F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)
|
|
- Pavla Beranová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně rovnicí F (x, y) = 0, jestliže existuje δ > 0 takové že, pro x (x 0 δ, x 0 + δ) je F (x, f(x)) = 0 a graf funkce f prochází boem [x 0, y 0 ] (tj y 0 = f(x 0 )) Příkla 112 a) Rovnice 3x y + 2 = 0 přestavuje implicitní vyjáření jeiné funkce y = 3x + 2 b) Rovnice x 2 + y 2 = 1 přestavuje vojici funkcí y = ± 1 x 2 c) Rovnice xy xy = 0 určuje nekonečně mnoho funkcí y = f(x) s grafem ležícím v prvním nebo třetím kvarantu Věta 113 (o existenci implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je spojitá funkce na čtverci R = (x 0 a, x 0 + a) (y 0 a, y 0 + a) pro nějaké a > 0 (tj na okolí O a ([x 0, y 0 ]) v metrice ρ ) a nechť F (x 0, y 0 ) = 0 Dále přepokláejme, že F má na tomto čtverci parciální erivaci F y, která je spojitá v boě [x 0, y 0 ] a platí F y(x 0, y 0 ) 0 Pak existuje δ > 0 takové, že na intervalu (x 0 δ, x 0 + δ) je rovnicí F (x, y) = 0 implicitně efinována právě jena spojitá funkce y = f(x) procházející boem [x 0, y 0 ] Důkaz Na R 2 uvažujme metriku ρ a položme = F y(x 0, y 0 ) Pole přepoklau je 0 Protože F y je spojitá v boě [x 0, y 0 ] a existuje na R, k 2 existuje ε > 0 takové, že pro [x, y] O ε(x 0, y 0 ) = (x 0 ε, x 0 + ε) (y 0 ε, y 0 + ε) je F y(x, y) < 2, tj 1 1 F y(x 0, y 0 ) < 1 2 Označme Q = {g C( x 0 ε, x 0 + ε ) : g(x 0 ) = y 0, g(x) y 0 < ε x x 0 ε, x 0 + ε } Pro g Q tey platí g(x 0 ) = y 0, F (x 0, g(x 0 )) = F (x 0, y 0 ) = 0 Protože g i F jsou spojité, k ε > 0 existuje δ 1 > 0 takové, že pro kažé x x 0 δ 1, x 0 + δ 1 platí F (x, g(x)) g(x) y 0 < ε Položme δ = min{ε, δ 1 } a P = Q C( x 0 δ, x 0 + δ ) Množina P tey obsahuje funkce z Q, jejichž efiniční obor je zúžen na x 0 δ, x 0 + δ Definujme zobrazení T : P C( x 0 δ, x 0 + δ ) přepisem T (g)(x) = g(x) F (x, g(x)) ( ) Je-li funkce f pevným boem zobrazení T, pak f(x) = f(x) 1 F (x, f(x)) pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj F (x, f(x)) = 0 pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj f je spojitá funkce, která je na (x 0 δ, x 0 + δ) implicitně zaána rovnicí F (x, y) = 0 Existenci jeiné funkce f této vlastnosti okážeme pomocí Banachovy věty o pevném bou Na P uvažujme metriku stejnoměrné konvergence ρ C Pak T (g)(x 0 ) = g(x 0 ) 1 F (x 0, g(x 0 )) = y 0 pro g P a íky ( ) také T (g)(x) y 0 < ε pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj T (g) P S využitím věty o stření honotě ostaneme ρ C (T (g), T (h)) = max = max = max T (g)(x) T (h)(x) = max F (x, g(x)) g(x) h(x) + g(x) h(x) F y(x, ξ)(g(x) h(x)) g(x) h(x) 1 F y(x, ξ), ke bo ξ leží mezi honotami g(x) a h(x), g, h P, tey ξ O ε (x 0, y 0 ) Pole ( ) tey je ρ C (T (g), T (h)) 1 2 což znamená, že T je kontrakce na P max g(x) h(x) = 1 2 ρ C(g, h), F (x, h(x)) Poznámka a) Vele spojité funkce může existovat i alší nespojitá funkce, např rovnice y(y 1) = 0 určuje na okolí bou [0, 0] spojitou funkci y(x) = 0, ale kromě ní také např nespojitou funkci { 0 pro x 0 y 1 (x) = nebo funkci y 2 (x) = χ(x) 1 pro x > 0 b) Pomínka F y(x 0, y 0 ) 0 je postačující pro existenci implicitní funkce, nikoliv nutnou, např rovnice x y 3 = 0 určuje v okolí bou [0, 0] funkci y = 3 x, ale přitom F y(0, 0) = 0 23
