FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený translační pohyb

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Ronoměrný, ronoměrně zrychlený neronoměrně zrychlený trnslční pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hláč, Ph.D. Doc. Ing. Iren Hláčoá, Ph.D. Mgr. Art. Dgmr Mádroá Ostr 13 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hláč, Ph.D., Doc. Ing. Iren Hláčoá, Ph.D., Mgr. Art. Dgmr Mádroá Vysoká škol báňská Technická unierzit Ostr ISBN Tento studijní mteriál znikl z finnční podpory Eropského sociálního fondu (ESF) rozpočtu České republiky rámci řešení projektu: CZ.1.7/../15.463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 OBSAH 1 ROVNOMĚRNÝ, ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ A NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ TRANSLAČNÍ POHYB Úod Definice Souřdnice polohoý ektor částice Průměrná okmžitá rychlost Průměrné okmžité zrychlení Tečné normáloé zrychlení Chrkteristik pohybu podle rychlosti zrychlení Klsifikce posuných pohybů... 1 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM... 1 CZ.1.7/../15.463

3 3 1 ROVNOMĚRNÝ, ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ A NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ TRANSLAČNÍ POHYB STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Poloh částice, souřdnice polohoý ektor Trjektorie pohybu Průměrná okmžitá rychlost Průměrné okmžité zrychlení Tečné normáloé zrychlení Pohyb přímočrý ronoměrný Pohyb přímočrý ronoměrně zrychlený MOTIVACE: Ronoměrný, ronoměrně zrychlený neronoměrně zrychlený trnslční pohyb je důležitý pro šechny lidské činnosti. Polohu částice (těles) je nutné stnoit při popisu jkékoli události. Z pojmů jko je dráh, rychlost zrychlení se počítá při popisu jkéhokoli těles, zejmén při popisu doprních prostředků, pohybu těles při mnipulci popisu zláštních druhů pojmů, při kterých částice nebo těleso ykoáá posuný pohyb. CZ.1.7/../15.463

4 4 1.1 ÚVOD Pohyb částice z hledisk kinemtiky lze popst yjádřením funkční záislosti prmetrů yjdřujících polohu částice n čse. Kinemtik popisuje pohyb částice pomocí eličiny jko je dráh, rychlost, zrychlení. 1. DEFINICE 1..1 Souřdnice polohoý ektor částice Polohu částice můžeme popst souřdnicemi nebo polohoým ektorem r dné souřdnicoé soustě. Souřdnicemi se určuje místo (bod), němž se částice nchází určitém čsoém okmžiku. Jsou to tři (trojrozměrný prostor) nebo (ojrozměrný prostor) nezáislé prmetry. Ve fyzice použíáme nejčstěji následující souřdnice roině: Krtézská (ortonormální) souřdnicoá soust (; x, y). Polární souřdnicoá soust (; r, ϕ), kde P r je tz. průodič (rdiusektor) bodu P, orientoný úhel ϕ je polární úhel jeho elikost se nzýá rgument. Polohoým ektorem r (rdiusektorem) je určen poloh částice jen jednou ronicí r r(t) nebo x x (t), y y (t), z z (t) (.6) Ronice (.6) se nzýjí prmetrické ronice trjektorie pro posuný pohyb (čs t je prmetr). Trjektorie pohybu je souhrn šech poloh, kterými projde částice při sém plynulém čsoém postupu. Polohoý ektor r hmotného bodu P zhledem k počátku souřdnicoé sousty je orientoná úsečk, jejíž počátek je bodě konec bodě P. V krtézské souřdnicoé soustě pltí kde r xi + y j + zk i, j, k jsou jednotkoé ektory x, y, z jsou krtézské souřdnice bodu P. (.7) Pro určení směru ektoru r jeho elikosti pltí zthy x y z cos α ; cos β ; cos γ ; r x + y + z r r r kde úhlům α, β, γ se říká směroé úhly jejich kosinům směroé kosiny. (.8) CZ.1.7/../15.463

5 5 1.. Průměrná okmžitá rychlost Rozdíl polohoých ektorů e ou dosttečně blízkých čsech r r r1 (obr..8) udáá směr pohybu elikost dráhy s to tím přesněji, čím je tento interl menší. Pk pltí r s. V limitě je shod úplná, proto lze psát d r ds, kde ds je tz. element dráhy. Obr..8 K popisu střední rychlosti K popisu pohybu je důležitá znlost změny dráhy z čs (rychlost) změny rychlosti z čs (zrychlení). Nchází-li se částice čse t 1 bodě P 1 (obr..8) čse t bodě P je-li s dosžená dráh mezi P 1 P, pk pro t t t1 definujeme tz. průměrnou rychlost (elikost rychlosti) mezi body P 1 P s (.9) Pro je s lim ds (.1) elikost okmžité rychlosti (obr..9) yjdřuje podíl elementárních přírůstků dráhy ds čsu prní derici dráhy podle čsu čsoou změnu dráhy. Obr..9 K popisu okmžité rychlosti CZ.1.7/../15.463

