př 5: Jso dány přímky p(, ) a q (, v ) ; [ 3; 1;1], [ 2; 2; 1], = ( 2;1;0 ), v = ( 1; 3; 2) Urči jejich vzájemno poloh Pokd jso přímky různoběžné, najdi jejich průsečík Směrové vekory: = ( 2;1;0 ), = ( 1; 3; 2) v neplaí v = k přímky jso různoběžné nebo mimoběžné (změna oproi rovině) zksíme nají průsečík x = x = 2 + s p: y = 1+ q: y = 2 3s z = 1, R z = 1 2 s, s R Průsečík msí vyhovova všem rovnicím sosava ří rovnic o dvo neznámých 4

5 3+ 2 = 2 + s 1+ = 2 3s 1 = 1 2s Upravíme rovnice: 2 s = 5 + 3s = 1 2s = 2 Máme šěsí, z poslední rovnice jde ihned spočía neznámo s: s = 1 Dosadíme do zbývajících dvo rovnic: 2 ( 1) = 5 2 = 4 = 2 průsečík exisje přímky jso různoběžné = 1 = 2 Určíme sořadnice průsečík z rovnice přímky q: Přímky p a q jso různoběžné, proínají se v bodě P [ 1;1;1 ] x = 2 + s = 2 1 = 1 y = 2 3s = = 1 z = 1 2s = = 1 Pedagogická poznámka: Značná čás sdenů španě řeší sosav rovnic pro hledání průsečík Ze řeí rovnice vyjádří s, ale dosadí ho poze do jedné ze zbývajících rovnic, ze keré vypočíá Nekonrolje pak již zda vyjde se spočenými hodnoami i zbývající rovnice Snažím se je na o pozorni již v omo příkladě, i když oo opomení nevede ke španém výsledk jako v prvním příklad příší hodiny Př 6: Peáková: srana 114/cvičení 4 srana 114/cvičení 6 a) b) c) d) srana 114/cvičení 8 Shrní: Paramericky vyjadřjeme přímk sejným způsobem v rovině i v prosor 5