2 Věta 114 (o erivaci implicitní funkce) Nechť jsou splněny přepoklay věty 113 a F má na čtverci R spojité parciální erivace Pak má funkce f, která je implicitně určena v okolí bou [x 0, y 0 ] rovnicí F (x, y) = 0, erivaci v boě x 0 a platí f (x 0 ) = F x(x 0, y 0 ) F y(x 0, y 0 ) Iea ůkazu Nejprve je potřeba okázat existenci erivace, to není úplně snané Samotný vzorec pro výpočet erivace plyne z pravila pro erivování složené funkce: F (x, f(x)) = 0 / x F x(x, f(x)) 1 + F y(x, f(x))f (x) = 0 f (x) = F x(x, f(x)) F y(x, f(x)) Dosaíme-li x = x 0, tak s využitím y 0 = f(x 0 ) ostaneme vzorec tvrzení Příkla 115 Určete rovnici tečny a normály ke křivce ané rovnicí x 3 + y 3 2xy = 0 v boě [1, 1] x + y 2 = 0 Poznámka a) Z příklau je zřejmé, že rovnice tečny v boě [x 0, y 0 ] ke grafu funkce y = f(x) určené implicitně rovnicí F (x, y) = 0 má tvar F x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + F y(x 0, y 0 ) = 0 b) Jsou-li splněny přepoklay věty 113 a F má navíc na R spojité ruhé parciální erivace, pak funkce y = f(x), která je v okolí bou [x 0, y 0 ] ána implicitně rovnicí F (x, y) = 0 má v boě x 0 ruhou erivaci a platí y (x 0 ) = F xx(x 0, y 0 )(F y(x 0, y 0 )) 2 2F xy(x 0, y 0 )F x(x 0, y 0 )F y(x 0, y 0 ) + F yy(x 0, y 0 )(F x(x 0, y 0 )) 2 (F y(x 0, y 0 )) 3 Jak je to ve vyšší imenzi? Definice 116 (implicitní funkce vou proměnných) Nechť F : R 3 R je funkce, [x 0, y 0, z 0 ] R 3 je takový bo, že F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 Řekneme, že funkce z = f(x, y) je v okolí bou [x 0, y 0, z 0 ] zaána implicitně rovnicí F (x, y, z) = 0, jestliže existuje δ > 0 takové že pro [x, y] (x 0 δ, x 0 + δ) (y 0 δ, y 0 + δ) je F (x, y, f(x, y)) = 0 a graf funkce f prochází boem [x 0, y 0, z 0 ] Věta 117 (o implicitní funkci vou proměnných a jejích parciálních erivacích) Nechť F : R 3 R je funkce spojitá na krychli K = (x 0 a, x 0 +a) (y 0 a, y 0 +a) (z 0 a, z 0 +a) pro nějaké a > 0, F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 a má ze erivaci F z, která je spojitá v boě [x 0, y 0, z 0 ], přičemž F (x 0, y 0, z 0 ) 0 Pak existuje číslo δ > 0 a jeiná spojitá funkce z = f(x, y), která je na (x 0 δ, x 0 + δ) (y 0 δ, y 0 + δ) ána implicitně rovnicí F (x, y, z) = 0 Jsou-li navíc na krychli K spojité parciální erivace F x, F y a F z, pak funkce z = f(x, y) má parciální erivace v boě [x 0, y 0 ] a platí f x(x 0, y 0 ) = F x(x 0, y 0, z 0 ) F z(x 0, y 0, z 0 ), f y(x 0, y 0 ) = F y(x 0, y 0, z 0 ) F z(x 0, y 0, z 0 ) Poznámka Z přechozí efinice a věty je již zřejmé, jak by vypaalo rozšíření na přípa implicitní funkce tří a více proměnných Definice 118 (m-funkce) Nechť f 1, f 2,, f m jsou funkce n proměnných takové, že D(f 1 ) D(f 2 ) D(f m ) Pak zobrazení F : R n R m ané přepisem [x 1, x 