6 6 ) b) Obr..1 Grf funkce s s (t) Geometricky je podíl yjdřující průměrnou rychlost roen směrnici sečny (tg α), (obr..1) podíl yjdřující okmžitou rychlost roen směrnici tečny grfu funkce s s (t) (obr..1b). Vektoroě Δr d r lim Δt Δt ds τ (.11) kde τ je jednotkoý ektor určený tečnou dném bodě směrem pohybu. Pk dr d ( xi + yj + zk ) i + dz j + k dx dy x i + y j + zk, kde x, y, z dx dy dz (.1) (.13) Velikost směr rychlosti určují pomocí souřdnic rychlosti x, y, z zthy x y + y + z, cos α, cos β, cos γ x z (.14) 1..3 Průměrné okmžité zrychlení Má-li částice čse t 1 rychlost 1 čse t rychlost, pk pro t t t1 1 definujeme (.15) jko průměrné zrychlení n úseku trjektorie mezi body P 1 P. Pro je lim t d r (.16) CZ.1.7/../15.463

7 7 ektor okmžitého zrychlení yjdřuje podíl elementárních přírůstků rychlosti čsu prní derici rychlosti podle čsu čsoou změnu rychlosti druhou derici polohoého ektoru podle čsu. Geometricky je podíl yjdřující průměrné zrychlení roen směrnicí sečny podíl yjdřující okmžité zrychlení roen směrnici tečny grfu (t). V souřdnicích d r d x d y i + d z j + k x i + y j + z k (.17) x y x i + y j + zk, kde x, y, z Velikost směr zrychlení určují zthy z (.18) x + y + z, cos α, cos β, cos γ, Jednotk dráhy [s] m, rychlosti [] m s 1, zrychlení [] m s. x y z (.19) Z rozkldu ektoru zrychlení do ou n sebe kolmých složek (směr tečny ke křice směr hlní normály) njdeme zthy pro tz. tečné normáloé zrychlení. N trjektorii obr..11) zolme body P 1 P ektory rychlosti. Posuňme ektory rychlosti do jednoho bodu P jejich rozdíl oznčme (obr..11b). Rozložme ektor n t e směru ektoru n n tk, že z bodu M spustíme kolmici n ektor rychlosti. M ) b) Obr..11 K určení tečného normáloého zrychlení CZ.1.7/../15.463

8 8 Pk pltí: Z obr..11b) plyne cos ϕ. Pk t t + n (.) t n lim lim + lim t + n (.1) t lim lim, t ponědž cos ϕ limitě pro konerguje k jedné Tečné normáloé zrychlení Tečné zrychlení t souisí se změnou elikosti rychlosti má směr jednotkoého ektoru τ t τ (.) t Normáloé zrychlení n souisí se změnou zkřiení trjektorie má směr jednotkoého ektoru R (normály ke křice) Podle obr..1 ), b) pltí n n n R (.3) oud ) b) Obr..1 K určení délky oblouku křiky ds Rdϕ n dϕ n ds R CZ.1.7/../15.463

9 9 Pk pro normáloé zrychlení je kde R ds, R R n n R, (.4) je jednotkoý ektor e směru hlní normály křiky orientoný ke středu křiosti. R Zrychlení lze yjádřit pomocí tečného normáloého zrychlení e tru t + n + R (.5) R t + n + R 4 (.6) 1..5 Chrkteristik pohybu podle rychlosti zrychlení Tečné zrychlení t souisí se změnou elikosti rychlosti má směr jednotkoého ektoru τ t τ (.) t Normáloé zrychlení n souisí se změnou zkřiení trjektorie má směr jednotkoého ektoru R (normály ke křice) n n n R (.3) Podle obr..1 ), b) pltí oud ) b) Obr..1 K určení délky oblouku křiky ds Rdϕ n dϕ n ds R CZ.1.7/../15.463

10 1 Pk pro normáloé zrychlení je kde R ds, R R n n R, (.4) je jednotkoý ektor e směru hlní normály křiky orientoný ke středu křiosti. R Zrychlení lze yjádřit pomocí tečného normáloého zrychlení e tru t + n + R (.5) R t + n + R 4 (.6) 1..6 Klsifikce posuných pohybů Z definice rychlosti (.11) plyne nejjednodušší klsifikce posuných pohybů částice. Je-li jednotkoý ektor rychlost τ konst., pohyby jsou přímočré, τ konst., pohyby jsou křiočré. V následujícím odstci budeme řešit přímočré pohyby jko funkční záislosti kinemtických eličin dráhy s, rychlosti, zrychlení n čse t. Z definice zrychlení lze určit záislost (t),, + konst. (.37) Z definice rychlosti lze určit záislost s s (t) ds, ds, ds s + konst. (.38) Pohyb přímočrý ronoměrný: Kde s je počáteční dráh. konst. s t + C, C s Grfy pro přímočrý ronoměrný pohyb jsou n obr..15. s s + t (.39) CZ.1.7/../15.463

11 11 Obr..15 Grf funkce (t) s s (t) pro přímočrý ronoměrný pohyb Pohyb přímočrý ronoměrně zrychlený: konst. doszením (.4) do zthu (.38) 1 C 1 t + C, ( + t) t t + C, s + C s 1 + t 1 s s + t + t (.4) (.41) Grfy pro přímočrý ronoměrně zrychlený pohyb jsou n obr..16. Obr..16 Grf funkce (t), (t) s s(t) pro přímočrý ronoměrně zrychlený pohyb CZ.1.7/../15.463

12 Přednáškoý text se zthuje k těmto otázkám 1 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM Krtézské polární souřdnice, prmetrické ronice trjektorie pro posuný pohyb Chrkteristik pohybu částic podle rychlosti podle zrychlení Klsifikce posuných pohybů CZ.1.7/../15.463