2,, x n ] F [f 1 (x 1, x 2, x n ), f 2 (x 1, x 2, x n ),, f m (x 1, x 2, x n )] nazveme m-funkcí n-proměnných Funkce f 1, f 2,, f m nazýváme složky F, množina D(F ) := m i=1 D(f i) se nazývá efiniční obor m-funkce F Poznámka a) Interpretujeme-li obraz bou X R n jako vektor v R m, pak m-funkci nazýváme také vektorovou funkcí a je-li m = n, tak vektorovým polem b) Lze snano ukázat, že F je spojitá v boě X 0 R n všechny funkce f 1,, f m jsou v tomto boě spojité Definice 119 (iferencovatelnosti m-funkce) Řekneme, že m-funkce F : R n R m je iferencovatelná v boě X 0 R n, jestliže kažá z funkcí f 1, f 2,, f m je iferencovatelná v tomto boě Zobrazení F (X 0 ) : R n R m ané přepisem [h 1, h 2,, h n ] [f 1 (X 0 ), f 2 (X 0 ),, f m (X 0 )] se nazývá totální iferenciál m-funkce F v boě X 0 m-funkce F se nazývá iferencovatelná na M D(F ), je-li iferencovatelná v kažém boě z M 24
3 Poznámka Totální iferenciál F (X 0 ) je lineární zobrazení z R n o R m určené maticí tj platí F (X 0 ) = f 1 f 1 f 2 f 2 f m f 1 f 2 f m f m f 1 (X 0 ) h 1 f 2 (X 0 ) = F h 2 (X 0 ) f m (X 0 ) h n (X 0 ), Matice F (X 0 ) se nazývá Jacobiova 5 matice m-funkce F v boě X 0 Je-li n = m, pak se eterminant Jacobiho matice m-funkce F v boě X 0 nazývá Jacobián, bueme značit J F (X 0 ) nebo stručně J(X 0 ) Věta 1110 (o Jacobiově matici složeného zobrazení) Nechť G : R n R m je m-funkce iferencovatelná v boě X 0 R n a F : R m R p je p-funkce iferencovatelná v boě Y 0 = G (X 0 ) R m Pak složené zobrazení H = F G : R n R p je iferencovatelná p-funkce a pro jeho Jacobiovu matici platí Důkaz Pole efinice p-funkce H máme a pole věty 91 platí h i (x 1, x 2,, x n ) = H (X 0 ) = F (Y 0 ) G (X 0 ) }{{}}{{}}{{} p n p m m n h i (x 1, x 2,, x n ) = f i (g 1 (x 1, x 2,, x n ), g 2 (x 1, x 2,, x n ),, g m (x 1, x 2,, x n )) p pro i = 1, 2,, p, j = 1, 2,, n f i k ( g1 (x 1, x 2,, x n ), g 2 (x 1, x 2,, x n ),, g m (x 1, x 2,, x n ) ) k (x 1, x 2,, x n ) Věta 1111 (o lokální inverzi) Nechť F : R n R n je iferencovatelná n-funkce v boě X 0 R n a Y 0 = F (X 0 ) Je-li F (X 0 ) regulární (tj et(f (X 0 )) 0), pak existuje okolí O(X 0 ), v němž je F prostá, a tey existuje inverzní n-funkce F 1 : F (O(X 0 )) R n Tato inverzní n-funkce je iferencovatelná v boě Y 0 a pro její Jacobiovu matici platí (F 1 ) (Y 0 ) = (F (X 0 )) 1 a otu J F 1(Y 0 ) = Iea ůkazu Poku F (X 0 ) = Y 0, tak na O(X 0 ) platí F (X) Y 0 + F (X 0 ; X X 0 ) 1 J F (X 0 ) Lineární zobrazení na pravé straně přibližné rovnosti je prosté, právě kyž je Jacobiova matice F (X 0 ) regulární, a intuitivně, prostá bue na aném okolí i samotná n-funkce F Jacobiova matice ientického zobrazení F 1 F, F 1 F (x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) je jenotková matice E Pole věty 1110 pak platí E = (F 1 ) (F (x 0 1, x 0 2,, x 0 n)) F (x 0 1, x 0 2,, x 0 n), z čehož plyne okazovaný vztah Uvažujme nyní soustavu rovnic g 1 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, g m (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, ( ) 5 Carl Gustav Jacob Jacobi , Němec 25
4 m-funkci y 1 = f 1 (x 1, x 2,, x n ), y 2 = f 2 (x 1, x 2,, x n ), y m = f m (x 1, x 2,, x n ), ( ) bo [X 0, Y 0 ] = [x 0 1, x 0 2,, x 0 n, y 0 1, y 0 2,, y 0 m] R n+m, který vyhovuje soustavě ( ) a nechť δ > 0 Řekneme, že m-funkce ( ) je ána na okolí O δ (X 0 ) implicitně soustavou ( ), jestliže pro kažé X O δ (X 0 ) platí g 1 (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0, g m (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0 Věta 1112 (o existenci implicitní m-funkce a její Jacobiově matici) Nechť G = [g 1, g 2,, g m ] : R n+m R m je spojitá m-funkce v okolí O a ([X 0, Y 0 ]) pro nějaké a > 0 (okolí bereme opět v metrice ρ ), přičemž bo [X 0, Y 0 ] vyhovuje soustavě G (X, Y ) = O = [0, 0,, 0] (tj soustavě ( )), a nechť všechny prvky matice 1 1 y 1 y 2 1 y m 2 2 G Y y = 1 y 2 2 y m m y 1 m y 2 existují v O a ([X 0, Y 0 ]), jsou spojité v boě [X 0, Y 0 ] a platí et(g Y (X 0, Y 0 )) 0 Pak existuje okolí O δ (X 0 ) R n, na kterém je soustavou G (X, Y ) = O = [0, 0,, 0] implicitně ána jeiná spojitá m-funkce Y = F (X) = [f 1 (X), f 2 (X),, f m (X)] (tj m-funkce ve tvaru ( )) Jsou-li navíc spojité všechny prvky matice G X x = 1 2 a všechny prvky matice G Y m m m y m m v O a([x 0, Y 0 ]), pak F je iferencovatelná v X 0 a pro její Jacobiovu matici platí F (X 0 ) = (G Y (X 0, Y 0 )) 1 G X(X 0, Y 0 ) Iea ůkazu Označíme-li = et(g y(x 0, Y 0 )) a bueme-li s maticemi G y a G x manipulovat stejně jako s erivacemi F y a F x v ůkazu věty 113, tak zjistíme, že tento ůkaz lze přepsat i pro maticový přípa Poznámka První část věty vlastně říká, za jakých pomínek lze ze soustavy ( ) vyjářit m-tici ( ) (poku to je, tak to ještě neznamená, že je to početně jenouché) Příkla 1113 Najěte bo, v jehož okolí vyjařuje soustava x 2 +y 2 +u 2 +v 2 = 2, xu+yv+e uv = 0 implicitně 2-funkci u = u(x, y), v = v(x, y) a určete její Jacobiovu matici v tomto boě Dosazením ověříme, že soustavě vyhovuje např bo [x 0, y 0, u 0, v 0 ] = [ 1, 0, 1, 0] Dále máme G [x,y] 2x 2y =, G 2u 2v u v [u,v] = x + v e uv y + u e uv Otu a tey F = (G [u,v] ) 1 = 1 2uy + 2u 2 e uv 2xv 2v 2 e uv et(g [u,v] ) = 2uy + 2u2 e uv 2xv 2v 2 e uv 1 y + u e uv 2v 2uy + 2u 2 e uv 2xv 2v 2 e uv x v e uv 2u 2xy + 2xu e uv 2uv 2y 2 + 2yu e uv 2v 2 F (1, 0) = 1 2 2x 2 2xv e uv +2u = xy 2yv e uv +2uv 26
5 12 Vázané extrémy Definice 121 (lokálního extrému vzhleem k množině) Nechť f : R n R je funkce a M D(f) je nějaká neprázná množina Řekneme, že funkce f má v boě X 0 M lokální minimum (resp maximum) vzhleem k množině M, jestliže existuje okolí O(X 0 ) takové, že pro X M O(X 0 ) platí f(x 0 ) f(x) (resp f(x 0 ) f(x 0 )) Jsou-li nerovnosti pro X X 0 ostré, mluvíme o ostrých lokálních extrémech vzhleem k M V této kapitole bueme uvažovat přípa, ky množina M je zaána soustavou g 1 (x 1, x 2,, x n ) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n ) = 0, g m (x 1, x 2,, x n ) = 0, ke 1 m < n ( ) V tomto přípaě se místo termínu lokální extrém vzhleem k M používá termínu lokální extrém vázaný pomínkami ( ) nebo stručně vázaný lokální extrém Věta 122 (metoa Lagrangeových multiplikátorů, nutná pomínka pro existenci vázaného lokálního extrému) Nechť funkce f, g 1,, g m : R n R (1 m < n) mají spojité parciální erivace v otevřené množině U R n a nechť v kažém boě množiny U má Jacobiova matice G m-funkce G = [g 1, g 2,, g m ] honost m Dále, nechť M U je množina všech boů X = [x 1, x 2,, x n ], které vyhovují rovnicím ( ) Má-li f v boě X 0 M vázaný lokální extrém, pak existují reálná čísla λ 1, λ 2,, λ m (Lagrangeovy multiplikátory) tak, že jsou splněny rovnosti f (X 0 ) λ k k (X 0 ) = 0, j = 1, 2,, n ( ) Větu lze okázat vícero způsoby, jeen z nich využívá větu o lokální inverzi (viz věta 1111) Definice 123 (stacionárního bou funkce na M) Bo X 0 M, pro který existují Lagranegeovy multiplikátory λ 1,, λ m tak, že platí ( ), se nazývá stacionární bo funkce f na M Poznámka Věta 122 vlastně ává návo, jak stacionární boy nalézt Sestrojí se Lagrangeova funkce L(x 1, x 2,, x n, λ 1, λ 2,, λ m ) = f(x 1, x 2,, x n ) Položíme-li její graient roven nulovému vektoru, ostaneme právě vztahy ( ) λ k g k (x 1, x 2,, x n ) Věta 124 (postačující pomínky pro existenci vázaného lokálního extrému) Nechť S je stacionární bo funkce f na M, Λ S = [λ S 1, λ S 2,, λ S m] jsou Lagrangeovy multiplikátory příslušné bou S, funkce f, g 1, g 2,, g m mají spojité ruhé parciální erivace v boě S a nějakém jeho okolí a Jacobiova matice G (S) má honost m Je-li 2 L(S, Λ S ) (i) pozitivně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální minimum (ii) negativně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální maximum Důkaz Přepoklay věty jsou takové, že pozitivní efinitnost 2 L(S, Λ S ) zaručuje existenci (volného) lokálního minima Lagrangeovy funkce L v boě S při pevném Λ = Λ S, tj existuje okolí O(S), na kterém platí L(S, Λ S ) < L(X, Λ S ), tj f(s) + λ S k g k (S) < f(x) + λ S k g k (X) f(s) < f(x) + λ S k g k (X) Uveená nerovnost platí i pro boy X z množiny M, na které je g k (X) = 0, k = 1, 2,, m a tey pro tyto boy platí F (S) < F (X) To však znamená, že funkce má v S ostré lokální minimum vázané pomínkami ( ) Analogicky by se ukázalo pro maximum Poznámka Pozor, je-li 2 L(S, Λ S ) inefinitní, tak to (na rozíl o volných lokálních extrémů) neznamená, že v S není vázaný lokální extrém Pro existenci vázaných lokálních extrémů stačí, kyž 2 L(S, Λ S ) je PDF nebo NDF pro všechny vektory h = (h 1, h 2,, h n ) kolmé k vektorům g k (S), k = 1, 2,, m) Je-li tey 2 L(S, Λ S ) inefinitní, lze ále postupovat takto: Ze soustavy g 1 (S) = 0, 27
6 g 2 (S) = 0, g m (S) = 0, tj ze soustavy h 1 0 G h 2 (S) = 0, h n 0 lze jenoznačně vyjářit m přírůstků h i (protože G (S) má honost m) jako lineární formy zbývajících přírůstků (lineární forma n-proměnných je funkce typu a 1 x 1 + a 2 x a n x n, ke a i R, i = 1, 2,, n) Dosazením takto vyjářených přírůstků o 2 L(S, Λ S ) ostaneme novou kvaratickou formu n m proměnných, označme ji např Φ Potom platí: Je-li Φ a) pozitivně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální minimum, b) negativně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální maximum, c) inefinitní, pak v S nenastává vázaný lokální extrém Příkla 125 Vyšetřete vázané extrémy funkce f(x, y) = xy vzhleem k množině x + y = 1 28
1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu
1 Parciální iferenciální rovnice prvního řáu 11 Lineární homogenní parciální iferenciální rovnice ve vou nezávisle proměnných ax, y + bx, y0 1 Řešenímjefunkce uux, y Hleáme vrstevnice funkce u Nechť mají
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské stuium 05 Stuijní program: Stuijní obor: Řešení příklaů pečlivě oůvoněte. Příkla (5 boů) Spočtěte ke M {(y, x) R ; x 0, x + y a}. Příkla (5 boů) Nalezněte supremum
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceKolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Víceverze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Více12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
Víceje dána vzdáleností od pólu pohybu πb
7_kpta Tyč tvaru le obrázku se pohybuje v rohu svislé stěny tak, že bo A se o rohu (poloha A 0 ) vzaluje s konstantním zrychlením a A 1. m s. Počáteční rychlost bou A byla nulová. Bo B klesá svisle olů.
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceGlobální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceM. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková
VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA 1, CVIČENÍ (NMSA331) Poslední úprava dokumentu: 17. listopadu 2016
MATEMATICKÁ STATISTIKA, CVIČENÍ NMSA33 Příklay nejen pro přípravu na písemnou zápočtovou práci Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Mnohorozměrné normální rozěleni
VíceDERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
VíceJméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A
æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
Více1 Funkce více proměnných
1 Funkce více proměnných Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších
VíceKapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceMATEMATIKA I REÁLNÁ FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH II FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M10, GA04 M04
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA01 M10, GA04 M04 REÁLNÁ FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH II STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 1 0 Typeset
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceKristýna Kuncová. Matematika B2
(8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceStudijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.
Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Vícese diferenciálního počtu více proměnných). Jeho cílem není, aby obsahoval vše,
Pár informací o diferenciálním počtu funkcí více proměnných (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 2) Pavel Řehák (verze 5. září 2014) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu
Více